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Alexeev 293, pag 88
Se tiene una particula de carga e y de masa m efectuando oscilaciones armónicas de frecuencia ! 0 .Tomando en cuenta
la fuerza de fricción por radiación, determinar la media temporal sobre un periodo T = 2 =! de la intensidad de la
~ =E
~ 0 sin !t
radiación de este oscilador cuando está sujeto a un campo eléctrico exterior E
Solución:
La ecuación de movimiento completa para el oscilador es
m
d2~r
=
dt2
2 3
~ 0 sin !t + 2e d ~r
m! 20~r + eE
3c3 dt3
(1)
que se puede reescribir como
d2~r
2e2 d3~r
e ~
+ ! 20~r = E
(2)
0 sin !t
2
3
3
dt
3mc dt
m
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden lineal no homogenea.
La solución general de esta ecuación es la suma de la solución general de la ecuación homogenea más una solución
particular de la ecuación no homogenea.
Por tanto, debemos encontrar primero la solución de la ecuación homogenea; es posible encontrar la solución exacta
de la ecuación homogenea, pero es totalmente inutil por compleja y larga. En lugar de eso nos damos cuenta que el
2e2 d3~r
, es pequeño respecto al término +! 20~r. Además, sin el término de fricción
término de fricción por radiación,
3mc3 dt3
de radiación la ecuación homogenea se reduce a
d2~r
+ ! 20~r = 0
dt2
cuya solución es
r (t) = A sin (! 0 t) + B sin (! 0 t)
2e2 d3~r
2e2 2 d~r
Por tanto, podemos sustituir el termino
por
+
!
. La ecuación que nos queda es
3mc3 dt3
3mc3 0 dt
2
2
d ~r
2e
d~r
+
!2
+ ! 20~r = 0
dt2
3mc3 0 dt
Llamando
2e2 2
!
0 =
3mc3 0
la solución exacta es
p
p
t
t
2
2
+ C2 exp
r (t) = C1 exp
4! 20
4! 20
0
0+
0
0
2
2
Como 0
! 0 podemos escribir esta solución, en forma aproximada, como
r (t) = exp ( 0 t=2) [C1 exp (i! 0 t) + C2 exp ( i! 0 t)] = exp ( 0 t=2) [C1 cos (! 0 t) + C2 cos (! 0 t) + iC1 sin (! 0 t) iC2 sin (! 0 t)] =
= exp ( 0 t=2) [D1 cos (! 0 t) + D2 sin (! 0 t)]
Por lo tanto, la solución a la ecuación homogenea se atenua, y para tiempos largos podemos considerarla nula.
Es claro que lo mismo va a suceder con la ecuación exacta.
Debemos buscar ahora una solución particular de la ecuación original completa (2). Se propone de la forma
rp (t) = P cos (!t) + Q sin (!t)
Sustituyendo en (2) tenemos
1