Download eléctrico fue

Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y
refracción
Rayos incidente, transmitido, y reflejado en la
interface
Coeficientes de reflexión y transmisión
Ecuaciones de Fresnel
Angulo de Brewster
Reflexión total interna
Plano de incidencia y la interface con el medio
Definición
Perpendicular (“S”) la
polarización apunta hacia
afuera del plano de
incidencia.
Medio de incidencia
ki
Ei
Plano de incidencia
(x-y plano) es el plano
que contiene los
vectores k de los rayos
incedente y reflejado.
Paralelo (“P”) La
polarización sigue
paralelo al plano de
incidencia.
kr
Er
ni
qi qr
Interface
Plane of the interface (here the
yz plane) (perpendicular to page)
y
z
qt
x
Et
nt
kt
Medio de transmisión
Notación simplificada para los estados de
polarización
Perpendicular (“S”) Esta
polarización se encuentra
apuntando hacia afuera
del plano de incidencia.
Paralelo (“P”) Esta
polarización está paralela
al plano de incidencia
Ecuaciones de Fresnel
Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitida
por la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción.
Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo.
Empecemos por
considerar las
condiciones de
contorno en la
interface para el
campo eléctrico y
magnético de la
ondas i,r,t para el
caso “S” primero.
ki
Bi
kr
Ei
Interface
El caso considerado
corresponde a luz con
el campo perpendicular
al plano de incidencia
Er
qi qr
ni
Br
y
z
qt
Et
Bt
x
nt
kt
Condiciones de contorno para el campo
Eléctrico en la interface
y
x
z
La componente tangential del campo eléctrico es continua
En otras palabras,
el campo total E en
el plano de la
interface es
continuo.
Surge que, todos los
campos E están en
la dirección z,
que es e plano (xz)
de la interface,
Así:
ki
Bi
Interface
Ei
Er
kr
qi qr
Br
qt
Et
Bt
ni
nt
kt
Ei(x, y = 0, z, t) + Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t)
Condiciones de contorno para el campo
magnético en la interface
y
x
z
La componente tangencial del campo magnético es continua
En otras palabras,
el campo total B en
el plano de la
interface es
continuo.
ki
qi
Ei
Bi qi qi qr
Interface
Todos los campos B
están en el plano
x-y, de las que tomamos
la componente x:
kr
Er
Br
qt
Et
Bt
ni
nt
kt
–Bi(x, y = 0, z, t) cos(qi) + Br(x, y = 0, z, t) cos(qr) = –Bt(x, y = 0, z, t) cos(qt)
Reflexión y Transmisión de luz
polarizada perpendicularmente (S)
Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping
only the complex amplitudes: E0i  E0 r  E0t
 B0i cos(qi )  B0 r cos(q r )   B0t cos(qt )
y qi  q r :
But
Si B  E /(c0 / n)  nE / c0 and
ni ( E0 r  E0i ) cos(qi )  nt E0t cos(qt )
Substituting
for E0t using
por E0i  E0 r  E0t :
Sustituyendo
ni ( E0 r  E0i ) cos(qi )  nt ( E0 r  E0i ) cos(qt )
Coficientes de Reflexión y Transmisión
para luz polarizada perpendicularmente
Rearranging ni ( E0 r  E0i ) cos(qi )  nt ( E0 r  E0i ) cos(qt ) obtenemos
yields:
reacomodando
:
E0 r  ni cos(qi )  nt cos(qt )  E0i  ni cos(qi )  nt cos(qt )
Solving for E0 r / E0i obtenemos
yields the reflection
coefficient
:
Resolviendo
el coeficiente
de reflexión:
r  E0r / E0i   ni cos(qi )  nt cos(qt ) / ni cos(qi )  nt cos(qt ) 
transmission
coefficient, E0t / E0i ,es:
is
EnAnalogously,
forma análogathe
el coeficiente
de transmisión
t  E0t / E0i  2ni cos(qi ) /  ni cos(qi )  nt cos(qt )
Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel
para luz polarizada perpendicularmente
Ecuaciones de Fresnel
Campo eléctrico paralelo
ki
Bi
kr
Ei
Br
qi qr
Er
Campo Bentrante en
la página.
y
z
ni
Interface
Geometría de los
Rayor para luz
polarizada con el
campo eléctrico fi
paralelo al plano
de incidencia
qt
Bt
Et
nt
kt
Notar que el campo magnético debe hacia la pantalla para lograr
que E  B  k.
x
Coeficiente de Reflexión y Transmisión
para E paralelo (P) al plano de incidencia
For parallel
polarized
light,al PI
para
luz polarizada
paralela
and
y
B0i - B0r = B0t
E0icos(qi) + E0rcos(qr) = E0tcos(qt)
Solving for E0r / E0i yyields
the reflection
coefficient,
calculamos
obtenemos
el coef de
reflexión
r||:
r||  E0r / E0i   ni cos(qt )  nt cos(qi ) /  ni cos(qt )  nt cos(qi )
Analogously,
the el
transmission
coefficient,
En
forma análoga
coeficiente de
transmisión
t|| = E0t / E0i, es:
t||  E0t / E0i  2ni cos(qi ) / ni cos(qt )  nt cos(qi )
Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para
luz polarizada paralelamente.
Coeficiente de Reflexión y Transmisión
para una interface Aire-Vidrio
naire  1 < nvidrio  1.5
Hay reflexión total para
q = 90° para ambas
polarizaciones
Reflexión cero para
polarización paralela en el
“ángulo de Brewster”
(56.3° para los valores de ni
y nt).
(Para valores difrerentes de
los índices de refracción, el
ángulo de Brewster será
diferente.)
Coeficiente de Reflexion, r
Note que:
1.0
ángulo de Brewster
.5
r||=0!
r||
0
r┴
-.5
-1.0
0°
30°
60°
ángulo de Incidencia, qi
90°
nvidrio  1.5 > naire  1
Note que :
Ocurre refexión total
interna por encima del
“ángulo crítico "
qcrítico  arcsin(nt /ni)
(el seno en la ley de Snell
no puede ser > 1!)
Coeficiente de Reflecxión, r
Coeficiente de Reflexión para la interface
Vidrio-Aire
1.0
Ángulo
Crítico
r┴
.5
Reflexión
Total interna
0
Ángulo de
Brewster
-.5
Ángulo
crítico
r||
-1.0
0°
30°
60°
90°
Angulo de incidencia, qi
Transmitancia (T)
2
 c 
I   n 0 0  E0
 2 
T  Potencia transmitida / Potencia Incidente
Si el rayo
tiene un
ancho wi:
wi
qi
ni
nt
qt
I t At

I i Ai
At wt cos(qt )


Ai wi cos(qi )
wt
2
  0 c0 
n
E
2
t
0t


n
E
wt nt wt 2


I t At 
wt
2 
t
0t
T



t


2
2
I i Ai   0 c0 
 wi  ni E0i wi ni wi
n
E
 i
 0i
2 


  nt cos qt    2
T 
t
  ni cos qi   
A = Area
Ya que
E0t
E0i
2
2
La Transmitancia se llama
también Transmisividad.
 t2
Reflectancia (R)
2
  c 
I   n 0 0  E0
 2 
R  Potencia reflectada/ Potencia incidente
wi
ni
nt
qi qr
I r Ar

I i Ai
A = Area
wi
Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión,
el área del rayo no cambia en la reflexión.
También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el
mismo medio.
Así:
R  r2
La Reflectancia se llama
también Reflectividad.
Reflectancia y Transmitancia para una
interface Aire-Vidrio
Polarización Perpendicular
1.0
Polarización Paralela
1.0
T
T
.5
.5
R
0
R
0
0°
30°
60°
90°
0°
Ángulo de Incidencia, qi
Note que
30°
60°
90°
Ángulo de Incidencia, qi
R+T =1
Reflectancia y Transmitancia para una
interface Vidrio-Aire
Polarización Perpendicular
1.0
Polarización Paralela
1.0
R
R
.5
.5
T
T
0
0
0°
30°
60°
90°
0°
Ángulo de Incidencia, qi
Note que
30°
60°
90°
Ángulo de Incidencia, qi
R+T =1
Reflexión con incidencia normal
Cuando qi = 0,
y
 nt  ni 
R  

n

n
i 
 t
T

2
4 nt ni
 nt  ni 
2
Para una interfaz aire-vidrio (ni = 1 y nt = 1.5),
R = 4% and T = 96%
Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en
que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa.
Cambio de fase para la Reflexión de luz
polarizada perpendicularmente
r  E0 r / E0i 
 ni cos(qi )  nt cos(qt )
 ni cos(qi )  nt cos(qt )
ni  nt 

When qi  0, r 
Cuando
 ni  nt 
to glass  , r  0
Si If ni  nt  air
Aire-vidrio
ki
kr
Ei
Bi
Interface
qi qr
Er
Br
qt
Et
Bt
ni
nt
kt
Entonces habrá interferencia destructiva entre el rayo incidente
y el reflejado.
De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r > 0, la interferencia
será constructiva.
Cambio de fase para la Reflexión de luz
polarizada perpendicularmente
r  E0 r / E0i 
 ni cos(qt )  nt cos(qi )
 ni cos(qt )  nt cos(qi )
ni  nt 

When qi  0, r 
Cuando
 ni  nt 
Si
If ni  nt (air to glass), r  0
Aire-vidrio
ki
Bi
Interface
Br
Ei
qi qr
kr
Er
qt
Bt
Et
kt
Esto significa que habrá interferencia destructiva con el rayo
incidente.
De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r|| > 0, habrá
interferencia constructiva.
ni
nt
Gráficas del cambio de fase para la
reflexión reflection (aire - vidrio)
ni < n t
p
180° para todos
los ángulos
┴
0
0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
p
180° para ángulos
menores al ángulo de
Brewster';
0° para ángulos
mayores
||
0
0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
Gráficas del cambio de fase para la
reflexión reflection (vidrio - aire)
nt < n i
p
Cambia la fase por
encima del ángulo
crítico
┴
0
0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
p
180° para ángulos
por debajo de ang
de Brewster;
0° para valores
mayores
||
0
0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
Reflexión Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(qt) > 1, y
no hay haz transmitido
Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurre
RIT) as it grazes the surface.
Ángulo de Brewster
Reflexión Total interrna
RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.
Fibras Opticas
Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largas
distancias.
Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas
Estructura de las fibras ópticas
Core:
Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el que
se conduce la luz
Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core
Buffer coating: Film protector plástico
ncore > nclad
Propagación de la luz en una fibra óptica
La luz viaja a través del core
rebotando entre las paredes
reflectantes. Esto le permite
viajar a la luz grandes
distancias sin pérdidas en la
señal.
Alguna señales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado
en la contrucción de la fibra. Las mejores fibras ópticas mustran muy poca
pérdida – menos de 10%/km en 1,550 nm.
Reflexión Total Interna Frustrada (RITF)
Colocando una superfice en contacto con la superfice en la que
ocurre RIT, la reflection total interna puede ser “frustrada.”
Reflexión total interna
n=1
n
n
Reflexión total interna frustada
n=1
n
n
Cuán cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF?
Este efecto provee evidencia acerca de los “campos evanescentes”
El vector de onda k de la onda evanescente
El vector de onda k de la onda
evanescente tiene componentes x e y :
Paralelo a la superficie: ktx = k sin(qt)
Perpendicular a ésta: kty = k cos(qt)
ki
qi
qt
y
x
kr
ni
kt
nt
Usando la ley de Snell, sin(qt) = (ni /nt) sin(qi), así ktx tiene sentido.
y nuevamente: cos(qt) = [1 – sin2(qt)]1/2 = [1 – (ni /nt)2 sin2(qi)]1/2
= ± ib
Despreciando la solución sin sentido físico -ib, obtenemos:
Et(x,y,t) = E0 exp[–kb y] exp i [ k (ni /nt) sin(qi) x – w t ]
La onda evanescente decae exponencialmente en la dirección
transversal.