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2. Probabilidad
Fábulas para nuestro tiempo (James Thurber).
Una gran araña que habitaba una casa vieja construyó una hermosa
telaraña para atrapar moscas. Cada vez que una mosca se posaba en la
telaraña y quedaba atrapada, la araña la devoraba, de modo que
cuando otra mosca viniera , pensaría que la telaraña era un lugar
seguro y tranquilo en el cual descansar. Un día una mosca muy
inteligente revoloteó sobre la telaraña tanto tiempo sin descender que
la araña apareció y dijo, “vamos, baja”.
Pero la mosca era demasiado lista y dijo, “nunca bajo donde no veo otras
moscas y no veo a ninguna en tu casa”. Así que se alejó hasta llegar a
un lugar donde había muchas otras moscas. Estaba a punto de bajar
junto a ellas cuando una abeja que pasaba le dijo, “detente estúpida,
eso es papel matamoscas. Todas esa moscas están atrapadas”. “No
seas tonta”, dijo la mosca, “están bailando”. Así que se posó y quedó
pegada al papel con todas las otras moscas.
Moraleja: No hay seguridad en los números, ni en ninguna otra cosa.
2. Probabilidad
Teorema de Bayes.
El concepto de probabilidad condicional da lugar a ramificaciones muy
discutidas en las inferencias obtenidas usando el cálculo de las
probabilidades. Estas dificultades provienen de la aplicación del
llamado Teorema de Bayes.
En el siglo XVIII, el reverendo Thomas Bayes, ministro inglés de la iglesia
presbiteriana, desarrolló una fórmula para llegar a la probabilidad de
que Dios existe, con base en las evidencias a su alcance en la tierra.
Posteriormente, Laplace detalló el trabajo de Bayes y le dio el nombre
de “Teorema de Bayes”. En forma práctica, el Teorema de Bayes es:
En esta fórmula, los eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes, donde
A1 y A2 se refieren a dos eventos en particular.
2. Probabilidad
Teorema de Bayes.
El teorema de Bayes es un método para revisar una probabilidad, debido a
que se obtiene información adicional.
Ejemplo:
Supongamos que 5% de la población de cierto país padece una enfermedad
peculiar. Si A1 se refiere al evento “tiene la enfermedad” y A2 al evento
“no tiene la enfermedad”. Se conocen, entonces, las probabilidades (a
priori) de seleccionar a un individuo que tenga la enfermedad, P(A1) =
0.05 y P(A2) = 0.95 para quienes no padecen la enfermedad.
Hay una técnica de diagnóstico para detectar la enfermedad (información
adicional), pero no es muy precisa. Supongamos que B indica el evento
“las pruebas demuestran que la enfermedad está presente”. Se sabe que
si la persona está enferma, la probabilidad de que la prueba indique su
presencia es P(B/ A1)=0.90. Si no está enferma, y la prueba indica que
si lo está la probabilidad es P(B/ A2)=0.15.
2. Probabilidad
Teorema de Bayes.
Supongamos que seleccionamos al azar a una persona y realizamos la
prueba y ésta indica que la enfermedad está presente. ¿Qué
probabilidad hay de que la persona realmente padezca esa
enfermedad?. Si queremos saber la probabilidad a posteriori
aplicamos el teorema de Bayes.
En el problema anterior tenemos solo dos eventos, pero el teorema de
Bayes puede aplicarse también a tres o más eventos:
2. Probabilidad
Ejercicio:
Un fabricante de videorreproductoras de casete (VCR) compra un microchip
en particular, llamado LS-24, a tres proveedores (A1, A2 y A3). Al
proveedor A1 se le compran 30% de los chips, 20% al A2 y el 50%
restante a A3. El fabricante tiene los registros de los tres proveedores y
sabe que el 3% de los chips de A1 son defectuosos, lo mismo ocurre con
el 5% de los chips del proveedor A2 y el 4% de los chips del proveedor
A3. Si un trabajador del fabricante elige aleatoriamente un chip
defectuoso, ¿qué probabilidad hay de que el proveedor sea el A2?
Considere B1 como defectuso y B2 como no defectuoso. Se sabe que:
P(B1/A1 ) = 0.03; P(B1/A2 ) = 0.05; P(B1/A3 ) = 0.04.