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Electricidad y Magnetismo.
Ley de Coulomb.
Electricidad y Magnetismo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Electrización es el efecto de ganar o perder
cargas eléctricas que tiene un conductor
eléctricamente neutro.
Existen 3 formas de electrizar
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Si el número de electrones de un átomo es igual al
número de protones podemos decir que el átomo está
eléctricamente neutro.
Orbitas electrónicas.
Núcleo.
- Electrones.
+
+
Neutrones.
Protones.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Si en el átomo hay un mayor número de protones en el
núcleo que electrones describiendo órbitas alrededor de
este se dice que dicho átomo posee carga eléctrica
positiva.
Orbita electrónica.
Núcleo.
+
Electrones.
+
Neutrones.
Protones.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Si en el átomo hay un menor número de protones en el
núcleo que electrones describiendo órbitas alrededor de
este se dice que dicho átomo posee carga eléctrica
negativa.
Orbita electrónica.
Núcleo.
+
Protones.
Electrones.
+
Neutrones.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Electricidad y Magnetismo.
Electrización por contacto
Se puede cargar un conductor
con sólo tocarlo con otro
previamente cargado.
En este caso, ambos quedan
con el mismo tipo de carga.
Esto se debe a que habrá
transferencia de electrones
libres.
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Electricidad y Magnetismo.
Electrización por frotación
Al frotar 2 cuerpos
eléctricamente neutros,
ambos se cargan, uno
con carga positiva y el
otro con carga negativa.
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Electricidad y Magnetismo.
Electrización por Inducción:
La barra electrizada (inductora) atrae electrones libres de la
conductora (inducida). Estos electrones dejan a sus átomos con
carga positiva en el otro extremo de la barra.
La carga neta de la barra sigue siendo neutra.
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Ley de Coulomb.
Ing. y Físico Francés
Charles de Coulomb
(1736 – 1806)
“La intensidad de la fuerza electrica de atracción o
repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales es
directamente proporcional al producto de las cargas
e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que los separa”
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Ley de Coulomb.
a.- Se aplica a cargas puntuales pequeñas que
se encuentran en reposo.
b.- Es exacta cuando el tamaño de las cargas
es menor a la distancia que los separa.
c.- Cuando existen mas de dos cargas y se
desea calcular la fuerza neta entre sobre
una de ellas, el tratamiento es de carácter
vectorial.
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Ley de Coulomb.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Ley de Coulomb.
Donde:
F.K.Q.d.-
Fuerza eléctrica
Constante
Carga eléctrica puntual
Distancia
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Ley de Coulomb.
Tener en cuenta que:
Cargas de igual signo generan fuerzas de
repulsión.
Cargas de diferente signo generan fuerzas
de atracción
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Ley de Coulomb.
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Ley de Coulomb.
K = Constante de proporcionalidad
Siendo K = 9 x109 Nm2
C2
Donde K = 1/4πξo
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Ley de Coulomb.
Dos cargas puntuales q1 Y q2 de 25 nC y
-75nC están a una distancia de 3 cm entre si.
Encuentre la magnitud y sentido de las fuerzas
que se establecen.
F= 9x109Nm2 (25 x10-9C)(-75 x 10-9 C)
C2
(0.030m)2
F=0.01875 x 10-3 N
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Ley de Coulomb.
Dos cargas puntuales están situadas sobre un
eje X positivo de un sistema coordenado.
q1 = 1 nC esta a 2 cm del origen
q2 = -3nC a 4 cm del origen
q3 = 5nC situada en el origen
Determine la fuerza total sobre la carga en el
origen
Ft. Q3 = -112.5 µN + 84 µN
-28 µN Dirigida hacia la izq. eje
Negativo de X
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Ley de Coulomb.
Dos cargas puntuales sobre el eje Y iguales q1 =q2 =2µC
interactúan con una tercera q3= 4µC
Calcule la fuerza total sobre q3 si q1 y q2 están a 0.6 m y q3 se
encuentra a 0.5m
De cada una de ellas
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Electricidad y Magnetismos
Una carga puntual contiene 50 x 1018 eCalcular la carga e Coulomb.
Resp. 8 C
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Electricidad y Magnetismo
Dos cargas puntuales de -6 µC y +8 µC se encuentran
separadas en el aire 100 cm
Calcular la fuerza eléctrica, realizar el grafico indicando
la naturaleza de la fuerza
Resp. F = - 0.43 N El signo indica fuerza de atracción
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Electricidad y Magnetismo
Tres cargas puntuales de +8 µC se ubican en
los vértices de un triángulo equilátero calcular
la fuerza neta en cualquiera de de las tres
cargas
Resp. FN = 24.94 N
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Campo Eléctrico.
El estudio de Campo Eléctrico nos permite
sustituir el concepto de acción a distancia
(Observadas entre las cargas puntuales
según Coulomb) por la propiedad del
espacio.
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Campo Eléctrico
El vector Campo Eléctrico E permite calcular la
fuerza que se ejerce sobre una carga q.
Para presentar este concepto fijémonos en la
repulsión mutua de dos cuerpos cargados
positivamente A y B supongamos que
B tiene una carga qo y sea Fo la fuerza
eléctrica de A sobre B.
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Campo Eléctrico
Una forma de considerar esta fuerza es como
una fuerza de “Acción a distancia” o sea una
fuerza que actúa a través del espacio vacío
sin necesidad de ningún medio material
La gravedad también puede considerarse
como una fuerza de “Acción a Distancia”
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Campo Eléctrico
La manera más conveniente de visualizar la
repulsión entre A y B es tomarlo un proceso
de dos etapas.
1ro. Imaginemos que el cuerpo A por la carga
que lleva modifica de las propiedades que
del espacio alrededor de él,
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Campo Eléctrico
Luego el cuerpo B por la carga que lleva
percibe que el espacio cambió su posición la
respuesta de B es experimentar la Fuerza Fo
Para ver este proceso de dos etapas
consideremos primero el cuerpo A retiramos el
cuerpo B y designamos la posición que tenía
como punto P
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Campo Eléctrico
Decimos que el cuerpo cargado A produce un
campo eléctrico en el punto P y en todos
los puntos esféricamente alrededor de el.
Aunque no exista carga en el punto P.
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Campo Eléctrico
Debemos decir que una carga puntual produce
un Campo eléctrico en el espacio que la
rodea pero este Campo Eléctrico no puede
ejercer una fuerza neta sobre la carga de lo
generó,
Esto es un ejemplo del principio, general de
que un cuerpo no puede ejercer una fuerza
neta sobre el mismo (Si este principio no
fuese válido usted, podría levantarse hasta el
techo tirando de su cinturón)
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Campo Eléctrico
Por tanto la Fuerza Eléctrica sobre un campo
cargado es ejercida por el campo eléctrico
creado por otros cuerpos cargados.
Para determinar experimentalmente si hay un
campo eléctrico en un punto particular,
colocamos un cuerpo cargado que
llamaremos carga de prueba en ese punto.
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Campo Eléctrico
Si la carga de prueba experimenta una fuerza
eléctrica, habrá un campo eléctrico en ese
punto entonces.
Este campo es producido por otras cargas
sobre la carga de prueba.
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Campo Eléctrico
La Intensidad de Campo Eléctrico
en un
punto es el cociente entre la fuerza
que
ejerce el campo sobre una carga de prueba
situada en ese punto y el valor de dicha
carga.
Donde: será siempre vectorial
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Campo Eléctrico
Módulo: Coincide con la fuerza que efectúa
sobre la carga situada en el punto de análisis
cuando el valor de la carga es igual a la
unidad.
Dirección: Coincide con la dirección de la
Fuerza que actúa sobre la carga de prueba
colocada en un punto.
Sentido: Coincide con el sentido de la fuera
que actúa sobre la carga eléctrica positiva
situada en el punto considerado.
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Campo Eléctrico
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Campo Eléctrico
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Campo Eléctrico
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Campo Eléctrico
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Campo Eléctrico
Campo Eléctrico creado por una carga puntual
Q------------------- P
r
P positiva = q
F
Qq
E K 2
q
r q
Siendo E la energía potencial eléctrica
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Campo Eléctrico
¿Cuál es el aumento del campo eléctrico si una carga
de 2 x 10-9 Coulomb se acerca desde 8 cm hasta 4
cm. hacia una carga de -3 x 10-8 Coulomb.
F2
F1
q
C ---------------.-------------.------B E2
A E1
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Campo Eléctrico
F1 = 9 x 109 Nm2/C2 ( 2 x 10-9C)(-3 x10-8C)
(0.08 m)2
F1 = -8.44 x 10-5N
F2 = 9 x 109 Nm2/C2 (2x10-9C)(-3 x10-8C)
(0.04m)2
F2 = -3.38 x 10-4 N
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Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Una carga de 25.5 µC se encuentra en el aire
generando un campo eléctrico, Calcular su
intensidad a 40 cm de distancia
E = KQ/d2
Resp. E = 1 433 375 N/C Repulsión
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Campo Eléctrico
Q = 25.5 x10-6C
d = 40 cm = 0.4 m
K = 9 x109 Nm2/C2
E = KQ/d2
E = 9 x 109 Nm2(25.5 X 10-6)
C2 (0.40M)2
E = 1 433 375 N/C
Intensidad de repulsión
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Campo Eléctrico
Tres cargas puntuales de -9nC, 10nC,y 25nC
se encuentran en los vértices de un cuadrado
de 50 cm de lado.
Calcular la intensidad eléctrica neta sobre el
cuarto vértice
Resp.
EN 821.94 N/C
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Campo Eléctrico
Dibujando los vectores que actúan
sobre el punto del 4to vértice
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Campo Eléctrico
Calculando la distancia entre la carga 1 el punto
Aplicando teorema de Pitágoras
d = 0.71
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Campo Eléctrico
Calculando intensidades de Campo eléctrico
E1 = KQ1/d2
E1 = 9x109 Nm2 (-9x10-9C)
C2 (0.71m)2
E1 = -162 N/C
E1 = 162 N/C
Intensidad de atracción
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Campo Eléctrico
E2 = KQ2/d2
E2 = 9 x 109 Nm2 (+10 x 10-9 C)
C2(0.50m)2
E2 = 360 N/C
E2 Intensidad e repulsión
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Campo Eléctrico
E3 = KQ3/d2
E3 = 9 x109 Nm2 (+25 x 10-9)
C2 (0.50 m)2
E3 = 900 N/C
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Campo Eléctrico
Cálculo de proyecciones sobre los ejes
E1x = E1cos 45º
E1x = 162 N/C (0.71)
E1x =115.02 N/C
E1y = E1 sen 45º
E1y = 162 N/C (0.71)
E1y = 115.02 N/C
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Campo Eléctrico
Sumando vectores horizontales y verticales
Ex = E3 – E1x
Ex = 900 N/C – 115.02 N/C
Ex = 784.58 N/C (horizontal a la derecha)
Ey = E1y – E2
Ey = 115.02 N/C – 360 N/C
EY = -24.98 N/C (vertical hacia abajo)
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Campo Eléctrico
Dibujando los vectores resultantes en
el plano cartesiano Aplicando Pitágoras
(EN)2 = (Ex)2 + (Ey)2
(EN)2 =(784.58)2+(244.98N/C)2
EN = √(675 580.98)2
EN = 821.97 N/C
La intensidad de campo eléctrico
neta que actúa sobre el punto
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Equivalencias
Electrón q = e- = -1,602x10-19 C Coulomb SI
m = 9,107x10-31 Kg. SI
Protón q = e+ = +1,602x10-19 C Coulomb SI
m = 1,670x10-27 Kg. SI
Fuerza Electrica F=KQ1 x Q2/r212 Newton J/C Volts. SI
Campo Eléctrico E =k Q/r2 = F/q Kgm/s2 C = N/C SI
Potencial
V=KQ/r = VB – VA = WAB/qo J/C SI
Capacitor
C = Q/V = kξo x A/d Faradios F SI
K = 9x109 Nm2/C2
ξo = 8.85 x 10-12 C2S2/m3kg
Coulomb = C = 6.25 x 1018e-
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Campo Eléctrico
Una carga puntual positiva q ubicada en el
punto b, tan cerca de la carga Q también
positiva
La fuerza eléctrica que crea
Q tiende a mover q hacia el
punto a una distancia d.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Es evidente que entre estos puntos a y b
existe una diferencia pero ¿De que tipo es?
Inferimos que existe una diferencia de
energía potencial entre los puntos a y b
En éste caso simbolizaremos como V
Al mismo tiempo la fuerza eléctrica efectúa
trabajo al mover la carga q entre los dos
puntos
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
La diferencia de potencial eléctrico es el trabajo
que se realiza, para mover una carga “q”
puntual positiva desde el punto b hasta el
punto a dentro del mismo campo eléctrico
La diferencia de potencial eléctrico es una
magnitud escalar
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Recordando que:
ΔTrabajo : W = F x d q
ΔV = Wba/q
ΔV = F x d
ΔV =
q
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
A medida que q se aleja de Q
el potencial eléctrico creado
por Q es cada vez menor
Si q sale de la influencia de Q
el potencial eléctrico sobre q
es cero
V = KQ
d
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Superficies equipotenciales
Son aquellas que se
encuentran al mismo
potencial.
El Trabajo necesario para
llevar una carga sobre una
misma superficie equipotencial
es cero.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
El trabajo efectuado por el
campo eléctrico para llevar
una carga desde una
superficie equipotencial
hacia otra diferente está
Dada por:
W = q x ΔV
Siendo V = Voltaje una magnitud escalar
llamada “Potencial Eléctrico”
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
ALEJANDRO VOLTA (1745-1827)
Físico
italiano, nació el 18 de febrero de 1745
en la ciudad italiana de Como
La unidad principal de la diferencia de potencial
es el Voltio y mide la energía que posee el
campo por unidad de carga pero en forma escalar
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Podemos definir entonces: “ Diferencia de
Potencial” ddp .
La diferencia de
potencial eléctrico es el
trabajo que se realiza
para mover una carga
“q” puntual positiva
desde el punto b hasta el
punto a dentro de un
mismo campo eléctrico.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Expresado en forma matemática
V = KQ
d
Donde: V voltaje
K constante dieléctrica
d distancia de la carga al punto
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Ej: Una carga eléctrica 4.5 x 10-8 C se encuentra
ubicada a 50 cm de un punto.
¿Cuál es el potencial eléctrico en dicho punto?
V = KQ/d = 9 x 109 Nm2 (4.5 x 10-8 C)
C2(0.5 m)
V = 810 Nm/C
V = 810 J/C
V = 810 v
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Una carga eléctrica crea un potencial de 220 V
A 120 cm ¿Cuál es la magnitud de la carga?
V = KQ/d => Q = Vd/k Q = (220V)(1.20m)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Calcula el potencial que actúa sobre el punto
“P” que se muestra en la figura.
Vp = ? Q1 = 5.5x10-10 C Q2 = 4.0x10-10 C
K=Cte
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Calculando potencial de Q1 V1 = KQ1/d
V1 = (9x109Nm2)(5.5x10-10)
C2 (1m)
V1 = 4.95 V
Calculando potencial en Q2 V2 = KQ2/d
V2 = (9x109Nm2)(4.0x10-10C)
C2 (0.5m)
V2 = 7.2 V
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Calculando potencial que actúa sobre el
Punto “P”
VP = V1 + V2
VP = 4.95V + 7.2V
VP = 12.15V
Recuerda que el potencial no es una magnitud
vectorial
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Una carga de +18pC se encuentra en el aire
creando un campo eléctrico
Calcular ,
a.-Intensidad del E a 50 cm de distancia
b.- Fuerza eléctrica sobre una carga de
12 x 10-8 C
E = KQ/d2
E = F/q
Resp. E = 0.648 N/C F = 7.78 x 10-8 N
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Condensador ó Capacitor es un
dispositivo que acumula cargas
eléctricas.
Se construye con dos conductores iguales con cargas de
distinto signo entre estos dos
conductores se crea un campo
eléctrico y una diferencia de
potencial en el centro posee un dieléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
La capacidad de almacenar carga eléctrica de
un condensador es igual a las
Cantidad de carga eléctrica que
Puede almacenas por unidad de
Diferencia de potencial
C = Q = Faradios
V
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
La capacidad de almacenar
cargas eléctricas dependen
de las características físicas
Donde:
A = Área
D = Dieléctrico
d = distancia entre placas
ξ = Constante dieléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Constantes dieléctricas
Material
Constante
Aire vació
1
Agua
80
Parafina
2,2
Mica
7
Papel
3–7
Vidrio
4.5
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Asociación de Condensadores
Los condensadores se pueden asociar en:
Serie
Paralelo
Mixto
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Los condensadores en Paralelo suman sus
capacidades para lograr un valor equivalente
Paralelo:
Capacidad equivalente:
Ceq = C1 + C2 + C3
Carga Total:
Qtotal = Q1 + Q2+ Q3
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
La capacidad equivalente de los capacitores en
serie, se obtiene calculando el inverso de la
suma de los inversos.
Vtotal: Vtotal = V1 + V2 + V3
Cargatotal QT = Q1 + Q2 + Q3
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Ej: Un condensador plano de placas paralelas
rectangulares de 16 cm y 5 cm se encuentran
separadas por una distancia de 0.25 cm siendo
el dieléctrico aire:
a.-Calcular Capacidad del condensador
b.-Carga en cada una de las placas si el condensador
se carga con un voltaje de 32 V.
c.-La intensidad del campo eléctrico entre placas
ξ = 8.85 x 10-12 C2/Nm2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Cálculo de la Capacidad del condensador
C = K ξ A/d
C = 1 x 8.85 x 10-12 C2 (0.008 m2)____
Nm2(2.5 x 103 m)
C = 2.83 x 10-11 F
C = 28.3 pF
La constante dieléctrica del aire K = 1
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Calculando el área
del rectángulo
Cálculo de la intensidad
del Campo eléctrico entre
placas paralelas
A = (0.16m)(0.05m)
A = 0.0088 m2
C = Q/V
Q = (28.3pF)(32V)
Q = 906 pC
E = V/d
E = __32V___
0.0025m
E = 12 800 N/C
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Tres condensadores de 2µF, 4µF y 6µF se
conectan en serie, luego de cargan con una
diferencia de potencial de 60 V
Calcular la capacidad del sistema, la energía
que almacena.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Capacidad equivalente de condensadores en
serie
Ceq. =
______1__________
1/C1 + 1/C2 + 1/C3
Ceq. = 12/11 µF
Ceq. = 1.09 µF
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
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Campo Eléctrico
Energía almacenada
en el sistema .
E = CV2 = ½ CV2
2
E = (1.09µF)(60V)2
2
E = 1 962 µJ
Justificando unidades
F.V2
C.V2
V
C.V
CJ = Julio
C
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
85
Campo Eléctrico
Ejercicios:
Para las siguientes combinaciones encuentre:
a.- Ceq
b.- Carga total
c.- Diferencia de potencial.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
86
Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
87
Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
88
Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
89
Campo Eléctrico
C1 = 6.0 μF,
C2 = 3.0 μF,
Vab = 18 V
a.-La capacitancia equivalente de la combinación en
serie queda:
Ceq = C1 + C2
Ceq = 6 μF + 3.0 μF
Ceq = 9 μF
Como esperábamos el resultado es mayor que
cualquiera de los condensadores sumados.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
90
Campo Eléctrico
b.- La diferencia de potencial a través de cada
capacitor en paralelo es la misma que la que
se tiene a través del capacitor equivalente
18 V
c.-Las cargas Q1 y Q2 son directamente
proporcionales a las capacitancias C1 y C2
recíprocamente.
Q1  C1V  (6) * (18)  108C
Q2  C2V  (3) * (18)  54C
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
91
Campo Eléctrico
Como esperábamos para una
conexión en paralelo la carga
mayor aparece en el
condensador de mayor
capacitancia
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
92
Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
93
Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
94
Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
95
Campo Eléctrico
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
96
Corriente Eléctrica
Llamaremos corriente eléctrica al flujo de electrones
libres a través de un conductor, impulsados por una
diferencia de potencial
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
97
Corriente Eléctrica
Dado que los electrones tienen carga negativa,
se mueven de las zonas de menor potencial
hacia las zonas de mayor potencial.
Es decir del polo negativo al polo positivo
siguiendo la dirección contraria al
Campo E.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
98
Corriente Eléctrica
En un conductor la corriente depende de la
velocidad de arrastre de las partículas
cargadas en movimiento, de su
concentración, y de sus cargas, la densidad
de corriente es la corriente por unidad de
área.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
99
Corriente Eléctrica
Intensidad de corriente Eléctrica.
“El Ampere”
Es una magnitud física escalar que mide la
cantidad de carga eléctrica que pasa por la
sección recta de un conductor en una unidad
de tiempo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
100
Corriente Eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
101
Corriente Eléctrica
Ampere = Coulomb
Segundo
= Q
t
Es la cantidad de carga que circula por un
conductor
1 Coulomb = 6.25 x 10 x 18 –e
Se llama así en honor a André María Ampere
(1775-1836)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
102
Corriente Eléctrica
“El Voltio”
Para que haya circulación de electrones debe haber
una diferencia de potencial eléctrica.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
103
Corriente Eléctrica
El voltio está dado por el trabajo “W” desplegado por un
Joule “J”
para trasladar la carga “Q” de un Coulomb
E=W
Q
Un Voltio =
1 Julio
1 Coulomb
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
104
Corriente Eléctrica
Resistencia eléctrica:
“El Ohmio”
Es una característica que tienen los materiales
de ofrecer dificultad al fluido de la corriente a
través de ese material
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
105
Corriente Eléctrica
El nombre se debe al físico alemán Jorge Ohm
En forma experimental estableció la relación
entre la diferencia de potencial y la intensidad
de corriente eléctrica
Su símbolo es: Ω
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
106
Corriente Eléctrica
Ley de Pouillet o de la
resistencia de materiales
“La resistencia de un
conductor, es directamente
proporcional a su longitud “L” e
inversamente proporcional a su
sección “A”
Claude-Servais-Mathias Pouillet
(Cusance, 1790-París, 1868)
R=ρL
A
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
107
Corriente Eléctrica
Donde:
R = Resistencia del conductor en Ohmio
ρ = Resistividad o resistencia de cada
material en Ohmio x cm
L = Longitud del conductor en cm.
A = Área de la sección del conductor en
cm2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
108
Corriente Eléctrica
La Resistividad de algunos materiales en 0hm a 20º C se llama ρ
(Rho) ρ = Ω metro
Metal
Aluminio
Cobre
Estaño
Hierro
Acero
Vidrio
Caucho
l ρ = Ω metro
2.82 x 10-8
1.72 x 10-8
1.20 x 10-7
9.50 x 10-7
1.00 x 10-6
10.00 x 1010
10.00 x 1013
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
109
Corriente Eléctrica
Ej: Un aparato electrodoméstico consume
7200 C en 1.5 horas. Calcula la intensidad de
corriente eléctrica.
I = Q/t
I = 7200C/ 5400seg.
I = 1.33 Amperes
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
110
Corriente Eléctrica
Una bombilla eléctrica es atravesada por 3.375 x 1022
electrones a un ritmo de 2 amperes calcula el tiempo
de funcionamiento.
Transformando electrones a Coulomb
3375x1022 -e x 1C/6.25x1018 -e = 5400C
Calculando el tiempo I = Q/t
t=Q/I
t = 5400C/2A
t = 2700 s
t = 45 min
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
111
Corriente Eléctrica
Un calentador eléctrico de 12Ω de resistencia
consume 2400 C en 8 minutos Calcula la
caída de tensión .
I = Q/t
I =2400C/480s
I = 5 Amperes
V = RI
V = (12 Ω)(5 A)
V = 60V
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
112
Corriente Eléctrica
Un ventilador eléctrico funciona con una
intensidad de 8 amperios alimentado con un
voltaje de 220 voltios calcula la resistencia
del ventilador.
V = RI
R = V/I
R = 220V/8 A
R = 27.5 Ω
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
113
Corriente Eléctrica
Una pila seca de 6 Volts de FEM se utiliza en
una linterna que tiene un foquito d 2.5 Ω de
resistencia, registrándose en los bornes de la
pila una caída de tensión igual a 5.85 volts
calcula la resistencia interna de la pila.
Fem = 6v R= 2.5 Ω T = 5.85 V
r = ? (resistencia interna de la pila)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
114
Corriente Eléctrica
Para conocer a r interna calculamos los
amperes que circulan por el circuito
I = 5.85v/ 2.5 Ω
I = 2.34 A
Cuando la pila entrega energía sufre una caída
de tensión (T) por la resistencia interna
(se descarga)
T = fem – rI
r = fem - T/ I
r = 6V – 5.85V/2.34ª
R = 0.064 Ω
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
115
Corriente Eléctrica
Dependencia de la Resistividad con respecto a
la Temperatura.
La dependencia de la resistividad con respecto
a la temperatura es aproximadamente lineal
si el cambio de temperatura no es muy
grande.
Para esta relación se puede escribir una
expresión similar a la de la expansión
térmica.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
116
Corriente Eléctrica
Es decir, la resistividad ρ=(Ωm) a una temperatura T
después de un cambio de temperatura ΔT = T –To
está dada por:
ρ = ρo( 1+ ΔT)
En la ecuación anterior  es una constante (dentro
del intervalo pequeño de temperatura) que se
denomina coeficiente de temperatura de la
resistividad y ρo es una resistividad de referencia
para To (por lo general a 20º C ) La ecuación anterior
también se puede escribir como :
Δ ρ = ρo  ΔT
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
117
Corriente Eléctrica
En donde Δρ = ρ - ρo es el cambio en la resistividad
para un cambio dado en la temperatura (ΔT) Como
la relación Δρ / ρo es adimensional debe tener la
unidad Co-1 ó ( 1/ Co )
Entonces la resistencia es directamente proporcional a
la resistividad y se pueden utilizar para calcular una
expresión para la resistencia de un conductor de
sección transversal uniforme, en donde R es la
resistencia del conductor a la temperatura de
referencia.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
118
Corriente Eléctrica
Quedando:
R = Ro (1 + ΔT)
ó
ΔR = Ro  ΔT
La variación de la resistencia con la temperatura
proporciona un medio para la medición de la
temperatura en la forma de un termómetro de
resistencia eléctrica.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
119
Corriente Eléctrica
Resistividades a (20 oC) y coeficientes de resistividad-temperatura
para varios materiales
Material
ρ (Ω-m)
(Co-1)
Aluminio ....2.82 x 10-8
4.29 x 10-3
Cobre..........1.72 x 10-8
6.80 x 10-3
Hierro......... 9.50 x 10-7
6.51 x 10-3
Mercurio....98.40 x 10-8
Nichrome... 1.00 x 10-8
0.40 x 10-3
Platino ...... 10.00 x 10-8
3.93 x 10-3
Tungsteno... 5.60 x 10-8
4.50 x 10-3
Vidrio .........10.00 x 1010
Caucho……10.00 x 1013

Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
120
Corriente Eléctrica
R = ρL
A
Donde : R = Resistencia en 0hm,
L= longitud en metros
A = Área transversal en m2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
121
Corriente Eléctrica
Un conductor de alambre de cobre tiene una long. de
10 Km. y una sección de 3mm2 su resistividad ρ es
de 1.720 x 10-8 Hallar su resistencia.
L =10 km. A = 3mm2 ρ =1.72x10-8 Ω m
R = ρ L/A = 1.72x10-8Ωm x 10x103m
3 x 10-6m2
R = 57.33 Ω
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
122
Corriente Eléctrica
Ejemplo:
¿Cuál es la variación (Como un porcentaje) de
la resistencia de un alambre de platino dentro
del intervalo de 0 oC a 100 oC (Suponga que
es constante dentro de ese rango de
temperatura)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
123
Corriente Eléctrica
To = 0 oC
T = 100 0C
 = 3.93
La relación
Encontrar: ΔR/ Ro
(Variación de la
resistencia como
porcentaje)
x 103 Co-1

ΔR/Ro =
(T – To )
= (3.93 x 10-3 C0-1 )(100oC -0oC)
= 0-393 ( x 100%)
= 39.3 %
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
124
Corriente Eléctrica
Observe que estaba dimensionalmente correcta y que
fue conveniente trabajar con las magnitudes en
miliohms en lugar de convertirlas a 0hms.
El carbón y otros elementos semiconductores tienen
coeficientes de resistividad con la temperatura
negativos.
Esto implica que la resistencia de un conductor decrece
si la temperatura aumenta o se incrementa si la
temperatura disminuye.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
125
Corriente Eléctrica
Termómetro de resistencia eléctrica
La resistencia de una bobina de alambre de
platino que mide 250 mΩ a la temperatura
ambiente (20 oC ) Cuando la bobina se
coloca en un horno caliente, su resistencia
mide 496 mΩ.
¿Cuál es la temperatura del horno?
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
126
Corriente Eléctrica
Primero encuentre el cambio de temperatura ΔT
ΔT = T –To (a partir del cambio en la
resistencia mediante)
ΔT = R - Ro
Ro 
= 496 m Ω - 250 m Ω
(250m Ω)(3.93 x 10-3 C0-1)
= 250 C-1
Entonces:
T = ΔT + To = 250 oC + 20 oC = 270 oC
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
127
Corriente Eléctrica
Ley de Ohm.
La corriente eléctrica. está formada por cargas
que se desplazan de una región a otra,
cuando ese movimiento se lleva a cabo
dentro de una trayectoria conductora que
forma un circuito cerrado a la trayectoria se le
conoce como circuito eléctrico.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
128
Corriente Eléctrica
Estos circuitos son los medios para transportar
la energía de un lugar a otro.
Que puede ser un dispositivo en el que dicha
energía se almacena o se convierte en otra
forma de energía, Sonora, en un aparato de
sonido en calor (Calefones) o en luz
(Lámparas de Iluminación).
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
129
Corriente Eléctrica
En un conductor la corriente depende de la
velocidad de arrastre de las partículas
cargadas en movimiento,
De su concentración.
De sus cargas, la densidad de corriente es la
corriente por unidad de área.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
130
Corriente Eléctrica
En un material que se comporta según la Ley
de 0hms, la razón del campo eléctrico a la
densidad de corriente es una constante
llamada resistividad.
Para un dispositivo específico que obedece a la
Ley de 0hm la razón de la diferencia de
potencial establecido entre los terminales del
dispositivo a la corriente que pasa por el mismo
es una constante llamada resistencia
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
131
Corriente Eléctrica
Un circuito por el que circula una corriente
estacionaria debe incluir una fuente de fuerza
electromotriz (fem) como una batería o un
generador que suministre energía al circuito y
en la cual las cargas se desplacen de las
regiones de baja energía potencial a las de
alta energía.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
132
Corriente Eléctrica
La potencia de entrada o salida para cualquier
dispositivo circular es el producto de la
corriente a través del dispositivo y la
diferencia de potencial entre los terminales
del dispositivo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
133
Corriente Eléctrica
Si no hay campo eléctrico dentro de un material
conductor las partículas cargadas se mueven
al azar dentro del material.
Como el movimiento de los electrones es
aleatorio no existe un flujo neto de cargas en
ninguna dirección.
Si se encuentra presente un campo eléctrico
E la fuerza eléctrica
F=qE
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
134
Corriente Eléctrica
Provoca un arrastre en el movimiento aleatorio
del electrón.
Como el electrón tiene carga eléctrica negativa
q de modo que las fuerza
F=qE
Tiene la dirección opuesta al campo E
La unidad de corriente en el SI es el Ampere.
Un Ampere está definido como un Coulomb por
segundo
1A = 1C/s
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
135
Corriente Eléctrica
La corriente por unidad de área transversal se
conoce como densidad de corriente J.
J = I/A
Donde I = Amperes
A = Área
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
136
Corriente Eléctrica
Tenemos entonces que la densidad de
corriente a través de un área transversal se
expresa en Amperes por metro cuadrado.
En muchos circuitos sencillos (como el de una
linterna) la dirección de la corriente siempre
es la misma y se conoce ésta como corriente
continua CC y también como Corriente
Directa CD.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
137
Corriente Eléctrica
Resistividad.
La densidad de corriente J de un conductor
depende del campo E Eléctrico y de las
propiedades del material, (en general esta
dependencia puede ser compleja) pero para
alguno materiales en especial para los
metales a cierta temperatura J es casi
directamente proporcional a E y el cociente
de E y J es constante
Esta relación es conocida como “Ley de 0hms”
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
138
Corriente Eléctrica
GEORG SIMON OHM (1787-1854)
Físico y matemático alemán. Descubrió una de las leyes
fundamentales de los circuitos de < corriente eléctrica >
conocida como “Ley de Ohm”.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
139
Corriente Eléctrica
El cociente de las magnitudes del campo
Eléctrico y de la densidad de corriente.
Cuanto mas grande sea la resistividad mayor
será en campo necesario para ocasionar una
cierta densidad de corriente o menor será la
densidad de corriente ocasionada por un
campo eléctrico dado.
Las unidades de ρ son:
(V/m)(A/m2) = V.m/A
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
140
Corriente Eléctrica
Como se conoce 1 V/A se denomina 0hms, Ω
Así pues las unidades en el SI de la
resistividad son:
Ω. m (0hms por metro)
Un conductor perfecto tendría una resistividad
cero y la resistividad de un aislante perfecto
sería infinita.
El reciproco de la resistividad es la
conductividad
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
141
Corriente Eléctrica
Resistencia.
Para un punto con resistividad ρ la densidad
de corriente J en un punto donde el campo
eléctrico es E y queda dado por la ecuación
siguiente
E =ρJ
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
142
Corriente Eléctrica
Entonces cuando se cumple la ley de 0hms ρ es
constante e independiente de la magnitud del campo
eléctrico.
De modo que E es directamente proporcional a J. Sin
embargo a menudo estamos más interesados en la
corriente total de un conductor que en J y más
interesados en la diferencia de potencial entre los
extremos que en E.
Esto se debe a que la corriente y la Diferencia de
potencia (ddp) es mucho más fácil de medir que
E y J.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
143
Corriente Eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
144
Corriente Eléctrica
Esto muestra que cuando ρ es constante la
corriente total es I es proporcional a la ddp. V
Y quedamos entonces que la razón de V a I
para un conductor en particular se conoce
como su resistencia.
Quedando:
R = V/I
Conocida la ecuación de la Ley de 0hms.
V = RI
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
145
Corriente Eléctrica
Para un resistor que sigue la ley de 0hm el de la gráfica
de corriente eléctrica en función de la ddp (Voltaje) es
una línea recta la pendiente de la recta es 1/R, si el
signo de la ddp. cambia también lo hace la corriente
producida .
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
146
Corriente Eléctrica
RESISTORES EN SERIE Y PARALELO.
Estudiaremos el comportamiento de los resistores, cuando
se conectan en un circuito, más de un resistor, se
pueden crear redes con éstos componentes, muy
complejas.
Pueden ser para conseguir un valor de resistencia que no se
fabrica comercialmente.
Se pueden hacer redes para lograr divisores de Voltaje.
Se pueden hacer redes para lograr divisores de Corrientes.
Se combinan resistencias en serie, paralelo, y serie-paralelo
con el fin de conseguir valores en el cual se puedan
lograr valores de Potencia a disipar en función de la
corriente que se necesita
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
147
Corriente Eléctrica
Suponga que tenemos tres resistencias R1, R2, R3 con
la configuración de la figura 1.
En el circuito, la corriente tiene una sola trayectoria
entre los puntos a, y b, entonces decimos que están
conectados en serie, tendremos que la corriente I
debe ser igual en todos ellos, ésta corriente no se
“consume” al pasar por los resistores.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
148
Corriente Eléctrica
Aplicando:
Vax  IR1
V xy  IR 2
V yb  IR3
Entonces la ddp. completa a través de la combinación
completa es la suma de las ddp. individuales.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
149
Corriente Eléctrica
Queda:
Vab  Vax  V xy  V yb
Vab  I (R1  R2  R3 )
y así
Vab
 R1  R2  R3
I
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
150
Corriente Eléctrica
El cociente Vab es por definición, la
I
resistencia equivalente.
Por consiguiente:
Req  R1  R2  R3
Resulta fácil generalizar para cualquier
número de resistores
Req  R1  R2  R3
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
151
Corriente Eléctrica
Resistores en paralelo.
Si los resistores están en paralelo como en la figura la
corriente no necesariamente es igual, en cada
resistor pero la ddp. entre los terminales de cada
resistor debe ser la misma e igual Vab.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
152
Corriente Eléctrica
Sea la corriente en cada resistor I1, I2, I3
Entonces la expresión:
Vab
Vab
Vab
I3 
I2 
I1 
R3
R2
R1
En general la corriente es distinta en cada
resistor, y como la carga no se acumula ni se
pierde en el punto a la corriente total debe
ser igual a la suma de las corrientes en los
resistores.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
153
Corriente Eléctrica
Quedando:
ó
 1
1
1 
I  I 1  I 2  I 3  Vab  
 
 R1 R2 R3 
1
1
1
1



Vab R1 R2 R3
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
154
Corriente Eléctrica
De nuevo es fácil generalizar la expresión para
cualquier número de resistores en paralelo.
Diciendo que: El recíproco de la resistencia
equivalente es igual a la suma de los
recíprocos de las resistencias individuales.
Esto demuestra que las corrientes que pasan
por resistores en paralelo son inversamente
proporcionales a su resistencia.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
155
Corriente Eléctrica
Ejemplos:
Circuito serie:
Req = 20 Ω + 20 Ω + 20 Ω = 60 Ω
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
156
Corriente Eléctrica
Circuito paralelo:
1
1
1
1



Req
R1 R2 R3
1
1
1
1



 6.6()
Req 20 20 20
1
1
1
1



 6.6()
Req 20 20 20
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
157
Corriente Eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
158
Corriente Eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
159
Corriente Eléctrica
La resistencia de la figura representa un elemento del
circuito con diferencia de potencial
Va - Vb = Vab
Entre sus terminales por lo cual pasa una corriente I
en dirección al punto b.
Cuando una carga pasa por un elemento del circuito el
campo realiza trabajo sobre la carga.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
160
Corriente Eléctrica
El trabajo total realizado sobre la carga q y la
ddp (Vab).
Así la corriente es I entonces en un intervalo de
tiempo
Queda:
dt
Para una cantidad de carga
dQ = idt
Y el trabajo realizado sobre la carga será
dW = Vab dQ = VabIdt
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
161
Corriente Eléctrica
Este trabajo representa la energía eléctrica
transferida hacia “adentro” de este elemento
de circuito.
La razón temporal de transferencia de energía
se conoce como:
“ POTENCIA “
Y se representa por:
“P”
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
162
Corriente Eléctrica
Al dividir la ecuación anterior entre dt
Obtendremos la razón a la cual el efecto del
circuito entrega energía eléctrica a este
elemento.
dW
dt
=
Vab I
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
163
Corriente Eléctrica
Puede ser que el potencial en b sea mayor que
en el punto a entonces Vab es negativo y
existe una transferencia neta de energía
hacia fuera del circuito, en este caso el
elemento actúa como fuente y entrega
energía eléctrica al circuito que esta
conectado .
Si el elemento es una resistencia pura:
P = Vab I = I2R = V2ab
R
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
164
Corriente Eléctrica
Ej:
Calcular el trabajo y la potencia que
corresponde a una intensidad de 1 Ampere
cuando recibe 220 Voltio durante media hora.
Datos: W =?
P=?
I=1A
V = 220V
T = 0.5 h = 1800s
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
165
Corriente Eléctrica
Calculando el trabajo:
W = I2 Rt pero V = IR
Reemplazando el trabajo:
W = I Vt
W = (1A)(220v)(1800s)
W = 396 000 julios
Calculando potencia con:
P = W/t
P = 396 000J/ 1800s
P = 220 Watt
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
166
Corriente Eléctrica
La potencia de un foco eléctrico es de 60 watt.
Calcule la resistencia cuando recibe 220 voltios
¿Cuál es la intensidad de corriente en el foco?
Datos
P = 60 watt
R=?
V = 220 v
I= ?
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
167
Corriente Eléctrica
Calcular Intensidad.
P = I2 R
pero V = IR
Reemplazando P = I(IR)
P = IV
Despejando intensidad.
I = P/V
I = 60 w/220 v
I = V/I
I = 0.27 A
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
168
Corriente Eléctrica
Calculando resistencia.
V = IR
Despejando R
R = V/I
Reemplazando R
R = 220v/ 0.27 A
R = 814.81Ω
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
169
Corriente Eléctrica
Leyes de Kirchhoff.
Las leyes de Kirchhoff se aplican a circuitos
complejos, fundamentadas en las leyes de
conservación de la carga y la energía.
a.-Primera ley de Kirchhoff regla de los nudos
En cualquier nudo, la suma de las
intensidades que llegan es igual a la duma
de la intensidades que sales del nudo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
170
Corriente Eléctrica
I1 + I2+I3 –I4 –I5 = 0
ó
I1 + I2 +I3 = I4 + I5
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
171
Corriente Eléctrica
b.- La segunda ley de Kirchhoff o regla de las
mallas.
Esta ley se basa en la conservación de la
energía.
La suma de las f.e.m. de una mallas cualquiera
es igual a la suma algebraica de los
productos de las intensidades por las
respectivas resistencias que pertenecen a la
malla en cuestión.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
172
Corriente Eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
173
Corriente Eléctrica
Un circuito cerrado o malla es cualquier
trayectoria cerrada continua alrededor de un
circuito que deja un punto en una dirección y
retorna al mismo punto
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
174
Corriente Eléctrica
Ejemplo:
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
175
Corriente Eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
176
Corriente Eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
177
Inductores.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
178
Inductores.
El inductor o bobina posee características que
en gran medida son similares a las del
capacitor, aunque los papeles del voltaje y
corriente están intercambiados.
Es una bobina de alambre arrollada sobre un
núcleo que puede ser aire u otro material
Al igual que el capacitor(en una condición ideal)
no disipa la energía eléctrica sino que la
almacena en forma de (campo magnético)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
179
Inductores.
Ejemplo: Determine la inductancia L de la
bobina siguiente:
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
180
Inductores.
L = N2 µr A = N2 µr µo A
l
l
L = (100)2(400)(4Лx10-7)(1.3x10-4)
25 x 10-3
L = 0.0261 H
L = 26.1 mH
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
181
Inductores.
El tratamiento de inductores en serie o paralelo
es similar al tratamiento que se les da a las
resistencias.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
182
Magnetismo
Imanes y polos magnéticos
Campo magnético terrestre
Materiales magnéticos
Fuerzas magnéticas
Producción de campos magnéticos
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
183
Magnetismo
Los imanes son objeto en los cuales el efecto
magnético se manifiesta de forma natural,
actuando sobre objetos de hierro o acero.
También cuando interactúan se observa que
existe atracción o repulsión.
El efecto magnético se manifiesta en forma
intensa en los extremos de un imán llamados
polos magnéticos Norte y Sur.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
184
Magnetismo
Clasificación de los materiales magnéticos
Tipo de material Características
No magnéticos: No afecta el paso de las líneas
de campo magnético Ej.: Vacío
Diamagnéticos : Material débilmente magnético
si se sitúa un barra magnética
cerca de el esta lo repele
Ej: Plomo, Plata, Agua,
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
185
Magnetismo
Ferromagnético: Material fuertemente atraído
por la barra magnética
Ej:Hierro Cobalto Níquel Acero
Antiferromágnetico: No magnéticos aun bajo la
acción de un campo magnético
inducido
Ej: Oxido de manganeso
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
186
Magnetismo
MAGNETISMO
Es la parte de la Física que estudia los
fenómenos relacionados con los Imanes y los
campos magnéticos,
O sea, la propiedad que tiene un cuerpo
cuando crea a su alrededor un campo
magnético.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
187
Magnetismo
Las primeras piedras de imanes se encontraron
hace unos 600 a.C. llamadas piedras de
imán que podían atraer pedazos de la
misma roca.
Sabemos ahora que es un tipo de roca llamado
magnetita (Fe3O4 Oxido de hierro)
Se cree que fueron halladas por primera vez en
una región llamada magnesia (que ahora es
Turquía) de donde deriva el nombre de
“Magneto”
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
188
Magnetismo
En la actualidad los imanes son de fácil producción y su
utilización está difundida en equipos de
Comunicación y potencia así como en motores y
otros usos.
Una de las primeras cosas que se advierten al
examinar una barra de imán es que tiene, dos polos
o “ Centros de fuerza cada uno en los extremos del
imán.
Estos polos se llaman Norte ( N ) y Sur (S )
Esta terminología proviene del primer uso de la brújula
magnética.
El polo norte de una brújula magnética es el extremo
que se orienta hacia el norte,
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
189
Magnetismo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
190
Magnetismo
Las líneas del campo magnético pueden observarse
utilizando limaduras de hierro
La atracción y repulsión entre los polos de los imanes
es similar al comportamiento de las cargas eléctricas
iguales y contrarias, Es decir, La Ley de las cargas
es análoga a la ley de los polos
Por tanto polos iguales se repelen y contrarios de
atraen
Los polos magnéticos siempre aparecen en pares, en
un llamado dipolo magnético, Si se rompe un imán
tendríamos dos imanes mas pequeños pero nunca
se pueden separar sus polos magnéticos
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
191
Magnetismo
El que existan dos polos nos hará preguntarnos acerca
de la naturaleza del magnetismo.
El concepto de polo magnético puede parecer similar al
de carga eléctrica y los conceptos de polo Norte y
polo Sur parecerían, similares a los de carga
negativa y positiva,
Pero la analogía es errónea porque aunque si existen
cargas positivas y negativas separadas, no hay
pruebas de que exista un polo magnético aislado,
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
192
Magnetismo
La primera prueba de la relación del magnetismo con
las cargas en eléctricas en movimientos fue
descubierta en 1819 por el científico danés Hans
Christian Oersted quien encontró que la aguja de
una brújula era desviada por un cable por el que
circulaba una corriente.
En Francia André Ampere realizó investigaciones
parecidas, Después Michael Faraday (Inglaterra)
Joseph Henry (USA) descubrieron que al
mover un imán cerca de una bobina conductora
podían producir en ella una corriente.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
193
Magnetismo
Las interacciones eléctricas y magnéticas están
íntimamente vinculadas a continuación
desarrollaremos los principios unificadores
del electromagnetismo y culminaremos
expresándolos en las ecuaciones de Maxwell
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
194
Magnetismo
Según los estudios sobre el de Campo
eléctricos tenemos que:
1.- Una distribución de carga eléctrica en
reposo produce un campo Eléctrico E
en el espacio que la rodea.
2.- Un campo eléctrico ejerce una fuerza
F = qE sobre cualquier carga q que
se encuentre en el campo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
195
Magnetismo
Podemos escribir las interacciones magnéticas de
manera parecida
1.- Una carga en movimiento o una corriente producen
un campo magnético en el espacio circundante
(además del campo eléctrico)
2.- El campo magnético ejerce una fuerza F sobre
cualquier otra carga en movimiento o corriente que
esté presente en el campo.
3.- Al igual que el campo eléctrico el campo magnético
es un campo vectorial es decir un vector asociado
con cada punto del espacio.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
196
Magnetismo
Utilizaremos el símbolo B para referirnos al
campo magnético,
En cualquier posición la dirección de B está
definida como aquella a la que tiende a
señalar el polo de la aguja de una brújula
Para cualquier imán B apunta hacia fuera de
su polo norte y hacia adentro de su polo sur
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
197
Magnetismo
¿Cuáles son las características de la fuerza magnética
sobre una carga en movimiento ?
Su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga
Si dos cargas una de 1μC y otra de 2 μC se mueve a
través de un campo magnético dado con la misma
velocidad, la fuerza sobre la carga de 2 μC, es dos
veces mayor que la fuerza sobre la carga de de 1 μC
La magnitud de la fuerza también es proporcional a la
magnitud Intensidad del campo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
198
Magnetismo
Por ejemplo utilizando dos barras magnéticas
en lugar de una, sin cambiar la carga o
velocidad, la fuerza se duplica.
La fuerza magnética también depende de la
velocidad de la partícula.
Ésta es muy diferente de la fuerza del campo
eléctrico, Que es igual si la carga se mueve o
no.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
199
Magnetismo
Una partícula cargada en reposo no experimenta fuerza
alguna, Además la fuerza magnética F no tiene la
misma dirección que el campo magnético B sino que
siempre es perpendicular a B y a la velocidad v La
magnitud de F de la fuerza es proporcional a la
componente de v perpendicular a B y a la velocidad
v
La magnitud F de la fuerza es proporcional a la
componente de v perpendicular al campo, cuando
esa componente es cero (esto es cuando v y B
son paralelos o antiparalelos), la fuerza es cero
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
200
Magnetismo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
201
Magnetismo
Un ejemplo de interacción electromagnética ocurre
cuando una partícula con una carga positiva (+q),
que se mueve a una velocidad constante, entra en
una región con un campo magnético uniforme en una
velocidad tal que la velocidad y el campo, son
perpendiculares
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
202
Magnetismo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
203
Magnetismo
Cuando la carga entra en el campo se desvía en una
trayectoria curva
A partir del estudio de la dinámica se sabe que esta
desviación se debe a una fuerza perpendicular a la
velocidad de la partícula.
Pero¿ Que da origen a esta fuerza? No existe ningún
campo eléctrico (sino el que causa la carga misma) y
la fuerza de la gravedad es muy débil (por ser la
partícula tan pequeña) y la desviaría (hacia abajo
mas que a los lados).
Es claro pues que, la fuerza se debe a la interacción de
la carga en movimiento y el campo magnético.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
204
Magnetismo
Una partícula cargada que se mueve en un
campo magnético puede experimentar una
fuerza.
Si variamos la magnitud de la carga, su
velocidad y el campo magnético podemos
observar, que la magnitud de la fuerza de
desviación es directamente proporcional a
cada una de estas magnitudes Esto es:
F = qvB
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
205
Magnetismo
La constante de proporcionalidad tiene un valor
de 1 por la selección de la unidad de campo
magnético .
Esto da una expresión para la fuerza
(magnitud) del campo magnético en términos
de magnitudes familiares.
F = qvB
ó
B = F /qv
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
206
Magnetismo
Es decir B es la fuerza magnética por carga en
movimiento
En la ecuación anterior se puede ver que un campo
magnético tiene unidades que deben ser iguales
para F/qv por tanto las unidades son en el SI de
N/C.(m/s) ó dado que 1 A es C/s ( 1A = C/s),
Esta combinación recibe el nombre de Tesla ( T )
El campo magnético se da algunas veces en Weber por
metro cuadrado (Wb/m2), y
1 T = Wb/ m2
Otra unidad para el campo magnético es el Gauss
(G) 1T = Wb/ m2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
207
Magnetismo
Si la dirección de la velocidad de la partícula no es
perpendicular al campo magnético, la magnitud de la
fuerza magnética sobre la partícula no se obtiene de
la ecuación anterior.
Se sabe entonces que la magnitud de esta fuerza
depende del ángulo (θ ) entre la velocidad y los
vectores del campo específicamente, del seno de
ese ángulo Esto quiere decir que la fuerza es cero
cuando v y B son paralelos y alcanzan su valor
máximo cuando estos dos vectores son
perpendiculares, En general
F = qvB sen θ
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
208
Magnetismo
Regla de la mano derecha para una fuerza magnética
Cuando el dedo índice de la mano derecha apunta
extendido en la dirección de B el pulgar derecho
extendido apunta en la dirección de F
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
209
Magnetismo
Ejemplo. Fuerza sobre una carga en
movimiento.
Una partícula con una carga negativa de -5.0 x
10-4 C se mueve con una rapidez de 1.0 x 102
m/s en la dirección +x hacia un campo
magnético uniforme de 2T en la dirección +y
¿Cuál es la fuerza sobre la partícula cuando
entra en el campo magnético?
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
210
Magnetismo
Solución.
Dados : q = -5.0 x 10-4C
v = 1.0 x 102 m/s
B = 2.0 T
Encontrar fuerza.
F = qvB sen Ө = (5.0x10-4C)(1.0x102m/s)
(2.0 T) (1)
= 0.10 N
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
211
Magnetismo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
212
Magnetismo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
213
Magnetismo
Una carga positiva de 0.25 C se mueve
horizontalmente con una velocidad de 2.102
m/s y entra en un campo magnético de 0.4 T
dirigido verticalmente hacia arriba.
a.- Cual es la magnitud de la fuerza?
b.- Cual es su dirección y sentido?
C,. Cual es el sentido de giro de la carga?
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
214
Magnetismo
a.- F = q v B senθ
= 0.25 C . 2 .102 . 0.4 T sen 90º
= 20 N
b.- Si la dirección y sentido de
la velocidad es de izquierda
a derecha la fuerza es
positiva y saliendo del papel.
c.- Sentido antihorario
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
215
Magnetismo
Un alambre recto y horizontal conduce una corriente de
50 A (este a oeste).
Cual es la magnitud y la dirección del campo magnético
a un metro abajo del cable.
B = 4Л . 10-7Tm/A . 50 A
B = 1.0 x10-5 T
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
216
Magnetismo
Un alambre de longitud 1 m es colocado en un
campo magnético B de 1 T Por el conductor
circula una corriente de 20 Amperes y forma
un ángulo de 45º respecto al campo B.
Encuentre la magnitud de la fuerza que se le
aplica al conductor
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
217
Magnetismo
F = I . L . Senθ
= 20 A . 1 m . 1T .sen450
= 14 N
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
218
Magnetismo
Un conductor con corriente de 10 A genera un
campo magnético a su alrededor.
Calcule su magnitud a una distancia de 1 cm.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
219
Magnetismo
B = 4Л.10-7 N/A2 . 10 A
2Л . 10-2 m
B = 2.10-4 T
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
220
Magnetismo
UNA APLICACIÓN COMÚN DE LAS FUERZAS
MAGNÉTICAS
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
221
Magnetismo
El campo magnético creado por el imán permanente
ejerce una fuerza sobre la bobina móvil de voz
proporcional a la corriente en la bobina, la dirección
de la fuerza es a la izquierda o a la derecha,
dependiendo de la dirección de la corriente.
La señal que proviene del amplificador ocasiona la que
la dirección y magnitud de corriente oscilen, La
bobina y el cono del altavoz al cual está conectado
responden oscilando con una amplitud proporcional a
la de la corriente en la bobina.
Al girar el mando del amplificador, aumenta la amplitud
de la corriente y en consecuencia, también la
amplitud de la oscilación del cono y de la onda
sonora producida por el cono en movimiento.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
222
Magnetismo
LINEAS DE CAMPO MAGNÉTICO Y FLUJO
Podemos representar cualquier campo magnético mediante las
líneas de campo magnético, es la misma idea que para las
líneas de campo eléctrico estudiadas anteriormente, trazamos
las líneas de modo, que en cualquier punto sean tangentes al
vector campo magnético B en dicho punto.
FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS PARA EL
MAGNETISMO.
Definimos el flujo magnético B a través de una superficie como lo
hicimos con el flujo eléctrico en relación son la ley de Gauss.
Podemos dividir cualquier superficie en elementos de área dA
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
223
Magnetismo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
224
Magnetismo
El Flujo magnético a través de un elemento de
área dA se define como :
dB
= ┴ dA
Para cada uno de los elementos determinamos
┴ ,la componente de
Normal a la
superficie de la Posición de dicho elemento
como se muestra en la fig.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
225

Magnetismo
Donde B ┴ = B cos  siendo  el ángulo
entre la dirección de B y una recta
perpendicular a la superficie ( no confunda 
con  B )
En general ésta componente varía de un punto
a otro de la superficie
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
226
Magnetismo
En general ésta componente varía de un punto
a otro de la superficie
Definimos el flujo magnético d B a través de
esta área como
d B
= B ┴ dA = B cos  dA = B. dA
El flujo magnético total a través de la superficie
es la suma de las contribuciones de los
elementos de área individuales.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
227
Magnetismo
 B =  B  dA   B cos 
dA   B.dA
Flujo magnético a través de una superficie
Ésta ecuación utiliza los conceptos de
área vectorial e integral de superficie
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
228
Magnetismo
El flujo magnético es una cantidad escalar,
En el caso especial en que B es uniforme
sobre una superficie plana con área total
A┴B , 
y son iguales en todos los puntos de
la superficie, y
 = B  A  BA cos 
B
Si resulta de que B es perpendicular a la
superficie entonces
cos  = 1
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
229
Magnetismo
y la ecuación se reduce a :
B = BA
Usaremos mucho el concepto de flujo magnético al
estudiar la inducción electromagnética.
La unidad del flujo magnético en el SI es igual a la
unidad del campo magnético ( 1T) por la unidad de
área (1 m2) Ésta unidad se denomina Weber ( Wb)
en honor a Físico Alemán Wilhelm Weber (1804 1891)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
230
Magnetismo
1 Wb = 1 T. m2
Además
1 T = N/A . m
De modo que tenemos :
1Wb = 1 T. m2 = 1 N.m/A
En la ley de Gauss el flujo eléctrico total a
través de una superficie cerrada es
proporcional a la carga eléctrica total
encerrada por la superficie.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
231
Magnetismo
Concluimos que: El flujo magnético total a
través de una superficie cerrada siempre es
cero y queda.
 B.dA  0
Flujo magnético a través de un superficie
cerrada
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
232
Magnetismo
Esta ecuación se conoce como la Ley de
Gauss para el magnetismo
Puede verificarla en la fig. Si traza una
superficie cerrada en cualquier lugar de
cualquiera de los mapas de campo que se
muestran en ella verá que cada línea de
campo que penetra en la superficie también
sale de ella:
El flujo neto a través de la superficie es cero
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
233
Magnetismo
También concluimos que las líneas de campo
eléctrico que empiezan y terminan en cargas
eléctricas, Pero las líneas de campo
magnético nunca tienen puntos finales, tal
punto indicaría la existencia de un monopolo
Y se ha demostrado que no existen tales
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
234
Magnetismo
Para la Ley de Gauss que siempre trata de
superficies cerradas el elemento de área
vectorial dA siempre apunta hacia afuera de
la superficie
Si el elemento de área dA forma un ángulo
recto con las líneas de campo entonces
B  B llamado dA ┴ al área tenemos.
B= dB /dA ┴
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
235
Magnetismo
Es decir la magnitud del campo magnético es
igual al flujo por unidad de área a través de
un área que forma un ángulo recto con el
campo magnético.
Por esta razón el campo magnético se conoce
como densidad de flujo magnético.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
236
Magnetismo
A un solenoide de (Bobina, Reley) de 100
espiras que posee un radio de 1 cm. Se le
hace pasar una corriente de 1 A.
Calcular el campo interior.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
237
Magnetismo
Como L>>r
Tenemos:
B = 4Л.10-7 N/A2 .100.1 A
20.102m
B = 2Л.10-4 T
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
238
Inducción eléctrica
Inducción Electromagnética
Ley de Faraday
Michael Faraday (1797-1978)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
239
Inducción eléctrica
Michael Faraday (1797-1978) Inglaterra y Joseph
Henry en EU. Declararon:
Si una bobina de alambre está conectada a un
galvanómetro, cuando el imán cercano está
estacionario en el medidor no indica presencia de
corriente.
Pero cuando movemos el imán ya sea alejándolo o
acercándolo el instrumento indica la presencia de
corriente pero solamente cuando el imán está en
movimiento.
Si movemos la bobina y mantenemos en imán fijo de
nuevo detectamos una corriente.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
240
Inducción eléctrica
Esta Corriente se llama corriente inducida. Y la
correspondiente fem requerida para producir
ésta corriente se conoce como fem inducida
Si sustituimos el imán por una segunda bobina
conectada a una batería.
Cuando la segunda bobina está estacionaria no
hay corrientes en la primera bobina pero si
tenemos un movimiento relativo entre las dos
de nuevo aparece una corriente inducida que
detectará en el instrumento correspondiente
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
241
Inducción eléctrica
Veremos adelante varias observaciones de Faraday.
1.- Conectamos una bobina de alambre a un
instrumento (Amperímetro, Oscilógrafo)
cuando no hay corriente en la bobina el instrumento
no indica nada.
De modo que:
El campo magnético B = 0
2.- Cuando se enciende el electroimán existe una
corriente momentánea que pasa por el
Amperímetro cuando B aumenta.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
242
Inducción eléctrica
3.- Cuando B se establece en un valor
estacionario la corriente baja hasta cero sin
importar la magnitud de B
4.- Con la bobina en el plano horizontal la
apretamos de modo que disminuimos el área
transversal de la bobina en el instrumento se
detecta inducción durante la
deformación de las espiras no antes ni
después.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
243
Inducción eléctrica
5.- Cuando se apaga el electroimán existe una
inducción momentánea en la dirección
opuesta a cuando encendimos ésta bobina.
6.- Cuanto más rápido hagamos los
movimientos mayor será la corriente de
inducción.
El elemento común a todos estos experimentos
es el flujo magnético variable a través de un
circuito ΦB cambiante que pasa a través de
la bobina
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
244
Inducción eléctrica
LA LEY DE FARADAY ESTABLECE QUE:
La fem inducida en una espira cerrada es igual
a menos la razón temporal de cambio del
flujo magnético a través de la espira.
ε = - d ΦB
dt
Ley de Inducción de Faraday
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
245
Inducción eléctrica
Ejemplo:
Fem y corriente inducida en una espira
En la figura el campo magnético entre los polos
de un electroimán es uniforme en cualquier
instante pero su magnitud aumenta a razón
de 0.020 T/s
El área de la espira conductora que se
encuentra en el campo es de 120 cm2 y la
resistencia total del circuito incluyendo al
medidor es de 5 Ω.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
246
Inducción eléctrica
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
247
Inducción eléctrica
Encuentre la fem (V) y la corriente inducida
en el circuito.
Los vectores A área B campo magnético son
paralelos y B es uniforme
El área A es constante, de modo que la razón
de cambio del flujo magnético es.
ФB = B.A cosθ
V = (0.020 T/s)(0.012m2)(1)
= 2.4 x 10-4 v = 0.24 mvolt
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
248
Inducción eléctrica
Unidades en éste cálculo:
Observe que la relación de la Fuerza magnética
F = qv x B, 1 T = ( 1N) / (1m2)
Entonces las unidades del flujo magnético se pueden expresar
como :
(1T ) (1m2) = 1N . s . m/C
y la razón de cambio del flujo magnético como:
1N . m/C = 1 J/C = 1 Volt.
Por consiguiente la unidad de:
d ΦB
dt
es el volt.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
249
Inducción eléctrica
Recuerde también que la unidad de flujo
magnético es el Weber :
(Wb) : 1T. m2 = 1Wb de modo que
1 Volt = 1 Wb/s
Finalmente la corriente inducida en el circuito
es de :
I=
ε
= 2.4 x 10-4 V = 4.8 x 10-5 Amp.
R
5.0 Ω
I = 0.048 mA
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
250
Inducción eléctrica
Una bobina de alambre de 500 espiras circulares con
4.00 cm de radio está situada entre los polos de un
electroimán grande, en ésta región el campo
magnético es uniforme y forma 60º de ángulo con el
plano de la bobina el campo disminuye a razón de
0.20 T/s cuales son la magnitud y dirección de la fem
inducida?
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
251
Inducción eléctrica
Escogemos la dirección de A mostrada en la figura.
Entonces el ángulo entre A y B es cos Φ = 30º
El flujo en cualquier instante está dado por
ΦB = BA cos Φ y la razón de cambio de flujo está
dada por
d ΦB / dt = ( dB/dt )A cos Φ
en este problema dB/dt = -0.200 T/s y A =
П((0.0400m)2 = 0.0053 m2
de modo que:
d ΦB = A cos 30º = (-0.200 T/s )(0.0053m2)(0.866)
dt
= -8.71 x 10-4 T .m2/s = -8.71 x 10-4 Wb/s
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
252
Inducción eléctrica
Y la fem inducida es:
ε=
-N d ΦB = -(500)(-8.71 x 10-4Wb/s)
dt
= 0.435 V.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
253
Inducción eléctrica
Una bobina consta de 200 vueltas de alambre y tiene
una resistencia total de 2 Ω Cada vuelta es un
cuadrado de 18 cm de lado y se activa un campo
magnético uniforme perpendicular al plano de la
bobina. Si el campo cambia literalmente de 0.50
Teslas en 0.80 seg. ¿Cuál es la magnitud de la fem
inducida en la bobina mientras está cambiando el
campo magnético
ε=
- N dB A = volts
dt
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
254
Inducción eléctrica
El área de una vuelta de la bobina es:
(0.16 m)2 = 0.0324 m2
El flujo magnético a través de la bobina en t=0
es cero puesto que B = 0 en dicho momento.
En t = 0.80 seg. El flujo a través de una vuelta
es de
ФB =BA = (0.50T)(0.0324 m2) = 0.016 Tm2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
255
Inducción eléctrica
Por lo tanto la magnitud de la Fem inducida es a partir
de la ecuación
|E |= N∆ ФB
∆t
200(0.0162T m2
0.80 seg
Quedando que:
|E |= 4.1 T m2/s = 3.1 Volt
Entonces la corriente mientras el campo varía es de
2.0 Amp.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
256
Generadores y motores
Generadores y motores
Los generadores eléctricos se utilizan para
producir energía eléctrica.
Para comprender cómo funcionan considere
que el generador de corriente alterna (CA)
es un dispositivo que convierte la energía
mecánica en energía eléctrica .
En su forma más simple se compone de una
espira de alambre que gira por medios
externos en un campo magnético.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
257
Generadores y motores
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
258
Generadores y motores
Diagrama esquemático de un generador de CA,
Una Fem es inducida sobre una espira que
gira en un campo magnético
La Fem inducida alterna en la espira graficada
como función del tiempo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
259
Generadores y motores
En las centrales eléctricas la energía requerida
para rotar la espira puede obtenerse de
numerosas fuentes:
Hidroeléctrica , Agua que cae directamente
sobre las paletas
Hidrocarburos Energía de los combustibles
líquidos o gaseosos
Otros energéticos
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
260
Generadores y motores
Cuando la espira gira dentro de un campo, el flujo
magnético a través del área encerrada por la espira
cambia con el tiempo.
Esto induce una Fem y una corriente en la espira de
acuerdo con la Ley de Faraday.
Los extremos de la espira se conectan a anillos
deslizantes que giran con la espira.
Las conexiones desde estos anillos deslizantes actúan
como terminales de salida del generador. Al circuito
externo y lo hacen por medio de las escobillas o
carbones estacionarios en contacto con los anillos
deslizantes.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
261
Generadores y motores
Entonces:
Suponga que en lugar de una sola vuelta la
espira tiene N vueltas una situación más
práctica todas las espiras de la misma área A
Giran en un campo magnético con una rapidez
angular constante ω.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
262
Generadores y motores
Si Ө es ángulo entre el campo magnético y la
normal al plano de la espira, como se ve
entonces el flujo magnético a través de la
espira en cualquier momento t es.
B = BA cos Ө = BA cos ωt
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
263
Generadores y motores
Donde se ha utilizado la relación Ө= ωt entre
el desplazamiento angular y la rapidez
angular por consiguiente la Fem inducida en
la bobina es:
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
264
Generadores y motores
Este resultado muestra que la Fem varía senoidalmente
con el tiempo como grafica la fig.
Se ve que la Fem máxima inducida tiene valor de:
ε max = NABω
Lo cual ocurre cuando ωt = 90º ó 270º
En otras palabras
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
265
Generadores y motores
Cuando el campo magnético está en el plano
de la bobina y la rapidez de cambio en el.
Tiempo del flujo es un máximo.
Entonces la Fem es cero cuando:
t  0
ó
180
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
266
Generadores y motores
Es decir cuado В es perpendicular al plano de
la bobina y a la rapidez de cambio en el
tiempo del flujo cero.
La frecuencia de los generadores comerciales
en Bolivia es de 50 Hz
Recuerde que
donde
es la
frecuencia en Hertz
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
267
Generadores y motores
Ejemplo:
Un generador de CA consta de ocho vueltas de
alambres cada una tiene de área A = 0.090
m2 y la resistencia total del alambre es de
12.0 Ω. La espira gira en un campo
magnético de 0.500 T a una frecuencia
constante de 60 Hz.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
268
Generadores y motores
a.- Encuentre la máxima Fem inducida.
  2f  2 (60 Hz )  377 s -1
Así que la ecuación queda:
ε max=NABω= 8(0.09
m2)(0.50T)(377s -1)
= 136 Volt.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
269
Generadores y motores
¿ Cuál es la máxima corriente inducida cuando
las terminales de salida están conectadas a
un conductor de 12 Ω de resistencia?
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
270
Generadores y motores
Determine la variación en el tiempo de la Fem
y la corriente inducida.
sent  (136V ) sen377t
I =Imax sen wt
= 11.3 Amp.
= (11.3 A)sen 377t
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
271
Transformadores
Una de las ventajas de la distribución de
energía de ca. sobre la de cc.
Es que es mucho mas fácil elevar o disminuir
los niveles de voltaje con la corriente alterna
que con la corriente continua.
Esta conversión se realiza mediante
transformadores.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
272
Transformadores
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
273
Transformadores
Un transformador consta de dos bobinas
enrolladas, aisladas eléctricamente entre si
pero enrolladas sobre el mismo núcleo
típicamente este núcleo esta hecho con un
material que posee una permeabilidad
relativa Km grande como el hierro esto hace
que las líneas de campo magnético debido a
la corriente en uno de los enrollados estén
casi completamente dentro del núcleo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
274
Transformadores
El flujo magnético ФB es el mismo en cada uno
de los enrollados, el enrollados primario tiene
N vueltas cuando varía el flujo las Fem
inducida son:
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
275
Transformadores
El cociente entre de las Fem primaria y
secundaria es igual en cada instante el
cociente de las vueltas del primario y del
secundario.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
276
Transformadores
Si los enrollados tienen resistencia cero, las
Fem inducidas
son iguales a los
voltajes en terminales a través del primario y
del secundario respectivamente entonces
tendremos las relaciones siguientes.
Transformadores ideales.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
277
Transformadores
Los transformadores reales tienes pérdidas
Resistencia del alambre I2R
Histéresis del núcleo Hierro con curva estrecha
Corrientes parásitas Núcleo laminado.
La resultante de estas pérdidas da lugar a la
eficiencia del transformador eléctrico que
siempre será menor que 1
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
278
Transformadores
Ejemplo:
Se tiene un equipo que funciona con 240 V
para obtener una potencia de 960 Watts
¿Qué podemos hacer para que funcione a
120 V?
¿Cuánta corriente tomará de la línea de 120V ?
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
279
Elementos R,L,C en C.A.
Valor efectivo (RMS)
Como un voltaje o corriente senoidal tiene la
misma forma arriba y abajo del eje,
la pregunta de cómo se puede entregar
potencia a una carga puede ser molesta
porque parece que el flujo neto hacia una
carga en un ciclo completo es cero.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
280
Elementos R,L,C en C.A.
Sin embargo, simplemente hay que tener en
cuenta que en cada instante de la porción
positiva o negativa de la onda se entrega
potencia y la carga la disipa.
Por tanto, la potencia entregada en cada
instante es aditiva aun cuando la corriente
puede cambiar de dirección.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
281
Elementos R,L,C en C.A.
Para determinar un solo valor numérico que
pueda asociarse con el voltaje o corriente
senoidal que varían con el tiempo.
Se desarrolló por medio de experimentos una
relación entre una cantidad de CD. Y una
cantidad de CA. Cuyo resultado sería que
cada una entregue la misma cantidad de
potencia a una carga.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
282
Elementos R,L,C en C.A.
Los resultados señalaron que si se aplica una
fuente de dc. De 10 Volts a una carga se
puede entregar la misma potencia con un
voltaje senoidal cuyo valor máximo sea de
14.14 Volt ca.
En forma de ecuación, El valor de cd.
Equivalente o efectivo de un voltaje senoidal
es igual a 0.707 veces del valor máximo de
ac.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
283
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
284
Elementos R,L,C en C.A.
En la fig. anterior
0.707(Vp) = 0.707 (14.14) = 10 V
En forma de ecuación
Vcd equivalente = Eefect = 0.707(Vmax)= 1/√2 (Vmax)
y
Icd equivqlente= Iefect = 0.707 (Imax) = 1/√2 (Imax)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
285
Elementos R,L,C en C.A.
Sea la función:
v = 170Vmax sen (ω t + ө)
Donde: ω = 2Лf Siendo f = 60 Hz
ө =0
Queda:
v = 170 sen 377t
Vefec = 0.707(170)
Vefec = 120 V.
Nótese que la frecuencia no interviene en la
determinación del valor de cd equivalente
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
286
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
287
Elementos R,L,C en C.A.
Se tienen las siguientes formas de ondas
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
288
Elementos R,L,C en C.A.
Ej: De las formas de ondas anteriores
determine los valores efectivos de
Corriente y voltaje.
I efect = (0.707) (5 x 10-3 A) = 3.535 mA
Vefect = (0.707) (100 V) = 70.7 V
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
289
Elementos R,L,C en C.A.
Escriba la expresión senoidal para un voltaje
que tiene un valor rms de 40 mV una
frecuencia de 500 Hz y el defasaje inicial de
+ 40º
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
290
Elementos R,L,C en C.A.
Vp = 1.414(Vrms) =1.414(40mV) = 56.56 mV
ω = 2Лf = (6.283)(0.5 kHz) = 3.142 x 103 rad/s
V = 56.56 x 10-3 sen(3142t + 40º)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
291
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
292
Elementos R,L,C en C.A.
Analizaremos el efecto de una señal de ca. En
los elementos R, C y L
En el resistor R
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
293
Elementos R,L,C en C.A.
Tenemos que:
i = v/R = V/R sen ωt
i = 20/5 sen ωt
i = 4 sen ωt
Potencia en el resistor:
PR = I2RR = V2R/R = VRIR
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
294
Elementos R,L,C en C.A.
En el caso de la fig.
Tenemos:
PR = VRIR (20/√2V) (4/√2A)
= 80/2 W
PR = 40 Watts.
Llamada potencia real ó Activa
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
295
Elementos R,L,C en C.A.
La reacción de una bobina o de un capacitor a
una señal de ca. Es completamente diferente
a la de una resistencia.
Ya que los capacitores y las bobinas limitan la
cantidad de corriente aunque ninguno de
ellos disipan la energía que reciben.
Simplemente la almacenan en la forma de un
campo eléctrico en el capacitor y en un
campo magnético en inductor.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
296
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
297
Elementos R,L,C en C.A.
Para un sistema de ca. La ecuación básica de
la potencia es:
P = VP IP/2 cos ө = Vefect Iefect cos ө
El ángulo ө es el ángulo de fase entre V e I en
caso de un resistor puro se encontró que
V e I estaban en fase y que ө = 0
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
298
Elementos R,L,C en C.A.
Si bien la reactancia es similar a la resistencia
en lo que respecta a su capacidad de limitar
la corriente hay que considerar que no es
una forma de disipar energía como las de los
elementos resistivos
Tendremos en cuenta que la reactancia
inductiva es directamente proporcionar a la
frecuencia de la señal aplicada.
Por tanto la reactancia es cero para cd.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
299
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
300
Elementos R,L,C en C.A.
El valor máximo de la corriente se determina
mediante una aplicación simple de la Ley
de Ohm.
Ip = Vp /Xc = 10V/265.25 Ω
= 0.0377 A
= 37.7 mA
Nótese que en este caso se introdujo un
defasaje de 90º adelantado
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
301
Elementos R,L,C en C.A.
Sustituyendo en la ecuación de potencia se
obtiene:
Pc = Vi cos θ = VI cos 90º = VI(0) = 0 W
El factor cos θ en la ecuación general de
potencia se llama factor de potencia de la red
factor de potencia = cos θ = Fp
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
302
Elementos R,L,C en C.A.
Fasores y números complejos
En redes de un solo elemento el ángulo de fase
apropiado se determina con poco esfuerzo.
En redes mas complejas se utiliza el método de
vectores los cuales se pueden utilizar para
representar corrientes y voltajes de ca.y
reactancias.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
303
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
304
Elementos R,L,C en C.A.
Elementos de un circuito de corriente alterna
Un circuito de corriente alterna consta de una
combinación de elementos (resistencias,
capacidades y autoinducciones) y un
generador que suministra la corriente
alterna.
Una fem alterna se produce mediante la rotación
de una bobina con velocidad angular constante
dentro de un campo magnético uniforme
producido entre los polos de un imán.
v=V0 sen(w t)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
305
Elementos R,L,C en C.A.
Un ejemplo del primer procedimiento, es la
interpretación geométrica del Movimiento
Armónico Simple como proyección sobre el
eje X de un vector rotatorio de longitud igual
a la amplitud y que gira con una velocidad
angular igual a la frecuencia angular
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
306
Elementos R,L,C en C.A.
Mediante las representaciones vectoriales, la
longitud del vector representa la amplitud y
su proyección sobre el eje vertical representa
el valor instantáneo de dicha cantidad. Los
vectores se hacen girar en sentido contrario
al las agujas del reloj.
Con letras mayúsculas representaremos los
valores de la amplitud y con letras
minúsculas los valores instantáneos.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
307
Elementos R,L,C en C.A.
Una resistencia conectada a un generador de
corriente alterna
La ecuación de este circuito simple es (intensidad por
resistencia igual a la fem)
iR=V0sen(w t)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
308
Elementos R,L,C en C.A.
iR=V0sen(w t)
La diferencia de potencial en la resistencia es
vR= V0sen(w t)
En una resistencia, la intensidad iR y la
diferencia de potencial vR están en fase.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
309
Elementos R,L,C en C.A.
La relación entre sus amplitudes es:
con VR=V0, la amplitud de la fem alterna
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
310
Elementos R,L,C en C.A.
Como vemos en la representación vectorial de
la figura, al cabo de un cierto tiempo t, los
vectores rotatorios que representan a la
intensidad en la resistencia y a la diferencia
de potencial entre sus extremos, ha girado un
ángulo w t. Sus proyecciones sobre el eje
vertical marcados por los segmentos de color
azul y rojo son respectivamente, los valores
en el instante t de la intensidad que circula
por la resistencia y de la diferencia de
potencial entre sus extremos.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
311
Elementos R,L,C en C.A.
Un condensador conectado a un generador
de corriente alterna
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
312
Elementos R,L,C en C.A.
En un condensador la carga q, la capacidad C y
diferencia de potencial v entre sus placas
están relacionadas entre sí
q=C·v
Si se conecta las placas del condensador a un
generador de corriente alterna
q=C· V0·sen(w t)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
313
Elementos R,L,C en C.A.
La intensidad se obtiene derivando la carga
respecto del tiempo,
i=dq/dt
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
314
Elementos R,L,C en C.A.
Para un condensador, la intensidad iC está
adelantada 90º respecto a la diferencia de
potencial vC. La relación ente sus amplitudes
es:
con VC=V0, la amplitud de la fem alterna
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
315
Elementos R,L,C en C.A.
Una bobina conectada a un generador de
corriente alterna
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
316
Elementos R,L,C en C.A.
Ya hemos estudiado la autoinducción y las
corrientes autoinducidas que se producen en
una bobina cuando circula por ella una
corriente i variable con el tiempo..
La ecuación del circuito es (suma de fem igual
a intensidad por resistencia), como que la
resistencia es nula
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
317
Elementos R,L,C en C.A.
Integrando esta ecuación obtenemos i en
función del tiempo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
318
Elementos R,L,C en C.A.
La intensidad iL de la en la bobina está
retrasada 90º respecto de la diferencia de
potencial entre sus extremos vL.
La relación entre sus amplitudes es
con VL=V0, la amplitud de la fem alterna
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
319
Elementos R,L,C en C.A.
Medida de la autoinducción de un anillo
Se simula una experiencia diseñada para medir
la autoinducción de un anillo.
Es un ejemplo ilustrativo de interconexión entre
varios conceptos que se han explicado a lo largo
de esta sección.
Inducción mutua
Circuito de corriente alterna.
Ley de Ohm
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
320
Elementos R,L,C en C.A.
La experiencia consta de dos partes:
Se coloca una espira de radio igual al del anillo
en el interior de un largo solenoide.
Se hace circular una corriente alterna por el
solenoide (primario), se observa en la pantalla
del osciloscopio la fem producida en la espira
(secundario)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
321
Elementos R,L,C en C.A.
Se sitúa el anillo en el interior del solenoide. Se
hace circular la misma corriente alterna por el
solenoide (primario), se mide la fem
producida en el anillo (secundario).
Se observa en la pantalla del osciloscopio un
cambio en la amplitud y la fase.
En la experiencia real, se sitúa el anillo en el
interior de la espira, rodeándolo
completamente, tal como se indica en la
figura.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
322
Elementos R,L,C en C.A.
Comparando las amplitudes relativas y la diferencia
fases de las representaciones de las dos fem en la
pantalla de un osciloscopio, se determina la
autoinducción del anillo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
323
Elementos R,L,C en C.A.
Corriente inducida en la espira
Supongamos que el solenoide está formado N
espiras, de longitud l recorrido por una corriente
de intensidad i1.
Denominaremos circuito primario al solenoide y
secundario a la espira.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
324
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
325
Elementos R,L,C en C.A.
El campo magnético creado por el solenoide
(primario) suponemos que es uniforme y
paralelo a su eje, y cuyo valor hemos
obtenido aplicando la ley de Ampère
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
326
Elementos R,L,C en C.A.
Este campo atraviesa la sección de la espira
(secundario) de área S, el flujo de dicho
campo a través de la espira vale.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
327
Elementos R,L,C en C.A.
Cuando la intensidad de la corriente i1 en el
primario cambia con el tiempo, se induce en
el secundario una fem Ve que se opone a los
cambios de flujo.
Aplicamos la ley de Faraday, derivando el flujo
que atraviesa el secundario respecto del
tiempo
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
328
Elementos R,L,C en C.A.
La fem en el secundario Ve siempre actúa en el
sentido que se opone a la variación del flujo
producido por el primario.
Si la corriente que circula por el primario i1 varía
con el tiempo de la forma
i1=I0·cos(ωt)
La fem producida en la espira es:
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
329
Elementos R,L,C en C.A.
El anillo como circuito R-L en serie conectado a
una fem alterna
El anillo tiene una autoinducción L y una
resistencia R. Supongamos que el anillo es un
circuito R-L en serie conectado a una fem alterna
de la forma Ve = V0·sen(w t).
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
330
Elementos R,L,C en C.A.
La diferencia de potencial en los extremos de la
autoinducción L está adelantada 90º respecto
de la intensidad que circula por ella. La
relación de amplitudes es VL=I0·w L.
La diferencia de potencial entre los extremos de
la resistencia R está en fase con la
intensidad. La relación de amplitudes es
VR=I0·R.
Como vemos en la figura, la fem Ve, está
adelantada un ángulo φ respecto de la
intensidad Ia.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
331
Elementos R,L,C en C.A.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
332
Elementos R,L,C en C.A.
Resistencia del anillo
Supongamos que tenemos un anillo hecho de
un material de resistividad ρ en forma toroidal
de diámetro medio D, y cuya sección es un
círculo de diámetro d, siendo d<<D.
La ley de Ohm establece que la resistencia es
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
333
Elementos R,L,C en C.A.
La ley de Ohm establece
que la resistencia es:
En esta tabla se proporcionan datos acerca de la
resistividad de algunos conductores metálicos.
Material Resistividad ρ (10-6 Ω·m)
Aluminio
Cobre
Hierro
Plata
Plomo
0.028
0.0175
0.098
0.016
0.221
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
334
Números complejos.
Números Complejos y Operaciones básicas
Los números a + jb, donde a y b son dos
números reales, se llaman Complejos.
El número “a” se llama parte real; “bj”
parte imaginaria del número complejo.
Por ejemplo:
3+2j
a=3
b=2
½ - j√2
a=½
b=√2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
335
Números complejos.
Dos números complejos a+bj y a1 + b1j se consideran
iguales cuándo y solo cuando son iguales, por
separado, sus partes reales e imaginarias, o sea, si:
a+bj = a1 + b1j
tendremos que:
a=a1
b=b1
Si a=0, b=0, el número complejo a + b j se convierte
en un número Imaginaria puro bj ; b se llama
coeficiente de la unidad imaginaria
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
336
Números complejos.
Representación Gráfica de un Número
Complejo.
Img
(x1,y1)
Re
(x,y)
Re = Parte Real
Img = Parte Imaginaria
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
337
Números complejos.
Suma.
Definición: Se llama suma de dos números complejos
Z1= a1+b1j y
Z2= a2 + b2j el número complejo
Z= a + bj, cuyas partes real e imaginaria son iguales
respectivamente a las sumas de las partes reales e
imaginarias de los números sumandos Z1 y Z2 es
decir Z= Z1 + Z2 = (a1+b1j) + (a2+b2j).
Ejemplo
(2+3j)+(3-j) = (2+3) + (3-1)j
= 5 + 2j
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
338
Números complejos.
Resta.
Definición: Por Sustracción de un número complejo
z1= a1+b1j y
z2= a2 + b2j se sobreentiende la
determinación de un número z=a+bj, que sumando
al sustraendo z2 nos da el número z1.
Por los tanto
Z1 – z2 = z
Si : z + z2 = z1,
ó bien :
(a1 + b1j) – (a2 + b2j) = a + bj
A condición de que:
A + bj + a2 + b2j = a1 + b1j
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
339
Números complejos.
Sumando obtendremos:
(a+a2) + (b+b2)j = a1 + b1j
En la condición de igualdad de dos números
complejos, obtendremos:
a+a2 = a1, de donde a= a1 – a2
b+b2 = b1, de donde b= b1 – b2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
340
Números complejos.
Conclusión: En la Sustracción de dos números
complejos se restan separadamente sus
partes reales e imaginarias.
Ejemplo
(7+3j)-(3+j) = 7+3j-3- j
= 4 + 2j
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
341
Números complejos.
Multiplicación.
Definición: Dos números complejos a1+b1j y a2+b2j
se multiplican según la regla ordinaria del producto
de polinomios; en el resultado j² se sustituye por -1
y se separa la parte real de la imaginaria:
(a1+b1j) (a2+b2j) = a1 a2 + a1 b2j + b1j a2 + b1j b2j
= a1 a2 - b1 b2 + j (a1 b2 + b1 a2 )
Parte Real
Parte Imaginaria
Es importante tener en cuenta que la multiplicación de
dos números complejos es también un número
complejo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
342
Números complejos.
Ejemplo
(2+3j)* (3+4j) = 2.3 +2.4j + 3j.3 + 3j.4j
= 6 + 8j + 9j + 12j²
Pero j² = -1, Entonces:
= 6+8j+9j-12
= -6 + 17j
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
343
Números complejos.
División.
Definición: Se llama cociente de la división de
dos números complejos a1+b1 y a2+b2j el
número complejo x + y j que multiplicando
por el divisor nos da el dividendo.
Existe una manera mas sencilla de obtener la
división de dos números complejos, es
utilizando el conjugado de un número
complejo.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
344
Números complejos.
El conjugado de un número complejo z= a+jb
se define como : z=a-jb, como se notará el
conjugado de un número complejo no es otra
cosa que el mismo número con el signo
contrario de la parte imaginaria.
Ejemplo
Dividir Z1=2+3j entre Z2=1+2j
Z1/ Z2 =
2+3j * 1-2j
1+2j
4–j
5
(2+3j) . (1-2j)
1-2j = (1+2j) . (1-2j) =
=
2-4j+3j+6
1+4
4-j
=
5
4/5 – j/5.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
345
Números complejos.
Números Complejos en Forma Trigonométrica
Un número complejo en forma cartesiana se puede
expresar en forma trigonométrica o fasorial .
Sea el Z= a+jb el número complejo expresado en forma
cartesiana se puede expresar en forma fasorial o
trigonométrica de la siguiente manera:
Z= a + jb
Z fasorial = /Z/ /Ψ
Donde:
/Z/=√a² + b
/ Ψ = Arcotg-1 (b/a)
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
346
Números complejos.
Ejemplo
Sea Z= 3 + 4j
El número complejo Z en forma fasorial se
puede expresar como:
Z= (√32 + 42). /_ Arcotg-1(4/3)
Z = 5 /_ 53.13º
El mismo número complejo expresado en forma
trigonométrica será:
Z= 5 Cos(53.13º) + j 5 Sen(53.13º).
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
347
Números complejos.
Multiplicación en forma Trigonométrica.
Sea Z1= a+jb y Z2= c+jd , la multiplicación de números
complejos en su forma trigonométrica será:
Primero transformamos a un número complejo fasorial:
Z1=√ a2+b2 /_ tg-1 (b/a) y
Z2= √ c2+d2 /_ tg-1 (c/d)
Entonces : Z1 * Z2 será:
Z1 * Z2 = (√ a2+b2)(√ c2+d2 ) /_tg-1 (a/b) + tg-1 (c/d).
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
348
Números complejos.
Ejemplo
Multiplicar: Z1= 3+2j por Z2= 4+j
Primero transformamos a su forma trigonométrica:
/Z1/= (√32+22) =3,6
Ψ1=( tg-1 2/3) = 33,7º entonces:
Z1 = 3,6 ( Cos 33,7º + j sen 33,7º).
/Z2/= (√42+12) = 4,12
Ψ1=( tg-1 1/4) = 14,04 entonces:
Z2 = 4,12 ( Cos 14,04º + j sen 14,04º).
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
349
Números complejos.
La Multiplicación será:
Z1*Z2 = (3,6 /_33.7º ) * (4,12 /_14,04º )
= 3,6 * 4,12 /_(33.7º + 14,04º
= 14,83/_47,74º.
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
350
Números complejos.
División en forma Trigonométrica.
Sea Z1= a+jb y Z2= c+jd , la división de
números complejos en su forma
trigonométrica será:
Primero transformamos a un número complejo
fasorial:
Z1=√ a2+b2 /_ Ψ1 y
Z2= √ c2+d2 /_ Ψ2
Después realizamos la división: Z1 / Z2 :
Z1 / Z2 = (/Z1/)/((/Z2/) /_ Ψ1- Ψ2
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
351
Números complejos.
Ejemplo
Multiplicar: Z1= 3+2j por Z2= 4+j
Primero transformamos a su forma
trigonométrica:
/Z1/= (√32+22) =3,6
Ψ1=( tg-1 2/3) = 33,7º entonces:
Z1 = 3,6 ( Cos 33,7º + j sen 33,7º).
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
352
Números complejos.
/Z2/= (√42+12) = 4,12
Ψ2=( tg-1 1/4) = 14,04 entonces:
Z2 = 4,12 ( Cos 14,04º + j sen 14,04º).
La División será:
Z1/Z2 = (3,6 /_33.7º ) / (4,12 /_14,04º )
= (3,6 / 4,12) /_(33.7º - 14,04º)
= 0,87 /_19,66º
Ing. L. Emilio Martinez Lugo.
353
Números complejos.
Forma Exponencial de un Número Complejo.
La forma exponencial de un número complejo
se basa en la fórmula de Euler, que
relaciona las funciones trigonométricas del
argumento real con la función exponencial
del argumento imaginario.
Para esto expondré la primera fórmula de Euler
sin deducción:
ejφ= Cosφ + j Senφ
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Dónde el número “e”, tomado como base de los
logaritmos naturales, es e=2,718.
Sustituyendo en la fórmula de Euler “φ” por “-φ”
tenemos la segunda fórmula de Euler que
dice:
e-jφ= Cos(-φ) + jSen(-φ)
o bién:
e-jφ= Cosφ – jSenφ
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Ejemplo
Representar en forma Exponencial:
Z= 3 + 4j
El módulo /Z/=√32+42 = 5
Hallamos el argumento φ:
Puesto que tg φ =4/3 entonces φ = tg-1 (4/3) = 0,93º
Entonces :
Z= 3 + 4j = 5e0,93j
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PRACTICA Nro. 1 (Números Complejos)
1.Calcular los cocientes de:
(1-20j)/7-2j)
(17-6j)/(3-4j)
((1+j)/(1-j)) +((1-j)/(1+j))
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2.Elevar a Potencia:
(1+j)4
(-0,5 – 0,5j√3)2
j136
((1+j√7)/(2))4 + ((1+j√7)/(2))4
Cómo se dispone en el plano la representación
de dos números complejos conjugados?
Graficar
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3.Representar en forma trigonométrica los
números:
j
½ +j√3/2Calcular los productos:
(cos 40º +j sen 40º) . (cos 50º + j sen 50º)
(cos 60º +j sen 60º) . 3(cos 30º + j sen 30º)
6(cos 20º +j sen 20º) . (cos 90º + j sen 90º)
(cos 35º +j sen 35º) .45 (cos 80º + j sen 80º)
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Representar en forma de vectores los
siguientes números complejos:
2+j
1+ je
e2 + j e 4
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