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Resolución de triángulos
esféricos oblicuángulos
Tema 5
Repaso de las fórmulas generales
de los
Triángulos esféricos
Repaso de las propiedades de los triángulos esféricos.
1. En todo ΔABC los lados y los ángulos son menores que 180º:
a, b, c, A, B, C < 180º
2. Todo lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que
su resta:
b–c< a<b+c
3. La suma de los lados es menor que 360º:
a + b + c < 360º.
4. La suma de los ángulos es mayor que 2(π/2) y menor que 6(π/2):
180º < A + B + C < 540º
5. A lados iguales se oponen ángulos iguales (y viceversa)
a=b ↔ A=B
6. A mayor lado se opone mayor ángulo (y viceversa).
a<b ↔ A<B
7. Todo ángulo aumentado en 2(π/2) es mayor que la suma de los otros
dos.
A + 180º > B + C
8. La suma de dos lados es menor (*) que 180º si y solo si la suma de
sus ángulos opuestos es menor (*) que 180º.
a + b < 180º ↔ A + B < 180 º
(*) : Análogamente sucede con el “>” y con el “=“.
a + b > 180º ↔ A + B > 180 º
a + b = 180º ↔ A + B = 180 º
9. Entre un ΔABC y su polar ΔA’B’C’ correspondiente se verifica que
los lados de uno son suplementarios de los ángulos respectivos del
otro:
a + A’ = 180º,
b + B’ = 180º,
c + C’ = 180º
A + a’ = 180º,
B + b’ = 180º,
C + c’ = 180º
Fórmulas que relacionan 3 lados y un ángulo :
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
Fórmulas que relacionan 3 ángulos y un lado :
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a
cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c
Fórmulas que relacionan: 2 lados y 2 ángulos opuestos
sin a sin b sin c


sin A sin B sin C
Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo
opuesto (a uno de ellos)
ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A
ctg c sin a = cos a cos B + sin B ctg C
ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg C
“Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” =
“coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos”
+
“seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.
Resolución de triángulos
esféricos
- Caso general -
5. 1. Caso 1º. Conocidos los tres lados a, b, c.
Partimos de:
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A ←
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
Obtenemos:
cos a  cos b cos c
cos A 
sin b sin c
cos b  cos a cos c
cos B 
sin a sin c
cos c  cos a cos b
cos C 
sin a sin b
Ejemplo: Resolver el triángulo esférico:
a = 27º 42’ 36”
b = 116º 08’ 54”
c = 118º 35’ 24”
Solución:
cos A 
cos a  cos b cos c 0.88531  (0.44069) * (0.47853)


sin b sin c
0.89765 * 0.87806
= 0.85566 → A = 31º 10’ 00”
cos b  cos a cos c 0.44069  0.88531* (0.47853)
cos B 


sin a sin c
0.46499 * 0.87806
= 0.21174 → B = 92º 23’ 35”
cos c  cos a cos b  0.47853  0.88531* (0.44069)
cos C 


sin a sin b
0.46499 * 0.89765
= - 0.21174 → C = 102º 13’ 29”
5. 2. Caso 2º. Conocidos los tres ángulos A, B, C.
Partimos de:
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a
cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c
Se deduce:
cos a 
cos A  cos B cos C
sin B sin C
cos B  cos A cos C
cos b 
sin A sin C
cos C  cos A cos A
cos c 
sin A sin B
←
Ejemplo: Resolver el triángulo esférico:
A = 69º 15’ 54”
B = 124º 06’ 12”
C = 73º 41’ 36”
Solución:
cos a 
cos A  cos B cos C 0.35404  (0.56068) * 0.28077


sin B sin C
0.82802 * 0.95977
= 0.24740 → a = 75º 40’ 33”
cos B  cos A cos C (0.56068)  0.35404 * 0.28077
cos b 


sin A sin C
0.93522 * 0.95977
= - 0.51390 → b = 120º 55’ 27”
cos C  cos A cos B 0.28077  0.35404 * (0.56068)
cos c 


sin A sin B
0.93522 * 0.8202
= 0.10623 → c = 83º 54’ 06”
5. 3. Caso 3º. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Conocemos a, b, C ; hay que calcular: c, A, B.
Cálculo de c:
↓
cos c  cos a cos b  sin a sin b cos C
Cálculo de A y B:
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ←
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
Obtenemos:
cot a sin b  cos b cos C
sin C
cot b sin a  cos a cos C
cot B 
sin C
cot A 
Ejemplo: Resolver el triángulo esférico:
a = 27º 42’ 36”
b = 116º 08’ 54”
C = 18º 35’ 24”
Solución:
→ cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C =
 c  89º 41'11"
= 0.88531*(-0.44069) + 0.44069*0.89765*0.94782 = 0.00547
→ cot A 
→ cot B 
cot a sin b  cos b cos C
 6.67133
sin C
cot b sin a  cos a cos C
 3.38427
sin C
→ tan A = 0.14989
→ A = 8º 31’ 30”
→ tan B = -0.29866
→ B = 163º 22’ 16”
5. 4. Caso 4º. Conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes.
Conocemos c, A, B ; hay que calcular: a, b, C.
Cálculo de C:
↓
cos C   cos A cos B  sin A sin B cos c
Cálculo de a y b:
↓
ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A
ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B
Obtenemos:
cos c cos B  sin b cot A
sin c
cos c cos A  sin A cot B
cot b 
sin c
cot a 
Ejemplo: Resolver el triángulo esférico:
A = 39º 15’ 54”
B = 124º 06’ 12”
c = 73º 41’ 36”
Solución:
→ cos C = cos A cos B + sin A sin B cos c = 0.58122
→ cot a 
→ cot b 
cos c cos B  sin B cot A
 0.89133
sin c
 C  54º 27 '47"
→ tan a = 1.21190
→ a = 48º 17’ 17”
cos c cos A  sin A cot B
 0.22003 → tan b = -4.54470
sin c
→ b = 102º 24’ 34”
5.5. Analogías de Neper.
1
 A  B  cos 1 a  b 
2
2

1
1
cot C
cos a  b 
2
2
tan
Primera analogía de Neper:
Segunda analogía de Neper:
1
tan  A  B  sin
2

1
cot C
sin
2
1
a  b 
2
1
a  b 
2
Analogías de Neper (tercera y cuarta):
tan
Tercera analogía de Neper:
Cuarta analogía de Neper:
1
1
 a  b  cos  A  B 
2
2

1
1
tan C
cos  A  B 
2
2
1
1
tan  a  b  sin  A  B 
2
2

1
1
tan c
sin  A  B 
2
2
5. 6. Caso 5º. Conocidos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Conocemos a, b , A ; hay que calcular: c, B, C.
Cálculo de B:
Cálculo de C:
1ª analogía →
sin b sin A
sin B 
sin a
→
 B1

 B2
1
a  b 
1
2
tan C 
1
1
2
cos a  b  tan  A  B 
2
2
cos
Hacer estudio
C1

C2
con B1
con B2
Cálculo de c:
3ª analogía →
1
1
tan (a  b) cos  A  B 
1
2
2
tan c 
1
2
cos  A  B 
2
 c1

c2
con B1
con B2
5.7. Discusión del caso 5º.
Se realiza basándose en:
1º. La suma de dos ángulos (*) es >, < ó = 180º si, y solo si, la suma
de los dos lados opuestos también lo es:
A + B > 180º ↔ a + b > 180
A + B < 180º ↔ a + b < 180
A + B = 180º ↔ a + b = 180
2º. A lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa.
a = b ↔ A= B
3º. A un mayor lado se opone un mayor ángulo y viceversa.
a>b ↔ A>B
5.7. Discusión caso 5º.
Número de soluciones (A < 90º):
Número de soluciones (A > 90º):
Ejemplo: Resolver el triángulo esférico:
a = 100º 41’ 04”
b = 115º 20’ 32”
A = 125º 23’ 42”
Solución:
A > 90º , a + b > 180º → A + B > 180º
a<b → A<B
* Cálculo de B:
→ B > 90º (una solución)
sin b sin A 0.81517 *0.90376
sin B 

 0.74971
sin a
0.98266
B  131º 26' 03"
arcsin( 0.74971)   1
 B2  48º 33' 57"
←
Cálculo de C:
1
a  b 
1
0.99183
2
tan C 

 2.54349
1
1
2
cos a  b  tan  A  B   1.26103*  0.30923
2
2
cos
½ C = arc tan 2.54349
→ C = 137º 04’ 28”
Cálculo de c :
1
1
tan (a  b) cos  A  B 
 3.07524*  0.62134  1.91342
1
2
2

tan c 
0.99861
1
2
cos  A  B 
2
½ c = arc tan 1.91342
→ c = 124º 48’ 54”
5. 8. Caso 6º. Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
Conocemos A, B , a ; hay que calcular: b, c, C.
Cálculo de b:
sin a sin B
sin b 
sin A
→
 b1

b2
Hacer estudio
Cálculo de c:
3ª analogía →
1
1
tan (a  b) cos  A  B 
1
2
2
tan c 
1
2
cos  A  B 
2
 c1

c2
con b1
con b2
Cálculo de C:
1ª analogía →
1
cos a  b 
1
2
tan C 
1
1
2
cos a  b  tan  A  B 
2
2
C1

C2
con b1
con b2
5.9. Discusión del caso 6º.
Se realiza basándose en:
1º. La suma de dos ángulos es >, < ó = 180º si, y solo si, la suma de
los dos lados opuestos también lo es:
A + B > 180º ↔ a + b > 180
A + B < 180º ↔ a + b < 180
A + B = 180º ↔ a + b = 180
2º. A lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa.
a=b ↔ A=B
3º. A un mayor lado se opone un mayor ángulo y viceversa.
a>b ↔ A>B
Número de soluciones (a < 90º):
Número de soluciones (a > 90º):
Ejemplo: Resolver el triángulo esférico:
A = 161º 41’ 35”
B = 18º 18’ 25”
a = 22º 15’ 39”
Solución:
a < 90º , A + B = 180º → a + b = 180º
A > B → a > b (Imposible)
---- No hay solución -----------
Ejemplo 2.: Resolver el triángulo esférico:
a = 150º 35’ 12”
A = 126º 17’ 41”
B = 68º 57’ 34”
Solución:
a >90º , A + B > 180º → a + b > 180º
A > B → a > b (Dos soluciones b1, b2)
Cálculo de b:
sin b 
sin a.sin B
 0.5687002
sin A
 b  34º 39'34.7"
b  arcsin 0.5687002   1
b2  145º 20'25.3"
Cálculo de c:
3ª analogía →
1
1
tan (a  b) cos  A  B 
1
2
2
tan c 
1
2
cos  A  B 
2
* Sustituimos a, A, B, b1 :
tan
c
c
 89.216663   arctan 89.216663
2
2
c1= 146º 17’ 59.4” ;
* Sustituimos a, A, B, b2 :
c2= 10º 48’ 52.6”
Cálculo de C:
3ª analogía →
* Sustituimos a, A, B, b1 :
tan
c
c
 89.216663   arctan 89.216663
2
2
c1= 146º 17’ 59.4” ;
* Sustituimos a, A, B, b2 :
c2= 10º 48’ 52.6”
Cálculo de C:
1
a  b 
1
2
tan C 
1
1
2
cos a  b  tan  A  B 
2
2
cos
1ª analogía →
* Sustituimos a, A, B, b1 :
tan
C
C
 1.5620409   arctan1.5620409
2
2
C1= 114º 24’ 46.4” ;
* Sustituimos a, A, B, b2 :
C2= 17º 56’ 5”