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Sistemas Dinámicos: Oscilación subarmónica y Caos en rectificadores controlados Sebastián Maestri Sobre una idea de Gustavo Uicich Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Presentación • Funcionamiento del convertidor. • Control a lazo cerrado de la tensión de salida. • Ecuación en recurrencia no lineal. • Análisis mediante Matlab. • Implementación en Simulink. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Funcionamiento del convertidor 0<a<p Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Modelo dinámico del convertidor • En bajas frecuencias (f<<fr), aproximación por ZOH. • Diferencias: la tensión instantánea de salida dentro de un período de ripple no es constante, y el período de ripple no es fijo. • Hasta f aproximadamente fr/4, el modelo es coherente. • Si f es comparable a fr, el modelo presenta errores. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Control a lazo cerrado Ganancia del convertidor = -EDOsin(aop) Aproximación sistema lineal => K = -2pfc/(HEDO) frecuencia de corte teórica máxima (fct)=fr/4 Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Estabilidad • El funcionamiento para fc>fct no sigue al modelo ZOH. • Por otra parte, en determinados circuitos electrónicos, los valores de los parámetros pueden producir oscilación subarmónica e incluso caos. • En cuanto a los rectificadores controlados, hasta el momento no se ha demostrado fehacientemente este tipo de funcionamiento. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Instantes n, n+1 Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Instantes n, n+1 Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Ecuaciones del sistema En el momento del disparo: Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Ecuaciones del sistema • 1 variable de estado (an), 2 parámetros (amed, fc) • Problema: depende no linealmente de an+1 • Hay que resolver en forma iterativa para encontrar an+1 a partir de an. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Análisis: implementación en Matlab • Primero se implementó la ecuación en Matlab. • Para un par de valores (amed, fc) y una condición inicial, encontrar el siguiente disparo. Funciones trascendentes (fzero.m para hallar an+1). • Secuencia de N valores. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Secuencias Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Órbitas de período 2 an = an+2: • Los valores de K obtenidos cumplen an = an+2, para un par a1,a0. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Órbitas de período 2 an = an+2: • Los valores de K obtenidos cumplen an = an+2, para un par a1,a0. • Pero sólo son válidos si ocurriera que, para ese K, a partir de a1 se llega a a0, y a partir de a0 se llega a a1. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Órbitas de período 2 Valores de fc Mínimo fc : 535Hz an=179º, an+1=180º amed=179.293º Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Órbitas de período 2 Valores de amed Mínimo amed : 93.5º an=92º, an+1=95º fc=8819.8Hz Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Mapa de bifurcaciones fc = constante = 8000 Hz amed [º] = (80,180) Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Mapa de bifurcaciones amed = constante = 130º fc [Hz] = (300,8000) Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Implementación en Simulink Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Implementación en Simulink fc = constante = 8000 Hz Mapa de bifurcaciones teórico Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control amed [°] característica 85 estable 95 p-2 (80°,110°) 125 p-4 (100°, 105°, 153°, 165°) 160 caos? (140°, 170°) Sistemas Dinámicos 2009 Implementación en Simulink Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009 Resultados obtenidos hasta el momento Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control amed [°] característica 85 estable 95 p-2 (80°,110°) 125 p-4 (100°, 105°, 153°, 165°) 160 caos? (140°, 170°) Sistemas Dinámicos 2009 Resultados obtenidos hasta el momento Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control amed [°] característica 85 estable 95 p-2 (80°,110°) 125 p-4 (100°, 105°, 153°, 165°) 160 caos? (140°, 170°) Sistemas Dinámicos 2009 Resultados obtenidos hasta el momento Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control amed [°] característica 85 estable 95 p-2 (80°,110°) 125 p-4 (100°, 105°, 153°, 165°) 160 caos? (140°, 170°) Sistemas Dinámicos 2009 Conclusiones • Etapa de análisis (formulación matemática/simulación en MATLAB). • Resultados preliminares : a < 90°: siempre estable. a > 90°: • Presentaría oscilación subarmónica para valores de ganancia moderados (ej: fc = 600Hz, para fct=75Hz). • Caos: valores muy elevados de ganancia. Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Laboratorio de Instrumentación y Control Sistemas Dinámicos 2009
