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Dinámica
IV. Movimiento circular y rotaciones
Rotaciones en la naturaleza
Magnitudes angulares



Ángulo q : [rad]
q
Velocidad angular w : [rad s-1]
dq
w
dt
Aceleración angular a :[rad s-2]
dw d 2q
a
 2
dt
dt
w  w0   a dt
q  q 0   w dt
Momento de fuerzas 1partícula
Ft
r
F
q
Fn
F= Fn + Ft
Sólo la fuerza tangencial
hace girar la partícula.
El giro depende de la distancia r
Fn  F cos q
Ft  F sin q
Velocidad
y aceleración
tangenciales
vt  r w
  r Ft  r F sin q 
 
  r F

at  ra
Ft  mat  mra
  Ia
Momento de
inercia I  mr 2
II Ley de Newton
rotaciones
Momento angular
1partícula
Ec rotación
1partícula

 

 
 dp d (r  p)
  r F  r  
dt
dt
1 2 1 2 2
Ec  mvt  mr w
2
2
El momento de fuerzas
Implica una variación de
momento angular
  
Lrp
La Ec se puede expresar
en función del momento de
inercia
1 2
Ec  Iw
2
L  Iw
Conservación
Si =0  L=cte
L2
Ec 
2I
Sistema de partículas

Momento total = Suma de momento de fuerzas
externas; los momentos de las fuerzas internas


se anulan.
F F 0

 i
   ri  Fext
i

ji

 
(ri  rj ) || Fij
ri




ri  Fij  rj  F ji  0
Fij
Fji
rj
Momento de Inercia
I   mi ri 2
i

ij
Momento Angular


L   Li
i
Si el momento
de las fuerzas
externas es
nulo L=cte
Ej:Sistema de partículas rotando en
torno al CM


Momento de Inercia
I  MR 2   mi r 'i2
i

Momento Angular
r’i
R

 
 
L  MR  V   mi r 'i v 'i
ri
i
Orbital
Intrínseco
Giro del CM

I  I CM  I '


ri  R  ri '
  
vi  V  vi '
Giro en torno
al CM
Energía Cinética
Traslación
del CM
1
1
2
Ec  MV  I ' w2
2
2
Giro en torno
El problema de dos cuerpos (1)
F12
m1
Se puede resolver exactamente
Supongamos dos cuerpos sometidos r1

a la interacción mutua 
F12  m1a1


F21  m2 a2
m1m2

m1  m2

F12


F12   a12
r12
F21
r2
 
F12  F21  0
m2

 
r12  r1  r2

 
a12  a1  a2
El sistema se puede
estudiar como una
partícula de masa 
El problema de dos cuerpos (2)
Magnitudes angulares
Podemos expresar las magnitudes angulares de
rotación en torno
al CM en función de la masa





r
'

R

r
v
'

V

v
reducida . 1
1
1
1
  
r2 '  R  r2
 

v2 '  V  v2

Momento de fuerzas

Momento de Inercia I '   r122


Momento angular
 0
Sólo fuerzas
internas

 
2
L '   r12  v12   r12 w
Energía cinética de rotación
1 2
L'2
Ec   v12 
2
2 r122
Potencial efectivo
Movimiento de dos partículas de masa reducida 
sometidas a una fuerza de interacción


conservativa.
r=r12
Fu  U (r )
L=cte
Energía total del sistema
L2
1
2
E  U  Ec  U (r ) 

MV
2 r 2 2
Potencial efectivo
Hay nuevos mínimos de potencial

 

FTotal  Fu  FC  U eff