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Autoinducción
En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético
ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por
tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá
una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz
autoinducida.
Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud d y de sección A
recorrido por una corriente de intensidad i.
La variación del flujo magnético es producida por la variación de la
corriente en el circuito. Esto lo podemos expresar como:
d dI

dt dt
Haciendo una igualdad y agregando una constante que la llamaremos L
queda:
d
dI
L
dt
dt
Aplicando la ley de Faraday para N espiras
d
dt
d
dI
N
L
dt
dt
  N
Integrando
N  LI
N
L
I
Donde:
N representa el número de espiras que tenga el circuito.
Representa el flujo magnético a través del circuito.

I representa la corriente que circula en el circuito
La constante de proporcionalidad L es conocida con el nombre de inductancia,
y representa físicamente la oposición que presenta el circuito a la variación de
la corriente, es una propiedad similar a la inercia en los sistemas mecánicos,
esto es, de oponerse al cambio en la cantidad de movimiento.
De la misma forma en que la resistencia R de un material es una propiedad del
tipo de material y de su geometría, así como la capacitancia C de un circuito
depende de la geometría , la inductancia L depende de la geometría del
dispositivo del circuito
Ejemplo:
Un toroide tiene un radio mayor R
y un radio menor r y se enrolla con
N vueltas de alambre muy
próximas entre si. Si R >>r, el
campo magnético dentro de la
región del toroide de área de
sección transversal A =πr2 es
esencialmente el de un solenoide
largo que se ha doblado como un
gran círculo de radio R. Demuestre
que la inductancia de dicho toroide
es aproximadamente:
0 N 2 A
L
2R
N
B   0 nI   0
I
2R
NA
 B  BA   0
I
2R
 B 0 N 2 A
LN

I
2R
El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (ideal) es:
B   0 nI
N
n
l
N
n
2R
El flujo magnético en el interior del toroide, suponiendo el campo uniforme es:
  BA
A  r 2
La inductancia del toroide será :
N NBA NA
L


0 nI
I
I
I
N
L  0 NA
2R
2
0 N A
L
2R
Observe que la inductancia depende de la geometría del toroide mas
no del flujo magnético o de la corriente.
Sea un solenoide de N espiras, de longitud d, recorrido por una corriente I, cuya
sección transversal es A.
B
 0 Ni
d
 m  NBA cos 0 
0 N 2 Ai
d
Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio
m y la intensidad i.
 m 0 N 2 A
L

i
d
Del mismo modo que la capacitancia, el coeficiente de autoinducción
solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades
magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide.
La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente
H, en honor a Joseph Henry.
Corriente autoinducida
Cuando la intensidad de
la corriente i cambia con
el tiempo, se induce una
corriente en el propio
circuito (flecha de color
rojo) que se opone a los
cambios de flujo, es
decir de intensidad.
Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio:
d m
0 N 2 A di
d  0 N 2 Ai 
  
 
  
dt
dt  d
d dt

di
  L
dt
La fem autoinducida siempre actúa en el sentido
que se opone a la variación de corriente.
Circuitos RL
Vab  Vbc  Vca  0
di
iR  L  V0  0
dt
t
Ldi
  dt

0 V0  iR
0
i

V0
 RL t
i
1 e
R

Si R/L es grande, como sucede en la
mayor parte de los casos prácticos, la
intensidad de la corriente alcanza su valor
máximo constante V0/R muy rápidamente.
Circuitos RL
Vab  Vba  0
di
iR  L  0
dt
di
Rt
    dt
L0
i0 i
i
i  i0e
 RL t
La corriente disminuye exponencialmente
con el tiempo. En la mayor parte de los
casos, R/L es grande, por lo que la
corriente desaparece muy rápidamente.
Energía del campo magnético
Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario
suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de
tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y
se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética.
di
V0  iR  L
dt
di
V0i  i R  Li
dt
2
El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita
para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético
asociado.
dU B
di
 Li
dt
dt
U B  Li
1
2
2
Esta es la energía acumulada en el campo
magnético del inductor cuando la corriente
es i.
Esta expresión representa la energía almacenada en el campo magnético
del inductor cuando la corriente es I.
También se puede determinar la densidad de energía de un campo
magnético.
Se va a considerar un solenoide cuya inductancia está dada por:
 B NBA 0 nIAN  0 nIAnl
L



I
I
I
I
El campo magnético de un solenoide está por:
L  0 n 2 Al
B   0 nI
B
I
0n
Sustituyendo L e I en la expresión para la energía:
2
2


1 2 1
B
B
 
U  LI   0 n 2 Al 
Al
2
2
20
 0 n 
Debido a que Al es el volumen del solenoide, la energía almacenada por
unidad de volumen en el campo magnético que rodea al inductor es:
U
B2
uB 

Al 20
Aunque esta ecuación se dedujo para el caso de un solenoide, es válida para
cualquier región del espacio en la cual haya un campo magnético
Una fem autoinducida en un solenoide de inductancia L cambia en el tiempo
como:
   0 e  kt
Encuentre la carga total que pasa por el solenoide, si la carga es finita.
   0e
I 
Q
0
dI
 L
dt
 kt
0
L
kL 
I
 kt
e
 dt

0
dI  
 kt
e dt 
0  1 

e
kL  k 
Q
0
k 2L
0
kL
e
 kt

 kt
0
0
L
e  kt dt
dq

dt
Q
0
k
2

e
L

 e0

Calcule la resistencia en un circuito RL en el cual L = 2.50 H y la corriente
aumenta hasta 90.0% de su valor final en 3.00 s.
I
e


1  e
R 
3.00 R
2.50

Rt
L




 0.10
2.50 ln 0.10
R
3.00
3.00 R



 
2.50 
0.90  1  e

R R

 3.00 R
 ln 0.10
2.50
R  1.92
Un inductor de 2.00 H conduce una corriente estable de 0.500 A. Cuando el
interruptor en el circuito se abre, la corriente efectivamente es cero en 10.0 ms.
¿Cuál es la fem inducida promedio en el inductor durante este tiempo?
dI
I
  L  L
dt
t
  L
I f  I0
t
0  0.500 A
  2.00 H
0.010s
Vs
2.00  0.500 AH

x A
0.010
s
H
  100V
Considere el circuito de la figura. Tomando ε = 6.00 V, L = 8.00 mH. Y R =
4.00Ω,
a) ¿Cuál es la constante de tiempo inductivo del circuito?
L 8.00mH
a )  
 2.00ms
R
4.00
8mH
b) Calcule la corriente en el
circuito 250µs después de que se
cierra el
interruptor.
ε
R
t



I  1  e 
R




25010 


6.00V 
2.00103 
I
1 e

4.00 

6
I  0.176 A
c) ¿Cuál es el valor de la corriente en el estado estable final?

6.00V
I 
 1.50 A
R 4.00
d) ¿Cuánto tarda la corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo?
t


I  I max 1  e 

0.80 I max

 I max 1  e


3




t

2.00103




t  2.00 10 ln 0.20
0.20  e

t
2.00103
3
t  3.22 10 s
Cuando el flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo debido a
corrientes variables en el tiempo en circuitos cercanos, se produce una fem a
través de un proceso conocido como INDUCTANCIA MUTUA.
Se llama así porque depende de la interacción de dos circuitos.
Bobina 2
Bobina 1
Vista transversal de dos bobinas
adyacentes. Una corriente en la bobina 1
establece un flujo magnético, parte del
cual pasa por la bobina 2.


N2



N1
I1
Inductancia mutua se define como:


I2
N 2 12
M 12 
I1
Bobina 2
N 2 12
M 12 
I1
Bobina 1


Φ12 flujo magnético causado por
la corriente en la bobina 1 y que
pasa a través de la bobina 2.
N2



N1
I1


I2
Si la corriente I1 varía con el tiempo, a partir de la ley de Faraday se ve que, la
fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es:
d 2
d  M 12 I1 

 2  N2
  N 2 
dt
dt  N 2 
dI1
 2   M 12
dt
Similarmente:
Donde M12 = M21
dI 2
 1   M 21
dt
Por lo tanto:
dI1
 2  M
dt
dI 2
1   M
dt
PREGUNTA
¿Se puede tener inductancia mutua sin autoinductancia?
NO, porque la inductancia mutua depende de un sistema de bobinas y que cada
bobina tenga autoinductancia.
¿Qué hay acerca de la autoinductancia sin inductancia mutua?
Si puede haber autoinductancia ya que una sola bobina tiene autoinductancia
pero no inductancia mutua porque no interactúa con otras bobinas.