Download Introducción a la Probabilidad

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Sociología
Departamento de Estadística
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Prof. Simón Cabrera
Prof. Edmundo Pardo
I. CONCEPTOS BÁSICOS
El estudio de fenómenos de diversa naturaleza permite
clasificar éstos en dos grandes grupos:
a)
Fenómenos determinísticos: aquellos en los cuales una
misma acción produce siempre el mismo efecto.
b)
Fenómenos probabilísticos o aleatorios: aquellos en los
cuales no siempre puede predecirse con certeza el
resultado de una misma acción.
¿QUÉ ES INCERTIDUMBRE?
La falta de conocimiento cierto de las cosas es la mayor
fuente de ansiedad para el hombre y es natural su deseo
de remediarla. La carencia de certeza o de conocimiento
cierto de la ocurrencia de determinados eventos, lleva a
correr ciertos riesgos en las decisiones esto es
incertidumbre y es ahí donde el uso de las probabilidades
es de gran ayuda para minimizarlos.
“Es una verdad cierta que, cuando no está en nuestra
mano distinguir las opiniones verdaderas, debemos seguir
las más probables”. (Descartes)
1.- Experimento Aleatorio (E)
Es un fenómeno empírico que repetido bajo las mismas condiciones,
no siempre arroja el mismo resultado.
Características
a) Es repetible: se puede realizar u observar en forma indefinida
(n veces) en las mismas condiciones.
b) Se conocen a priori los resultados posibles: se puede conocer o
delimitar el conjunto de todos los resultados posibles, aun cuando no
se puede predecir el resultado particular en una realización del
experimento.
c) Presenta regularidad estadística: si el experimento se repite pocas
veces los resultados parecen mostrar un comportamiento caótico,
mientras que al repetirlo un gran número de veces se puede detectar
cierta regularidad en el comportamiento de los resultados.
Ejemplos
a)
b)
c)
c)
Analizar 5 solicitudes de crédito y registrar el número de
las que resultaron aprobadas.
Analizar solicitudes de crédito hasta que por primera vez
se obtenga una solicitud aprobada.
Observar durante 1 h una taquilla de cierta agencia
bancaria y registrar el número de personas que realizan
por lo menos una operación.
Hacer un pedido para reponer inventario y registrar el
tiempo (en días) que tardamos en recibirlo.
El desarrollo de cada uno de estos ejemplos se le denomina
experimento aleatorio.
Se puede agregar que ninguno de los experimentos
anteriores son determinísticos sino probabilísticos o
aleatorios, por lo tanto, es necesario el uso de otros
métodos para su estudio, de ahí la importancia de la
denominada Regularidad Estadística:
a) Si se recogen los datos relativos al nacimiento de los
niños en una maternidad a lo largo del tiempo y se
registra el género de cada uno, se obtendrá una serie
estadística como la observada en el gráfico estabilizada
en 0,52 para el caso de las hembras.
b) Si se lanza un gran número de veces una moneda, se
observará que se obtendrá aproximadamente, el mismo
número de caras (C) y de sellos (S) es decir, que se
podrá predecir la proporción de C y de S en una gran
serie de repeticiones, estabilizada en 0,50.
Si se quiere hacer visible la estabilidad de las
frecuencias en los experimentos anteriormente
considerados, se puede construir la representación
gráfica siguiente:
Frecuencia del suceso hi (%)
Nacimiento de hembras
Resultado: sellos (S)
Número de observaciones (n) del suceso
2.- Espacio Muestral (S)
Es el conjunto no vacío formado por todos los resultados
posibles y razonables de un experimento aleatorio.
Clasificación
a)
b)
Finito: cuando el espacio muestral es un conjunto
de eventos numerable.
Infinito: cuando el espacio muestral es un conjunto
eventos no numerable.
Ejemplos
EXPERIMENTO ALEATORIO
a)
b)
c)
d)
ESPACIO MUESTRAL
Analizar 5 solicitudes de crédito y
registrar el número de las que
resultaron aprobadas.
S= {0,1,2,3,4,5}
Analizar solicitudes de crédito hasta
que por primera vez se obtenga una
solicitud aprobada.
S= {a, ra,
rra,rrra,…,rrrrrrrrrra}
a: aprobada, r: rechazada
Observar durante 1 h una taquilla de
cierta agencia bancaria y registrar el
número de personas que realizan por
lo menos una operación.
S= {0,1,2,3,4,5,…,n}
n: total de personas
Hacer un pedido para reponer
inventario y registrar el tiempo (en
días) que tardamos en recibirlo.
S={t: tN}
3.- Suceso o Evento
Es cualquier subconjunto de resultados posibles y razonables
de un experimento aleatorio.
Si en una realización del experimento aleatorio se satisfacen
las condiciones que definen un suceso, se dice que ha ocurrido
dicho suceso.
Tipos
a)
Simples: son sucesos indivisibles; es decir, aquellos que
están compuestos por un solo punto muestral. Ejemplo: en
el experimento aleatorio lanzar un dado, cualquiera de los
lados del dado es un suceso simple.
b)
Compuestos: son sucesos formados por dos o más
sucesos simples. Es cualquier subconjunto no unitario del
espacio muesral. Ejemplo: en el experimento aleatorio
lanzar un dado, el suceso “que salga un número par” es
compuesto.
c)
Mutuamente excluyentes: son sucesos disjuntos; esto es su
intersección es el conjunto vacío. Ejemplo: en el
experimento aleatorio aplicar un examen a un estudiante,
los sucesos “obtener una nota sobresaliente” y “aplazar la
prueba” son mutuamente excluyentes (mex). No se
presenta la simultaneidad.
d)
Colectivamente Exhaustivos: dos sucesos A y B son
colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es el espacio
muestral.
e)
Seguros: Son aquellos que coinciden con el espacio muestral
asociado a un experimento aleatorio.
f)
Imposible ( ): es aquel que no ocurre nunca; esto es, el
conjunto vacío. Por ejemplo, si al lanzar un dado común se
puede obtener un 7.
f)
Contrario (A): es aquel que ocurre cuando no ocurre el
suceso A. Por ejemplo,
Si P (lluvia)= 0,40, entonces P (no lluvia)= 1-P (lluvia)= 0,60
Ejemplos
SITUACIÓN PARTICULAR
a)
b)
c)
d)
RESULTADOS POSIBLES
El número de solicitudes de
crédito aprobadas es superior a 3.
A= {4,5}
Analizar máximo 4 solicitudes de
crédito hasta que por primera
vez una solicitud sea aprobada.
B={a,ra,rra,rrra}
a: aprobada, r: rechazada
Registrar entre 3 y 7 personas
que realizan por lo menos una
operación.
C = {3,4,5,6,7}
El tiempo que tardamos en
recibir el pedido es inferior a 3
días.
D ={ t:0<t<3 }
A cada conjunto de resultados posibles, asociado a las situaciones
particulares, se le denomina suceso
II. CONCEPTO DE PROBABILIDAD
Los experimentos aleatorios producen resultados inciertos
y la probabilidad es una medida de la incertidumbre. Sin
embargo, la incertidumbre es de naturaleza muy diferente
según lo sea el experimento. No existe un acuerdo total
entre los estudiosos de la probabilidad al respecto, por lo
que se pueden identificar tres grandes enfoques del
pensamiento probabilístico. A continuación, se exponen los
principios generales de cada una de éstos, sin tomar
partido a favor de alguno en particular.
1.- Enfoque Clásico o a priori
Está basado en el concepto de equiprobabilidad del espacio
muestral y fue introducido por Laplace. El cálculo de la
probabilidad bajo la concepción clásica, se realiza mediante
la siguiente regla.
Regla de Laplace:
La probabilidad de un suceso A es igual al cociente del
número de casos favorables al suceso, sobre el número total
de casos posibles.
Ejemplos
a)
En el lanzamiento de una moneda perfecta la probabilidad
de cara debe ser igual que la de sello y, por tanto, ambas
iguales a 1/2.
b)
La probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales
asociados al lanzamiento de un dado común (no cargado)
debe ser 1/6.
2.- Enfoque Frecuentista o a posteriori
Esta Ley propuesta por Bernoulli, plantea que la frecuencia
relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un
número, a medida que el número de pruebas del experimento
crece indefinidamente. Así bajo la concepción frecuentista, si
se repite un experimento indefinidamente, la probabilidad de
un suceso A es un número ideal al que se aproxima su
frecuencia relativa cuando el total de repeticiones tiende a
infinito.
N 
P( A)  lim  A 
N  N


Siendo NA la frecuencia absoluta del suceso A.
Ejemplo
Se elaboró la siguiente tabla con los 5946 empleados de cierta
institución financiera, según su nivel de ingreso:
NIVEL DE INGRESO (Bs.)
NÚMERO DE EMPLEADOS
PORCENTAJE
Menos de 500.000
2136
36,0
500.000-999.999
1548
26,0
1.000.000-1.499.999
1202
20,2
1.500.000-1.999.999
648
10,9
2.000.000 o más
412
6,9
Total
5946
100,0
¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea
menor de Bs. 500.000?
Solución: 36,0%
¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea
Bs. 1.500.000 o más?
Solución: 17,8%
3.- Enfoque Subjetivo
La Probabilidad de ocurrencia de un suceso es cuantificada
por una persona (o un grupo de personas) catalogada (s)
como experta (s) utilizando la información que posee (n).
Ejemplo
Un ingeniero de transporte a cargo de un nuevo sistema de
circulación, expresa que la probabilidad que el sistema
funcionará correctamente el 80,0% de las veces.
Con base en esta convicción, ¿cuál es la probabilidad de que
el sistema funcione apropiadamente?
Solución: 80,0%
Definición Axiomática de Kolmogorov
Dado un experimento aleatorio cualquiera (E) que tiene
asociado un espacio muestral (S), se llama probabilidad
P (A) que asigna a cada suceso o evento (A) un número real.
Tal que satisfaga con las siguientes propiedades o axiomas:
Axioma 1: 0  P( A)  1
Axioma 2: P(S)=1
Axioma 3: Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes
(mex) entonces P (AUB)=P(A) +P(B)
Axioma 4: Si A1, A2,…,A4 son sucesos o eventos mex dos a
dos entonces, n
n
P(U Ai )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( A4 )   P( Ai ),
i 1
i 1
conocida como regla aditiva para sucesos o eventos mex.
Teoremas Fundamentales
Teorema 1
Si A es el conjunto vacio entonces su probabilidad es cero.
Es decir, P()  0
Teorema 2
Si A es un evento y A su complemento, entonces,
P( A)  1  P( A)
Teorema 3
Sean A y B dos sucesos mutuamente No Excluyentes de un
espacio muestral (S), entonces,
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Teoremas Fundamentales
Teorema 4
P( A)  P( B)
Si A  B
Por ser todo conjunto subconjunto de si mismo.
Leyes
a.- Ley de Probabilidad Condicional
Sea S un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
Sean Ay B dos sucesos cualesquiera de S, tales que P(B) = 0. Se
define la probabilidad condicional de A dado B, P(A/B), como:
P( A  B)
P( A / B) 
P( B)
Leyes
b.- Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos Independientes.
Sea S un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
Sean A y B sucesos de S. Se dice que A y B son sucesos
independientes si y sólo si:
P( A / B)  P( A)
Ejemplo:
o
P( A  B)  P( A).P( B)
Si P (A/B)= 0,20 y P (A)= 0,20, entonces A y B son sucesos
independientes.
c.- Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos Dependientes.
Partiendo de la definición de probabilidad condicional,
podemos obtener la probabilidad de la intersección mediante la
siguiente regla:
P( A  B)  P( A).P( B / A)
Considerando que P (B/A) = P (B)
En el caso de la intersección de tres sucesos,
P( A  B  C )  P( A).P( B / A).P(C / A  B)