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Prueba de
Friedman
Vanessa Restrepo
Viviana Sanchez
Luisa Arroyave
MILTON FRIEDMAN
PRUEBAS PARA K VARIABLES
RELACIONADAS
En ese método se estudian las pruebas no paramétricas más
utilizadas para comparar más de dos variables relacionadas.
Las pruebas más utilizadas para comparar K variables
relacionadas son:
La prueba de Friedman.
 La prueba de Kendall.
 La prueba de Cochran.

Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Prueba de Friedman
En estadística la prueba de Friedman es una prueba no
paramétrica desarrollado por el economista Milton
Friedman. Esta prueba puede utilizarse en aquellas
situaciones en las que se seleccionan n grupos de k
elementos de forma que los elementos de cada grupo
sean lo más parecidos posible entre sí, el método
consiste en ordenar los datos por filas o bloques,
reemplazándolos por su respectivo orden.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Hipótesis

H0: No existen diferencias entre los grupos.

Ha: Existen diferencias entre los grupos.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Para resolver el contraste de hipótesis anterior,
Friedman propuso un estadístico que se distribuye
como una Chi-cuadrado con K - 1 grados de libertad,
siendo K el número de variables relacionadas; se
calcula mediante la siguiente expresión.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Estadístico de Prueba
En la expresión anterior:
• X2r = estadístico calculado del análisis de varianza
por rangos de Friedman.
• H = representa el número de elementos o de bloques
(numero de hileras)
• K = el número de variables relacionadas
• ∑ Rc2 = es la suma de rangos por columnas al cuadrado.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Pasos
1.
2.
3.
4.
5.
Hacer una tabla en la que las K variables, es decir, las
K medidas estén en las columnas y los n elementos
en las filas, de esta manera la tabla tendrá K
columnas y n filas.
A los valores de cada fila se les asigna un número del
1 a K, según el orden de magnitud de menor a mayor;
a este número se le denomina rango.
Se suman los respectivos rangos en función de las
columnas.
Aplicar la fórmula de análisis de varianza de doble
entrada por rangos de Friedman.
Comparar el valor de X2r de Friedman con tablas de
valores críticos de Chi-cuadrada de Pearson.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
EJEMPLO
Con objeto de estudiar la diferencia de concentración de un
tóxico (mg/1000) en distintos órganos de peces, se extrae
una muestra aleatoria de peces de un río y se estudia en
cada uno de ellos la concentración del tóxico (mg/1000)
en cerebro corazón y sangre. El objetivo del estudio es
conocer si la concentración del tóxico en los tres órganos es
igual o distinta. Los resultados obtenidos son los siguientes:
n (H) = 12 peces
 K = 3 órganos (cerebro , corazón y sangre)

Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Hipótesis

H0: No existen diferencias significativas en la concentración
del tóxico en cerebro corazón y sangre.

Ha: Existen diferencias significativas en la concentración del
toxico en cerebro corazón y sangre.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Primer Paso
Cerebro
Corazón
Sangre
164
96
51
105
115
41
150
100
46
145
75
79
139
88
52
144
64
70
139
97
46
98
101
52
146
99
55
153
91
39
138
94
41
99
105
46
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Segundo Paso
Cerebro
Corazón
Sangre
164 (3)
96 (2)
51(1)
105 (2)
115 (3)
41 (1)
150 (3)
100 (2)
46 (1)
145 (3)
75 (1)
79 (2)
139 (3)
88 (2)
52 (1)
144 (3)
64 (1)
70 (2)
139 (3)
97 (2)
46 (1)
98 (2)
101(3)
52 (1)
146 (3)
99 (2)
55 (1)
153 (3)
91 (2)
39 (1)
138 (3)
94 (2)
41 (1)
99 (2)
105 (3)
46 (1)
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Tercer Paso

Las sumas de rangos correspondientes a cada órgano,
variable o columna son:
R1 = 33

R2 =25
R3 =14
Dividiendo las sumas de rangos anteriores por 12 se
obtienen los rangos medios:
R1 = 2,75
R2 =2,08
R3 =1,17
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa
Arroyave
Cuarto Paso
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa
Arroyave
Quinto Paso
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Punto critico hallado para una distribución
Chi-cuadrado con 2 grados de libertad es:
 5.99
Valor hallado aplicando la formula:
 15.17
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa
Arroyave
Conclusión

Como el valor obtenido es mucho mayor, hay pruebas
estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula y
concluir que existen diferencias significativas en la
concentración del toxico en cerebro corazón y sangre.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
La prueba de Friedman con SPSS
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave

En el menú análisis seleccione estadística no paramétrica, y
en la lista de estas pruebas seleccione K muestras
relacionadas, aparece la pantalla siguiente:
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave

Una vez introducidos los datos las variables que se quieren
contrastar Cerebro, Corazón y Sangre en este caso se pasan
a la ventana «Contrastar variables»; Se marca en «Tipo de
prueba» Friedman, pulsando Aceptar
se obtienen los
resultados siguientes:
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave

En la primera tabla se muestran los rangos medios
correspondientes a cada variable.

En la segunda tabla se muestran el número de casos, el
valor del estadístico de contraste, los grados de libertad
y la significación estadística, que es aproximada P <
0,001. Las conclusiones son las mismas que se
expusieron anteriormente.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Ejercicio:
La asociación de padres de un centro convoca sucesivamente
cuatro reuniones dirigidas a los padres de alumnos de un
mismo grupo o clase, en las que se abordaron
respectivamente temas relacionados con el apoyo de la
familia al estudio (Tema A), el juego y el tiempo libre de los
niños (Tema B), la participación de los padres en el centro
(Tema C) y la participación de los niños en programas de
arte (Tema D).
Si contamos los datos de asistencia a cada una de las cuatro
reuniones para los padres de alumnos de 6 clases, ¿podemos
afirmar que los cuatro temas atrajeron de modo distinto a
los convocados?
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
TEMAS
C
L
A
S
E
S
A
B
C
D
1
2
3
7
1
2
4
5
2
4
1
3
1
2
3
4
3
1
2
4
3
1
2
4
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Hipótesis

H0: No existen diferencias significativas en la atracción
generada en los convocados acerca de los cuatro
temas.

Ha: Existen diferencias significativas en la atracción
generada en los convocados acerca de los cuatro
temas.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Solución
TEMAS
C
L
A
S
E
S
A
B
C
D
1 (1)
2 (2)
3 (3)
7(4)
1 (1)
2 (2)
4 (3)
5 (4)
2 (2)
4 (4)
1 (1)
3 (3)
1 (1)
2 (2)
3 (3)
4 (4)
3 (3)
1 (1)
2 (2)
4 (4)
3 (3)
1 (1)
2 (2)
4 (4)
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Sumamos los rangos de cada columna

Rango1 = 11
Rango2 = 12
Rango3 =14
Rango 4= 23
Rangos medios
R1= 1.8
R2= 2
R3= 2.3
R4= 3.8
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Calculamos la X2r de Friedman.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
Punto critico hallado para una distribución
Chi-cuadrado con 3 grados de libertad es:
 7.81
Valor hallado aplicando la formula:
 9
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa
Arroyave
Conclusión
Como el valor obtenido es mayor, hay pruebas
estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis
nula y concluir que los cuatro temas atrajeron de
modo distinto a los convocados.
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave
GRACIAS…
Vanessa Restrepo, Viviana Sanchez, Luisa Arroyave