Download I - Virtual Udabol - Universidad de Aquino Bolivia

Document related concepts

Álgebra wikipedia, lookup

Teoría de ecuaciones wikipedia, lookup

Álgebra lineal wikipedia, lookup

Variable (matemáticas) wikipedia, lookup

Ecuación wikipedia, lookup

Transcript
FACULTAD DE INGENIERIA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de
la sociedad.
FACULTAD DE INGENIERIA
INTRODUCCION AL ALGEBRA
La palabra Algebra viene del Árabe. El Algebra es una r ama dela Matemática, que se caracteriza por el
empleo de letras para representar números, con ellas y con los símbolos que se han utilizado para indicar
operaciones y agrupamientos, se ha elaborado un código especial, el lenguaje Algebraico.
ALGEBRA I: UN POCO DE HISTORIA
Si bien es difícil establecer estrictamente el origen del álgebra, podemos decir que la aritmética surgió de la necesidad que
tenían los pueblos primitivos para poder medir el tiempo y sus posesiones, de la misma manera siglos después el hombre
llegó a apreciar en forma abstracta los números, de esta manera nació el álgebra, su desarrollo se debe en gran parte a los
Arabes y Griegos. Una de las primera obras de las que se tiene referencia nació en Grecia y fue su autor Diofanto de
Alejandría, poco se sabe sobre la vida de Diofanto, pero se conoce que al morir tenía 84 años, gracias a un famoso acertijo
que tiene más de quinientos años, que según algunos figuró como epitafio y que dividía la vida de Diofanto en periodos,
cada uno de los cuales es una parte de la edad x que alcanzó Diofanto:
1ro. La juventud de Diofanto duró 1/6 de su vida, luego su juventud fue x/6.
2do. Después se dejó la barba durante un periodo igual a 1/12 de su vida.
3ro. Después de 1/7 de su vida se casó.
4to. Cinco años más tarde tuvo un hijo.
5to. El hijo vivió exactamente la mitad del tiempo que vivió su padre.
6to. Diofanto murió 4 años después que su hijo.
Por lo tanto, la ecuación correspondiente que da la edad de Diofanto es:
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 +x/2 + 4
Que se reduce a:
3/28 x = 9
x = 84
Es decir: Diofanto murió a los 84 años.
La obra de Diofanto permaneció aislada en la Escuela Griega. Ningún otro matemático griego se dedicó a ella, y esa rama
de la matemática desapareció con Diofanto. Sin embargo, es tal la importancia de su obra, que hasta el momento actual se
estudia en álgebra un tipo de ecuaciones que se llaman Ecuaciones Diofánticas.
La simple frase: “El total y su séptima parte hacen 19”, se encontró en un papiro egipcio que tiene 3600 años y muestra que
ya en esa época, el hombre resolvía ese problema algebraico.
En verdad, la opinión general esta de acuerdo en que la cuna del álgebra puede situarse en la India, donde aparecieron los
rudimentos de esa ciencia, y fue el pueblo árabe que tenía un intercambio comercial con la misma, allá por el año 750, el
que tomó esos conocimientos, los sistematizó, les aplico el razonamiento deductivo de la matemática griega, y de esa
combinación resulto el álgebra que, a través de distintas evoluciones, se conoce en nuestros días, es decir, que puede
considerarse a los Árabes los verdaderos creadores del álgebra, y hasta tal punto es así, que el vocablo Algebra es de
etimología árabe: se deriva de la palabra alchebr que significa reducción, suma.
Con las invasiones Musulmanas a Italia y España llegó el álgebra a nuestra cultura occidental.
Es interesante observar que, aun en la edad media, entre el siglo V y la mitad del siglo XV, calificada oscurantista, el
álgebra hizo progresos considerables, especialmente merced a Gerber, en Francia, y Leonardo de Pisa en Italia. Este
último fue uno de los que más divulgaron los conocimientos algebraicos en Europa, que en esos tiempos se limitaba a la
resolución de ecuaciones de primero y segundo grados. Pasar a la resolución de ecuaciones de grado superior al segundo
era sumamente difícil, y a Italia le cupo la gloria de contribuir con la resolución de este problema, pues fue uno de sus hijos,
Tartaglia, nacido en Brescia en 1500, el que llego a resolver las ecuaciones de tercer grado. A título de curiosidad histórica,
es interesante recordar que Tartaglia acepto el desafío de resolver treinta problemas en un tiempo inferior a 40 días, y que
él, mediante ecuaciones de tercer grado, logró resolver en dos horas.
FACULTAD DE INGENIERIA
Posteriormente, Cardano nacido en París en 1501, y muerto en Roma en 1576, contribuyó notablemente al desarrollo del
álgebra; y con la colaboración de su alumno Ferrari (1522 a 1565) llegó a establecer la expresión general de la solución de
las ecuaciones de cuarto grado. Pero, según parece, para llegar a este resultado utilizó ideas que pertenecen a Tartaglia,
el cual se disgustó tanto que retó a Cardano a un desafío matemático, un verdadero torneo científico, en la Ciudad de
Milán, y que despertó gran interés público.
Es necesario hacer notar que en esa época, las apuesta y los desafíos sobre problemas matemáticos sucedían con
frecuencia y con el mismo entusiasmo con que en la antigüedad se realizaban los certámenes poético literarios y los
torneos atléticos.
Fue el matemático francés Francisco Viete, nacido en Fontenay-le-Comte en 1540 y muerto en París en 1603, el creador
del álgebra moderna. Se ocupo en la resolución numérica de ecuaciones de grado superior al cuarto, ideo la
representación de las incógnitas mediante letras, y reglamento para estos símbolos, las operaciones ya utilizadas con los
números.
Es interesante recordar que Viete presto ayuda al Rey Enrique IV de Francia en la guerra contra España, logrando descifrar
cartas escritas en clave enviadas por España a sus gobernadores en los Países Bajos. Era tan difícil descifrar esa clave
que los españoles atribuyeron el descubrimiento de la misma a la magia y no a la intervención de un matemático.
CUESTIONARIO
1.- ¿Qué utilidad piensa que puede tener el álgebra en la vida corriente?. Dé un ejemplo
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.- Elabore un problema en el que se tenga como incógnita un dato que solo Ud. conoce.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.- Busque la biografía de un personaje que le parezca interesante y explique que es lo importante que aporto en el
desarrollo de la ciencia.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.






Valorar el rol de las leyes y propiedades del Álgebra en el desarrollo del pensamiento matemático.
Evaluar la aplicabilidad de los procesos algebraicos en la solución de problemas lógicos relativos al perfil
profesional.
Ejercitar el pensamiento critico alternativo y reflexivo como rasgo cuantitativo del perfil profesional.
Resolver problemas algebraicos a partir de conocimientos de leyes y propiedades.
Utiliza procesos lógicos de razonamiento algebraico en la propuesta y solución de problemas relativos al perfil
profesional
Detectar una situación problema a través de la lógica proposicional.
FACULTAD DE INGENIERIA
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I: CALCULO ALGEBRAICO.
TEMA 1. CALCULO ALGEBRAICO.
1.1. Conceptos generales y definiciones.
1.2. Operaciones con polinomios.
1.3. División sintética o regla de Ruffini.
TEMA 2. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.
2.1. Principales criterios de productos notables.
2.1.1. Producto de la forma (x+a) ( x+b).
2.1.2. Cuadrado de la suma de dos términos.
2.1.3. Cuadrado de la diferencia de dos términos.
2.1.4 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
2.1.5 Cubo de la diferencia de dos cantidades.
2.1.6 Producto de la Forma (a-b)(a+ab+b).
2.2. Principales criterios de factorización.
2.2.1. Factor común.
2.2.2. Factor común por agrupación de términos.
2.2.3. Trinomio cuadrado perfecto.
2.2.4. Trinomio de la forma x+Bx+C
2.2.5. Trinomio de la Forma Ax+Bx+C
2.2.6. Diferencia de cuadrados perfectos.
2.2.7. Suma y diferencia de cubos.
2.2.8. Cuadrinomio cubo perfecto
2.2.9. Factorización de un polinomio por el método de evaluación.
TEMA 3. FRACCIONES ALGEBRAICAS.
3.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
3.2. Simplificación de Fracciones.
3.3. Operaciones con fracciones algebraicas.
3.4. Fracciones compuestas.
TEMA 4. ECUACIONES ALGEBRAICAS.
4.1. Conceptos generales y definiciones.
4.2. Ecuaciones lineales.
4.3. Ecuaciones Cuadráticas.
4.4. Ecuación Bicuadrática.
4.5. Ecuaciones Irracionales.
4.6. Sistemas de ecuaciones lineales.
4.7. Sistemas de ecuaciones cuadráticas
4.8. Problemas de ecuación.
TEMA 5. NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES.
FACULTAD DE INGENIERIA
5.1. Números complejos.
5.2. Operaciones fundamentales.
5.2.1. Adición.
5.2.2. Sustracción.
5.2.3. Multiplicación.
5.2.4. División.
5.2.5. Propiedades.
5.3. Módulo y sus propiedades.
5.4. Forma polar de un número complejo.
5.5. Forma exponencial.
5.6. Teorema de D’Moivre.
UNIDAD 2: LOGICA MATEMATICA
1. Introducción.
2. Proposiciones.
2.1. Definición.
2.2. Notaciones y Conectivos lógicos
3. Operaciones proposicionales.
3.1. Negación.
3.2. Conjunción.
3.3. Disyunción.
3.4. Implicación o Conjunción.
3.5. Doble implicación o bicondicional
3.6. Disyunción exclusiva.
4. Formulas proposicionales.
4.1. Tabla de valores de verdad.
4.2. Clasificación de formulas proposicionales.
4.2.1. Tautología.
4.2.2. Contradicción.
4.2.3. Contingencia.
4.3. Equivalencia lógica.
4.4. Ejemplos adicionales.
5. Álgebra de proposiciones.
5.1. Leyes lógicas.
5.2. Simplificación.
6. Circuitos lógicos.
6.1. Circuitos en serie y en paralelo.
6.1.1. Circuitos en serie.
6.1.2. Circuitos en paralelo.
7. Inferencia lógica
7.1. Reglas de inferencia
8. Funciones proposicionales y su cuantificación.
8.1. Funciones proposicionales.
8.2. Cuantificadores.
Ejercicios.
UNIDAD 3: TEORIA DE CONJUNTOS.
FACULTAD DE INGENIERIA
1. Introducción.
2. Concepto y notación de conjunto.
2.1. Notación de conjuntos numéricos.
3. Determinación de un conjunto.
3.1 Por extensión.
3.2 Por comprensión.
4. Conjuntos especiales.
4.1. Conjunto unitario.
4.2. Conjunto vació.
4.3. Conjunto universal.
5. Relaciones entre conjuntos.
5.1. Inclusión de conjuntos.
5.2. Igualdad de conjuntos.
5.3. Conjuntos de partes.
6. Operaciones entre conjuntos.
6.1. Unión de conjuntos.
6.2. Intersección de conjuntos.
6.3. Complemento de un conjunto.
6.4. Diferencia de conjuntos.
6.5. Diferencia simétrica de conjuntos
7. Leyes de operaciones con conjuntos.
8. Cardinal de un conjunto
8.1. Propiedades.
9. Producto cartesiano.
Ejercicios.
UNIDAD 4: RELACIONES
1. Introducción.
2. Relaciones
2.1. Definición.
3. Dominio, imagen, relación inversa.
3.1. Dominio de R.
3.2. Imagen de R.
3.3. Relación inversa.
4. Composición de relaciones.
4.1. Propiedades de las relaciones.
5. Relaciones definidas en un conjunto.
5.1. Propiedades de las relaciones.
5.1.1. Relaciones reflexivas.
5.1.2. Relaciones simétricas.
5.1.3. Relaciones transitiva.
5.1.4. Relaciones antisimétrica.
UNIDAD 5: FUNCIONES.
1. Introducción.
2. Funciones.
FACULTAD DE INGENIERIA
2.1. Definición.
3. Composición de funciones.
3.1 Definición.
4. Clasificación de funciones.
4.1. Función inyectiva.
4.2. Función sobreyectiva.
4.3. Función biyectiva.
5. Funciones inversas.
III. BIBLIOGRAFÍA.







SEBASTIÁN LAZO Q. Álgebra Moderna, Imprenta Soipa Ltda.
PEDRO A. GUTIÉRREZ F. Álgebra I Editorial La Hoguera. Santa Cruz-Bolivia 2001.
ROJO O ARMANDO, Álgebra I Editorial El Ateneo, Buenos Aires 1986.
REES, Algebra, Editorial MacGrawHill.
VANCE, ADDISON WESLEY, Algebra y Trigonometría.
ROSS W., Matemáticas Discretas, Editorial Prentice-Hall,
ANGEL ALLEN, Matemáticas, Algebra Intermedia, Editorial Prentice-Hall, México 1994.
FACULTAD DE INGENIERIA
LOGICA SIMBÖLICA
La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite reconocer la validez de una argumentación, así como
también nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y
convincentes.
Simbolizar y Demostrar si los siguientes argumentos son o no razonamientos válidos.
a) Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la
verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del
crimen. El reloj está adelantado. Por tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen.
b) Si este mes es marzo, entonces el mes anterior fue febrero. Si el mes anterior fue febrero, entonces hace tres meses
fue diciembre. Si hace tres meses fue diciembre, entonces este mes es marzo. Si el mes que viene será abril, entonces
este mes es marzo. El mes pasado fue febrero. Por tanto, este mes es marzo.
c) Melissa está en el Consejo Facultativo, y Alex será elegido o Marlene será elegido para el próximo periodo del Centro
de Estudiantes. Si Melissa está en el Consejo Facultativo, entonces Marlene no será elegido para el próximo periodo del
Centro de Estudiantes. Si Alex fuera elegido, entonces Melissa no continuará durante todo el periodo presente en el
Consejo Facultativo.
d) Guyana obtiene 75 puntos en el examen de Álgebra u obtiene 80 puntos. Si Guyana obtiene 75 puntos en el examen
de Álgebra, entonces no logra la calificación de sobresaliente. Si obtiene 80 puntos en el examen de Álgebra, no logra la
calificación de sobresaliente. Si Guyana estudia, entonces logra la calificación de sobresaliente en el examen de Álgebra.
Por tanto, Guyana no estudia.
e) Para que Juan sea un excelente estudiante es necesario que estudie Álgebra. Si Juan estudia Álgebra, entonces
aprueba el curso. Por tanto, si Juan es un excelente estudiante, aprueba el curso.
CUESTIONARIO:
1. A través de la tabla de verdad, clasifique las proposiciones siguientes:
a. ( p  q)  r   q  ( p  q)
b.
 p  q  r    p  q   p  r 
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Simplificar las proposiciones siguientes
a.
b.
 p  (p  q)  p
( p  q)  ( p  q)  (p  q)
FACULTAD DE INGENIERIA
c. r  (r  s)  (s  r )
d. (q  p)  (p  q)
e. ( p  q)  (p  q)  q
f.
g.
h.
( p  q)  (p  q)  q
( p  q)  (p  q)  q
( p  q)  (p  q)  q
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Demostrar si los siguientes razonamientos válidos.
a. Demostrar: e  c
1) b   a
2)  b
3)  c  d
4)  a  (d   e)
b. Demostrar: x = w
1) x = y  x = z
2) x = z  x = w
3) x = y  x = 0
4) x = 0  x + w = 1
5)  (x + w = 1)
c.
1)
2)
3)
4)
5)
Demostrar:  t  s
p  q
p r
r  q
tq
s
d. Demostrar: x < 3
1) (x + 2 > 5)  x = 4
2) x = 4  (x + 4 ≮ 7)
3) x + 4 < 7
4) (x+2>5)  (5–x>2  x < 3)
e.
1)
2)
3)
4)
Demostrar: a  0
a  0  b 1
a bb  c
b  c  b 1
a b
f. Demostrar  u
1) (p  q)  (p   r)
2) p  s
3) s  t
4) (q   r)  (u  t)
5)  t
g.
1)
2)
3)
4)
Demostrar:  n  l
(p   q)  (r  s)
(  q  t)  (s   m)
(t   n)  (  m  l)
p r
h. Demostrar: x = 1
1)  (z < 3  x > y)  y = 2
2) x ≮ y  x = 1
3) x > z  x > y
4) x ≯ z  x < y
i. Demostrar:  s  r
1) s  p
2)  p   t
3)  t  r
j. Demostrar: x  7
1) x  6  ( x  7  x  7)
2)
3)
4)
5)
( x  6  x ≮ 6)  x  6
x  6  x  5  3)
x 53 x 7
x  5  3 x  6
FACULTAD DE INGENIERIA
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
FACULTAD DE INGENIERIA
CONJUNTOS Y RELACIONES
Hay que precisar que no existe una definición formal de lo que se entiende por conjunto. Se trata de un concepto primitivo.
Se consideran tres conceptos primitivos: el de conjunto, el de elemento de un conjunto y el de pertenencia a un conjunto.
Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos, a los que se llama elementos del conjunto.
Así, cuando un elemento a pertenece al conjunto S, se dice que el conjunto S contiene al elemento a, utilizándose la
notación a ∈ S.
El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas pues se encuentra, implícita o explícitamente, en todas las ramas
de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y la terminología de los conjuntos se utilizan
para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos tales como el
concepto de infinito.
Un conjunto S está definido si, dado un objeto cualquiera a, se sabe con seguridad si pertenece o no al conjunto
Sea la función f de un conjunto A en un conjunto B notada f.A-B es una ley que asocia a cada elemento de A, exactamente
un elemento de B; el conjunto A se denomina DOMINIO DE LA FUNCION, el conjunto B se denomina CODOMINIO y los
elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado RECORRIDO O RANGO
DE LA FUNCION. Si x es un elemento del dominio, la notación f(x) se utiliza para designar el elemento que en el recorrido
corresponde a x en la función f, y se denomina VALOR DE LA FUNCIÓN EN x o imagen de x por
CUESTIONARIO:
1.- Encontrar los valores de a y b , sabiendo que:
a) (2a  3b, 3a  b)  (20,3)
b) (a  b, 2b  a)  (3,3)
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Si S  5,7,9,11 y T  1, 4,10,14,15 . Analice cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de S en T.
S1  ( x, y)  S  T / y  10
b) S 2  ( x, y)  S  T / y  2 x
c) S 3  ( x, y)  S  T / x  y
a)
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
FACULTAD DE INGENIERIA
3. Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes relaciones:
a)
R1  ( x, y)  R  R / x  3  2  x  5

b) R2  ( x, y)  R  R / xy  2 y  x  2

4. Sean las relaciones: P1  ( x, y )  R  R / y  2 x 2  4
y P2  ( x, y)  R  R / y  x  6 .
a) Graficar P1 ∩ P2
b) Determinar el dominio y rango de P1 ∩ P2
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________


5. Sean las relaciones: S 1  ( x, y)  R  R / x 2  y 2  1 y S 2  ( x, y)  R  R / x  y  1.
a) Graficar S1 ∩ S2
b) Determinar el dominio y rango de S1 ∩ S2
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________


6. Dadas las relaciones: R1  ( x, y)  R  R / x 2  y 2  25 y R2  ( x, y)  R  R / x  y  5
a) Graficar R1 ∩ R2
b) Determinar el dominio y rango de R1 ∩ R2
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
7. 9. En A  x, y, x .
Defina:
a) Una relación simétrica pero no reflexiva
b) Una relación transitiva pero no simétrica
c) Una relación reflexiva pero no simétrica ni transitiva
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
FACULTAD DE INGENIERIA
_____________________________________________________________________________
FUNCION
Sea la función f de un conjunto A en un conjunto B notada f.A-B es una ley que asocia a cada elemento de A, exactamente
un elemento de B; el conjunto A se denomina DOMINIO DE LA FUNCION, el conjunto B se denomina CODOMINIO y los
elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado RECORRIDO O RANGO
DE LA FUNCION.
Si x es un elemento del dominio, la notación f(x) se utiliza para designar el elemento que en el recorrido corresponde a x en
la función f, y se denomina VALOR DE LA FUNCIÓN EN x o imagen de x por
CUESTIONARIO:
1. Analizar cuáles de las siguientes relaciones reales son funciones. Luego dar el dominio y rango de cada función o
relación no funcional. Ilustrar con la gráfica correspondiente en cada caso:
a)
( x, y)  R  R / y  9
( x, y)  R  R / y  x 
2

d) ( x, y)  R  R / y  x 
c) ( x, y)  R  R / x 2  y 2  16
b)
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2
2. Si f ( x) 
a)
3
x2
, donde x  1. Determine:
x 1
f ( m  2)  f (  m )
, m  0;
m
b)
f (h  1)  f (h)
, h0
h
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Encontrar el dominio y el rango, graficar cada función cuya ley de correspondencia se da a continuación:

FACULTAD DE INGENIERIA
 2x  5

a) f ( x)   x 2  x
 x4

si
x9
si  9  x  9
si
x  9
 x  2 si  4  x  2

b) g ( x)   1 / x si  2  x  4
 x  4 si
4 x6

_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4. Clasificar las siguientes funciones y hallar su inversa:
x3
 1
1
  R    / f ( x) 
2x  1
 2
2
2x  1
b) g : R  R / g ( x) 
x2
x 1
c) h : R  R / h( x) 
x 1
a) f : R  
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
f ( x)  x 2  3x  2 y g ( x)  3x  2 , definen funciones reales.
( f  g ) ( x )  ( f  g ) ( 2)
Calcular:
, para x  2
x2
5. Si
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
6. Si f ( x) 
x  1 , g ( x)  2 x  2 , h( x)  x 2  5 ; Hallar:
a) (h  f )  g ( x ) , b) g  (h  f )( 2 ) , c) ( f  h) ( 3) , d) ( g  h) (
2)
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
FACULTAD DE INGENIERIA
_____________________________________________________________________________
ECUACIÓN GENERAL DE TERCER GRADO
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
ax³ + bx² + cx + d = 0,
donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo,
donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad
siguiente es válida:
(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3
Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de
segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que
todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del
Álgebra.
Los pasos de la resolución son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:
x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.

Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar (z - b'/3)3
con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en
b'(z - b'/3)2. Se obtiene:
z3 + pz + q = 0, con p y q números del cuerpo.

y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.
La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0.
Desarrollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0.
Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0.
Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condición adicional.
Concretamente:
3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 .

Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3.
Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver.
Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y
v0 son estas raíces cúbicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la
unidad.
FACULTAD DE INGENIERIA
Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0).
Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.
CUESTIONARIO:
1.- Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0, halle sus raices.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2.- La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0, encuentre sus raíces.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
FACULTAD DE INGENIERIA
EXPRESION ALGERAICA
Dentro del proceso de solución de un ejercicio, problema o exposición de una teoría, un símbolo (generalmente una letra)
que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real.
Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables
que estén ligadas por alguno de los símbolos
en un número finito.
CUESTIONARIO:
I. Efectuar las operaciones siguientes
2
1
3
5
3
4
4
5
3   7  11  ,
1.


1  20 2 
1
5
4
5
4
1
24
2
  1 3 1 1 
 
 25    
   2  23  
2. 
,
3
2
 3 1   1  
  3   3    2  


2 5.5 4 .10 x  y .10 y  x .10 y 1
4.
,
10 y 1.10 2 y 1.2 6 .5 3
nx m x n 1  mx n x m1 x n
5.
 m
x 2m
x
2
2
m
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
II. Efectuar las operaciones siguientes
1.
x 4  xy 3  x 3 y  2 x 2 y 2  y 4
,
xy  x 2  y 2
x2  x  2 x  2
 2
3.
,
x 1
x 4
2.
1
1
a2  b2


a 2  ab ab a 2 b  ab 2
x2 1
x2  x  6
3x  4
 2
 2
4. 2
x  2 x 3x  7 x  4 x  4 x  3
5.
2x
2x 3  2x 2
1
x 2  x  6  x 2  2 x  8 x 2  x  12 



,
6.


x 1
1  x3
x2  x 1
x 2  x  6  x 2  2 x  8 x 2  x  12 
7.
a
a 1
6
,

 2
a  2 a 1 a  a  2
8.
n

1 
1
 x    x  
y 
y

3.
m
n
1 
1

y

y


 

x 
x

a
b
c


(c  a)( a  b) (a  b)(b  c) (b  c)(c  a)
FACULTAD DE INGENIERIA
1
x
x
 1



2
2  2x 2
 3  3x 3  3x 6  6 x
9. 
10. Hallar el valor de:
  3 3
   3x  
x
 
x  y 1
a 1
ab  a
, para x 
, y
ab  1
ab  1
x  y 1
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
III. Efectuar las operaciones siguientes
1

1. x  1
1

x 1
125 2 45 3 245


, 5.
5
3
7
4.
6.
x y x y

x y x y
2.
,
x 2  xy  y 2
1
x2  y2
1
x 1 ,
1
x 1
3
22  7  3
22  7 ,
7.
a
3.
ab
ab
a b

b a

8
2 

 

8 2  8 2
8  2 
8 2
3
2 3 5
,

 
8. 3  2 3  2 3  4 3

1
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
IV. Resolver las siguientes ecuaciones:
1.
3.
5
3
5
,

 2
x  4 x  5 x  9 x  20
x 1  x 1
x 1  x 1
 2,
2.
x 3
x 3  2 x
3
x  y 1
 x  y  1   17
4. 
x  y 1

 15
 x  y  1
FACULTAD DE INGENIERIA
y
1
 x



6.  a  b a  b a  b
y
x
1



a  b a  b a  b
2 x  3 y  20
5. 
,
 3 x  5 y  11
7. La suma de las edades de una señora, su esposo y su hija es de 84 años. La quinta parte de la edad de la hija es igual
a la diferencia entre las edades del padre y de la madre. La suma de las edades de la madre y la hija es igual a 4/3 de la
edad del padre. La edad de la hija, es ...
8. Hallar dos números sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cociente es 2 y el resto 3.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
V. Resolver las siguientes ecuaciones:
1.
1  2x x  2

,
3  x 3x  1
2.
4.
x 2  2x  1  2  x ,
7.
x3

6
x3

2

2 x  1 x  2 10

 ,
x  2 2x  1 3
5.
3.
2x  1  1
 2,
3x  1  2
8. a 2 x 2  abx  acx  bc  0 ,
 5,

2
1
1 1 x
2

1
1 1 x
1. log 2 ( x  2)  log 2 ( x  1)  2  log 2 40
2. 2 log x  log 192  log 3  log 4
3.
(log 2 1024)(log 9 81)(log 4 256)
(log 7 49)(log 3 243)(log 2 16)

6. 4 x 4  17 x 2  4  0
9. 10 x 4  23x 2  5
10. x 2  2  9 x 2  2  14  0
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
VI. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
2
3
x2
FACULTAD DE INGENIERIA
4. 2 x
2
3 x
 16
5. 4 x  2 x  2  98
6. b x 1b 3 x  b 5
7. Despejar d de: 2r.l.n  T /  .d
 (1  i ) n  i 
8. Despejar n de: M  k 

n
 (1  i )  1
9. Despejar n de: P  a
(1  i ) n  1
i  (1  i ) n 1
10. Despejar i de: L  a
(i.n) 2
9i  10 s
t
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
CONCLUSION:
Al finalizar el semestre con la materia de Algebra, podemos decir que hemos practicado bastante en el curso,
desde Factorizar, ecuaciones lineales, la Formula general, productos Notables y hasta Fracciones Algebraicas y
demás temas que están en el Contenido de la Materia, siempre con la Consigna ¨ La práctica hace al maestro ¨
y con la práctica realizada aseguramos el inicio de la Formación de la carrera de Ingeniería.
FACULTAD DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA