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Capítulo 3. Radiación producida por cargas en movimiento
En el electromagnetismo uno puede trabajar con las leyes de
Maxwell y los campos eléctrico E y magnético B, o bien con los
llamados potenciales escalar y vectorial, de los cuales es posible
derivar E y B.
En este capítulo se usa el enfoque de los potenciales escalar y
vectorial y luego se deriva de ellos E y B.
También se usa la propiedad de la Delta de Dirac:
Capítulo 3. Radiación producida por cargas en movimiento
1. Potenciales retardados.
Considere partícula con carga q, moviéndose a lo largo de la trayectoria r  ro(t)


u
(
t
)

r
(t )
• Velocidad:
o
• Densidades de carga y corriente:
(r ,t)  q (r  ro (t))
(1)
j (r ,t )  qu(t ) (r  ro (t ))
• Carga total y corriente total:
q    (r ,t )d 3r
qu 

j (r ,t)d 3r
Usando la expresión para el potencial retardado ,
 (r ,t) 

| r  r | 3
)d r 
c
| r  r |
(r , t 
y las propiedades de la función , 
 (r ,t)   d 3r 
 (r , t )
| r  r |
 (t  t 
)dt 
| r  r |
c
Reemplazando la expresión (1) e integrando en r’, 
| r  ro (t ) |
dt 
 (r ,t)  q  (t  t 
)
c
| r  ro (t ) |
Haciendo el cambio de variables:
R(t )  r  ro (t )
podemos escribir
donde
R(t )
 (t  t 
)
c
 (r ,t)  q
dt 
R(t )
R(t ) | R(t ) | .
En forma similar se encuentra que
q u(t ) (t  t 
A(r ,t)  
c
R(t )
R(t )
)
c dt 
Note que el argumento de la función  se anula para t'=tret dado por c(t-tret)=R(tret).
Haciendo el cambio de variables:
t   t  t 
tenemos
dt   dt 
Por otro lado de la relación

donde
Definiendo
R(t )
c
1
R(t )dt 
c
R2(t )  R2 (t )



2 R(t ) R(t )  2 R(t )  u (t )


u (t )   R(t )

R
ˆ 
n
R
podemos escribir
 1

dt   1 n(t )  u(t ) dt 


 c


 (r ,t )  q
1
1
 (t )d
 t 
R(t )  1

1 n(t )  u(t )


 c

La integral se puede evaluar haciendo t''=0, o equivalentemente t'=tret , 

 (r , t ) 
donde
q
 (t ret ) R(t ret )
1
 (t )  1 n(t )  u(t )
c
En forma análoga se demuestra que
qu(t ret )
A(r ,t ) 
c (t ret )R(t ret )
Estos son los potenciales de Lienard-Wiechert.
Difieren de los potenciales electromagnéticos estáticos en dos formas:
 El factor  tiende a concentrar los potenciales en un angosto haz
alrededor de la velocidad de la partícula, especialmente cuando
la velocidad tiende a la de la luz.
 Los potenciales están evaluados en el tiempo retardado.
2. Campos electromagnéticos debidos a cargas en movimiento
Para encontrar los campos en (r,t) debemos determinar la posición y el
tiempo retardados de la partícula: r y t
ret
ret
En ese instante la partícula tiene una velocidad:
 
u  ro (tret )
Diferenciando los potenciales se encuentra que:

  

 (nˆ   )(1   2 )  q  nˆ
E (r , t )  q 
   3  (nˆ   )   
3 2

 R
 c  R
 
 
y
B(r , t )  nˆ  E (r , t )


 El primer término del campo eléctrico se denomina campo de velocidad.
Decae como 1/R2 y es la generalización de la ley de Coulomb para partículas
en movimiento.
 El segundo término es proporcional a la aceleración de la partícula y
perpendicular a n, se denomina campo de aceleración.
Decae como 1/R , y es el que hace posible que una partícula emita radiación.
Campo de radiación:


  
 
q  nˆ
Erad (r , t )   3  (nˆ   )   
c  R

 
 
Brad (r , t )  nˆ  Erad (r , t )
Note que los vectores E, B, y n forman una triada de vectores mutuamente
perpendiculares y que:
| Erad || Br ad |
3. Radiación de un sistema de partículas no relativistas.
Para partículas no relativistas:
|  |
u
 1
c
La razón entre las magnitudes de los campos de radiación y de velocidad es:
Erad
Ru
~ 2
Evel
c
Si la partícula tiene una frecuencia de oscilación característica  (o bien
nos enfocamos en la componente de Fourier a la frecuencia ), entonces:
Erad Ru u R
~ 2 
Evel
c
c
 Dentro de la zona cercana, R≤, el campo de velocidad es mas intenso
que el campo de radiación (factor  c/u).
 En la zona lejana, R >> (c/u), el campo de radiación domina, con su
dominio relativo creciendo linealmente con R.
Fórmula de Larmor
Cuando  <<1, los campos de radiación se pueden simplificar a :
 
 
 
q 1
Erad (r , t )  2  nˆ  nˆ  u 
c R

 
 
Brad (r , t )  nˆ  Erad (r , t )
La magnitud de los campos es:
| Erad || Brad |
qu
sin 
Rc 2
donde  es el ángulo entre el vector aceleración y la dirección n.
El vector de Poynting está en la dirección n y tiene por magnitud:
c 2
c qu 2
2
S
Erad 
sin

2 4
4
4 R c
La energía dW emitida por unidad de tiempo, en el ángulo sólido d, en
la dirección n es igual a S multiplicado por dA=R2 d, 
dW
q 2u 2 sin 2 

dtd
4c 3
Integrando sobre el ángulo sólido, tenemos que la potencia total emitida es:
dW q 2u 2
q 2u 2
2
P

sin d 
3 
dt
4c
2c 3
2q 2u 2
P
3c 3
1

1
(1   2 )d
Fórmula de Larmor para la emisión producida por una partícula acelerada.
Características:
 Potencia emitida es  al cuadrado de las cargas y de la aceleración.
 Radiación es dipolar ( sin2). No hay radiación a lo largo de la dirección
de la aceleración y el máximo es emitido en la dirección 
Clase 9. Espectro de la radiación
El espectro de la radiación depende de la variación temporal del campo
eléctrico.
 Se puede hablar del espectro de la radiación solo si conocemos las
características del campo eléctrico sobre un intervalo de tiempo t.
Consideremos que la radiación tiene la forma de un pulso finito.
Podemos entonces expresar E(t) en términos de una integral de Fourier:
E(t) 

 i t
E
(

)e
d

El inverso de esta relación es:
1
E( ) 
2

i t
E
(t)e
dt

E() contiene toda la información acerca del comportamiento en
frecuencias de E(t). E() es una función compleja.
Ya que E(t) es una función real se tiene que:
E( ) 
1
2

 E(t)e
 i t
dt  E * ( )
Lo que queremos determinar es la distribución en frecuencia de la
energía.
La energía por unidad de tiempo y area es:
dW
c

E 2 (t )
dtdA 4
La energía total por unidad de área emitida por el pulso es, entonces
dW
c

dA 4

2
E
 (t)dt
Usando el teorema de Parseval para las transformadas de Fourier




E (t )dt  2  | Eˆ () |2 d
2

y que |E()|2 = |E(-)|2 , 

dW
 c  | Eˆ ( ) |2 d
0
dA
 Podemos identificar la energía por unidad de área y unidad de
frecuencia como:
dW
 c | Eˆ ( ) |2
dAd
Note que esta expresión es válida solo para el pulso completo.
Solo si el pulso se repite en una escala de tiempo T, podemos
“formalmente” escribir:
dW
1 dW
c

 | Eˆ ( ) |2
dAddt T dAd T
Espectro de la radiación en el caso de la aproximación dipolar.
En la aproximación dipolar tenemos que,


nˆ  (nˆ  d )
Erad 
c 2 Ro
Por simplicidad supongamos que el vector d yace en una sola
dirección, de manera que
sen
E (t )  d(t ) 2
c Ro
De la transformada de Fourier de d(t),

tenemos que,
d (t )   dˆ ( )e it d


d(t )    2 dˆ ( )eit d

y por lo tanto
sen
Eˆ ( )   2  2 dˆ ( )
c Ro
Usando la expresión anterior y la relación dA=Ro2 d, tenemos que
la energía por unidad de ángulo sólido y frecuencia es,
dW
sen 2 4 ˆ
2


|
d
(

)
|
dd
c3
y por lo tanto,
dW 84 ˆ
 3 | d ( ) |2
d 3c
 El espectro de la radiación dipolar está directamente relacionado
con la frecuencia de oscilación del momento dipolar.
Dispersión de Thomson.
Este proceso físico se produce debido a que las cargas libres radían en
respuesta a una onda electromagnética.
Despreciando las fuerzas magnéticas, la fuerza ejercida en un electrón
por una onda monocromática linealmente polarizada es:

F  eˆ Eo sen(ot )
donde  denota la dirección del campo eléctrico.
Por lo tanto,


mr  eˆ Eo sen(ot )
En términos del momento dipolar, d=er, tenemos,
2
 e Eo
d
ˆ sen(ot )
m


 e 2 Eo
d  
2
m

o


ˆ sen (o t )


expresión que describe un dipolo oscilante con amplitud:
 e2E 
do   o2 
m o 
 La potencia por unidad de ángulo sólido, promediada en el tiempo,
es:
2
4
dP
e Eo
2

sen

2 3
d 8m c

2
e4Eo
P
3m2c3
Definiendo d como la sección eficaz diferencial de dispersiones en
el ángulo d, tenemos
dP
d cEo d
 S 

d
d
8 d
2
donde <S> es el flujo incidente.

d
e4
2
 2 4 sen2  ro sen2
d m c
e2
ro  2
mc
donde
ro provee una medida del tamaño de una carga puntual.
Para un electrón ro =2.8x10-13 cm.
La sección eficaz total es,
d
2 1
   d  2ro 1 (1  2 )d
d


8 2
ro
3
Las secciones eficaces diferenciales y totales son independientes de
la frecuencia.
 la dispersión de Thompson es igualmente efectiva en todas las
frecuencias.
• La dispersión de Thomson es válida
mientras el fotón tenga una energía menor
que la energía en reposo del electrón, 511
keV.
• Para altas energías del fotón hay que
pasarse a la dispersión de Compton.
• La radiación dispersada está linealmente
polarizada en el plano de la radiación
incidente y la dirección de la dispersión n.
• Se puede encontrar la sección diferencial de
dispersión para un haz de radiación sin
polarizar y demostrar que la radiación
dispersada queda polarizada en algunas
direcciones.
• Para esto se considera que el haz sin
polarizar puede representarse como la
superposición de dos haces linealmente
polarizados que están perpendiculares.
La componente polarizada debida a 1 es sen2 Q = cos2 
La componente polarizada debida a 2 es 1
Las dos componentes anteriores son perpendiculares entre sí
de modo que Imax = 1 y Imin = cos2 
Usando la definición de polarización: P= (Imax – Imin)/(Imax +
Imin) = (1 - cos2 )/(1cos2 )
La dispersión de Thomson de radiación sin
polarizar tiene las siguientes características:
• Simetría para adelante y para atrás (+-)
• La sección recta total es la misma que para
la radiación polarizada
• El grado de polarización de la radiación
dispersada depende del ángulo con
polarización de 0% en la dirección del haz
incidente y de 100% en la dirección
perpendicular.
Radiación producida por partículas ligadas.
1. Fuerza de reacción a la radiación.
La energía radiada por una carga acelerada debe provenir de la
energía de la partícula o del agente que mantiene la energía de la
partícula.
 existe una fuerza que actúa en la partícula en virtud de la radiación
que ésta produce.
Fuerza de reacción a la radiación:
 2e 2u

F

m

u
3c 3
(1)
2. Radiación de partículas ligadas armónicamente.
Una partícula ligada mediante una fuerza armónica, F=-kx, oscilará
sinusoidalmente con una frecuencia natural o=k/m.
Debido a la fuerza de reacción las oscilaciones no son totalmente
armónicas, produciéndose un pequeño amortiguamiento.
Supongamos que  <<1, de manera que la ecn.(1) es válida.
La ecuación de movimiento es:
2
mx  mo x  m x
2
x  x  o x  0 (2)
…
Debido a que el término que involucra a x es pequeño, en un primer
orden tenemos que el movimiento es armónico:
x(t )  cos( ot  o )
Usando esta expresión, el término de amortiguamiento se puede
aproximar por
x(t )  o 2 x
de manera que la ecn.(2) se puede escribir como
x  o 2 x  o 2 x  0
Este tipo de ecuaciones tiene soluciones del tipo x(t)  et ,
donde  se determina de la condición:
 2  o 2  o 2  0
2
4
2
 o    o  2  4 o

2

2
2
 o   2i  o 1  o  2 / 4

2
y ya que  <<1,

1
2
2
3
  i  o   o   O( o  2 )
x(t )  e
1
 o 2 t
iot
2
e
.
Tomando como condiciones iniciales x(0)=x0 y x(0)=0,
i  ot
x(t)  e

t
2
e
2e2 o
  o  
3mc3
2
donde
2
Para determinar el espectro de la radiación debemos calcular la
transformada de Fourier de x(t):
1
xˆ ( ) 
2
eencontrándose que
xˆ ( ) 



x(t )e it dt
xo
1
4  / 2  i(  o 
2
 x 
1
| x( ) |2   o 
4  (   o )2  ( / 2)2
La energía radiada por unidad de frecuencia es entonces:
dW 8 o e2 xo
1

d
3c3 (4 )2 (   o )2  ( / 2)2
4
2
Espectro típico de un oscilador que decae. Tiene un máximo
agudo en =o, ya que / o <<1.
Usando la definición de  y kmo2 (constante del resorte),
tenemos que
dW 1 2 
 / 2
  kxo 
d 2
 (   o )2  ( / 2)2
donde 1/2 kxo2 es la energía potencial de la partícula.
Integrando sobre todas las frecuencias se obtiene que W=1/2 kxo2 .
El perfil del espectro emitido:
 / 2
(   o)2  ( / 2)2
se conoce como perfil de Lorentz.
Oscilaciones forzadas debido a la presencia de un haz de
radiación.
La ecuación de movimiento de un electrón ligado en presencia de
un campo electromagnético sinusoidal E=Eoeit es
2
mx  mo x  m x  eEoeit
La solución de esta ecuación es:
x  xo eit | xo | ei (t  )
eE 
1
| xo |   o 
 m  ( 2   2  i  3 )
o
o
donde
y
 3
tan   2
   o2
La potencia total radiada, promediada en el tiempo, es:
e2 | xo |2  4 e4Eo
4
P
 2 3
3
3c
3m c ( 2   o2 )2  ( o3 )2
2
 S 
El flujo de energía incidente es
c 2
Eo
8
La sección eficaz de dispersión en función de la frecuencia es:
 ( )   T
donde
4
2
3
( 2   o )2  ( o  )2
8 e4
T 
3 m2c4
Casos particulares:
1) Para  >> o : ()  T
el valor para los electrones libres.
Interpretación: a altas energías incidentes el amarre es despreciable.
2) Para  << o : ()  T (/o)4
El campo eléctrico aparece como casi-estático.
Dispersión de Rayleigh.
3)   o .
Este caso está dominado por la cercanía del factor 2-o2 a cero.
Escribiendo
 2  02  (  0 )(  0 )
y reemplazando  por o , excepto en (-o), tenemos
 ( ) 
donde Γ=o2 τ.
T
 / 2
2 (  o ) 2  ( / 2) 2
Usando las definiciones de σT y τ, tenemos que
2 2e 2
 / 2
 ( ) 
mc (  o ) 2  ( / 2) 2
En la vecindad de la resonancia la forma de la sección eficaz de
dispersión es la misma que para la emisión de las oscilaciones
libres del oscilador.