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Sesión de probabilidad-2
Eibar 6/9/2011
Santiago Fernández
Asesor de matematicas
del Berritzegune Nagusia- Bilbao
ESQUEMA DIDÁCTICO PARA AFRONTAR
EL MUNDO DEL AZAR
1.- EXPERIMENTACIÓN
2.- DESCUBRIR REGULARIDADES
3.-CONJETURAR
4. REPRESENTAR Y COMUNICAR
5.- FORMALIZAR Y COMPROBAR
Números aleatorios y Pseudo-aleatorios
Un número pseudo-aleatorio es un número generado en un proceso
que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente.
Las secuencias de números pseudo-aleatorios no muestran ningún
patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, a
pesar de haber sido generadas por un algoritmo completamente
determinista, en el que las mismas condiciones iniciales producen
siempre el mismo resultado.
La mayor parte de los generadores de números aleatorios son, en
realidad, pseudoaleatorios: se calcula (o introduce internamente) un
valor X0, que llamaremos semilla, y, a partir de él, se van generando
X1, X2, X3, ...
Números aleatorios
Son números que deben de cumplir los
requisitos de espacio equiprobable, es decir,
que todo elemento tenga la misma
probabilidad de ser elegido y que la elección
de uno no dependa de la elección del otro.
Donald B. Owen, Handbook of Statistical
Tables,Reading Mass:Addisson-Wesley, 1.962.
3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730
0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280
6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9002
0772 2160 7236 0812 4195 5589 0830 8261 9232
5692 9870 3583 8997 1533 6466 8830 7271 3809
2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729
1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501
7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882
8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244
5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642
0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092
0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921
2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 8383
7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664
5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525
GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDO-ALEATORIOS
Xn+1 = D( 147. Xn)
D indica la parte decimal de un número
X0= 0, 31415
X1 = D( 147. X0) = D(46,18005)= 18005
0314 1518 005……………Secuencia de números pseudo-aleatorios
¿Es un mosaico realizado al azar?
Números aleatorios obtenidos de Random.org por un lado, frente a
otros utilizando la función rand() de PHP.
la generación de números aleatorios es una cuestión
demasiado importante para dejarla al azar
Mediante números Pseudoaleatorios
realizar varios experimentos aleatorios:
-Lanzamiento de monedas
-Lanzamiento de dados
-Lanzamiento de dardos sobre una cuadrícula de 10x10
¿ cómo obtener números alatoros mediante una calculadora, o similar
Utilizando la función Random(), para simular números de la lotería,
quinielas, puntos sobre una cuadrícula, puntos sobre un círculo, etc.?
Las raíces de la Teoría de la probabilidad se encuentran en los
juegos de azar.
Los inicios de la probabilidad, como teoría
matemática, pueden estudiarse en la
correspondencia que sostuvo B. Pascal con P.
Fermat, en la década de 1650, además de las
aportaciones de C. Huygens y otros científicos.
El problema del reparto
Adrian y Berta están en plena partida de un juego donde se tienen
que conseguir 6 puntos para ganar, y en el que cada uno de los
jugadores tiene las mismas oportunidades para vencer en una ronda
y llevarse un punto. Adrián está ganando por 5 a 3, cuando de
repente se interrumpe la partida. Si cada uno aportó 32 doblones.
¿Cómo deberán repartirse las apuestas depositadas?
[problema propuesto por Fibonacci (1180-1250 en su Liber Abaci , mal
resuelto por Luca Pacioli (1445-1514), que sostenía que la repartición
debería ser de 5 a 3, cuando, realmente, debe ser de 7 a 1]
El reparto justo
5, 3
5, 4
6, 3
5, 5
6, 4
Gana el
2º
Gana el
1º
El reparto justo
8
4
4
Gana el
2º
Gana el
1º
El reparto justo
4
4
2
2
Gana el
2º
Gana el
1º
El reparto justo
4
2
2
1
De las 8 bolas, 7 gana el primero
y 1 el segundo.
Gana el
2º
Gana el
1º
B. Pascal, a raíz de este tipo de problemas , comenzó en 1654 una
correspondencia epistolar sobre cuestiones probabilísticas con otros
matemáticos amigos, sobre todo con P. Fermat.
Esta correspondencia puede considerarse el origen de la teoría de
probabilidades.
Jordanus en su Arithmetica
Michael Stifel
LOS GLOBOS
Cada uno de los diez jugadores, de alto nivel, lanza un dardo
sobre un globo, de entre los diez, elegido al azar.
Si entre ellos no hay comunicación y siempre aciertan al globo elegido
¿ cuántos globos por término medio explotarán?
3690 2492 71 ( 8 globos explotados)
717720 6509 ( 7 globos explotados)
La probablidad de que un
globo no sea explotado es de
0,9. De que no lo sea en
ninguno de los 10 dardos es
0,910= 0,35.
Por tanto un globo no
explotará con P = 0,35,
luego de de 10 globos 3,5
quedarán sin explotar
Problema del cumpleaños
Para n = 5
A= Suceso que dos personas cumplan el mismo día
No A = Suceso de que no hay dos personas que celebren su cumpleaños a la vez
Analizamos el suceso No A
El número de casos posibles de celebración de cumpleaños, suponiendo el
año de 365 días, es:
3655 = 6,478 × 1012
El número de casos favorables : como la primera de las personas puede
haber nacido uno de los 365 días del año, la siguiente unos de los 364 días
restantes y así sucesivamente,
resultan 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10 12 casos de que no existan
dos personas que hayan nacido el mismo día .
Aplicando la regla de Laplace
P(No A) =casos favorables/casos posibles =6,303 / 6,478 = 0,973
p(A) = 1 - p(Ac) = 1 - 0,973 = 0,027
El problema puede generalizarse para una reunión de n personas.
La probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el
mismo día es:
Coincidencias
¿Cuántas personas escogidas al azar hacen falta para tener la
certeza de que dos cumplen años el mismo día? Si un año tiene
365 días (pasemos de bisiestos), nos hacen falta a lo sumo 366
personas. ¿Y si quiero tener una probabilidad del 50%?
El número de posibles:
n fechas de 365 (casos posibles) es:
VR365,n
n fechas distintas de 365 (casos no favorables) es:
 365n
V365,n  365  364  ...  (365  n  1)
365  364  ...  (365  n  1)
P(n personas no mismo cumple) 
365n
365  364  ...  (365  n  1)
P(al menos dos de n mismo cumple)  1 365n
Con n = 23 esta probabilidad se hace aproximadamente 0,5.
Otra manera de plantear el problema para que la solución no parezca tan
sorprendente es que si se juntan varias personas en una habitación,
calculamos las opciones de que no compartan cumpleaños.
-Supongamos que está solo en una habitación. Las opciones de que
todos los de la habitación tengan un cumpleaños diferente son
obviamente del 100% o, en el lenguaje de probabilidad,1.
-Ahora entra otra persona. Las probabilidades de que tenga un
cumpleaños distinto del nuestro son 364/365 (Vamos a ignorar los años
bisiestos en este cálculo), o 0,9973, que es lo mismo que el 99,73%.
-Entra un tercero. La probabilidad de que esa persona tenga un
cumpleaños distinto del de usted y del segundo es 363/365. La
probabilidad de que los tres tengan cumpleaños diferentes es 364/365
veces 363/365, o 99,18%
-…….
En contraste, la probabilidad que cualquiera en una habitación
de n personas tengan el mismo día de cumpleaños que usted
está dada por
que para n = 23 personas nos da alrededor de 0,061, y se
necesitarían al menos 253 personas para dar un valor de 0,5.
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html
La combinación ganadora en la primitiva sale dos
veces.
El 22 de agosto de 2002 la combinación ganadora fue la siguiente
13, 21, 24, 26, 32 y 34
Mientras que el 10 de Diciembre de 2009 fue la misma!!!!
Como el número total de combinaciones es de 13.983.816,
que corresponde a las combinaciones posibles de elegir 6
números del 1 al 49 sin repetir ninguno de ellos.
Y el número total de sorteos en estos años, es de unos 2.245
El problema es análogo a tener un año con 13.983.816 días y
unas 2.245 personas, cada una de las cuales ha nacido uno de
estos días
La probabilidad es del 16%
Esta problema reviste múltiples formas.
Alguna de ellas puede sorprender a más de uno:
Apostar a que se repiten las dos últimas cifras de
la matrícula en quince automóviles anotados al azar.
La probabilidad es ahora de 0,67, esto es
ganaré dos de cada tres veces.
El jugador audaz
Una persona tiene en su poder 1.000 euros y necesita
urgentemente 5.000 euros.
Juega al doble o nada, de una manera lo más
arriesgada posible.
Esto es si tiene 2.000 euros lo apuesta todo, si pierde
se queda a cero y si gana pasaría a tener 4.000
euros…
¿ Cuál es la probabilidad de ganar los 5.000 euros?
SITUACIÓN
“REAL”
MODELO
MATEMÁTICO
Análisis
Lenguajes
Argumentos
SOLUCIÓN
“REAL”
Validación
Interpretación
SOLUCIÓN
MATEMÁTICA
MODELIZACIÓN una competencia importante
El jugador audaz
1
3
5
0
2
4
0
5
0
5
0
3
16
8
8
8
4
4
2
8
4
2
1
3
12
Resumiendo: de las 16 bolas que están en juego, 12 de ellas caen en
una posición perdedora y 3 en una ganadora.
Luego la probabilidad de ganar es de 3/15= 1/5
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/JugAudaz/JugadorAudaz.htm
Tres jugadores A, B y C lanzan, sucesivamente, y por este
orden, una moneda ideal, ganando el primero que saque cara.
¿ Cuáles son las probabilidades de ganar cada jugador?
A = Gana el A
B = Gana el B
C = Gana el C
A
B
C
A
P(A) = ½+ (1/2)4+(1/2)7+(1/2)10+…….
P(B)=(1/2)2+(1/2)5+(1/2)8+(1/2)11+……
P(C)=(1/2)3+(1/2)6+(1/2)9+(1/2)12+…….
Pudiéndose apreciar que
P (B) = 1/2 P (A)
P (C) = 1/2 P (B) = 1/4 P (A)
Como:
1 = P (A)+P (B) +P (C) = P (A) + 1/2 P (A) + 1/4 P (A) = 7/4 P (A).
Tenemos que:
P (A) = 4/7
P (B) = 1/2 P (A) = 2/7
P (C) = 1/4 P (A) = 1/7
Paseo aleatorio
Una persona camina por el eje OX, la persona lanza una moneda: si sale
cara dará un paso a la derecha; si cruz, un paso a la izquierda. Dicho con
terminología matemática, su «probabilidad de transición» de cada
graduación a una adyacente es de 1/2. Tal caminata se llama simétrica, por
ser iguales las probabilidades de ir a la derecha y a la izquierda. Las barras
verticales A y B, situadas en -7 y en + 10 son «barreras absorbentes»; esto
significa que si el andarín se tropieza con una cualquiera de ellas es
«absorbido», y la caminata termina allí.
Entre las características más originales de este paseo se cuenta la de ser
isomorfo a un antiguo problema llamado «ruina del jugador».
Ejemplo de ocho caminos aleatorios en una dimensión empezando en 0. La
gráfica muestra la posición actual sobre una línea (eje vertical) versus los
intervalos de tiempo (eje horizontal).
Imaginemos ahora un borracho caminando aleatoriamente por una
ciudad cuyas calles forman una malla cuadrada. En cada cruce, el
borracho elige una de las cuatro posibles direcciones que dan a ese
cruce (incluyendo aquella por la que ha venido) con la misma
probabilidad. Formalmente, esto sería un paseo aleatorio sobre el
conjunto de todos los puntos del plano con coordenadas enteras.
Para investigar: Paseos aleatorios
Dos caminantes parten de un mismo punto del plano. Uno realiza un paseo
aleatorio de 60 pasos de longitud unidad y luego se detiene. El otro se para
después de sólo 40 pasos. ¿Qué distancia podemos esperar que los separe
al terminar?
El Adivino
Disponemos de cuatro cartas numeradas del 1 al 4, que están boca
abajo sobre una mesa. Una persona que dice ser adivino irá
diciendo sus valores gracias a su percepción extrasensorial.
Suponiendo que sea un charlatán, por lo tanto sólo está dando
números al azar.
¿ Qué probabilidad hay de que acierte por lo menos una de las
veces?
orden de las cartas del adivino
: 4312
1234
1243
1342
1324
1432
1423
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4231
4213
4312
4321
cuatro
coincidencias
Dos
coincidencias
Una
coincidencia
Cero
coincidencias
Resumiendo
Número
exacto de
aciertos
Número de
casos
Probabilidad
4
3
2
1
0
1
0
6
8
9
1/24
0
6/24
8/24
9/24
Probabilidad
de acertar, al
menos una
carta, es igual
a:
15/24
LA PRUEBA DE LA BODA:
Antiguamente, en cierta tribu africana, para poder casarse era
precisa la “aprobación de los dioses”. Para obtenerla, la pareja debía
superar la “prueba de las cuerdas” en presencia del chamán:
Este tomaba 6 trozos de cuerda iguales y, juntos, los ataba con un
nudo central. Después, cada novio debía anudar de dos en dos los seis
cabos de uno de los lados.
!!Si al final resultaba un circuito cerrado se podían casar !!
El gato y el ratón
Un ratón es perseguido por un hambriento gato. El ratón puede entrar por uno
de los callejones A, B ó C, para intentar salvarse.
La probabilidad de que el ratón entre en el callejón A es de 0.3, P(A)=0.3
La probabilidad de que el ratón entre en el callejón B es de 0.5, P(B)=0.5
La probabilidad de que el ratón entre en el callejón C es de 0.2, P(C)=0.2
Las probabilidades de que el gato cace al ratoncillo en cada callejón son:
P(gato cace al ratón en A)= P(+|A)= 0.4
P(gato cace al ratón en B)= P(+|B)= 0.6
P(gato cace al ratón en C)= P(+|C)= 0.1
Las avispas
En un alojamiento de dos compartimientos contiguos se encuentran
tres avispas. La puerta de comunicación está abierta y cada segundo
una avispa franquea la puerta. Es al azar. Nos preguntamos cuánto
tiempo hace falta, por término medio, para que las tres avispas
cambien de compartimiento.
Hasta ahora se han tratado sucesos equiprobables del espacio muestral,
pero qué ocurriría si jugásemos con un dado trucado. Por ejemplo, ¿cuál
sería la probabilidad de obtener número primo con un dado trucado, de tal
forma que la probabilidad de obtener una determinada cara fuese
proporcional a la numeración de dicha cara? En este caso los sucesos del
espacio muestral no son equiprobables y no podemos aplicar la regla
de Laplace.
primos
p(A1) = 1 × k
p(A2) = 2 × k
p(A3) = 3 × k
p(A4) = 4 × k
p(A5) = 5 × k
p(A6) = 6 × k
¿Qué probabilidad asignamos a cada suceso del espacio muestral?
Normalicemos:
1 = p(E) = p(A1  A2  A3  A4  A5  A6) =
p(A1) + p(A2) + p(A3) + p(A4) + p(A5) + p(A6) = 21 × k
de donde k = 1/21 y resulta:
p(A1) = 1 × k = 1/21, p(A2) = 2 × k = 2/21
p(A3) = 3 × k = 3/21, p(A4) = 4 × k = 4/21
p(A5) = 5 × k = 5/21, p(A6) = 6 × k = 6/21
p(A) = p("obtener número primo") = p(A2  A3  A5) =
= p(A2) + p(A3) + p(A5) =
= 10/21 = 0,476
¿Si sospechamos que una moneda está trucada (probabilidad
no simétrica) cómo utilizarla para echar suertes de manera
justa? Por ejemplo, supongamos que la moneda sale cara (C)
un 60% de las veces y sale cruz (+) un 40% de las veces.
¿Qué experimento aleatorio daría las mismas posibilidades a
dos sujetos A y B? (John von Newmann)
Cada jugador lanza la moneda dos veces:
(1) Si sale CC o ++, se vuelve a lanzar dos veces.
(2) Si sale C+ gana A.
(3) Si sale +C gana B.
6 4
24
P (C  ) 

10 10 100
4 6
24
P ( C ) 

10 10 100
John von Newmann