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Primer Parcial Triángulos esféricos Rectángulos y Rectilateros 1.1 Triángulos esféricos a, b, c: lados A, B, C: ángulos Los lados a, b, c pueden también ser medidos desde el centro O de la esfera. Tanto ángulos como lados se expresan en sexageximal ( grados, minutos y segundos) 1. 2. Triedro correspondiente al triángulo Al unir el centro O de la esfera con los vértices A, B, C del triángulo se forma el triedro correspondiente al triángulo. Sobre la arista OC se forma un ángulo diedro. Este diedro en su intersección con la superficie esférica forma el ángulo C. El ángulo diedro C es igual al ángulo C del triángulo esférico. 1.3 Triángulos polares suplementarios. El triángulo polar del Δ ABC es otro Δ A’B’C’ de modo que: A’: polo del círculo máximo del lado a que se halla en el mismo hemisferio que el vértice A. B’: polo del círculo máximo del lado b que se halla en el mismo hemisferio que el vértice B. C’: polo del círculo máximo del lado c que se halla en el mismo hemisferio que el vértice C. 1.4 Propiedades de los triángulos esféricos. 1. En todo ΔABC los lados y los ángulos son menores que 2(π/2): a, b, c, A, B, C < 180º 2. Todo lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su resta: b–c< a<b+c 3. La suma de los lados es menor que 4(π/2): a + b + c < 360º. 4. La suma de los ángulos es mayor que 2(π/2) y menor que 6(π/2): 180º < A + B + C < 540º 5. A lados iguales se oponen ángulos iguales (y viceversa) a=b ↔ A=B 6. A mayor lado se opone mayor ángulo (y viceversa). a<b ↔ A<B 7. Todo ángulo aumentado en 2(π/2) es mayor que la suma de los otros dos. A + 180º > B + C 8. La suma de dos lados es menor (*) que 180º si y solo si la suma de sus ángulos opuestos es menor (*) que 180º. a + b < 180º ↔ A + B < 180 º (*) : Análogamente sucede con el “>” y con el “=“. a + b > 180º ↔ A + B > 180 º a + b = 180º ↔ A + B = 180 º 9. Entre un ΔABC y su polar ΔA’B’C’ correspondiente se verifica que los lados de uno son suplementarios de los ángulos respectivos del otro: a + A’ = 180º, b + B’ = 180º, c + C’ = 180º A + a’ = 180º, B + b’ = 180º, C + c’ = 180º Se tiene: A’N = 90º, C’M = 90º (ecuadores) → A’N + C’M = 180º → A’N + C’N + MN = 180º → b’ + B = 180º Análogamente: A + a’ = 180º, C + c’ = 180º, etc. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS. • Rectángulos: Un ángulo rectos. • Birrectángulos: Dos ángulos rectos. • Trirrectángulos: Tres ángulo rectos. • Rectiláteros: Un lado recto. • Birrectiláteros: Dos lados rectos. • Trirrectilateros: Tres lados rectos. Formulas relacionando los elementos de un triángulo esférico [Tema 2] 2.1 Fórmulas que relacionan 3 lados y 1 ángulo. Fórmula de los cosenos: CP ┴ suelo PM ┴ OB, PD ┴ OA EP | | KM Los ángulos diedricos son : B y A. ^ EDP = c (por “perp. / perp”) Se cumple que: Además: OM = OK + KM = OK + EP OM = OC cos a (1) (2) OK = OD cos c OD = OC cos b → OK = OC cos c cos b (3) EP = PD sin c PD = CD cos A → EP = OC sin b sin c cos A (4) CD = OC sin b (2), (3), (4) → (1) OC cos a = OC cos b cos c + OC sin b sin c cos A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A Fórmulas que relacionan 3 lados y un ángulo : cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C 2.2 Fórmulas que relacionan dos lados y sus ángulos opuestos . Fórmula de los senos: CP ┴ suelo PM ┴ OB, PD ┴ OA CP = CM sin B CM = OC sin A → CP = OC sin A sin B (1) CP = CD sin A CD = OC sin b → CP = OC sin b sin A (2) (1) = (2) sin a sin B = sin b sin A sin a sin b sin c sin A sin B sin C 2.3 Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos) DK = DE + EK = DE + PM (1) DK = OD sin c OD = CD ctg b → DK = CD ctg b sin c (2) ED = DP cos c DP = CD cos A → ED = CD cos c cos A (3) PM = CP ctg B CP = CD sin A → PM = CD sin A ctg B (2) , (3) , (4) → (1) ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B (4) Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos) ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg c sin a = cos a cos B + sin B ctg C ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg C “Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” = “coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” + “seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”. “Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” = “coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” + “seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”. ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A 2.4. Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado Tomamos el tringulo polar de Δ ABC, o sea, Δ A’B’C: y las fórmulas que relacionan tres lados y un ángulo en Δ ABC: cos a’ = cos b’ cos c’ + sin b’ sin c’ cos A’ a ' 180 A b' 180 B c' 180 C A' 180 a → cos (180-A) = cos (180-B) cos (180-C) + sin (180-B) sin (180-C) cos (180-a) → - cos A = (-cos B) . (-cos C) + sin B . sin C . (-cos a) Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c El coseno de un ángulo es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos mas el producto de los senos de esos dos por el coseno del lado (opuesto al ángulo 1º). Fórmulas de los triángulos esféricos rectángulos [Tema 3] Triángulo esférico rectángulo 3.1. Fórmulas obtenidas a partir de las fórmulas generales. Se considera A = 90º. * Fórmula de los cosenos de los lados Partiendo de: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos 90º cos a = cos b cos c El coseno de la hipotenusa es igual al producto de los cosenos de los catetos. * Fórmula de los senos. Partiendo de: sin a sin b y 1 sin B sin a sin c 1 sin C sin b = sin a sin B sin c = sin a sin C “El seno de un cateto = seno de la hipotenusa X seno del ángulo opuesto” Fórmulas de las tangentes de los catetos (I) Partimos de las fórmulas: ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B sin b 1 sin c 1 cos C cos B y cos b ctg a cos C ctg a tg b = tg a cos C tg c = tg a cos B “ La tangente de un cateto” = “tangente de hipotenusa” x “coseno ángulo comprendido entre ambos” Fórmulas de las tangentes de los catetos (II) Partimos de las fórmulas: ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg B ctg b sin c = ctg B ctg a sin c = ctg B sin c 1 sin b 1 y ctg B ctg b ctg C ctg c tg b = sin c tg B tg c = sin b tg C “ La tangente de un cateto” = “seno del otro” x “tangente del ángulo opuesto al primero” Fórmulas “hipotenusa-ángulo-lado” Partimos de las fórmulas: ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B cos C = ctg a tg b cos B = ctg a tg c “El coseno de un ángulo” = “cotangente de la hipotenusa” x “tangente del lado opuesto al otro ángulo” Fórmula “hipotenusa-los dos ángulos adyacentes” Partimos de la fórmula: cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a → → 0 = - cos B cos C + sin B sin C cos a sin B sin C cos a = cos B cos C cos a = ctg B ctg C “ El coseno de la hipotenusa es igual al producto de las contangentes de los dos ángulos adyacentes” Fórmulas “catetos-ángulo-ángulo” Partimos de las fórmulas: cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c → cos B = sin C cos b cos C = sin B cos c “El coseno de un ángulo” = “seno del otro ángulo” x “coseno del lado opuesto al primero” 3.2 Obtención de las fórmulas para los tr. Rectángulos esféricos por medio del pentágono de Neper. Primera Regla Si los tres elementos se hallan seguidos: “Cos del central” = “Cotg del izquierdo” x “Cotg del derecho” Pentágono de Neper Segunda Regla Si uno de los elementos se halla separado de los otros dos” “Cos del separado” = “Sen de coaligado 1º” x “Sen del coaligado 2º” Algunos ejemplos. Ejemplo 1. Relacionar a, b y c. → (segunda regla de Neper) cos a = sin(90º - b) sin(90º - c) → cos a = cos b cos c Ejemplo 2. Relacionar c, a y C. → (segunda regla de Neper) cos (90º - c) = sin a sin C → sin c = sin a sin C Ejemplo 3. Relacionar a, b y C. → (Primera regla de Neper) cos C = ctg a ctg (90º - b) → cos C = ctg a tg b → tg b = tg a cos C Ejemplo 4. Relacionar a, B y C. → (primera regla de Neper) cos a = ctg B ctg C 3.3. Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos. 1) Ninguno de sus lados puede ser cuadrantal (90º). cos a = ctg B ctg C ; ctg B ≠ 0, ctg C ≠ 0 (Suponiendo no birrectángulo) 2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º) tg b = sin c tg B → Al ser sin c = (+) , tg b y tg B el mismo signo → b<90º y B<90º ó b>90º y B>90º . 3) O los tres lados son menores(*) de 90º, o sólo uno de ellos es menor de 90º. cos a = cos b cos c → (+) = (+) . (+) → a, b, c < 90º (+) = (-) . (-) → a<90º, b,c>90º (-) = (+) . (-) y (-) = (-) . (+) → un lado < 90º 4) Si los catetos son de la misma especie → hipotenusa aguda Si “ “ “ “ “ “ distinta “ → hipotenusa obtusa cos a = cos b cos c → cos a = (+) . (+) = (+) → a < 90º (aguda) cos a = (+) . (-) = (-) → a > 90º (obtusa) cos a = (-) . (+) = (-) → a > 90º cos a = (-) . (-) = (+) → a < 90º 5) Un cateto es menor que su ángulo opuesto si ambos son < 90º. Un cateto es mayor que su ángulo opuesto si ambos son > 90º. sin b sin b = sin a sin B → sin a sin B Como sin a < 1 → sin b < sin B → b < B (primer cuadrante) b > B (segundo cuadrante) 6) La hipotenusa está comprendida entre cada uno de los catetos y sus suplementarios. sin b sin b = sin a sin B → sin B sin a Si b en el cuadrante I: b < a < 180º - b Si b en cuadrante II: 180 - b < a < b → sin b < sin a 7) La suma de los dos ángulos oblicuos está entre 90º y 270º. La diferencia de “ “ “ “ es menor que 90 º. Según las propiedades de los triángulos esféricos: A + B + C > 180º y 180º + A > B + C Siendo A = 90º → 90º + B + C > 180º y 180º + 90º > B + C es decir, 90º < B + C < 270º Por otra parte, se tiene: 180º + C > A + B, y como A = 90º 90º + C > B → 90º > B - C Resolución de Triángulos esféricos rectángulos Tema 4 4.1. Caso 1: Se conoce la hipotenusa a y un cateto b . Cálculo de c : Por medio de Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c) → cos a = cos b cos c. cos c cos a cos b c < 90º si cos a/cos b =(+) ; c > 90º si ( X) =(-) Cálculo de B : Por medio de Neper : cos (90º - b) = sin a sin B → sin b = sin a sin B. sin B sin b sin b B arcsin sin a sin a B está en el mismo cuadrante que b (pues según la propiedad 2 ángulo y lado opuesto son de la misma especie). Cálculo de C : tan b tan a tan b C arccos tan a Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b) cos C Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: b = 158º 22’ 04” a = 122º 36’ 07” Solución: tan b 0.3957 cos C 0.25363 tan a 1.56353 sin b 0.36864 sin B 0.43759 sin a 0.84243 cos a 0.53879 cos c 0.57961 cos b 0.92956 → C = 75º 18’ 25” → B = 154º 02’ 59” (180º - 25º 57’ 0.8”) → c = 54º 34’ 59” Forma de operar con la calculadora: Partiendo de 0.25363 → → 75.30712 acos Nos resulta: 75º Ahora hacemos: 0.30712 x 60 → 18.4272 Resulta: 18 ‘ Finalmente hacemos: 0.4272 x 60 → 25.632 Resulta: Resultado: 75º 18’ 25.6” 25.6” 4.2. Caso 2: Se conoce los dos catetos b y c. Cálculo de a : Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c) → cos a = cos b cos c. Para la especie se analizarán los signos (+.-, etc). Cálculo de B : Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b) sin c cot B tan b tan B tan b sin c Cálculo de C : cos (90º - c) = ctg C ctg (90º - c) → tan C sin b = ctg C tg c tan c sin b Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: c = 40º 44’ 06” b = 64º 48’ 03” Solución: cos a cos c . cos b 0.75773*0.42576 0.32261→ a = 71º 10’ 45” tan b 2.12518 3.25668 sin c 0.65256 tan c 0.86119 tan C 0.95176 sin b 0.90483 tan B → B = 72º 55’ 49” → C= 43º 35’ 04” 4.3. Caso 3: Se conoce la hipotenusa a y un ángulo B. Cálculo de b : Neper : cos (90º - b) = sin a sin B → sin b = sin a sin B. El lado b es de la misma especie que B. Cálculo de c : Neper : cos B = ctg a ctg (90º - c) → cos B = ctg a tg c → tg c = cos B tg a [La especie : regla de los signos] Cálculo de C : cos a = ctg B ctg C tan C 1 cos a tan B C es de la misma especie que c. Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: a = 152º 24’ 04” B = 68º 38’ 02” Solución: sin b sin B .sin a 0.93127 * 0.46327 0.43142 tan C 1 1 0.44144 cos a tan B (0.88621) * 2.55614 tan c cos B tan a 0.36432.*(0.52276) 0.19045 → b = 25º 32’ 30” → C = 156º 10’ 52” (-23º49’8” +180º) → c= 169º 13’ 01” (-10º46’58” +180º) 4.4. Caso 4: Se conoce los dos ángulos B y C (*). Cálculo de a (hipotenusa) : Neper : cos a = ctg B ctg C cos a 1 tan B tan C La especie de a: por la regla de los signos. Cálculo de b : Neper : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b cos b cos B sin C Cálculo de c : cos C = sin B sin (90º - c) cos c cos C sin B La. especie de b y c es la misma que la de sus ángulos opuestos. Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: C = 67º 38’ 08” B = 155º 12’ 06” Solución: cos a 1 1 0.89053 tan B tan C (0.46202) * 2.43046 cos B 0.90778 0.98161 sin C 0.92478 cos C 0.38049 cos c 0.90718 sin B 0.41942 cos b → a = 152º 56’ 25” → b = 168º 59’ 49” → c= 24º 52’ 53” 4.5. Caso 5: Se conoce un cateto, b, y el ángulo opuesto al otro, C . Cálculo de a (hipotenusa) : Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b) tan b cos C La especie de a: por la regla de los signos. tan a Cálculo de c : Neper : cos (90º - b) = ctg C ctg (90º - c) → sin B = ctg C tg c → tg c = sin b tg C Cálculo de B : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b c se . halla en el mismo cuadrante que C; B en el mismo que b . Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: b = 121º 42’ 05” C = 154º 08’ 06” Solución: cos B sin C *cos b 0.43625 ( 0.52549) 0.22924 → B = 103º 15’ 09” tan b 1.61905 1.79930 cos C 0.89982 tan c sin b * tan C 0.85079*( 0.48481) 0.41247 → a = 60º 56’ 09” tan a → c = 157º 35’ 07” (-22º24’53” +180º) 4.6. Caso 6: Se conoce un cateto, b, y su ángulo opuesto, B . Cálculo de a (hipotenusa) : Neper : cos (90º - b) = sin a sin B sin a sin b sin B Cálculo de c : Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b) → sin c = ctg B tg b tan b sin c tan B Cálculo de C : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b sin C cos B cos b Como b, B son de la misma especie (+/+ = +, -/- = +) → sin a, sin c y sin C = (+), sin embargo los ángulos pueden ser <90º ó >90º . . 4.7. Discusión del caso 6. I) b<90º, B<90º sin b b B sin a 1 No tiene solución sin B sin b 1 Una “solución” a = 90º b B sin a sin B sin b b B sin a 1 Dos soluciones a1 90º sin B a2 90º II) b = 90º → Triángulo birrectángulo (se estudia más adelante) III) b > 90º y B > 90º sin b b B sin a 1 sin B sin b b B sin a 1 sin B sin b b B sin a 1 sin B No tiene solución Una “solución” a = 90º Dos soluciones a1 90º a2 90º Cuando hay dos soluciones, debe tenerse en cuenta: * Lado y ángulo opuesto son de la misma especie. * La hipotenusa es aguda si los catetos son de la misma especie, obtusa en caso contrario. Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: b = 46º 46’ 04” B = 57º 28’ 03” Solución: b < 90º y b < B → sin a sin b 1 sin a sin b 0.72858 sin a 0.86418 sin B 0.84308 sin c sin C tan b 1.06369 0.67847 tan B 1.56777 → dos soluciones. a1 = 59º 47’ 25” a2 = 120º 12’ 35” [180º - a1] c1 = 42º 43’ 28” c2 = 137º 16’ 32” [180º - c1] ] cos B 0.53777 0.78512 C1 = 51º 43’ 55” cos b 0.68495 C2 = 128º 16’ 05” [180º - C1] Recordar: b = 46º 46’ 04” (< 90º) B = 57º 28’ 03” Las dos soluciones son: a1 = 59º 47’ 25” (hipotenusa aguda) c1 = 42º 43’ 28” C1 = 51º 43’ 55” Y la otra: a2 = 120º 12’ 35” (hipotenusa obtusa) c2 = 137º 16’ 32” C2 = 128º 16’ 05” Triángulos rectilateros Propiedades y resolución 4.8 Resolución de triángulos esféricos rectiláteros. ( a = 90º) El pentágono de Neper pasa a ser: Las reglas son las mismas Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectilatero: c = 60º 34’ 09” B = 122º 18’ 08” Solución: cos c = ctg(180º – A) ctg(90º – B) → tan A tan B 3.21896 → A = 72º 44’ 31” cos c cos b = sin c cos B = 0.87095 * (-0.53438) = -0.46542 → b = 117º 44’ 14” tan C = tan c sin B = 1.77248 * 0.84524 = 1.49817 → C = 56º 16’ 40” Propiedades de los triángulos rectiláteros Sea ABC un triángulo rectilatero (a = 90º) → su polar A’B’C’ es triáng. rectángulo:, además se verifica: A’ = 180º - 90º a’ = 180º - A B’ = 180º - b b’ = 180º - B C’ = 180º - c c’ = 180º - C 1) Ningún ángulo puede ser cuadrantal (90º) a’ ≠ 90º → 180º - A ≠ 90º → A ≠ 90º b ≠ 90º → 180º - B ≠ 90º → B ≠ 90º c’ ≠ 90º → 180º - C ≠ 90º → C ≠ 90º 2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º) B’ < 90º y b’<90º → 180º - B < 90º y 180º - b < 90º → B > 90º y b > 90º Análogamente B’>90º y b’>90º → B > 90º y b > 90º 3) O los tres ángulos son mayores de 90º, o sólo uno de ellos es mayor de 90º (los otros dos menores) De la fórmula: cos A = - cos B . Cos C - = - (-) . (-) → A, B, C >90º - = - (+) . (+) → A>90º + = - (+) . (-) → C>90º + = - (-) . (+) → B>90º 4) Si los ángulos B y C son de la misma especie → A obtuso Si “ “ “ ByC “ “ distinta “ → A agudo Según la propiedad 3: A > 90º B 90º → B 90º y C 90º y C 90º Y viceversa 5) Un ángulo B es mayor que su lado opuesto b si ambos B, b > 90º “ “ B es menor “ “ “ “ b si B, b < 90º 6) El ángulo A está comprendido entre cada uno de los ángulos y sus suplementarios respectivos Si A en el cuadrante I: B < A < 180º - B Si b en cuadrante II: 180 - B < A < B Demostración: sin B = sin b sin A → sin b sin B sin A sin B < sin A 7) La suma de los dos lados b y c está comprendida entre 90º y 270º, y la diferencia es menor que 90º. 90º < B’ + C’ < 270º → 90º < 180º - b + 180º - c < 270º → 90º < 360º - b - c < 270º → -270º < - b - c < -90º → 90º < b + c < 270 Ejemplo: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero: c = 69º 15’ 02” C = 56º 45’ 04” Solución: A: cos(90º - C) = sin(180º - A) sin c sin A sin C sin c c, C < 90º y c > C → sin c > sen C → sin A sin C 0.83629 0.89430 sin c 0.93513 sin A A 90º sin C 1 1 sin c A2 90º A1 63º 25' 08" A2 116º 34' 51" b: cos c = sin b sin (90º - C) = sin b cos C b1 40º 15'14" cos c sin b 0.64617 cos C b2 139º 44' 45" B: cos (90º - B) = ctg c cot (90º - C) B1 35º 18' 3" tan C sin B 0.57787 B2 144º 41' 56" tan c Las dos soluciones son: Resumen: c = 69º 15’ 02”, C = 56º 45’ 04” A1 = 63º 25’ 08”, A2 = 116º 34’ 51” b1 = 40º 15’ 14”, b2 = 139º 44’ 45” B1 = 35º 18’ 03”, B2 = 144º 41’ 36” Solución 1: A1 = 63º 25’ 08” (A<90) → B,C dist.esp. , B2 = 144º 41’ 36” , b2 = 139º 44’ 45” Solución 2: A2 = 116º 34’ 51” (A>90) → B,C misma.esp., B1 = 35º 18’ 03” , b1 = 40º 15’ 14” Ejemplo 2º: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero: A = 51º 25’ 42” B = 47º 33’ 12” Solución: B < 90º → b < 90º ; y A < 90º → Ángulos menores de 90º → C > 90º → c > 90º c: cos c = ctg(180º - A) ctg(90º - B) → cos c c = 150º 41’ 02” b: cos (90º - B) = sin b sin(180º - A) → sin b C: tan B 0.83629 0.87193 tan A 0.93513 sin B 0.87193 sin A b1 70º 42'14" b2 108º 17' 46" → no valida cos(180º - A) = sin(90º - B) sin(90º - C) → - cos A = cos B cos C cos C cos A 0.92382 C 157º 29' 31" cos B
