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Computación Cuántica y
Teleportación de Estados Cuánticos
CPR de Avilés (2004)
Juan José Suárez Menéndez
Esquema
• ¿Por qué el procesamiento de información
•
•
•
•
•
cuántica?
Lógica clásica y lógica cuántica:
De los bits a los qubits
Computación cuántica.
Enviando información: Clásica vs Cuántica.
Teleportación de estados cuánticos.
Teleportando la polarización de fotones.
Ley de Moore:
El número de transistores en un micro-chip crece
exponencialmente con el tiempo.
Ley de Moore:
Single electron gates by 2017?
Cada 18 meses los microprocesadores doblan la
velocidad
MÁS RÁPIDO = MÁS PEQUEÑO
La máquina
de Babbage
Obleas de silicio
1 metro
0,000001 m
Átomos
0,0000000001 m
Computación
Física
El hardware obedece las leyes de la
Física.
¡La teoría de la información de Shannon
está basada en la intuición a partir de la
física clásica!
¡La Naturaleza, sin embargo, es mecanocuántica!
¿Cuáles son las consecuencias de la QM para la IT?
¿Permite la mecánica cuántica nuevos métodos cualitativos de
procesamiento de la información?
Ideas Iniciales – los sistemas cuánticos parecen difíciles de simular
son más poderosos en la computación que los sistemas clásicos
Benioff - 1982, Feynman – 1984, Primer algoritmo: Deutsch - 1985
Clases de complejidad
Problemas abordables e inabordables
exp(L)
Número
de pasos
n
L
Input size ~ nº de bits que es necesario especificar
input: 15
1111 en binario
4 bit (entrada)
Evaluamos entonces el número de
pasos necesarios como f (tamaño)
tamaño L
• ‘P’: La solución puede encontrarse en un tiempo polinómico.
•
¡La Multiplicación de dos números crece cuadráticamente con el
tamaño de la entrada
(input size)!
Input size
Comp. Time
10
10 ns
100
1000 ns
1000
100000 ns
• ‘NP’: La Solución puede comprobarse en un tiempo
•
polinómico, pero encontrarla puede requerir un tiempo
no-polinómico.
¡Encontrar los factores de un producto de dos números
primos grandes es exponencial en el número de dígitos!
Input size
Tiempo de computación
10
100
1s
8103 s
1000
990 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 s
En 1985 David Deutsch (generalización en 1992 por Jozsa) demostró que en
mecánica cuántica la complejidad de algunos problemas puede cambiar
significativamente!
(Se comentará posteriormente este algoritmo)
En 1994, Peter Shor descubrió un algorítmo cuántico que permite factorizar
números grandes en un tiempo polinómico, es decir, ¡factorizar es tan fácil
como multiplicar!
Computación Cuántica
• Procesado clásico de la información:
Bits y puertas lógicas.
• Procesado cuántico de la información:
Qubits y puertas cuánticas.
• El algorítmo cuántico de DeutschJozsa.
Lógica Clásica I
Ejemplo: La puerta XOR clásica
a
a XOR b
XOR
b
Entrada básica de 0 ó 1 llamada bit
a
b
a XOR b
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
A partir del resultado no podemos adivinar
la entrada!
¡La puerta XOR es irreversible!
¿Por qué la irreversibilidad es un problema?
Recuérdese: ¡La Mecánica Cuántica es reversible!
|  (t )  U (t ,0) |  (0) 
Estado final a tiempo t
Estado inicial a t=0
Evolución por unidad de tiempo
de acuerdo con la ecuación
de Schroedinger
En QM siempre podemos invertir la evolución temporal:
| (0)  U (t ,0) | (t ) 
1
¡A partir del estado final siempre podemos regresar al estado inicial!
 No podemos implementar unívocamente una operación irreversible
Lógica Clásica II
La puerta XOR (reversible)
a
b
XOR
a
a XOR b
a
b
a
a XOR b
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
De la salida podemos inferir la entrada
¡La puerta es reversible!
¡Las puertas reversibles pueden implementarse mecano-cuántiamente!
Lógica Cuántica I
Definir una XOR cuántica => Puerta CNOT cuántica
State 1
|0>
|0>
|1>
|1>
State 2
Out 1
|0>
|1>
|0>
|1>
Out 2
|0>
|0>
|1>
|1>
|0>
|1>
|1>
|0>
¡Parece la misma que antes!
¿Diferencias?
•Las entradas básicas son |0> o/y
|1> unidad llamada qubit
•La Mecánica Cuántica permite las
superposiciones de estados!
¡Los mapas de superposiciones CNOT maps superpositions
of de estados en estados entrelazados!
| 0   | 1  | 0  
2
| 0 | 0   | 1 | 1 
2
Símbolo para CNOT
Lógica Cuántica II
Necesitamos puertas que creen superposiciones cuánticas
La puerta Hadamard
| 0   |1 
H |0 
2
| 0   |1 
H |1  
2
Símbolo para la puerta Hadamard
Rotaciones generales de qubits sencillos
| 0   cos x | 0   e iy sin x | 1 
| 1    sin x | 0   e iy cos x | 1 
H
Lógica Cuántica III
Crear entrelazamiento
|0>
H
|0>|0> + |1>|1>
|0>
Medir entrelazamiento
H
|0>|0> + |1>|1>
|0>
|0>
| 0 | 0   | 1 | 1   | 0 | 0 
| 0 | 1   | 1 | 0   | 0 | 1 
| 0 | 0   | 1 | 1   | 1 | 0 
| 0 | 1   | 1 | 0   | 1 | 1 
Redes cuánticas
¡Podemos construir cualquier transformación unitaria
a partir de puertas de qubit-sencillo y puertas CNOT!
INPUT
Puertas lógicas cuánticas
OUTPUT
Un procesador cuántico para calcular F(x)
El estado |x> de muchos qubits representa el número x
en notación binaria (Ejemplo: |1>|1>|1> = |111>
representa 7!)
|1 
|1 
|1  = 7
Necesitamos una transformación unitaria que
implemente para todos los |x>
U |x 
 | F (x ) 
PERO
F: x F(x) puede no ser reversible (la salida no determina
nívocamente la entrada). ¡Por lo tanto U podría no ser unitario!
Un procesador cuántico para calcular F(x)
Hacer la computación reversible añadiendo un registro
| x | 0   | x | F ( x ) 
Ahora, la correspondencia “one-to-one” entre entrada
y salida reversible, significa que puede encontrarse
un operador unitario U que implemente la función
000
001
010
011
100
101
110
111
Procesador
F (x)
Cuántico
F(000)
F(001)
F(010)
F(011)
F(100)
F(101)
F(110)
F(111)
Paralelismo Cuántico I
Etapa 1: Crear una superposición de todos los N bit números in notación binaria
2

N
2
 | x | 0 
x
Etapa 2: Aplicar la transformación unitaria U a este estado
2

N
2
 | x | 0 
x
2

N
2
 | x | F ( x ) 
x
Etapa 3: Medir el segundo registro y obtener un resultado único
Estado inicial - Superposiciones
Estado final – superposiciones de
de todas las posibles entradas
las correspondientes salidas
Paralelismo Cuántico II
Esencia de la Computación Cuántica:
La naturaleza nos permite calcular un gran número de resultados en paralelo
PERO
Únicamente podemos acceder directamente a una de esas respuestas
Afortunadamente hay problemas para los cuales una simple respuesta es suficiente
Ejemplos
• El algorítmo Deutsch-Jozsa para distinguir funciones.
• El algorítmo de Shor para factorizar eficientemente un número grande.
• El algorítmo de Grovers para la búsqueda rápida en una gran base de datos.
• La integración mumérica de la ecuación Schroedinger de sistemas cuánticos de muchos
cuerpos
•…
Espacio Clásico de estados frente a Espacio de Hilbert
El espacio clásico de muchas partículas es el producto Cartesiano del espacio de las partículas simples
Z
n
 Z   Z
Si un susbsistema requiere 2 parametros para su descripción,
¡Entonces N sistemas requieren 2N parametros!

Estado Físico de N partículas: 1  
N 
El espacio de muchas partículas cuánticas es el producto tensorial del espacio de las partículas simples

n
   
Si un subsistema requiere 2 parámetros para su descripción,
¡Entonces N sistemas requieren 2N parametros!
Estado de N particulas:
 ai
i1 i N

i N i 1    i N 

1
Necesita especificar 2N parámetros
Espacio de Hilbert
Espacio explorado por los estados
producto (sistemas clásicos)
Los sistemas cuánticos exploran todo el espacio de Hilbert
más parámetros.
La situación para estados mezclados aún no se comprende bien (Los sistemas entrelazados y
desentrelazados tienen el mismo número de parámetros).
El algorítmo de Deutsch-Jozsa I
Problema: Decidir si una función de 1 bit es
constante
f ( 0)  0
f (1)  0
or
f ( 0)  1
f (1)  1
o equilibrada
f ( 0)  0
f (1)  1
or
f ( 0)  1
f (1)  0
Clásicamente necesitamos calcular la función dos veces,
Para cada valor de entrada
Dada una operación unitaria: U | x | y   | x | y  f ( x ) 
un algorítmo cuántico necesita aplicar U solamente una vez
El algorítmo de Deutsch-Jozsa II
|0>
H
H
Detecta |0> or |1>
U
|1>
H
| 0   |1  | 0   |1 

2
2
1
| 0   |1 
|x 

2 xB
2
 | x  (| 0   | 1 ) if f ( x )  0
U :| x  (| 0   | 1 )  
  | x  (| 0   | 1 ) if f ( x )  1
 1
U
 2
| 0   |1    1
 | 0   |1 
f (x )
|x 
(1)
| x 



2
2
xB
  2 xB

El algorítmo de Deutsch-Jozsa III
|0>
H
H
Detecta |0> or |1>
U
|1>
H
f ( 0)


(

1
)
 1

f (x )
f ( 0 )  f (1)
H
(1) | x    H 
(| 0  (1)
| 1  

2
 2 xB



 (1) f ( 0) | f (0)  f (1) 
•Si detecta |0> entonces la función es constante.
•Si detecta |1> entonces la función está equilibrada.
Ejercicio: Generalizar el algorítmo a funciones de N variables.
Resultado: Clásicamente la función necesita ser evaluada
-1 2N-1 veces
¡El algorítmo cuántico necesita una sola evaluación!
Teleportación de Estados Cuánticos
Teoría y Experimentos
Enviando información
Bob
Alice
Coloca algunos datos en su máquina-fax
Se lee la información
y se envía al
fax de Bob
Bob reconstruye
a página en su fax
Bob recibe información
Gran separación entre las partes
Física Clásica: Alice mantiene su original y Bob recibe una copia.
Por debajo del límite atómico:
¿Podemos hacer la máquina de fax definitiva?
Copiado de la Información Cuántica

+


El teorema de no-clonación
La linealidad de la mecánica cuántica prohibe la copia
de un estado cuántico arbitrario desconocido.
Demostración del teorema de no-clonación
Estado del sistema a copiar
“Papel en blanco” para escribir en él la copia
U | 0 | 0   | 0 | 0 
U | 1 | 0   | 1 | 1 
Transformación unitaria
de estados independientes
U (| 0   | 1 ) | 0   | 0 | 0   | 1 | 1 
Linealidad de QM
 (| 0   | 1 )(| 0   | 1 )
¡Pero eso sería el estado correctamente copiado!
Conclusiones: No podemos leer el estado cuántico.
No podemos hacer copias del estado cuántico.

¿Es imposible el fax cuántico
Si Alice y Bob pueden compartir entrelazamiento entre ellos y
autorizados a intercambiar mensajes clásicos, entonces podemos
transferir estados cuánticos desconocidos entre Alice y Bob.

La Teleportación Cuántica lleva a cabo el mejor fax cuántico posible
LA IDEA BÁSICA SIN ECUACIONES
Matemáticas de la Teleportación: Dos definiciones
| 0 | 0   | 1 | 1 
|  
2
La base de Bell
| 0 | 1   | 1 | 0 

|  
2

Los operadores
de espín
de Pauli
1 0
 0   0 1 
0 i 
 y   i 0 
0 1
 x   1 0 
1 0 
 z   0  1
  
2
i
0
Las Matemáticas de la Teleportación I
Estado inicial:
| 0 | 0   | 1 | 1 
(a | 0  b | 1 )

2
a | 0 | 0 | 0   a | 0 | 1 | 1  b | 1 | 0 | 0  b | 1 | 1 | 1 
2
Reescritura del estado inicial en la nueva base:
[a (|     |   ) | 0 
[|    (a | 0  b | 1 )
 a (|     |   ) | 1 
 |    ( a | 0  b | 1  )
 b (|    |  ) | 0 


 b (|     |   ) | 1 ] / 2
=
 |    (b | 0   a | 1 )
 |    (b | 0   a | 1 )] / 2
Las Matemáticas de la Teleportación II
|    (a | 0   b | 1  )
=
 |     z (a | 0   b | 1 )
 |     x (a | 0  b | 1  )
 |     x  z (a | 0  b | 1 )
Alicia mide sus dos partícula y comunica resultado a Bob
Si encuentra |    entonces Bob aplica
Si encuentra |    entonces Bob aplica

Si encuentra |   entonces Bob aplica
Si encuentra |    entonces Bob aplica
0
z
x
z x

Bob siempre obtiene
el estado correcto
a | 0  b | 1 
Características principales de la Teleportación
 No se transporta la masa ¡sólo los estados cuánticos!
 No es posible la comunicación superlumínica ¡porque
tiene que enviarse un mensaje clásico para completar
la teleportación!
No tiene lugar una copia de la información cuántica,
¡porque el original se destruye!
 ¡En entrelazamiento compartido se destruye!
El Experimento I
El Experimento II
Anillo superior: Polarizado verticalmente
Anillo inferior: Polarizado horizontalmente
Hay entrelazamiento de la polarización
i) Si no conocemos qué fotón va en cada
dirección
ii) Qué color tiene cada fotón
Fotografía de Michael Reck y Paul G. Kwiat
Resumen
• La Mecánica Cuántica nos permite un significado diferente
de la computación.
• Un cambio de paradigma:
Considera el entrelazamiento como un recurso que puede
consimirse para implementar las tareas de procesado de la
información cuántica.
• Puede efectuarse la teleportación de estados cuánticos
• Se ha dado una demostración de los principios del trabajo
experimental.
• En nuestro modo de contstrucción de un computador
cuántico hemos mejorado nuestra capacidad de almacenar y
manipular sistemas cuánticos individuales.
• Esas nuevas tecnologías beneficiarán a otras áreas que van
desde la investigación básica a las aplicaciones industriales.