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I. E. Manuel González Prada 2015
CURSO: Matemática
TEMA: Análisis Combinatorio
2011
Profesor: Paz López Ramírez
Análisis Combinatorio
Matemática
Es parte de la
Análisis Combinatorio
Se encarga del estudio de
Grupos o conjuntos
De modo que cada
Grupo se diferencia de otro
Por el
Número de elementos
Objetos
Letras
Números
Etc.
Análisis Combinatorio
Principio de Multiplicación
Si el suceso
Puede realizarse de
A
“m” maneras
y
El suceso
Puede realizarse de
B
“n” maneras
Entonces los sucesos
A
y
B
Se pueden realizar
en forma conjunta de
m x n maneras
Siempre que se efectué uno después del otro
Análisis Combinatorio
NOTA: Este principio se puede
generalizar para más de 2 sucesos
Ejemplo 1: Un alumno tiene dos libros de física y una alumna tiene tres
libros de química.
¿De cuántas maneras podría presentarse un libro?
F1
Q1
Por el principio de Multiplicación
Q2
F2
Nº de Maneras = 2 x 3 = 6
Q3
2 Maneras
de prestar
los 2 libros
3 Maneras
de prestar
los 3 libros
Análisis Combinatorio
Ejemplo 2: De una ciudad “A” a otra “B” hay 4 caminos diferentes y de la
ciudad “B” a la ciudad “C” hay 3 caminos diferentes.
¿De cuántas maneras se podrá ir de A a C?
A
Hay 4 maneras
de ir de A a B
B
C
Hay 3 maneras
de ir de B a C
Luego, el número de maneras de ir de “A” a “C” son:
Nº de maneras = 4 x 3 = 12
Análisis Combinatorio
Principio de Adición
Si el suceso
A
Puede realizarse de
“m” maneras
y
El suceso
B
Puede realizarse de
“n” maneras
Entonces los sucesos
A
o
B
Se pueden realizar de
m + n maneras
Análisis Combinatorio
NOTA: Para que se cumpla el principio de
adición, se debe verificar que no sea posible
que los sucesos A y B ocurran juntos.
Análisis Combinatorio
Ejemplo:
Proyectamos un viaje y decidimos ir en el metropolitano o
en microbús, si hay 3 rutas para el metropolitano y 4 para
el microbús.
¿De cuántas maneras tenemos que decidir nuestro viaje?
Para el Metro_
politano hay 3
maneras de
llegar
a. En el
Metropolitano
Para el Micro_
bús hay 4
maneras de
llegar
b. En el
Microbús
N° de maneras = 3 + 4 = 7
Análisis Combinatorio
Variación o Arreglo
Variación es cada una de las ordenaciones que puedan formarse con
varios elementos
Tomemos de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres
Ejemplo:
Dado: A = (a,b,c)
3 elementos
Si tomamos de 2 en 2, las variaciones serían:
(ab, ac, bc, ba, ca, cb)
Sí nos interesa el orden, ya que no es lo mismo ab que ba
Análisis Combinatorio
Si tomamos de 3 en 3, las variaciones serían:
(abc, acb, bac, bca, cab, cba)
Luego, el número de variaciones está dado por la siguiente formula:
m
V
= m (m-1) (m-2)… (m-n+1)
(m > n > 0)
n
De otra forma:
m
V
=
n
m!
(m - n)!
Donde : m= # total de elementos de los “m” elementos tomados
de “n” en “n”
Ejemplo
5
V
2
=
5! =
(5 - 2)!
5! =
3!
3! x 4 x 5 =
3!
20
Análisis Combinatorio
NOTA: Para las variaciones el orden de sus
elementos sí interesa, ya que no es lo mismo
decir 23 que 32, como se observará, estos dos
números están compuestos por las mismas
cifras, pero en su valor son diferentes.
Análisis Combinatorio
Ejemplo: 3 alumnos llegan a matricularse a una academia pre-universitaria
que dispone de 5 aulas.
¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que
Siempre ocupen aulas diferentes?
Sean las 5 aulas, las que se muestran en la figura:
A1
A2
A3
A4
A5
3° alumno
2° alumno
1° alumno
3 posibilidades
4 posibilidades
5 posibilidades
Luego: # de maneras = 5 x 4 x 3 = 60
Análisis Combinatorio
Por formula obtenemos:
m
V
n
5
3
m!
(m - n)!
m = 5 (total de elementos = 5)
n = 3 (# de alumnos)
Donde:
V
=
=
5! =
(5 - 3)!
5! =
2!
2!x 3 x 4 x 5
2!
= 60
Análisis Combinatorio
Ejemplo: ¿Cuántos números diferentes de 2 cifras pueden formarse
con dígitos: 1, 2, 3, 4?
De los dígitos dados: 1, 2, 3, 4, tomamos de 2 en 2 obteniendo
12; 21; 23; 32
Se forman 12 números
de 2 cifras cada uno
13; 31; 24; 42
14; 41; 34; 43
Donde:
m=4 ; n=2
4
V
2
=
4! =
(4 - 2)!
4! =
2!
2!x 3 x 4
2!
= 12
Los números de 2 cifras que se pueden
formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 son 12
FIN