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Lectura de Tesis Doctoral
Estudio numérico y asintótico del
efecto Gunn en varias dimensiones
descrito por el modelo de
Kroemer de convección-difusión
Director de tesis: Luis L. Bonilla
Departamento de Matemáticas,
Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid
Diodos Gunn
SHF Microwave Parts Co.
Diodos Gunn - Aplicaciones
• medidores de frecuencias
• transmisores y receptores
• interruptores
• radares
• detectores de movimiento
• faros ...
Interés Matemático
• Oscilaciones autosostenidas
• Duplicación del periodo
• Bloqueos de la frecuencia
• Estructuras caóticas
rutas al caos, lenguas de Arnold ...
• Modelos de EDP’s no lineales
con ecuaciones integrales acopladas,
condiciones de contorno complicadas,
dominios no triviales, soluciones que
desarrollan ondas de choque ...
Herramientas
• Análisis Asintótico
• Métodos Numéricos
• Estudio de Sistemas Dinámicos
• Problemas de Frontera Libre
Esquema
I. El efecto Gunn
Teoría y experimentos
II. El modelo
1. Ecuaciones
2. Geometrías
III. El caso 1½D
1. Simulaciones numéricas
2. Estados estacionarios
3. Análisis asintótico
IV. El caso 2D
Nuevos patrones
V. El problema de
frontera libre
1. Planteamiento
2. Resolución 1D, 1½D
VI. Conclusiones
1. Conclusiones
2. Problemas abiertos
I. El efecto Gunn
E(x,t)
V
X=0
X
Experimentos de
A
J. B. Gunn
X=L
I(t)
(1963)
I
V
t
El Mecanismo de transferencia
I. El efecto Gunn
entre valles
(Ridley-Watkins 1961, Hilsum 1962)
Diagrama de bandas del n-GaAs
mayor masa
efectiva:
Mayor campo
eléctrico
Mayor masa
efectiva
Banda de
conducción
no
lineal
Banda de
valencia
Menor
movilidad
Menor velocidad
media
I. El efecto Gunn
Curva de velocidad de los electrones
debida a un campo eléctrico
(Kroemer 1964)
I. El efecto Gunn
Esquema del circuito eléctrico
Reorganización de los electrones en una muestra de
n-GaAs sometida a una diferencia de potencial constante:
Zona
normal
Zona de
acumulación
V
Zona
vacía
Zona
normal
I. El efecto Gunn
La onda del campo eléctrico
Ecuación de Poisson:
luego:
Experimentos
Patrón 1D
B. Willing, J. C. Maan
(1994)
Geometría:
• muestra rectangular
de GaAs SI
• contactos planos
situados en los bordes
(imágenes: tesis de Willing)
Oscilaciones periódicas
de la corriente
Velocidad de la onda: constante
Experimentos - Patrón 1D
Experimentos
Patrón 1½D
B. Willing, J. C. Maan
(1994)
Geometría:
• muestra rectangular
de GaAs SI
• contactos circulares
situados en el interior
(imágenes: tesis de Willing)
cátodo
ánodo
Resultado:
evolución
temporal:
1, 2, 3, 4.
Experimentos – Patrón 1½D
Oscilaciones periódicas
de la corriente
Experimentos – Patrón 1½D
Patrón radial:
- la onda es un anillo
- desaparece en el interior
La onda acelera
II. El modelo de Kroemer para el efecto Gunn
en muestras multidimensionales de n-GaAs
• Variables:
n(x,t): Concentración de electrones
j(x,t): Potencial eléctrico
alternativamente:
E(x,t): Campo eléctrico
irrotacional:
• Parámetros:
L: separación entre contactos
rc: radio típico de los contactos
d: coeficiente de difusión
f: voltaje aplicado
vs: velocidad de saturación
r: resistividad de los contactos
II. El modelo multidimensional
• Ecuaciones:
En unidades
adimensionales
1. Ecuación de la continuidad de la carga:
2. Ecuación de Poisson:
II. El modelo multidimensional
• Alternativamente:
Ecuación de Ampère:
3. Ecuación de Ampère
j = la corriente total
sólo depende de t
En unidades
adimensionales
II. El modelo multidimensional
• Condiciones de contorno:
• En los contactos
Sc (cátodos) y Sa (ánodos):
voltaje constante:
ley de Ohm:
• En el borde de la muestra:
Neumann
homogéneas:
donde N es la normal a
S.
II. El modelo multidimensional
Difusión:
d <<1, luego:
• Estudios analíticos 1½D:
d =0
Los efectos de la difusión están confinados en
la capa límite del ánodo, caso idéntico al 1D.
Bonilla, Higuera, Phys. D 52 (1991)
Higuera, Bonilla, Phys. D 57 (1992)
• Simulaciones numéricas 1½D y 2D:
Para suavizar las ondas de choque.
d =0.013
Resultados de existencia,
unicidad y regularidad:
• En 1D:
- en n-GaAs: J. Liang,
SIAM J. Math. Anal. Vol. 25, No. 5 (1994)
- en p-Ge:
Bonilla, Hernando, Herrero,
Kindelan, Velázquez
Phys. D 108 (1997)
• En 1½D y 2D:
Problema abierto
II. El modelo multidimensional
Estudios previos:
-- TODO EN 1D --
Hasta los años 90:
-- de dos tipos --
1. Simulaciones numéricas:
- Kroemer (1964-68)
- McCumber, Chynoweth (66)
2. Teoría, con J=cte y L=:
- Knight, Peterson (66-67)
- Butcher (65-67)
• Shaw, Grubin, Solomon (79)
El análisis asintótico
es de los años 90:
- Bonilla e Higuera
Phys. D 52 (1991), 57 (1992)
- Bonilla, Hernando, Herrero,
Kindelan, Velázquez
Phys. D 108 (1997)
- Bonilla, Cantalapiedra,
Gomila, Rubí
Phys. Rev. E 56 (1997)
II. El modelo en 1D
El modelo en 1D - Geometría
el
circuito
E(x,t)
f
X=0
X
A
X=L
I
el
modelo
L
E
0
x
L
El modelo en 1D - Ecuaciones
Variables:
II. El modelo en 1D
E(x,t): campo eléctrico
J(t) : densidad de corriente
Ecuación
de Ampère
Condición
del bias
Condiciones
de contorno
Condición
inicial
El modelo en 1D - Simulación
II. El modelo en 1D
E
x
0
10.
Magnitudes
constantes:
- la altura de la onda
y su velocidad
- la corriente durante
el viaje de la onda
7
0.
50
50
x
0
J(t)
0
t
500
Objetivo de la tesis
Descripción numérica
Estudiar el caso 2D:
Estados estacionarios
Análisis asintótico
1er paso:
2do
paso:
Soluciones radiales (1½D)
Soluciones 2D
Resultados
III. El caso 1½D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 4
Estados estacionarios ----------------- Cap. 5
Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
IV. El caso 2D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 7
V. El problema de frontera libre
-
Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
III. El caso 1½D
El caso 1½D - Geometría
Discos de Corbino
Problema
en 1D
rc
L
ra
rc: cátodo
ra: ánodo
L= ra- rc
E
rc
r
ra
III. El caso 1½D
Enunciado del caso 1½D
Variables:
E(x,t): campo eléctrico
J(t): densidad de corriente
Ecuación de Ampère
Condición
del bias
Condiciones
de contorno
Condición
inicial
Simulaciones numéricas:
Algoritmo
• Diferencias finitas
• Semi-implícito
III. El caso 1½D
Formulación matricial:
dos sistemas tridiagonales
con la misma matriz T:
T.y=s
T.z=v
más dos operaciones.
• Orden 1 en el tiempo
• Orden 2 en el espacio
• Formulación matricial:
[A. Carpio, P. J. Hernando, M. Kindelan, SIAM J. Numer. Anal. 39, 168 (2001)]
Simulaciones
numéricas
III. El caso 1½D
r = 2, d = 0.013, rc=10, ra=90.
Característica corriente-voltaje
vs = 0
Régimen I:
Sols. estacionarias
para f bajo < fa
Régimen II:
Sols. oscilatorias
para fa < f < fw
Régimen III:
Sols. estacionarias
para f alto > fw
fw = +
fw < +
si vs = 0
si vs > 0
fa
Umbral de las
oscilaciones
fw
Simulaciones
numéricas
III. El caso 1½D
Característica corriente-voltaje
vs = 0
Riqueza de
comportamientos:
Oscilaciones
periódicas
Oscilaciones
complicadas
(entre otros)
fa
Umbral de las
oscilaciones
fw
Intervalo de oscilaciones
periódicas de gran amplitud
III. El caso 1½D
Valores de
Jc2= 5.39
f:
de izda
a dcha:
0.36
0.38
J
0.40
0.42
0.44
0.46
t
0.48
III. El caso 1½D
Intervalo de oscilaciones
complicadas (para vs= 0.1)
(Jc= 5.77)
f=0.41
señal que parecía
periódica hasta t=900
f=0.411
señal aparentemente
no periódica
f=0.42
señal periódica
A. Si
f es suf. grande, la onda llega hasta ra:
1½D
E
r
10
10.
• Durante el viaje:
- la onda decrece
- la corriente crece
• Durante el relevo:
- el campo exterior
crece
- la corriente decrece
50
50
r
0.
10
J(t)
0
t
500
B. Si
f es pequeño, la onda no llega hasta ra:
1½D
E
r
10
10.
• Radio máximo:
rmax
• Máximo de la
corriente:
Jc2
indep. de
f
7
0.
rmax 50
50
r
10
J(t)
0
t
500
Conclusiones de las
simulaciones numéricas
III. El caso 1½D
d, r y rc en
muestras grandes, y para vs = 0 y vs = 0.1, moviendo f en (0,1).
- Hemos resuelto las ecuaciones para valores fijos de
- Hemos descrito en detalle la evolución de la onda del
campo eléctrico relacionándola con la curva de la corriente.
Resultados:
1. Existe un intervalo (fa ,fw) de soluciones oscilatorias
2. Existe un valor crítico de la corriente Jc2
3. La corriente varía de manera opuesta a la altura de la onda
4. Existe un radio máximo para el avance de la onda
5. Existen intervalos de patrones complicados de E(r,t) y J(t).
Resultados
III. El caso 1½D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 4
Estados estacionarios ----------------- Cap. 5
Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
IV. El caso 2D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 7
V. El problema de frontera libre
-
Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
III. El caso 1½D
El problema estacionario
Fijamos
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
d=0
Obtenemos:
- la corriente crítica Jc2
- el umbral de oscilaciones
- la solución exterior
fa
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
curva característica J-f.
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
III. El caso 1½D
El plano de fase - Nuliclina
vs >0
Fijamos
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
E
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
Nuliclina:
r
curva característica J-f.
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
III. El caso 1½D
Aproximación exterior
Fijamos
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
E
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
rc
r
curva característica J-f.
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
III. El caso 1½D
Los estados estacionarios
vs >0
(3)
Fijamos
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
(2)
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
(1)
curva característica J-f.
Valor crítico:
JC2
(1) J < Jc2
(2) J
 Jc2
(3) J > Jc2
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
III. El caso 1½D
La característica J-f
Fijamos
J
Numéric.
Umbral de las oscilaciones
Cond. del bias en J=Jc2:
fa:
f
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
curva característica J-f.
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
III. El caso 1½D
El plano de fase general
Fijamos
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
curva característica J-f.
A. Para muestras largas
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
III. El caso 1½D
El plano de fase general
Fijamos
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
curva característica J-f.
 Lmin
B. Para muestras cortas
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
III. El caso 1½D
El plano de fase general
Fijamos
vs = 0.1
Num
Stat
r
= 2, rc = 10:
1. Para cada valor de J
resolvemos (1)-(2) y
construimos el estado
estacionario E(r) sobre
el plano de fase (r,E).
2. A la vez calculamos f
con (3) y construimos la
curva característica J-f.
3. Después variamos L
y vs, y obtenemos el
plano de fase general.
Conclusiones del estudio de
los estados estacionarios
III. El caso 1½D
- Hemos descrito los estados estacionarios asintóticamente
mediante su aproximación exterior y la evolución de una
capa límite interior.
- La posición de la capa límite es muy sensible cuando J
valor crítico de la corriente que hemos caracterizado.
 Jc2,
- Hemos aproximado los umbrales fa y fw.
(asintótica y numéricamente, respectivamente)
- Hemos construido la curva característica J-f, y el plano de
estabilidad general, viendo que existe un tamaño mínimo Lmin
por debajo del cual no hay oscilaciones para ningún valor de
f.
Todo ello, para vs = 0 y vs > 0.
Resultados
III. El caso 1½D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 4
Estados estacionarios ----------------- Cap. 5
Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
IV. El caso 2D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 7
V. El problema de frontera libre
-
Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
III. El caso 1½D
Objetivo del análisis:
Interpretar las simulaciones numéricas
• El viaje de la onda:
- Expresiones explícitas para las
variables del problema
- Estimaciones de las
magnitudes principales
• La nucleación y desaparición de la onda
- similar al caso 1D [BH91,HB92]
III. El caso 1½D
Condiciones generales del análisis:
• Muestra muy larga:
L = ra - rc = 1/Є
• Difusión nula:
• Rango del bias:
III. El caso 1½D
El pulso lejos de los contactos:
Consta de
tres partes:
1. El choque
2. El frente
3. El campo
exterior
delimitadas por:
Rb , Rl , rw ,
E- , E+ y J.
E
J/r
J/r
r
III. El caso 1½D
E+
1. El choque:
Rb
rw
Regla de las áreas iguales
con vs=0:
v(E)
V
.
E-
E+
E
III. El caso 1½D
2. El frente delantero:
(la zona vacía de electrones)
E+
rw
Rb
n=0 es una solución exacta.
Integrando
se obtiene
Insertando esto y n=0 en
la ecuación de Ampère:
= 0,
≈
.
.
III. El caso 1½D
3. El campo exterior:
E+
J/r
Rb
J/r
despreciando las derivadas respecto
de r y t en la ecuación de Ampère:
,
luego
y
,
.
III. El caso 1½D
4. Condición del Bias:
El bias se descompone en
,
con
Є
dentro de la onda,
y
Є
fuera de la onda.
Despejando
E+:
III. El caso 1½D
 Sistema de dos ecuaciones
para J(t) y rw (t):
donde
.
III. El caso 1½D
Plano de fase - Nuliclina
Nuliclina:
J
Punto de giro T:
rw
III. El caso 1½D
Reducción del sistema - Argumento
Cuando E+ >> 1,
drw/dt >> dJ/dt :
(1)
(2)
El tiempo característico de evolución de J es mucho
más pequeño que el de rw, luego
J(t) alcanza un estado pseudo-estacionario en el que
el miembro derecho de (2) es igual a cero;
las trayectorias van pegadas a la nuliclina.
III. El caso 1½D
Reducción del sistema - Solución
Queda una sola ecuación, sobre J(t),
,
que se resuelve con condición inicial J(0)=Jmin:
donde
III. El caso 1½D
Reducción del sistema - Comparación
asintótico
numérico
max
Estimación del radio máximo rw
III. El caso 1½D
:
• Sobre la nuliclina, las coordenadas de
T (rwT, JT) son cotas superiores de J y rw.
• Además, J  Jc2 luego
max
rw
J
Entonces:
rw
Jc2
 rw
, con
III. El caso 1½D
9. El análisis asintótico se completa con:
• Expresiones explícitas para las demás variables
• Descripción de los rangos de Є, rc y
f
• Estimación de la duración del periodo
• Estimación de la amplitud de las oscilaciones
• El caso rw,max > ra
• El caso f  Є rc
• El caso vs > 0
• La fase de relevo
• La coexistencia de
dos ondas
III. El caso 1½D
Conclusiones del caso 1½D
1. Simulación numérica de las ecuaciones
- riqueza en comportamientos
- descripción detallada viaje + relevo
2. Caracterización de los estados estacionarios
- curva característica J-f
- plano de fase de la estabilidad
3. Interpretación de los resultados numéricos
mediante un análisis asintótico detallado
- expresiones explícitas
- estimaciones de magnitudes importantes
Resultados
III. El caso 1½D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 4
Estados estacionarios ----------------- Cap. 5
Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
IV. El caso 2D
-
Nuevos patrones -----------------
Cap. 7
V. El problema de frontera libre
-
Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
IV. El caso 2D
Método numérico del caso 2D
Diferencias finitas.
1. Iteración temporal:
Método semi-implícito de orden 1
(evitando el fenómeno de reducción de orden de los R-K.)
2. Ecuación de Poisson:
a. Método iterativo:
método de los espacios de Krylov (GMRES),
con preacondicionamiento con LU incompleta.
b. Método directo:
descomposición LU con un método multifrontal (UMFPACK)
IV. El caso 2D
Algoritmo del caso 2D
(nk, jk)
(nk+1, jk+1)
(a) sin iterar
sobre jk
(b) iterando
sobre jk
El caso 2D: Simulaciones numéricas
Muestras rectangulares con
contactos puntuales,
variando el número y la posición de los contactos.
1. El patrón unidimensional
2. El patrón radial
3. Nuevos patrones:
3.1 Colisión entre dos ondas
3.2 Reducción de patrones
3.3 Ondas espirales
Representación:
n(x,t): concentración de electrones
2D
2D
2D
_
cátodos
+
Patrón 1D
+
ánodos
Patrón 1½D
_
_
_
+
_
_
Patrón en “8”
Geometría del
dispositivo
+
_
_
+
Corriente:
¿Periódico?
Sí
Patrón en “8” bis
Geometría del
dispositivo
+
_
_
+
Los bordes físicos del
semiconductor afectan a
la formación y evolución
de las ondas.
¿Periódico?
...
Reducción de patrones
Geometría del
dispositivo
+
+
_
Los dos cátodos actúan
como un único cátodo
colocado entre los dos
¿Periódico?
Sí
Reducción de patrones
Geometría del
dispositivo
+
_
+
_
Cada par de contactos
actúa como uno sólo
colocado entre los dos.
¿Periódico?
Estacionrio
Nuevos patrones
Geometría del
dispositivo
+
_
+
¿Periódico?
Sí
Disposición pentagonal
Geometría del
dispositivo
+
+ __ +
+
+
¿Periódico?
Sí
Perturbación de la
disposición pentagonal
Geometría del
dispositivo
++
+ __
+
+
Ondas
espirales?
¿Periódico?
Sí
Conclusiones del caso 2D:
IV. El caso 2D
1. Riqueza de nuevos patrones propios
de la geometría bidimensional
2. Necesidad de tener un buen método
numérico para estudiar estos patrones
3. Para hacer una descripción asintótica,
es necesaria una nueva formulación:
Parte V: El problema de frontera libre
Resultados
III. El caso 1½D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 4
Estados estacionarios ----------------- Cap. 5
Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
IV. El caso 2D
-
Descripción numérica ----------------- Cap. 7
V. El problema de frontera libre
-
Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
El Problema de Frontera Libre
Objetivo:
Análisis asintótico de las simulaciones
del caso 2D en muestras muy grandes.
Método:
Formulación de un problema de frontera
libre para describir el avance de las ondas.
Validación:
Resolución de los casos 1D y 1½D.
El Problema de Frontera Libre
Idea: en muestras muy grandes, se identifica la
línea blanca de la onda con una frontera libre
G.
La curva G es una
superficie dada por:
1ª observación
1. Fuera de la onda, la ecuación de Ampère es
j =(1+2j)v + Et  v(E)  E, luego E = 0;
entonces:
en A y B
Ecuación
de Laplace
La curva G es una
superficie dada por:
2ª observación
2. La onda tiene cierto voltaje (es un pulso), luego
el potencial eléctrico
j experimenta un salto [j]
a través de la frontera libre
G: W(x,y,t)=0.
entonces:
.
en A y B
La curva G es una
superficie dada por:
3ª observación
3. La velocidad de G es igual a la velocidad de la
onda, dada por la regla de las áreas iguales.
entonces:
para vs=0.
en A y B
.
La curva G es una
superficie dada por:
4ª observación
4. La derivada total de W es cero, la velocidad
.
.
viene dada por V=(x(t),y(t))N, y N=W/|W|.
entonces:
en A y B
en
.
La curva G es una
superficie dada por:
5ª observación
5. V = (v(E)  N)A = (v(E)  N)B,
y fuera de la onda: v(E)  E = j.
entonces:
en A y B
.
El problema
de frontera
libre
Dos
problemas de
Laplace
G
B
A
B
A
acoplados
mediante
una ecuación
de HamiltonJacobi
en
V. El problema
de frontera libre
La ecuación de Hamilton-Jacobi
La ecuación que define G es de la forma:
donde H es el Hamiltoniano dado por:
.
luego:
.
( p1,p2) (q1,q2)
V. El problema
de frontera libre
El sistema equivalente
Resolviendo sobre las
curvas características:
se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones para cada
punto (x,y) de
G, equivalente a la ecuación de H-J:
y
Solución del
caso 1D
E
• El modelo de
convección-difusión
j
• El problema de
frontera libre:
j
V. El problema
de frontera libre
Solución del caso 1D - detalle
Solución del modelo de convección-difusión
Solución del problema de frontera libre
t1
salto
t2
t3
Solución del
caso 1½D
• El modelo de
convección-difusión
E
j
• El problema de
frontera libre:
j
Solución 1½D
– detalle
modelo convección-difusión
problema de frontera libre
dos ondas,
dos saltos
t
t
1
2
El caso 2D
Queremos
reproducir:
Pensamos
utilizar:
Conjuntos
de nivel
(level sets method)
Osher y Sethian, 1988
y
El método de
marcha rápida
(fast marching method)
Sethian, 90’s
V. El problema de frontera libre
Conclusión
1. Hemos planteado un problema de frontera
libre para describir los nuevos patrones 2D
2. Hemos validado el enunciado en los casos 1D
y 1½D, dejando el caso 2D como problema
abierto de gran interés.
VI. Conclusión General
1. Hemos descrito el efecto Gunn en muestras
con simetría radial
2. Hemos presentado las primeras simulaciones
de patrones bidimensionales
3. Hemos planteado un problema de frontera
libre para describir los nuevos patrones
Principal problema abierto:
• El problema de frontera libre en 2D
Publicaciones
1. L. L. Bonilla, R. Escobedo
”Two-dimensional oscillatory patterns in semiconductors with point contacts”
Phys. Rev. E 64 036203 (2001)
2. L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera
”Axisymmetric pulse recycling and motion in bulk semiconductors”
Phys. Rev. E 64 (aparecerá dic. 2001)
3. R. Escobedo, L. L. Bonilla
”Wave dynamics in two-dimensional samples of n-GaAs with point contacts”
Procs. IC Applied non-linear dynamics, Aristotle Univ. of Thessaloniki 2001.
J. of Chaos, Solitons and Fractals, Ed. Elsevier (2001)
4. L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera
”Axisymmetric Gunn effect”
Procs. 25th ICPS – Osaka 2000 (Japan) pp 134-135.
Eds. N. Miura, T. Ando – Springer (2001)
El caso 2D
problema abierto
modelo de
convección-difusión:
con conjuntos de nivel:
con el fast marching method:
Fin
Fin
Fin
Fin
Fin
Fechas - I
• J. B. Gunn (1963 - 1969) Experiments
• Ridley-Hilsum (1962) theoretical prediction
• H. Kroemer (1964, 66, 68) model, boundary conditions,
numerics, N-L criterion, monopole and dipole waves
• Knight-Peterson (1966, 67)
• Butcher (1965-67)
• Bonch-Bruevich (1966, 1974 book)
• Shaw, Grubin and Solomon (1973-79) numerics, book
Fechas - II
• Westervelt and collaborators (1983-1992)
experiments: nonlinear dynamics, chaos
• Maan and collaborators (1995 - ...)
experiments in semiinsulating n-GaAs
....
• Bonilla and Higuera (1992) asymptotics
• Bonilla and Higuera (1995) Onset of instability
• Bonilla, Hernando, Herrero, Kindelan and Velázquez
(1997) Complete theory for p-Ge, domains with flat tops
• P. J. Hernando (2001) Ph. D Thesis
Unidades: Valores típicos para
la adimensionalización
Densidad de
electrones:
Campo eléctrico en VR:
ER= 4 kV/cm
n0 = 1015 cm-3
VR: máximo de v(E)
Long.=єER/(en0):
Tiempo=L1/(μ0ER):
є: permitividad
e: carga del electrón
μ0: movilidad a campo nulo
L1 = 0.28 μm
t = 1.02 ps
Potencial eléctrico =ERL1:
f = 0.011 V
Poisson and charge continuity eqs:
Heuristic
argument
(ignoring diffusion)
i.e.
with
.
Instability at x=0
gives
V(E)
E/ρ
Jc
E(0)
E
E
E1
t
E(0)
increases
E1
x
E
E(0)
E1
x
Numerical simulations - II
Poincaré diagram
Typical periodic self-oscillations
Region of aperiodic oscillations
(a) Large amplitude current self-oscillations
(b) Electric field profile at instants marked in (a)
Jc
2
J
1
(a)
5.7
J
4.2
0.465
f
0.505
Maximum radius
(b)
E
1
2
r
attainable by the wave
Simulaciones
numéricas
f=0.18
Oscilaciones
de pequeña
amplitud
f =0.22
Corriente
Campo eléctrico
Conclusions
We have described the repeated generation and motion of axisymmetric
waves in a two-dimensional n-GaAs sample with a Corbino geometry:
• The waves decrease as they advance. Simultaneously, the current increases
until a critical value is reached and a new pulse is triggered at the cathode.
• The current signal presents different patterns depending on the applied voltage:
- Just above the onset for self-oscillations, their amplitude
is small and the pulse dies off shortly after it is generated;
- For larger voltages, the amplitude is larger and pulses may or may not
reach the outer sample boundary, depending on the size thereof and bias;
- Regions of aperiodic oscillations due to multi-pulse dynamics
are interspersed with regular periodic oscillations.
• For sufficiently large samples, the pulse radius cannot surpass a maximum value.
References
[1] J. B. Gunn, Solid State Comm. 1, 1 (1963)
[2] H. Kroemer, IEEE Trans. Elec. Dev. ED-13 (1966)
[3] F.–J. Niedernostheide, editor, Nonlinear Dynamics and
Pattern Formation in Semiconductors and Devices, Vol.
79 of Springer Proceedings in Physics, Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg (1995)
[4] F. J. Higuera, L. L. Bonilla, Phys. D 57 (1992)
[5] A. Carpio, P. J. Hernando and M. Kindelan,
SIAM J. Numer. Anal. 39, 168 (2001)
[6] B. Willing, J. C. Maan, Phys. Rev. B 49 (1994)
[7] B. Willing, Ph. D Thesis, Univ. Of Nijmegen (1994)
[8] L. L. Bonilla, R. Escobedo, Phys. Rev. E (ap. 2001)
[9] L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera,
Procs. 25th ICPS, Osaka. Ed. Springer, 2001.
2D El método numérico
La EDP de la ecuación de la Continuidad se plantea
como un sistema de ODE’s de evolución temporal,
formado por tantas ecuaciones como nodos haya en
la discretización del dominio, en las que los coeficientes
dependen del potencial eléctrico y se renuevan cada
cierto número de iteraciones con la ecuación de Poisson.
El problema resultante es un problema rígido (stiff).
• Iteración temporal: método de Euler explícito con
iteraciones para el cálculo de los coeficientes;
(evita el fenómeno de reducción de orden de los Runge-kutta)
• Discretización espacial: diferencias finitas de 2º
orden, incluidas las condiciones de contorno.
Ecuación de la Continuidad:
2D
discretización
Condiciones
de contorno
Ecuación de Poisson:
Condiciones
de contorno
i=1,...,Nx
j=1,...,Ny