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Teletransportación cuántica Javier García GILAB, UdG Sumario • • • • • Vídeo introducción Mecánica cuántica: repaso rápido Información & entropía Protocolo de teleportación cuántica Estado experimental Vídeo – introducción Mecánica cuántica Espacio vectorial de Hilbert H Dimensión 2 base |0, |1 Un vector cualquiera | a|0 b|1 (a y b complejos, |a|2 |b|2 1) Producto directo de espacios de Hilbert base |0, |1 |0, |1 |0 |0, |0 |1, |1 |0, |1 |1 |00, |01, |10, |11 Un vector cualquiera | a|00 b|01 c|10 d|11 (a, b, c y d complejos, |a|2 |b|2 |c|2 |d|2 1) Mecánica cuántica Cambio de base base |0, |1 base’ |A, |B |0 |A |B |1 |A |B | a|0 b|1 | a|A |B b|A |B | a b|A a b|B Mecánica cuántica Medida Dado el estado | a|0 b|1 sobre la base |0, |1 Probabilidad de estar en |0 : |a | 2 Probabilidad de estar en |1 : |b | 2 sobre la base |A, |B | a b|A a b|B Probabilidad de estar en |A : |a b| 2 Probabilidad de estar en |B : |a b | 2 Mecánica cuántica Estado cuántico de dos partículas independientes: | a|0 b|1 c|0 d|1 Multiplicando y simplificando: | ca|0 |0 da|0 |1 cb|1 |0 db|1 |1 | ca|00 da|01 cb|10 db|11 Probabilidad de que las dos partículas estén en 0: |ca|2 Probabilidad de que la primera partícula esté en 0 y la segunda en 1: |da|2 Probabilidad de que la primera partícula esté en 1 y la segunda en 0: |cb|2 Probabilidad de que las dos partículas estén en 1: |db|2 Mecánica cuántica Estado cuántico de dos partículas entrelazadas: | a|00 b|11 Entrelazado significa que el estado no puede expresarse como producto de estados de una partícula: a|00 b|11 |0 |1 |0 |1 Implicaciones: No sabemos en qué estado estará la partícula 1 después de una medida, pero si lo hace en el estado 0, entonces la otra partícula también lo estará, y lo mismo ocurre con el 1. Mecánica cuántica Base de estados máximamente* entrelazados: ESTADOS DE BELL** |B 0 |B 1 |B 2 |B 3 |00 |11 |10 |01 |00 |11 |10 |01 Invertimos, cambio de base: |00 |01 |10 |11 |B 0 |B 2 |B 1 |B 3 |B 1 |B 3 |B 0 |B 2 * La entropía de entrelazamiento es máxima - ** Sin normalizar Mecánica cuántica Podemos interpretar las medidas como preguntas que se le hacen al sistema. Trabajar en la base de 0’s y 1’s es una posibilidad, pero hay otras. La regla es que la pregunta obliga al sistema a escoger cualquiera de los estados de base posibles. Si tratamos con dos qubits, Podríamos trabajar, por ejemplo, en la base de Bell y preguntarnos en cuál de ellos se encuentra el sistema. Ejemplo: | |00 |01 |11 | |00 |01 |11 |B 0 |B 2 |B 1 |B 3 |B 0 |B 2 2|B 0 |B 1 |B 3 | 2 6 |B 0 2 6 1 6 1 6 1 6 2 2 2 |B 1 0. 666 67 0. 166 67 0. 166 67 1 6 |B 3 Mecánica cuántica Otro ejemplo con 3 qubits: | |001 |010 | |00 |1 |01 |0 |B 0 |1 |B 2 |1 |B 1 |0 |B 3 |0 Estados de base de Bell Vemos que hay igual probabilidad de que, haciendo una medida sobre los dos primeros qubits, se encuentre en cualquiera de los estados de Bell. Eso sí, si por ejemplo se encontraran en el estado Bo , entonces el tercer qubit necesariamente debería estar en el estado 1. AL REVÉS: Si hiciéramos una medida (normal) en el tercer qubit y diera 1, querría decir que los dos primeros qubits están o bien en el estado de Bell Bo ó B2 . Mecánica cuántica Puerta cuántica U Transformación unitaria: U a|0 b|1 aU 00 bU 01 |0 aU 10 bU 11 |1 de manera que cumpla: |aU 00 bU 01 |2 |aU 10 bU 11 |2 1 a Condiciones: |U 00 |2 |U 10 |2 1 |U 01 |2 |U 11 |2 1 U 00 U 01 U 10 U 11 0 U 01 U 00 U 11 U 10 0 |0 U 10 U 00 a|0 b|1 |0 |1 U 01 U 11 b |1 Mecánica cuántica Puerta NOT U NOT a|0 b|1 b|0 a|1 NOT NOT NOT U NOT 0, U 1, U 1, U 0 00 01 10 11 Puerta Z |0 UZ a a|0 b|1 a|0 b|1 1 U Z00 1, U Z01 0, U Z10 0, U Z11 1 a|0 b|1 |0 1 b |1 |1 Puerta NOT U NOT a|0 b|1 cuántica b|0 a|1 Mecánica NOT NOT NOT U NOT 0, U 01 00 1, U 10 1, U 11 Puerta Z 0 UZ U Z00 a a|0 b|1 a|0 b|1 1, U Z01 0, U Z10 0, U Z11 1 |0 1 a|0 b|1 |0 b |1 -1 |1 Información & entropía Supongamos que un experimento puede dar un conjunto finito de resultados con una cierta probabilidad pi. Se define la entropía de la distribución de probabilidad (en bits): n S p i log2 p i i1 Que nos ayuda a cuantificar el grado de incertidumbre del experimento. Ejemplos Blanco 50% Negro 50% [Total incertidumbre] S 0. 5 log2 0. 5 0. 5 log2 0. 5 1 Blanco 99% Negro 1% [poca incertidumbre] S 0. 99 log2 0. 99 0. 01 log2 0. 01 0. 08 Blanco 100% Negro 0% [No incertidumbre] S 1 log2 1 0 log2 0 0 Protocolo de teleportación cuántica PASO 1: qubit A en un estado desconocido y qubits C y B en B0: A: | a|0 b|1 CB:|0 |0 |1 |1 | | |0 |0 |1 |1 | a|0 b|1 |00 |11 | a|000 a|011 b|100 b|111 | |B 0 a|0 b|1 |B 1 b|0 a|1 |B 2 a|0 b|1 |B 3 b|0 a|1 Estados de Bell Protocolo de teleportación cuántica | |B 0 a|0 b|1 |B 1 b|0 a|1 |B 2 a|0 b|1 |B 3 b|0 a|1 PASO 2: Medida en los dos primeros qubits, llamada telefónica para comunicarle a Bob el resultado de la medida y aplicación de puerta cuántica: |B0 entonces Bob tendrá en su poder: a|0 b|1 por lo que no ha de hacer nada, ya lo tiene! a|0 b|1 |B1 entonces Bob tendrá en su poder: b|0 a|1 por lo que ha de hacer un NOT y ya lo tiene! U NOT b|0 a|1 a|0 b|1 |B2 entonces Bob tendrá en su poder: a|0 b|1 por lo que ha de hacer un Z, y ya lo tiene! UZ a|0 b|1 a|0 b|1 |B3 entonces Bob tendrá en su poder: b|0 a|1 por lo que ha de hacer un Z y luego un X, y ya lo tiene! UZ U NOT b|0 a|1 b|0 a|1 a|0 b|1 Protocolo de teleportación cuántica Comentarios Información contenida en un qubit: Infinita porque existen infinitos valores para a y b complejos que cumplan |a| 2 |b| 2 1, es decir si definimos información como proporcional al número de estados posibles (desconocidos) esto lo cumple. Por otro lado cuando Alice mide, tiene una incertidumbre de dos bits de información clásica porque: 4 4 S p n log2 p n n1 1 4 log2 14 log2 2 2 2 bits n1 Es decir, hay cuatro posibles medidas con igual probabilidad cada una. O sea que con solo dos bits de información clásica podemos transferir un estado desconocido que tiene infinita información. Como hace falta un canal clásico no puede transmitir más rápido que la luz. Es una copia? No porque al hacer la medida bell se destruye el estado original Es decir solo hay UNO, para que sea una copia debería haber 2 simultaneamente :) Estado experimental Idea teórica Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and EPR Channels Bennet, Brassard, Crépeau, Jozsa, Asher Peres, Wootters [1993] Primer experimento (25%) Experimental quantum teleportation Zeilinger, A. & cia, Nature [1997]
