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MATEMÁTICAS Funciones Exponencial y Logarítmica,
a  0, a  1 , donde a la base
Las funciones exponenciales son las que tienen la forma y  f ( x)  a x ,
es una constante positiva diferente a 1, el dominio de estas funciones es el conjunto de todos los
números reales.
5
5
a=4
a=1/4
4
4
a=3
a=1/3
3
3
a=1/2
a=2
-4
-3
-2
-1
2
2
1
1
1
2
3
a>1 la función exponencial es creciente
-2
-1
1
2
3
4
a<1 la función exponencial es decreciente
Si se utiliza el número irracional e como base, la función y  e x se denomina función exponencial
natural.
Funciones exponenciales como modelos matemáticos:
 Crecimiento exponencial: Q(n)  Q0 a n donde (0  n  ) proporciona un modelo matemático de
una cantidad Q(n) que en un principio está presente en la cantidad Q(0)  Q0 , y cuya razón de
crecimiento a n es directamente proporcional a la cantidad presente en el periodo n.
 La fórmula anterior puede plantearse también como , Q(n)  Q0 ekt donde (0  t  ) , donde k es la
constante de crecimiento y t es el tiempo.
 Cuando se presenta un decrecimiento el exponente de la fórmula es negativo.
 Interés Compuesto: M  C (1  i)n donde M es el monto o valor futuro, C el capital o valor
presente, i la tasa de interés periódica y n es el número de periodos de inversión.
Ejercicios:
1.
La tasa de crecimiento de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando esta bacteria
crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especimenes se duplica cada 20 minutos.
a)Si la población inicial es 100, determine la función que exprese el crecimiento exponencial de la
cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t.
b) Si la población inicial fuera 3500, ¿cómo se vería afectado el modelo?
2.
La población mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la población
continúa creciendo con la razón actual de aproximadamente 2% por año:
a)encuentre la función Q(t) que expresa la población mundial (en miles de millones) como función
del tiempo t (en año), donde t=0 corresponde al inicio de 1990.
b) Según este modelo, ¿cuál sería la población mundial al inicio de 2007?
3.
Cierta región minera tiene una población que está decreciendo según la función: P  27500 e0.03t ,
donde t son los años después de 1995.
a)Encuentre la población en 2006.
b) En cuantos años la población será de 15092 habitantes.
4.
Una máquina se compra en $10,000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra.
Su valor después de t años está dado por la fórmula: V  10000e0.2t . Determina el valor de la máquina
después de 8 años.
5.
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p  2,500e x , donde x es el número
de unidades demandadas a un precio p por unidad. Evalúa el precio para una demanda de 6 unidades.
6.
Si $2000 se invierten a un interés compuesto anual del 6%, encuentre el valor de la inversión
después de 12 años.
Las funciones logarítmicas son las funciones inversas a las funciones exponenciales: y  log a x si y solo
si x  a y ;
log a x es la potencia a la cual a debe elevarse para obtener x. Como a  0 → x 0, por lo tanto el
dominio de las funciones logarítmicas son todos los números positivos.
y
3
y =l n (x ),
donde
a =e =2 .7 1 8 2 8 1
2
y =l o g (x )
donde
a =1 0
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
14
15
-1
-2
-3
Propiedades de los logaritmos:
log a 1  0
loga  MN   loga M  loga N
log a  M n   n log a M
a0  1
am an  am n
a 
m
n
 a mn
log a a  1
a1  a
loga  M / N   loga M  loga N
am / an  am n
loga 1/ N   loga N
1/ an  an
Ejercicios:
6.
La ecuación de oferta de un fabricante es p = 28 + log [5+ (x / 100 )] donde x es el número de
unidades y p es el precio por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 700 unidades?
7.
Una compañía encuentra que los gastos semanales en publicidad (en dólares) y están dados por:
 800 
y  1250 ln 
 donde x  200 .
 1000  x 
Calcula el gasto en publicidad para vender 800 unidades.
8.
¿ En cuanto tiempo se cuadruplica un capital con un interés del 20% capitalizable
continuamente?
9.
Arturo deposita $50,000 en un banco que le paga el 10% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto
tiempo deberá dejar la inversión para que el monto sea $ 74467.70?
10. La población en una ciudad en el año 2000 era de 83,750 personas. ¿Cuándo alcanzará esta ciudad
una población de 100,000 habitantes, suponiendo que continúe con una tasa de crecimiento del 3%
anual?
11. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si se invierte a una tasa del 15% compuesto anual?