Download iii- permutaciones con elementos indistinguibles

ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO
“LIBERTADOR GENERAL SAN MARTÍN”
ESTADÍSTICA
5º AÑO
ANÁLISIS COMBINATORIO
2014
ANÁLISIS COMBINATORIO
La teoría de las probabilidades requiere saber calcular, o mejor dicho contar, cuántos
casos posibles se pueden presentar en un cierto proceso. En efecto, la probabilidad de un
suceso se hallará dividiendo el número de posibilidades favorables a que ocurra por sobre el
número de opciones posibles en el proceso del que surge.
Las técnicas de recuento se apoyan en un principio fundamental la Regla del Producto
de opciones y en tres conceptos sencillos, pero que es necesario aprender a distinguir con
seguridad: Permutaciones, Variaciones y Combinaciones.
Los cálculos involucrados hacen que aparezca con frecuencia un tipo especial de
productos, los factoriales, que por esta razón serán introducidos como noción auxiliar
inicial.
NÚMEROS FACTORIALES.
Sabemos que una multiplicación repetida de factores iguales se expresa abreviadamente
como una potenciación: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
Y en general:
a x a x a x a x a ..........x a = an
Veamos ahora otra multiplicación particular, que se presenta frecuentemente en
matemática, cuyos factores son números naturales consecutivos a partir de 1.
1 . 2 = 2!
1 . 2 . 3 = 3!
1 . 2 . 3 . 4 = 4!
Y en general
1 . 2 . 3 . 4 ......... n = n!
El producto de los enteros de 1 hasta n se denota por n! y se llama factorial de n.
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) ........ 3 . 2 . 1 n 1
Producto de los primeros n enteros naturales.
Ejemplos:
1! =
3! =
7! =
10! =
Adoptamos como definición que
Ejercicios:
1- Calcular:
a) 5!
2- a) 7 . 6!
1! = 1
b) 7!
b)
7!
5!
c)
0! = 1
c) 12!
103!
100!
d) 8 . 7!
e)
10!
7! 3!
f)
32!
30!
Propiedades de los números factoriales: Deduce las propiedades a partir de los ejemplos
n!
=
n  1!
1 - n! (n+1) =
2-
3- n! =
4- Si n es menor que m es:
n
m!
=
n!
I- PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN o
REGLA DEL PRODUCTO DE OPCIONES
Sin un proceso consta de varias etapas, en la primera de las cuales hay n1 opciones
distintas entre las que elegir, en la segunda hay n2 opciones, en la tercera hay n3, etc. El
número total de opciones en la construcción de ese proceso es el producto.
n1 x n2 x n3 x ......
Ejemplo:
Un grupo de amigas está planeando sus vacaciones. Dudan entre Mar del Plata, Brasil,
Punta del Este o Piriápolis. Y además deben decidir si van en coche, colectivo o avión.
¿Cuántas opciones tienen en total?
1º deben elegir el lugar n1 = 4 opciones
2º deben elegir el transporte n2 = 3 opciones
Solución 4 . 3 = 12 opciones
n 1 . n2
La siguiente figura muestra el DIAGRAMA DE ÁRBOL, que enumera las diversas
posibilidades.
Este tipo de diagramas es útil para número pequeños de posibilidades, pero para tratar
problemas complicados son necesarias otras técnicas de recuento.
Mar del Plata
Brasil
Punta del Este
Piriápolis
colectivo
avión
coche
colectivo
avión
coche
colectivo
avión
coche
colectivo
avión
coche
Práctica:
1) Se va a conformar un comité de 3 miembros compuesto por un representante de los
trabajadores, uno de la administración y uno del gobierno. Si hay 3 candidatos de los
trabajadores, 2 de la administración y 4 del gobierno, determinar cuántos comités
diferentes pueden formarse empleando: a) el principio de la multiplicación; b) un
diagrama de árbol.
2) a- 10 amigos juegan tres partidas de bochas y al final de cada una, anotan el resultado:
1º
2º
3º
Ganador
¿De cuantas maneras posibles se puede rellenar la hoja? (prueba con menos amigos y
2 o 3 partidas)
b- los mismos 10 amigos juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten 3 copas
(1º premio,2º premio y 3º premio); ¿de cuántas maneras pueden llevarse los premios?
II- PERMUTACIONES (de elementos distintos):
“Se llaman permutaciones de n elementos distintos a las diferentes formas en que se
pueden ordenar en fila”.
Ejemplo: Las permutaciones distintas de los Nº 1, 2, y 3 son:
123
132
321
213
231
6 en total
321
El primer problema de combinatoria consiste en contar el número de permutaciones de n
objetos (Pn) distintos dados, o sea ¿Cuántas formas hay de ordenarlos?
- En la primera posición podemos colocar cualquiera de ellos, o sea n opciones.
- En la segunda cualquiera de los restantes. Eso da n-1 opciones.
- En la tercera, cualquiera de los n-2 que todavía nos quedan, etc.
- Cuando lleguemos a la última posición sólo tendremos un elemento disponible.
Por la regla del producto, el número total de opciones es:
Pn = n . (n-1) . (n-2) ..... 3 . 2 . 1
Aplicando factoriales:
Pn = n!
Ejemplos:
2- Con las 4 letras de la palabra AMOR se pueden formar P = 4! Permutaciones, es decir
24 palabras (aunque muchas no tengan significado):
AMOR
AOMR
AORM
AMOR
ARMO
AROM = 6
(Se forman poniendo tras la A las 6 permutaciones de las otras 3 letras)
Formar las 6 que empiezan con O, las 6 que empiezan con R y las 6 con M
O
R
R
M
O
R
R
M
M
O
O
M
M
A
O
R
4-¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse 5 litros distintos en una estantería?
5- ¿De cuántas maneras distintas pueden quedar clasificados 20 equipos de fútbol?
6- Se va a sortear el orden de actuación de ocho conjuntos de rock participantes en un
concurso.
¿De cuántas formas pueden quedar programadas sus actuaciones?
(Estos ejemplos dejan claro que el uso de diagramas en árbol solo puede considerarse como
una ayuda para entender más fácilmente las nociones de combinatoria o para calcular
números combinatorios pequeños).
III- PERMUTACIONES CON ELEMENTOS INDISTINGUIBLES
En la sección anterior hemos supuesto que los n elementos dados eran todos diferentes. Así,
con las letras de ECO son posibles las 6 permutaciones ECO, EOC, OCE, OEC, CEO,
COE, todas distintas entre sí.
Pero, ¿qué ocurre si varios de los elementos dados son iguales? Veamos un ejemplo para
intuir la respuesta general. Con las letras de la palabra OSO podríamos formar también 6
permutaciones si distinguiéramos las dos letras O poniendo OSO.
OSO OOS SOO SOO OOS OSO
Pero en realidad las dos letras O de la palabra OSO son iguales, distinguibles (se repiten)
entre sí. Por esa razón, sólo hay 3 permutaciones verdaderamente distintas (o sea,
distinguibles) entre sí:
OSO que engloba a dos de las de antes OSO y OSO ahora indistinguibles
OSO que engloba a dos de las de antes SOO y SOO ahora indistinguibles
OOS que engloba a dos de las de antes OOS y OOS ahora indistinguibles
En general consideraremos n elementos de los cuales n1 son iguales entre sí, otros n2 son
iguales entre sí, etc.
Escojamos una permutación concreta de esos n elementos. Pues bien, todas las que resultan
de ésta, permutando en ella los n1 entre si de todas las formas posibles (n1! opciones) y los
n2 entre si (n2! opciones), etc. son indistinguibles.
Luego cada una de las que ahora son realmente distintas engloba n1! n2! n3! ....
n!
En consecuencia, el número de Pnn1,n2,n3... =
n1! n 2 ! n3 !
IV- VARIACIONES (Arreglos) sin repetición:
“Se llaman Arreglos de n elementos distintos tomados de r en r a las distintas filas
ordenadas de longitud r que se pueden formar con ellos”.
“Se llaman Variaciones de n elementos tomados de r en r (Vn,r ) a los grupos que se pueden
formar con n elementos dados, tomándolos de r en r y tales que dos grupos se consideran
distintos, cuando difieren en algún elemento, o en el orden en que los elementos están
dispuestos”.
(Las Permutaciones se consideran un caso especial de las Variaciones – Arreglos. En cada
grupo se hacen intervenir todos los elementos dados, es decir las variaciones de n
elementos tomados de n en n. Se comprende que como en cada grupo figuran todos los
elementos, dos de esos grupos pueden diferir únicamente en el orden en que esos elementos
aparecen Pn = An,n)
Para hallar el número de Variaciones procedemos como lo hicimos con las Permutaciones,
pero dado que ahora solo ordenamos r elementos de los n totales (r posiciones) nos
detenemos tras colocar r elementos (r posiciones).
Vn,r = n . (n-1) . (n-2) .... (n – (r-1))
(1)
Vn,r = n . (n-1) . (n-2) .... (n –r+1)
Si trabajamos en (1)
Vn,r = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) . (n –r+1)
..... 1
Multipli. y div. por ((n-r) . (n-r-1) . (n –r-2)
Vn,r = n (n-1) (n-2) .... (n –r+1) (n-r) (n-r-1) .... 3 . 2 . 1
(n-r) (n-r-1) .... 3 . 2 . 1
Vn,r =
n!
n  r !
Ejemplos:
7- (Ejercicio 2b. Del Producto de opciones)
8- En una carrera de 11 participantes, de cuántas maneras se pueden distribuir las medallas
de oro, plata y bronce?
9- En un curso de 30 alumnos, de cuántas maneras distintas es posible elegir delegado y
subdelegado?
V- VARIACIONES (Arreglos) con repetición:
En ciertos problemas se permiten repetir, es decir una vez seleccionado el primer
elemento volvemos a disponer de todos 8de los n iniciales) para (decidir cual) seleccionar
el segundo elemento y lo mismo para el tercero, etc.
El número de posibilidades es n para la primera posición, n para la segunda y lo mismo
para las r posiciones de la fila 
A´n,r = nr
Ejemplo:
10- Se van a sortear 3 premios $ 10.000, $ 5.000 y $ 2.500 entre 20 personas extrayendo 3
bolillas de 1 bolillero. ¿Cuántas distribuciones de premios distintas son posibles si las
bolillas que van saliendo no se devuelven al bolillero? ¿Y si se devuelven?
VI-
COMBINACIONES
“Se llaman Combinaciones de n elementos tomados de r en r (Cn,r) a los grupos que se
pueden formar con esos n elementos tomados de r en r y tales que dos grupos se consideran
distintos únicamente cuando tienen algún elemento diferente”.
Ahora solo importa cuales son los r elementos elegidos, no importa el orden. Una
combinación es una selección de cierto grupo.
Desarrollo de fórmula:
Cada combinación da lugar a tantos Arreglos distintos como forma haya de permutar sus
elementos:
An, r
( #) A n,r = C n,r . Pr
Cn,r =
Pr
Cn,r =
n!
n  r ! r!
Veamos esto con un ejemplo:
Como en las combinaciones cada grupo debe tener algún elemento diferente del de los
otros, los que pueden formarse con los 4 elementos a, b, c, d tomados de 3 en 3 son:
Abc abd
acd
bcd es decir C4,3 = 4
Para concretar esta idea, se escriben en un renglón los 4 grupos que se obtuvieron con los 4
elementos a, b, c, d tomados de 3 en 3 y en columna y debajo de cada uno de esos grupos,
los grupos que se obtienen al permutar los 3 elementos que los forman:
C
4,3



abd
acd
bcd
abc
acb
adb
adc
bdc

bac
bad
cad
cbd
P3 
bda
cda
cdb
bca
cab
adb
dac
dbc

dba
dca
dcb
cba
En la primera fila figuran los 4 C4,3 y en cada columna figuran los 6 grupos que se obtienen
al permutar los 3 elementos, que encabezan la columna, es decir P3 ; resulta así un cuadro
de 24 grupos igual a C4,3 x P3 . Pero dos cualesquiera de esos grupos, o bien tienen algún
elemento distinto o bien si los elementos son iguales aparecen en distinto orden, es decir,
estos 24 grupos son los arreglos de 4 elementos tomados de 3 en 3, o sea A4,3 . Por lo tanto
( )
Ejemplo: Se han preseleccionado 12 ciclistas para elegir entre ellos los 8 del equipo
nacional que participará en el campeonato del mundo. ¿De cuántas maneras podrá
seleccionarse?
No importa el orden de los elegidos, sino solo quienes son los 8 elegidos.
12!
C12,8 
4! 8!
Ejercicios:
11- Una cadena de TV organiza un concurso de cultura general entre equipos de 3
estudiantes de 5to.año. Las respuestas se dan en equipo, tras consultarse los3 entre sí.
a) En un concurso de 30 alumnos, ¿de cuántas maneras pueden elegirse un equipo de
3 para participar en ese concurso de TV?
b) ¿Y si el concurso tuviese una prueba de fuerza, otra de cultura y otra de mímica, y
hubiese que elegir el equipo asignando un participante a cada especialidad?
NÚMERO COMBINATORIO
n
El número de combinaciones Cn,r , suele expresarse por el símbolo   que se llama
r
número combinatorio, es decir:
n
Cn,r =   (se lee n sobre r o n tomados de r)
r
En consecuencia:
 n  n (n  1) (n  2) (n  r  1)
  =
r!
r
n
n!
  =
 r  r! ( n  r )!
Resolver:
9
a)  
 4
8
f)  
6
9
b)  
5
10 
g)  
0
5
c)  
0
10 
h)  
10 
5
d)  
5
 26 
i)  
 22 
8
e)  
 2
 26 
j)  
4
Propiedades:
1- Simetría:
n
  =
r
n
2- En particular:   =
0
n
  =
1
 n 


n  r
Nº complementarios
n
  = 1
n
 n 

 = n
 n 1
 n 
n
 +   =
3- Recurrencia: 
 r 1
r
BINOMIO DE NEWTON
 n  1


 r 
Fórmula de Stieffel
POTENCIAS DE UN BINOMIO)
Los números combinatorios, además de estar vinculados al cálculo combinaciones,
aparecen en un problema muy distinto. Las potencias de un binomio (a+b)
Observa estas expresiones:
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
a+b
a2 + 2ab + a2
a3 + 3 a2 b + 3 a b3 + b3
(a+b)4 a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4
1
 
0
1 1
1 2 1
1 3 31
1 4 6 4 1
 2
 
0
 3
 
0
 4
 
0
1
 
1
 2
 
1
 3
 
1
 4
 
1
 2
 
 2
 3
 
 2
 4
 
 2
 3
 
 3
 4
 
 3
 4
 
 4
Hemos copiado en el triángulo del centro los coeficientes que han ido saliendo en los
desarrollos de la izquierda. Curiosamente los valores coinciden con los del triángulo
de la derecha, constituido por los números combinatorios.
Las flechas nos hacen ver claramente que cada uno de ellos es la suma de los dos que
le preceden.
Para comprender esto, pensemos en la potencia (a+b)5 . Se trata de efectuar el
producto:
(a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
La pregunta es ¿qué coeficiente llevará el término en a3 b2? Equivale a ¿de cuántas
maneras pueden elegirse tres letras a y dos b de esos cinco paréntesis?
Una posible forma es, por ejemplo, tomar las a de los paréntesis 1º, 2º y 3º. Otra
distinta, tomarlas de los paréntesis 1º,2º y 4º, etc. Como verás, hay tantas
posibilidades como combinaciones de 5 elementos (los paréntesis) tomados de 3 en 3,
5
o sea  
 3
5
o lo que es lo mismo   que equivale a elegir las dos letras b en lugar de las tres
 2
letras a.
Esto es válido para cualquier potencia (a+b)n, así que se tiene la siguiente fórmula de
Newton para el desarrollo del binomio:
n
(a+b)n =   an b0 +
0
 n  n-1 1
  a b +
1
 n  n-2 2
  a b + ....... +
 2
 n  1 n-1  n  0 n

 a b +   a b
 n 1
n
ANÁLISIS COMBINATORIO: Práctica
1- Verificar las igualdades:
3!  4!
 3!
5
n  1!  n! = (n-1)!
f)
n2
6!
1

2
5
3!.4!.5
a) 8! – 7! = 7 . 7!
b)
d) 5! + 3! – 4! = 17 . 3!
e) 6! – 5! – 4! = (4!)2
c)
2- Expresar como operación entre factoriales de un número:
a) 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . =
b) 6 . 7 . 8 . =
3! .4.5.6

d) 3! . 5! . 7! =
e)
3!
3- Calcular.
V6,4
V9,5
V4,4
V7,6
V30,2
4- Calcular los siguientes nº combinatorios:
8
11
 33 
 
 
 
1
 4
9
P2
 57 
 
 57 
P3
c) 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10
C9,2
10 
 
0
C7,3
C49,48
5- Calcular n de modo tal que se verifique cada una de las siguientes igualdades:
n
n
a)   =  
7
 2
n
n
b)   =  
1
5
n
n
c)   =  
16 
 4
 n  n
n
n
d)   =   e)   =  
 33 
17 
18   9 
6- Indicar los complementarios de los siguientes números combinados:
15 
 23 
9
16 
 21
a)  
b)  
c)  
d)  
e)  
3
 16 
6
8
0
7- Resolver las siguientes ecuaciones:
x!
( x  2)!
a) 7
 40.
( x  5)!
5!( x  3)!
x!
 x2  x
3!( x  3)!
 7 
 7 
 = 

e)  2
 x  x
 2 x 1
h) 7 A n,3 = 6A n+1,3
c)
d)
b) 22
15!
14!
 3.
(18  x)!
(16  x)!
15(7  x)! (14  x)! 14(15  x)!

(8  x)! 6!
8!
f) An,3 = 3 A n,2
g) 2 A n,2
i) 2 C x+1,x-3 = 7 C x-1,x-4
Aplicar la fórmula de Stieffel
k) C x,4 - C x-1,4 = A x-1,2
+ 50 = A 2n,2
j) C 2n,2 = 3
l) C nn13  C 2n  2  C3n  2 = 15
x
  x
 x  1  x  1   x 
 +   = 330
 + 
 +   = 2x (x-2)
ll) 
m) 
 n  3   4
 2   x  4  4
 x  1   x  1
 + 
 = 70
ln) 
 x  4  x  5
8- Calcular las siguientes expresiones:
C10, 6 . V5, 2
P5 . V6,3
a)
b)
C 8, 4
P8
c)
P7 . C 7 , 4
V9,5
 39
  39 

 = 

 5  2x   2x  2
10- Binomio de Newton – Desarrollar:
9- Resuelve sin desarrollar:
a) (-a – b ) =
2
2 6

1 

b)  x 
x

11)a) En el desarrollo de (x2 +
4
 3

c)    y 2 
 x

5
x 20
) encuentra el término en el que el exponente de x sea28
2
1 

b) En el desarrollo de  x x  4 
x 


11
calcula el término que no tiene x.
c) Calcula el término quinto en 2 x  y

10
 x 3y 
d) ¿Qué termino contiene x en el desarrollo de: 
 
y
x 

2
-3 8
e) Hallar el término 8 del desarrollo de (x y – xy )
f) Hallar el T5 del desarrollo de (n2 –2nx2)7.
1
g) Si T5 en el desarrollo de (2x2 - )n, contiene x20, hallar n.
2
9
-6
x
m

h) Si T4 = 84 m en el desarrollo de  2m 2   , hallar x.
4

i) Determinar el coeficiente del término que contiene x3 y4 en el desarrollo de (2x – 3y)7.
15
12)Problemas:
12.1 ¿De cuántos modos diferentes se pueden dispones los 7 colores del arco iris?
12.2 ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 10 libros en un estante?
12.3 Dados 9 puntos diferentes en un plano, ¿Cuántos segmentos diferentes que tengan 2 de
esos puntos por extremos se pueden determinar? ¿y cuántos vectores?
12.4 ¿Cuántos números pares de 5 cifras pueden formarse con las cifras 1,3,2,5,9?
12.5 Con 24 médicos ¿cuántas guardias diferentes de 4 médicos cada una pueden formarse?
12.6 ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 5 banderas de colores distintos
sabiendo que las señales pueden hacerse izando cualquier número de esas banderas, una
debajo de otra?
12.7 ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse 12 personas en una mesa?
12.8 ¿Cuántos triángulos pueden determinarse que tengan por vértices, tres de los vértices
de un heptágono?
12.9 En cada una de las 4 secciones de una tienda hay una vacante de vendedor. Se
presentan postulantes. ¿En cuántas formas diferentes pueden llevarse dichas vacantes?
12.10 Si se tienen 7 cajas de distintos colores, una de las cuales es blanca, se desea saber
¿de cuántas formas diferentes se pueden disponer en una fila dichas cajas de modo que la
banca quede siempre en el medio?
12.11 ¿De cuántas formas pueden repartirse 12 libros diferentes entre 4 alumnos?
12.12 Los 20 empleados de una oficina deben distribuirse por igual en 4 turnos, ¿de cuántas
formas distintas pueden integrarse dichos turnos?
12.13 ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con las cifras 0,1,2,3,4,5,6,7, 8 y 9
sin que figuren repetidas y excluyendo los que comienzan con 0?
12.14 Entre 10 ingenieros y 8 abogados debe elegirse una comisión de 5 miembros
integrada por 3 ingenieros y 2 abogados. ¿Cuántas comisiones distintas pueden resultar?
12.15 Se tiene en sendos volúmenes: 9 obras en castellanos, 7 obras en inglés y 5 obras en
francés.Se quieren regalar 6 de estos libros entre los que figuren 3 en castellano, 2 en inglés
y 1 en francés. ¿De cuántas formas puede disponerse el conjunto que se regala?
12.16 Escritos en orden creciente todos los números de 5 cifras que se pueden formar con
las permutaciones de las cifras 1,2,3,4 y 5 ¿Qué lugar ocupa el número 31245?
12.17 ¿Cuántos números hay de tres cifras? Consideramos que 024 y 007 son de tres cifras.
¿Cuántos de ellos tienen sus tres cifras distintas?
¿Cuántos números hay de tres cifras cuya primera cifra sea distinta de 0?
12.18 ¿Cuántos mensajes de 6 letras pueden formar con las letras de la palabra
MURCIÉLAGO sin repetir ninguna?
¿Y permitiendo repeticiones?
12.19 Determinar de cuantas maneras diferentes puede responder un estudiante un
cuestionario de 10 preguntas del tipo Verdadero-Falso.
12.20 De cuántas maneras diferentes pueden otorgarse dos premios distintos entre 10
candidatos en cada uno de los siguientes casos:
a- Ambos premios no pueden ser otorgados al mismo candidato.
b- Cualquiera puede recibir los dos premios.
12.21 ¿Cuántos colores distintos se pueden obtener mezclando o no, (en caso de mezclar se
entiende por partes iguales) pinturas de 6 colores diferentes?
12.22 Doce autos participan en una carrera:
a- ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar los doce autos a la meta? Se
supone que no hay llegadas simultáneas.
b- Si se premia sólo a los que llegan en 1º, 2º o 3º lugar. ¿De cuántas formas
diferentes pueden otorgarse los premios de acuerdo al orden de llegada?
12.23 Encontrar una fórmula que permita calcular el número de diagonales de un polígono.
12.24 a- ¿Cuál es el polígono que tiene igual número de lados que de diagonales?
b- La diferencia entre el número de diagonales de dos polígonos es 13 y la diferencia
entre el número de sus lados es 2. ¿Cuáles son esos polígonos?
12.25 Con los números 1,2,3,4,5,6, y 7 determinar:
a- ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar’
b- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar que empiecen con número impar?
c- ¿Cuántos números de 4 cifras que empiecen y terminen con número impar?
12.26 Se lanza al aire una moneda cuatro veces y se registra el resultado de cada
lanzamiento.
¿Cuántas sucesiones diferentes de cara y cruz son posibles?
12.27 En un experimento psicológico una persona debe acomodar en hilera un cuadrado, un
triángulo, un pentágono y un círculo. De cuántas maneras distintas los puede
acomodar?
12.28 Un menú de opciones incluye una sopa, un plato principal, un postre y una bebida.
Suponga que un cliente puede hacer su elección entre 4 sopas distintas, 5 platos
principales, 3 postres y 2 bebidas. ¿Cuántos menús diferentes podría elegir?
12.29 Dadas las letras A,B,C,D,E,F, determinar la cantidad de arreglos de orden 4 que
pueden formarse, si no se pueden repetir letras, en cada uno de los siguientes casos:
a) comienzan con la letra B
b) no contienen la letra A
c) contienen la letra A
12.30 Un profesor tiene 4 libros distintos de Matemática, 3 libros distintos de Computación
y 2 libros distintos de Física:
a) ¿De cuántas maneras distintas puede colocar todos los libros en un estante?
b) ¿De cuántas maneras distintas los puede colocar, si los libros de Matemática deben
estar juntos?
12.31 Se debe seleccionar un comité de 12 personas de un total de 10 hombres y 10
mujeres.
Determinar de cuántas maneras posibles se puede realizar la selección en cada uno de
los siguientes casos:
a) no hay restricciones en cuánto al número de hombres y de mujeres en el comité.
b) debe haber exactamente 6 hombres y 6 mujeres.
c) debe haber a lo sumo 8 hombres
d) debe haber por lo menos 4 mujeres.
12.32 Un estudiante tiene que seleccionar 7 preguntas, para contestar, de un cuestionario
que consta de 10 preguntas. Determinar de cuantas maneras posibles se puede realizar
la selección en cada uno de los siguientes casos:
a) el profesor no le impone ninguna restricción
b) el profesor le indica que en su selección debe incluir necesariamente la 1º y la
última pregunta.
c) el profesor le indica que 3 preguntas deben ser seleccionadas de las 5 primeras y
4 preguntas de las 5 últimas.
12.33 En el campeonato de ajedrez de una escuela se disputaron 45 partidas. Cada jugador
compitió contra cada uno de los demás una sola vez. ¿Cuántos alumnos participaron?
12.34 En un soporte hay 6 bicicletas, todas de distintos colores. ¿De cuántas maneras se
pueden ordenar si la azul y la blanca deben permanecer juntas?
12.35 ¿Cuántas matrículas (chapas) distintas de automóviles pueden fabricarse si deben
constar de tres letras seguidas de tres dígitos (considerar 27 letras) en cada uno de los
siguientes casos?
a) no se pueden repetir letras.
b) no se pueden repetir dígitos.
c) no se pueden repetir letras ni dígitos
d) se pueden repetir letras y dígitos
e) se pueden repetir tanto letras como dígitos pero las letras deben ser sólo vocales y
los dígitos deben ser impares.
12.36 Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen
los sitios pares. ¿De cuántas formas pueden sentarse?
12.37 De un total de 5 matemáticos y 7 físicos se forma un comité de 2 matemáticos y 3
físicos. ¿De cuántas formas puede formarse, si:
a) puede pertenecer a él cualquier matemático y físico
b) un físico determinado debe pertenecer al comité
c) dos matemáticos determinados no pueden estar en el comité.
12.38¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las ocho letras de la palabra
TENERIFE?
12.39 -Con las 24 fichas de un juego de damas (12 blancas y 12 negras), puesta una sobre
otra, ¿Cuántas torres de coloridos diferentes se pueden formar?
12.40- ¿De cuántas formas distintas puedo ordenar en un estante 3 libros iguales de
matemática, 2 libros iguales de física y 5 libros distintos de lengua?