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Probabilidad CondicionalProbabilidad Total- Teorema de Bayes
De un grupo de 50 empleados, 30 tiene una antigüedad de más de 10
años. Se eligen dos empleados al azar. Calcular la probabilidad de
que los dos tengan una antigüedad menor que 10 años.
A = { El 1er empleado tiene menos de 10 años de antigüedad}
B= { El 2do empleado tiene menos de 10 años de antigüedad}
a) Sin reposición
P(A  B) = P(A).P(B/A)
= 20/50.19/49
P(A  B) = P(A).P(B/A) = 20/50. 20/50
Observamos que Si A y B son
independientes entonces P(B/A) = P(B) y
además
b) Con reposición
P(A  B) = P(A).P(B)
Dos sucesos A y B son
independientes cuando
la ocurrencia de A no
tiene influencia en la
ocurrencia de B.
Dos sucesos son
dependientes cuando la
ocurrencia o presencia de A
es requisito para la presencia
u ocurrencia de B
Teorema del producto
de probabilidades
P(A ∩ B) = P(A).P(B/A)
donde / se lee:
“sabiendo que A ocurrió”
“Un fábrica de tejidos dispone de 6 máquinas
nuevas y 8 máquinas antiguas. De las 6
máquinas nuevas, 3 son inglesas, 1 italiana y 2
son nacionales y de las 8 máquinas antiguas 4
son inglesas ,3 italianas y una sola es nacional.
a) Suponemos que un obrero elige una de
las máquinas nuevas para realizar un trabajo
¿cuál es la probabilidad que la máquina elegida
sea nacional?
Sean dos sucesos A y B
asociados a un experimento.
Del teorema del producto
P( A  B)
P( A / B) 
de probabilidades,
P( B)
Se define probabilidad
condicional del suceso A si
ocurrió B, a la expresión:
Con P(B) distinta de cero.
Análogamente, con P(A)
distinta de cero,
P( A  B)
P( B / A) 
P( A)
Algunos casos sobre la Probabilidad
Condicional P(A/B) y la P(A)
Si A  B =   P(A | B) =
A
B
A
B
A
 P(A/B)  P(A)
P(A  B )
Si A  B = A  P(A | B) =
=
P(B)
 P(A/B)  P(A)
Si A  B = B  P(A | B) =
B
 P(A/B)  P(A)
A
B
P()
P(A  B )
=
=0
P(B)
P(B)
P(A  B )
=
P(B)
P(A  B )
Si A  B    P(A | B) =
P(B)
No existe conclusión en este caso
P(A)
 P(A)
P(B)
P(B)
=1
P(B)
P( A1  A2  ......... An ) 
P( A1 ).P( A2 / A1 ).P( A3 / A1 , A2 )....P( An / A1 , A2 ,...An1 )
Ejemplo1 :
A
B
Supongamos que un mecanismo está formado por dos
componentes en serie. Cada componente tiene una
probabilidad p de no funcionar. ¿ Cuál es la probabilidad de
que el mecanismo funcione, sabiendo que ambas
componentes trabajan independientemente?
¿Y si el sistema estuviera conectado en paralelo?
A
B
La probabilidad de que un artículo tenga un defecto
tipo A ó tipo B es ¾.
La probabilidad de que dicho artículo no tenga
defectos tipo B es 2/3 y la probabilidad de que no
tenga defectos tipo A ó no tenga defectos tipo B,
es 5/6.
Hallar la probabilidad de que el artículo no tenga
defectos tipo B sabiendo que tiene defectos tipo
A.









Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que
te suban el sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del
5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del
20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del
60%.
En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
Teorema de la Probabilidad Total o de la
Probabilidad Completa
B1
A
B2
B1,B2,....,Bn
representan
una partición de
S, es decir:
AB1
AB2
AB4
AB3
B4
Bi  B j  
n
B
i
i 1
B3
para i  j
S
P( Bi )  0 Para todo i
Si A  S  A=  A  B1    A  B2    A  B3  ......   A  Bn 
P(A) = P  A  B1   P  A  B2   P  A  B3  ......  P  A  Bn 
P A  i 1 P A / Bi .PBi 
n
Ejemplo:
A, B y C licitan por un contrato para la construcción de un
puente. La probabilidad de que A obtenga el contrato es el triple
de que lo obtenga B, y las probabilidades para B y C son
iguales. Si lo obtiene A, elegirá a E como subcontratista con
probabilidad 0,8. Si lo obtiene B o C será elegido E con
probabilidad 0,4 y 0,1 respectivamente.
Antes de ser concedido el contrato, ¿Cuál es la probabilidad de
que E obtenga finalmente el subcontrato?
Permite calcular una probabilidad condicional, cuando la
condición A se calcula con una probabilidad Total.
A partir de las probabilidades a priori, también llamadas
probabilidades de las hipótesis, (que suman 1, por ser los Bi una
partición del espacio muestral S,) se vuelve a calcular una
probabilidad “a priori” pero ahora con una información
adicional: ocurrió el suceso A.
Es decir, determinaremos las probabilidades condicionales
P(B j /A)


P Bj / A 

P Bj  A
P  A

j  1, 2,......, n
P( B j / A) 
P( B j ) P( A / B j )
n
 P( B ) P( A / B )
i 1
i
i
Tres industrias suministran
microprocesadores a un
fabricante de equipos de
telemetría. Todos se elaboran
supuestamente con las mismas
especificaciones. No obstante,
el fabricante ha probado
durante varios años los
microprocesadores, y los
registros indican la siguiente
información.
Instalación
Proveedora
Proporción de
microp.
suministrados
Proporción de
defectuosos
1
0,15
0,02
2
0,8
0,01
3
0,05
0,03
El fabricante ha interrumpido las pruebas por causa de los costos
involucrados y puede ser razonable suponer que la proporción
defectuosa y la mezcla de inventarios son las mismas que durante
el período en el cual se efectuaron los registros. El director
selecciona un microprocesador al azar y descubre que es
defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho artículo sea del
proveedor 3?
1-El 70 % de los pacientes de un hospital son mujeres y
el 20% de ellas son fumadoras. Por otro lado el 40 %
de los pacientes hombres son fumadores. Se elige al
azar un paciente del hospital.
a)¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador?
b) Si se elige un paciente al azar y resulta ser fumador ,
¿cuál es la probabilidad qué sea mujer?
2-Suponga que los chips de un circuito
integrado son probados con cierto
instrumento y la probabilidad de que se
detecten los defectuosos, sabiendo que
realmente lo es 0,99. Por otro lado hay
una probabilidad de 0,95 de que un chip
sea declarado como bueno si
efectivamente lo es. Si el 1% de todos los
chips son defectuosos. ¿Cuál es la
probabilidad de que un chip que es
declarado como defectuoso sea en
realidad bueno?







1-¿Cuándo dos sucesos son independientes?
2-Determine la diferencias entre sucesos excluyentes e
independientes?
3-¿Cómo se determina una probabilidad condicional?
4-Explique las diferencias entre una probabilidad condicional y la
probabilidad de la intersección de dos sucesos.
5-¿A qué llamamos probabilidad total ó probabilidad compuesta?
6-¿Qué ocurre en una probabilidad compuesta con el espacio
muestral?
7-¿En qué caso se debe aplicar el Teorema de Bayes y que
significa dicha probabilidad?