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FACULTAD DE INGENIERIA RED NACIONAL UNIVERSITARIA SYLLABUS Facultad de Ingeniería Ingeniería Ambiental PRIMER SEMESTRE Gestión Académica I/2006 FACULTAD DE INGENIERIA UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01 VISION DE LA UNIVERSIDAD Ser la Universidad líder en calidad educativa. MISION DE LA UNIVERSIDAD Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad. FACULTAD DE INGENIERIA SYLLABUS Asignatura: Código: Requisito: Carga Horaria: Créditos: Álgebra MAT 101 Ninguno 80 horas 8 I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. Valorar el rol de las leyes y propiedades del Álgebra en el desarrollo del pensamiento matemático. Evaluar la aplicabilidad de los procesos algebraicos en la solución de problemas lógicos relativos al perfil profesional. Ejercitar el pensamiento critico alternativo y reflexivo como rasgo cuantitativo del perfil profesional. Resolver problemas algebraicos a partir de conocimientos de leyes y propiedades. Utiliza procesos lógicos de razonamiento algebraico en la propuesta y solución de problemas relativos al perfil profesional Detectar una situación problema a través de la lógica proposicional. II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA. UNIDAD I: CALCULO ALGEBRAICO. TEMA 1. CALCULO ALGEBRAICO. 1.1. Conceptos generales y definiciones. 1.2. Operaciones con polinomios. 1.3. División sintética o regla de Ruffini. TEMA 2. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. 2.1. Principales criterios de productos notables. 2.1.1. Producto de la forma (x+a) ( x+b). 2.1.2. Cuadrado de la suma de dos términos. 2.1.3. Cuadrado de la diferencia de dos términos. 2.1.4 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades. 2.1.5 Cubo de la diferencia de dos cantidades. 2.1.6 Producto de la Forma (a-b)(a+ab+b). 2.2. Principales criterios de factorización. 2.2.1. Factor común. 2.2.2. Factor común por agrupación de términos. 2.2.3. Trinomio cuadrado perfecto. 2.2.4. Trinomio de la forma x+Bx+C 2.2.5. Trinomio de la Forma Ax+Bx+C FACULTAD DE INGENIERIA 2.2.6. Diferencia de cuadrados perfectos. 2.2.7. Suma y diferencia de cubos. 2.2.8. Cuadrinomio cubo perfecto 2.2.9. Factorización de un polinomio por el método de evaluación. TEMA 3. FRACCIONES ALGEBRAICAS. 3.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. 3.2. Simplificación de Fracciones. 3.3. Operaciones con fracciones algebraicas. 3.4. Fracciones compuestas. TEMA 4. ECUACIONES ALGEBRAICAS. 4.1. Conceptos generales y definiciones. 4.2. Ecuaciones lineales. 4.3. Ecuaciones Cuadráticas. 4.4. Ecuación Bicuadrática. 4.5. Ecuaciones Irracionales. 4.6. Sistemas de ecuaciones lineales. 4.7. Sistemas de ecuaciones cuadráticas 4.8. Problemas de ecuación. TEMA 5. NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES. 5.1. Números complejos. 5.2. Operaciones fundamentales. 5.2.1. Adición. 5.2.2. Sustracción. 5.2.3. Multiplicación. 5.2.4. División. 5.2.5. Propiedades. 5.3. Módulo y sus propiedades. 5.4. Forma polar de un número complejo. 5.5. Forma exponencial. 5.6. Teorema de D’Moivre. UNIDAD 2: LOGICA MATEMATICA 1. Introducción. 2. Proposiciones. 2.1. Definición. 2.2. Notaciones y Conectivos lógicos 3. Operaciones proposicionales. 3.1. Negación. 3.2. Conjunción. 3.3. Disyunción. 3.4. Implicación o Conjunción. 3.5. Doble implicación o bicondicional FACULTAD DE INGENIERIA 3.6. Disyunción exclusiva. 4. Formulas proposicionales. 4.1. Tabla de valores de verdad. 4.2. Clasificación de formulas proposicionales. 4.2.1. Tautología. 4.2.2. Contradicción. 4.2.3. Contingencia. 4.3. Equivalencia lógica. 4.4. Ejemplos adicionales. 5. Álgebra de proposiciones. 5.1. Leyes lógicas. 5.2. Simplificación. 6. Circuitos lógicos. 6.1. Circuitos en serie y en paralelo. 6.1.1. Circuitos en serie. 6.1.2. Circuitos en paralelo. 7. Inferencia lógica 7.1. Reglas de inferencia 8. Funciones proposicionales y su cuantificación. 8.1. Funciones proposicionales. 8.2. Cuantificadores. Ejercicios. UNIDAD 3: TEORIA DE CONJUNTOS. 1. Introducción. 2. Concepto y notación de conjunto. 2.1. Notación de conjuntos numéricos. 3. Determinación de un conjunto. 3.1 Por extensión. 3.2 Por comprensión. 4. Conjuntos especiales. 4.1. Conjunto unitario. 4.2. Conjunto vació. 4.3. Conjunto universal. 5. Relaciones entre conjuntos. 5.1. Inclusión de conjuntos. 5.2. Igualdad de conjuntos. 5.3. Conjuntos de partes. 6. Operaciones entre conjuntos. 6.1. Unión de conjuntos. 6.2. Intersección de conjuntos. 6.3. Complemento de un conjunto. 6.4. Diferencia de conjuntos. 6.5. Diferencia simétrica de conjuntos 7. Leyes de operaciones con conjuntos. 8. Cardinal de un conjunto 8.1. Propiedades. 9. Producto cartesiano. Ejercicios. FACULTAD DE INGENIERIA UNIDAD 4: RELACIONES 1. Introducción. 2. Relaciones 2.1. Definición. 3. Dominio, imagen, relación inversa. 3.1. Dominio de R. 3.2. Imagen de R. 3.3. Relación inversa. 4. Composición de relaciones. 4.1. Propiedades de las relaciones. 5. Relaciones definidas en un conjunto. 5.1. Propiedades de las relaciones. 5.1.1. Relaciones reflexivas. 5.1.2. Relaciones simétricas. 5.1.3. Relaciones transitiva. 5.1.4. Relaciones antisimétrica. UNIDAD 5: FUNCIONES. 1. Introducción. 2. Funciones. 2.1. Definición. 3. Composición de funciones. 3.1 Definición. 4. Clasificación de funciones. 4.1. Función inyectiva. 4.2. Función sobreyectiva. 4.3. Función biyectiva. 5. Funciones inversas. III. BIBLIOGRAFÍA. SEBASTIÁN LAZO Q. Álgebra Moderna, Imprenta Soipa Ltda. PEDRO A. GUTIÉRREZ F. Álgebra I Editorial La Hoguera. Santa Cruz-Bolivia 2001. ROJO O ARMANDO, Álgebra I Editorial El Ateneo, Buenos Aires 1986. REES, Algebra, Editorial MacGrawHill. VANCE, ADDISON WESLEY, Algebra y Trigonometría. ROSS W., Matemáticas Discretas, Editorial Prentice-Hall, ANGEL ALLEN, Matemáticas, Algebra Intermedia, Editorial Prentice-Hall, México 1994. FACULTAD DE INGENIERIA IV. CONTROL DE EVALUACIONES 1° evaluación parcial Fecha Nota 2° evaluación parcial Fecha Nota Examen final Fecha Nota APUNTES FACULTAD DE INGENIERIA WORK PAPER # 1 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS 4 ELABORÓ: CÓDIGO: TÍTULO DEL WORK PAPER: : Lógica Simbólica DPTO.: Facultad de Ingeniería DESTINADO A: DOCENTES ALUMNOS OBSERVACIONES: Asignatura Calculo I FECHA DE DIFUSIÓN: FECHA DE ENTREGA: X ADMINIST. OTROS FACULTAD DE INGENIERIA LOGICA SIMBÖLICA La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Simbolizar y Demostrar si los siguientes argumentos son o no razonamientos válidos. a) Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj está adelantado. Por tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. b) Si este mes es marzo, entonces el mes anterior fue febrero. Si el mes anterior fue febrero, entonces hace tres meses fue diciembre. Si hace tres meses fue diciembre, entonces este mes es marzo. Si el mes que viene será abril, entonces este mes es marzo. El mes pasado fue febrero. Por tanto, este mes es marzo. c) Melissa está en el Consejo Facultativo, y Alex será elegido o Marlene será elegido para el próximo periodo del Centro de Estudiantes. Si Melissa está en el Consejo Facultativo, entonces Marlene no será elegido para el próximo periodo del Centro de Estudiantes. Si Alex fuera elegido, entonces Melissa no continuará durante todo el periodo presente en el Consejo Facultativo. d) Guyana obtiene 75 puntos en el examen de Álgebra u obtiene 80 puntos. Si Guyana obtiene 75 puntos en el examen de Álgebra, entonces no logra la calificación de sobresaliente. Si obtiene 80 puntos en el examen de Álgebra, no logra la calificación de sobresaliente. Si Guyana estudia, entonces logra la calificación de sobresaliente en el examen de Álgebra. Por tanto, Guyana no estudia. e) Para que Juan sea un excelente estudiante es necesario que estudie Álgebra. Si Juan estudia Álgebra, entonces aprueba el curso. Por tanto, si Juan es un excelente estudiante, aprueba el curso. CUESTIONARIO: 1. A través de la tabla de verdad, clasifique las proposiciones siguientes: a. ( p q) r q ( p q) b. p q r p q p r _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. Simplificar las proposiciones siguientes a. b. c. p (p q) p ( p q) ( p q) (p q) r (r s) (s r) FACULTAD DE INGENIERIA d. (q p) (p q) e. ( p q) (p q) q f. g. h. ( p q) (p q) q ( p q) (p q) q ( p q) (p q) q _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3. Demostrar si los siguientes razonamientos válidos. a. Demostrar: e c 1) b a 2) b 3) c d 4) a (d e) b. Demostrar: x = w 1) x = y x = z 2) x = z x = w 3) x = y x = 0 4) x = 0 x + w = 1 5) (x + w = 1) c. 1) 2) 3) 4) 5) Demostrar: t s p q p r r q tq s d. Demostrar: x < 3 1) (x + 2 > 5) x = 4 2) x = 4 (x + 4 ≮ 7) 3) x + 4 < 7 4) (x+2>5) (5–x>2 x < 3) e. 1) 2) 3) 4) Demostrar: a 0 a 0 b 1 a bb c b c b 1 a b f. Demostrar u 1) (p q) (p r) 2) p s 3) s t 4) (q r) (u t) 5) t g. 1) 2) 3) 4) Demostrar: n l (p q) (r s) ( q t) (s m) (t n) ( m l) p r h. Demostrar: x = 1 1) (z < 3 x > y) y = 2 2) x ≮ y x = 1 3) x > z x > y 4) x ≯ z x < y i. Demostrar: s r 1) s p 2) p t 3) t r j. Demostrar: x 7 1) x 6 ( x 7 x 7) 2) 3) 4) 5) ( x 6 x ≮ 6) x 6 x 6 x 5 3) x 53 x 7 x 5 3 x 6 FACULTAD DE INGENIERIA _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ FACULTAD DE INGENIERIA WORK PAPER # 2 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS 3 ELABORÓ: CÓDIGO: TÍTULO DEL WORK PAPER: Conjuntos y Relaciones DPTO.: Facultad de Ingeniería DESTINADO A: DOCENTES ALUMNOS OBSERVACIONES: Asignatura Algebra FECHA DE DIFUSIÓN: Abril 2006 FECHA DE ENTREGA: Mayo 2006 X ADMINIST. OTROS FACULTAD DE INGENIERIA CONJUNTOS Y RELACIONES Hay que precisar que no existe una definición formal de lo que se entiende por conjunto. Se trata de un concepto primitivo. Se consideran tres conceptos primitivos: el de conjunto, el de elemento de un conjunto y el de pertenencia a un conjunto. Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos, a los que se llama elementos del conjunto. Así, cuando un elemento a pertenece al conjunto S, se dice que el conjunto S contiene al elemento a, utilizándose la notación a ∈ S. El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas pues se encuentra, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y la terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos tales como el concepto de infinito. Un conjunto S está definido si, dado un objeto cualquiera a, se sabe con seguridad si pertenece o no al conjunto Sea la función f de un conjunto A en un conjunto B notada f.A-B es una ley que asocia a cada elemento de A, exactamente un elemento de B; el conjunto A se denomina DOMINIO DE LA FUNCION, el conjunto B se denomina CODOMINIO y los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado RECORRIDO O RANGO DE LA FUNCION. Si x es un elemento del dominio, la notación f(x) se utiliza para designar el elemento que en el recorrido corresponde a x en la función f, y se denomina VALOR DE LA FUNCIÓN EN x o imagen de x por CUESTIONARIO: 1.- Encontrar los valores de a y b , sabiendo que: a) (2a 3b, 3a b) (20,3) b) (a b, 2b a) (3,3) _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. Si S 5,7,9,11 y T 1, 4,10,14,15 . Analice cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de S en T. S1 ( x, y) S T / y 10 b) S 2 ( x, y) S T / y 2 x c) S 3 ( x, y) S T / x y a) _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ FACULTAD DE INGENIERIA 3. Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes relaciones: a) R1 ( x, y) R R / x 3 2 x 5 b) R2 ( x, y) R R / xy 2 y x 2 4. Sean las relaciones: P1 ( x, y ) R R / y 2 x 2 4 y P2 ( x, y) R R / y x 6 . a) Graficar P1 ∩ P2 b) Determinar el dominio y rango de P1 ∩ P2 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 5. Sean las relaciones: S 1 ( x, y) R R / x 2 y 2 1 y S 2 ( x, y) R R / x y 1. a) Graficar S1 ∩ S2 b) Determinar el dominio y rango de S1 ∩ S2 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 6. Dadas las relaciones: R1 ( x, y) R R / x 2 y 2 25 y R2 ( x, y) R R / x y 5 a) Graficar R1 ∩ R2 b) Determinar el dominio y rango de R1 ∩ R2 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7. 9. En A x, y, x . Defina: a) Una relación simétrica pero no reflexiva b) Una relación transitiva pero no simétrica c) Una relación reflexiva pero no simétrica ni transitiva _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ FACULTAD DE INGENIERIA WORK PAPER # 3 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS 2 ELABORÓ: CÓDIGO: TÍTULO DEL WORK PAPER: Funciones DPTO.: Facultad de Ingeniería DESTINADO A: DOCENTES ALUMNOS OBSERVACIONES: Asignatura Algebra FECHA DE DIFUSIÓN: FECHA DE ENTREGA: X ADMINIST. OTROS FACULTAD DE INGENIERIA FUNCION Sea la función f de un conjunto A en un conjunto B notada f.A-B es una ley que asocia a cada elemento de A, exactamente un elemento de B; el conjunto A se denomina DOMINIO DE LA FUNCION, el conjunto B se denomina CODOMINIO y los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado RECORRIDO O RANGO DE LA FUNCION. Si x es un elemento del dominio, la notación f(x) se utiliza para designar el elemento que en el recorrido corresponde a x en la función f, y se denomina VALOR DE LA FUNCIÓN EN x o imagen de x por CUESTIONARIO: 1. Analizar cuáles de las siguientes relaciones reales son funciones. Luego dar el dominio y rango de cada función o relación no funcional. Ilustrar con la gráfica correspondiente en cada caso: a) ( x, y) R R / y 9 ( x, y) R R / y x 2 d) ( x, y) R R / y x c) ( x, y) R R / x 2 y 2 16 b) _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2 2. Si f ( x) a) 3 x2 , donde x 1. Determine: x 1 f ( m 2) f ( m ) , m 0; m b) f (h 1) f (h) , h0 h _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3. Encontrar el dominio y el rango, graficar cada función cuya ley de correspondencia se da a continuación: 2x 5 a) f ( x) x 2 x x4 si x9 si 9 x 9 si x 9 x 2 si 4 x 2 b) g ( x) 1 / x si 2 x 4 x 4 si 4 x6 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ FACULTAD DE INGENIERIA _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4. Clasificar las siguientes funciones y hallar su inversa: x3 1 1 R / f ( x) 2x 1 2 2 2x 1 b) g : R R / g ( x) x2 x 1 c) h : R R / h( x) x 1 a) f : R _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ f ( x) x 2 3x 2 y g ( x) 3x 2 , definen funciones reales. ( f g ) ( x ) ( f g ) ( 2) Calcular: , para x 2 x2 5. Si _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 6. Si f ( x) x 1 , g ( x) 2 x 2 , h( x) x 2 5 ; Hallar: a) (h f ) g ( x ) , b) g (h f )( 2 ) , c) ( f h) ( 3) , d) ( g h) ( 2) _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ FACULTAD DE INGENIERIA WORK PAPER # 4 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS 5 ELABORÓ: CÓDIGO: TÍTULO DEL WORK PAPER: Ecuación General de tercer Grado DPTO.: Facultad de Ingeniería DESTINADO A: DOCENTES ALUMNOS OBSERVACIONES: Asignatura Algebra FECHA DE DIFUSIÓN: FECHA DE ENTREGA: X ADMINIST. OTROS FACULTAD DE INGENIERIA ECUACIÓN GENERAL DE TERCER GRADO Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: ax³ + bx² + cx + d = 0, donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida: (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax 3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra. Los pasos de la resolución son: Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene: x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a. Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene: z3 + pz + q = 0, con p y q números del cuerpo. y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v. La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0. Desarrollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0. Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0. Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0. Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condición adicional. Concretamente: 3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 . Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3. Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver. Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cúbicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad. Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0). Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3. CUESTIONARIO: 1.- Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0, halle sus raices. FACULTAD DE INGENIERIA _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2.- La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0, encuentre sus raíces. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ FACULTAD DE INGENIERIA WORK PAPER # 5 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS 4 ELABORÓ: CÓDIGO: TÍTULO DEL WORK PAPER: Expresión Algebraica DPTO.: Facultad de Ingeniería DESTINADO A: DOCENTES ALUMNOS OBSERVACIONES: Asignatura Algebra FECHA DE DIFUSIÓN: Abril 2006 FECHA DE ENTREGA: Mayo 2006 X ADMINIST. OTROS FACULTAD DE INGENIERIA EXPRESION ALGERAICA Dentro del proceso de solución de un ejercicio, problema o exposición de una teoría, un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real. Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos en un número finito. CUESTIONARIO: I. Efectuar las operaciones siguientes 2 1 3 5 3 4 4 5 3 7 11 , 1. 1 20 2 1 5 4 5 4 1 24 2 1 3 1 1 25 2 23 2. , 3 2 3 1 1 3 3 2 2 5.5 4 .10 x y .10 y x .10 y 1 4. , 10 y 1.10 2 y 1.2 6 .5 3 nx m x n 1 mx n x m1 x n 5. m x 2m x 2 2 m _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ II. Efectuar las operaciones siguientes 1. x 4 xy 3 x 3 y 2 x 2 y 2 y 4 , xy x 2 y 2 x2 x 2 x 2 2 3. , x 1 x 4 2. 1 1 a2 b2 a 2 ab ab a 2 b ab 2 x2 1 x2 x 6 3x 4 2 2 4. 2 x 2 x 3x 7 x 4 x 4 x 3 5. 2x 2x 3 2x 2 1 x 2 x 6 x 2 2 x 8 x 2 x 12 , 6. x 1 1 x3 x2 x 1 x 2 x 6 x 2 2 x 8 x 2 x 12 7. a a 1 6 , 2 a 2 a 1 a a 2 8. n 1 1 x x y y 3. m n 1 1 y y x x a b c (c a)( a b) (a b)(b c) (b c)(c a) FACULTAD DE INGENIERIA 1 x x 1 2 2 2x 2 3 3x 3 3x 6 6 x 9. 10. Hallar el valor de: 3 3 3x x x y 1 a 1 ab a , para x , y ab 1 ab 1 x y 1 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ III. Efectuar las operaciones siguientes 1 1. x 1 1 x 1 125 2 45 3 245 , 5. 5 3 7 4. 6. x y x y x y x y 2. , x 2 xy y 2 1 x2 y2 1 x 1 , 1 x 1 3 22 7 3 22 7 , 7. a 3. ab ab a b b a 8 2 8 2 8 2 8 2 8 2 3 2 3 5 , 8. 3 2 3 2 3 4 3 1 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ IV. Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 3. 5 3 5 , 2 x 4 x 5 x 9 x 20 x 1 x 1 x 1 x 1 2, 2. x 3 x 3 2 x 3 x y 1 x y 1 17 4. x y 1 15 x y 1 FACULTAD DE INGENIERIA y 1 x 6. a b a b a b y x 1 a b a b a b 2 x 3 y 20 5. , 3 x 5 y 11 7. La suma de las edades de una señora, su esposo y su hija es de 84 años. La quinta parte de la edad de la hija es igual a la diferencia entre las edades del padre y de la madre. La suma de las edades de la madre y la hija es igual a 4/3 de la edad del padre. La edad de la hija, es ... 8. Hallar dos números sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cociente es 2 y el resto 3. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ V. Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 1 2x x 2 , 3 x 3x 1 2. 4. x 2 2x 1 2 x , 7. x3 6 x3 2 2 x 1 x 2 10 , x 2 2x 1 3 5. 3. 2x 1 1 2, 3x 1 2 8. a 2 x 2 abx acx bc 0 , 5, 2 1 1 1 x 2 1 1 1 x 1. log 2 ( x 2) log 2 ( x 1) 2 log 2 40 2. 2 log x log 192 log 3 log 4 3. (log 2 1024)(log 9 81)(log 4 256) (log 7 49)(log 3 243)(log 2 16) 6. 4 x 4 17 x 2 4 0 9. 10 x 4 23x 2 5 10. x 2 2 9 x 2 2 14 0 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ VI. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: 2 3 x2 FACULTAD DE INGENIERIA 4. 2 x 2 3 x 16 5. 4 x 2 x 2 98 6. b x 1b 3 x b 5 7. Despejar d de: 2r.l.n T / .d (1 i ) n i 8. Despejar n de: M k n (1 i ) 1 9. Despejar n de: P a (1 i ) n 1 i (1 i ) n 1 10. Despejar i de: L a (i.n) 2 9i 10 s t _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 001 09/12/2005 ALGEBRA I: REVOLUCIÓN CIENTÍFICO TÉCNICA EN EL SIGLO XX IMPLICACIONES EN LA SOCIEDAD Introducción Los avances científicos y técnicos han cambiado radicalmente la vida cotidiana de las personas. La ciencia, sobre todo la Física, tuvo un avance espectacular a comienzos de siglo. La aplicación práctica de esas teorías a las máquinas y a las tareas, tradicionales o nuevas, han cambiado radicalmente la vida cotidiana de la gente. La revolución científica Durante el siglo XIX la ciencia cambia radicalmente, se crean las ciencias modernas y se ponen las bases para que aparezcan teorías nuevas que revolucionan nuestra visión del mundo. El invento más transcendente ha sido la electricidad. Matemáticas Las matemáticas se comenzaron a aplicar a la física, aparece la teoría de los determinantes y las matrices. En el siglo XX el cálculo de matrices será una herramienta fundamental en la mecánica cuántica. También aparece el cálculo vectorial, la aplicación del álgebra de George Boole, y la geometría no euclidea. En la actualidad las Matemáticas son una ciencia extraordinariamente ramificada. La lógica matemática, el álgebra general, el cálculo de probabilidades, las estructuras, la topología y la teoría de conjuntos son campos omnipresentes en la matemática contemporánea. Física La teoría de la relatividad es la última teoría de corte clásico, aunque revoluciona los conceptos de espacio y tiempo. En realidad es una teoría sobre la gravedad. En 1905 Albert Einstein formula la teoría especial de la relatividad y en 1916 la teoría general de la relatividad. La mecánica cuántica es la teoría que ha revolucionado todas las ciencias. Está en el fondo de todas las tecnologías modernas. 1900 Max Planck es quien formula lo principal de la teoría cuántica. Planck afirma que la energía no se transmite de forma continua sino en paquetes, a los que llama cuanta. Niels Bohr formula en 1913 un nuevo modelo atómico, en el que distribuye los electrones en niveles de energía, a un cuanta de distancia. Arnold Sommerfeld se imagina al átomo con un núcleo central y los electrones en órbita elíptica alrededor de núcleo. Werner Heisenberg formula en 1927 el principio de incertidumbre. En 1941 el proyecto Manhattan construye la bomba atómica. Química, Biología y Medicina La Química a comprendido la naturaleza de los enlaces químicos. Esto a permitido la aparición de materiales nuevos, como los plásticos, los disolventes, anticongelantes, derivados del petróleo, medicinas, la fotografía, etc. En Biología encontramos, combinados, los avances de la física y la química. Santiago Ramón y Cajal descubre las neuronas, Paulov el reflejo condicionado, Fleming la penicilina. Aparece la bioquímica, el ADN. Severo Ochoa sintetiza el ARN. Las investigaciones de la estructura de los seres vivos llevan a permitir la manipulación genética. Estas mismas investigaciones permiten los avances en Medicina. Aparecen nuevos fármacos, la anestesia, la transfusión directa de sangre, la antihistamina, los rayos X, el antibiótico químico, el marca pasos, el transplante. FACULTAD DE INGENIERIA
