Download MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICE-RECTORADO DE PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO SOCIAL
PROGRAMA CIENCIAS SOCIALES Y JURIDICAS
SUBPROGRAMA ADMINISTRACIÓN
SUBPROYECTO: ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRADORES II
MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Introducción
En nuestra vida aparecen a diario, no importa en el ámbito que nos estemos desenvolviendo,
muchas situaciones bajo incertidumbre como, por ejemplo: qué posibilidad tengo de conseguir el
empleo, qué posibilidad tengo de salir bien en la evaluación, qué posibilidad hay de que compren
el producto, qué probabilidad hay de que una persona se recupere de la enfermedad, qué
posibilidad hay de que todos los productos salgan bajo las especificaciones exigidas, qué
posibilidad tengo de encontrar la información que necesito, etc. La respuesta a todas las preguntas
anteriores tiene un grado de Incertidumbre, aunque tengamos alguna base para obtener las
primeras respuestas. Pero existen otros casos en que las respuestas no dependen de
conocimientos anteriores sino del azar. Como, por ejemplo, qué posibilidad tengo al lanzar un par
de dados de obtener un 7 o un doble uno. En nuestro lenguaje cotidiano, palabras como
“probablemente…”, “es poco probable que…”, “hay muchas posibilidades de que…” hacen
referencia a esta incertidumbre.
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar de obtener
respuesta a estas incertidumbres. Cuando se aplican las técnicas estadísticas a la recolección,
análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para
evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al
importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario
familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo del presente módulo.
Al estudiar las probabilidades existen los siguientes objetivos:
 Familiarizar al estudiante con experiencias de la vida diaria en las que interviene el azar.
 Entender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus peculiaridades,
ventajas e inconvenientes.
 Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a problemas concretos.
 Entender los teoremas de la probabilidad y su aplicabilidad.
Prof.: José Pimentel
Teoría de la Probabilidad
Según Posada y Buitrago (2008) La teoría de probabilidad es “La teoría matemática que modela los
fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el
resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único
o previsible”. Para ello podemos citar este ejemplo, el agua calentada a 100 grados centígrados, a
presión normal, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de
realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados
posibles un conjunto de alternativas, ejemplos: lanzar un dado o una moneda. O sea que la
probabilidad es darle una medida o un valor a la incertidumbre.
Conceptos Básicos de Probabilidad
Experimento aleatorio: Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación o una medida de
un fenómeno o es aquel que en las mismas condiciones iniciales produce distintos resultados
finales, que son conocidos por anticipado pero no se puede predecir con certeza el resultado en
cada experiencia en particular. Ejemplo: lanzar una moneda, un dado, etc.
Experimento determinístico: Es aquel en el que las mismas condiciones provocan los mismos
efectos, como por ejemplo: un capital bajo el mismo intervalo de tiempo, produce el mismo
resultado.
Prueba: Es una observación particular.
Espacio Muestral: (S) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
estadístico.
Ejercicio 1. Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire. Si sale cara, se lanza otra vez la
moneda. Si sale sello, se lanza un dado una vez. Se pide construir el espacio muestral.
S=?
Ejercicio 2. Un experimento consiste en lanzar primero un dado y después lanzar una moneda,
siempre y cuando el número en el dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la moneda se
lanza 2 veces. Encuentre el espacio muestral.
S=?
Prof.: José Pimentel
Técnicas de Conteo
Es una herramienta matemática que sirve para conocer el total de resultados posibles en un
experimento estadístico. Las principales son:
Principio de la Multiplicación
Si un acontecimiento A puede ocurrir de m maneras diferentes, y si para cada una de esas m
maneras posibles de ocurrencia de A, un segundo acontecimiento B puede ocurrir de n
maneras diferentes, entonces, el número de manetas diferentes en que puede ocurrir el
acontecimiento A seguido del acontecimiento B es m x n
Ejercicio 3. ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar una moneda 3 veces?
Principio de la Permutación
Se define el número de permutaciones de n objetos como el total de maneras como se
pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a
1x2x3x ......n = n ! , definido como factorial de n.
n! (factorial) es el producto de los enteros
Desde 1 hasta n.
Ejercicio 4. Definir el resultado de 3!, 5! y 10!
Ejercicio 5. ¿De cuántas maneras podemos organizar cuatro personas en una fila?
Variaciones o Permutaciones
Tomado del material instruccional del profesor Fagilde, podemos decir también que la
permutación (P) es cada arreglo de datos donde el orden es importante y puede realizarse
tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo.
Su fórmula cuando:
(n = r) = n P n = n!
(r < n) = N P n =
𝑵!
𝑵−𝒏 !
Dónde:
n = número de datos
r = grupo tomado
N = elementos disponibles (población)
Prof.: José Pimentel
Ejercicio 6. Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas. Se pide ¿de
cuantas maneras se pueden asignar las personas a las máquinas?
Ejercicio 7. Se tienen cuatro reglas de salud:
Regla A: no fumar
Regla B: hacer ejercicios
Regla C: tomar 7 u 8 vasos diarios de agua
Regla D: comer verduras.
Si actualmente todas no se cumplen y se quieren cumplir 2 de ellas, ¿cuáles serían las opciones?
Sucesos Probabilísticos
De acuerdo con la forma como ocurren dos o más sucesos probabilísticos estos pueden ser:
Sucesos independientes: Son aquellos sucesos donde la ocurrencia de uno de ellos no depende de
la ocurrencia de otro u otros sucesos. Ejemplo: sacar de una caja una pelota blanca, si antes se
sacó una pelota negra y se devolvió a la caja.
Sucesos dependientes: Son aquellos sucesos donde la ocurrencia de uno de ellos sí depende de la
ocurrencia de otro u otros sucesos. Ejemplo: sacar de una urna una pelota blanca, si antes se sacó
una pelota negra y no se devolvió a la urna.
Sucesos compatibles o mutuamente no excluyentes: Son aquellos sucesos que pueden ocurrir al
mismo tiempo o simultáneamente, es decir, la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia
de otro u otros sucesos. Ejemplo: se lanzan dos dados al mismo tiempo, ¿puede salir el 1 o el 5?
Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes: Son aquellos sucesos que no pueden ocurrir al
mismo tiempo en forma simultánea, es decir, que la ocurrencia de uno de ellos excluye la
ocurrencia de otro. O sea A∩B =
ᴓ Ejemplo: En el lanzamiento de dos dados simultáneamente,
sacar al mismo tiempo dos números pares y que su suma sea impar.
Definición de Probabilidad
La posibilidad de que se presente un evento resultante de un experimento estadístico se evalúa
por medio de un conjunto de números reales llamados Probabilidades que caen en el rango (0,1).
A cada punto en el espacio muestral se le asigna una probabilidad tal que la suma de todas las
probabilidades tiene que ser igual a 1.
Prof.: José Pimentel
Modelo Empírico o Frecuencialista: El modelo de frecuencia relativa llamado también modelo a
posteriori utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha
ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente
con base en estos datos históricos.
La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante:
( )
Modelo Subjetivo: Es el grado de creencia personal de la posibilidad de que ocurra un suceso.
Modelo Clásico: En este enfoque se asume que todos los resultados de un experimento tienen la
misma posibilidad de ocurrir. La probabilidad clásica de un evento A se determina
( )
Axiomas de Probabilidad
Antes de entrar a ver los axiomas de probabilidad es importante que se experimenten varios
puntos:
1. Es necesario el conocimiento de la teoría de conjuntos para poder interpretar muchos
problemas de probabilidades.
2. En muchos casos, no se necesitan las reglas de probabilidades para poder obtener la respuesta
de probabilidad…; es suficiente tener buena interpretación de lo que se pregunta y tener clara la
fórmula básica de probabilidad.
( )
Los casos favorables son aquellos que cumplen con la condición, y los casos posibles son todos los
resultados posibles en un experimento estadístico (espacio muestral).
Teorema 1. Regla de la unión o suma: La suma o adición de probabilidades se obtiene cuando se
considera la ocurrencia de un suceso o de otro o de ambos a la vez.
Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden
ocurrir al mismo tiempo, entonces: P (A + B) = P (A) + P (B)
Eventos no mutuamente excluyentes: Dos eventos A y B son no mutuamente excluyentes si
ambos pueden ocurrir simultáneamente, entonces: P (A + B) = P (A) + P (B) – P (A – B)
Prof.: José Pimentel
Teorema 2. Regla del complemento: Se cumple que un valor de probabilidad es un valor
comprendido entre 0 y 1, es decir, 0 ≤ P ≤ 1. Por consiguiente, se cumple que el total de las
probabilidades favorables y no favorables a un suceso considerado es igual a la unidad entonces:
P+Q=1
Teorema 3. Probabilidad Condicional: En muchas ocasiones la probabilidad de que ocurra un
evento depende de lo que ha ocurrido con otro evento. En definitiva, la probabilidad condicional
de A, dado que ha ocurrido el evento B, se escribe P (A/B). O sea, es la probabilidad de que ocurra
un evento A cuando se conoce cierta información relacionada con la ocurrencia de otro evento B.
P (A/B) = Probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido.
P (B/A) = Probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido.
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
Teorema 4. Regla de la multiplicación o intersección: En el caso que nos interesa considerar la
ocurrencia de varios sucesos estamos en presencia de sucesos compuestos y se representan por la
probabilidad de un producto.
(
(
)
)
( )
( )
( ) Sucesos dependientes (sin reemplazamientos)
( ) Sucesos Independientes (con reemplazamientos)
Ejercicio 8.
En un curso, 10 alumnos aprobaron Historia, 15 aprobaron Matemáticas y 14 aprobaron Español; 3
alumnos aprobaron Español e Historia, 5 Matemáticas y Español, 3 aprobaron Matemáticas e
Historia y 1 solo aprobó las 3 materias. Si seleccionamos un estudiante en forma aleatoria, hallar:
a. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas
b. Probabilidad de que haya aprobado solamente Matemáticas
c. Probabilidad de que no haya aprobado Matemáticas
d. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas o Historia
e. Probabilidad de que haya aprobado Historia y Español
f. Si aprobó Español, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Historia?
Prof.: José Pimentel