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Estadistica
0834402
Probabilidad
Medida de la confianza en que ocurra un evento
Inferencia de aquello que no se esta seguro de que suceda
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Tabla 2.2: posibles resultados al lanzar 2 dados
Notación:
S
Espacio muestral
A, B, C … eventos o subconjuntos de S
a, b, c …
elementos del conjunto
Eventos
S
A
B
Diagrama de Venn
A es un subconjunto de B
S
B
A
Diagrama de Venn
S
Diagrama de Venn
S
Diagrama de Venn
Teoremas de Probabilidad

Conjunto Vacio = P(Ø) = 0

P(A) + P(Ac )= 1

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

0≤P(E) ≤1
Ejemplo 1:
si se lanza una moneda una sola vez ¿cuál es la probabilidad de que
caiga cara?
E = {obtener cara}
P(E)= 1 / 2
Ejemplo 2:
si se lanza una dado ¿cuál es la probabilidad de que la cara superior
sea 1 o 3?
D = {1,3}
P(D)= 2/6
Ejemplo 3:
si se lanzan dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de
los dos de igual a 5?
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
Tabla 2: Suma igual a 5 al lanzar 2 dados
P(C) = 4 /36
Ejemplo 4:
si se lanza dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los
dos sea menor o igual a 6?
E={suma sea 1, 2, 3, 4, 5 o 6}
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
Tabla 3: Suma menor o igual a 6 al lanzar 2 dados
P(E)= 15/36
Ejemplo 5:
si se lanza una moneda 3 veces ¿cuál es la probabilidad de que
caiga cara las 3 veces?
C = {obtener cara en el i-esimo lanzamiento}
P(C1∩C2∩C3) = P(C1 ).P(C2). P(C3) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8
Probabilidad Condicional
Para dos eventos cualesquiera A y B de un espacio muestral S,
tales que P(A) > 0, la probabilidad del evento B dado el evento A,
se define por
P(B/A) = P(A∩B) / P(A)
Ejemplo 6: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una
bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a.La primera semilla sea roja?
b.La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
R1: {primera semilla sea roja}
B2 : {segunda semilla sea blanca}
a.La probabilidad de que la primera semilla:
Puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15 tenemos:
P(R1) = 10 /15
b.La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que
salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la
primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad
condicional y se denota por:
P(B2/R1), y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.
Veamos la situación en el siguiente diagrama de árbol:
P(R2/B1)= 10/14
P(B1)=5/15
P(B2/B1)= 4/14
P(R2/R1)= 9/14
P(R1)=10/15
P(B2/R1)= 5/14
b) P(B2/R1)= 5/14
Teorema de la probabilidad total
Nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades
condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidente
es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos
permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos
la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un
accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades
condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente
cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que
contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe
ser el 100%).
Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir
cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de
sus probabilidades es el 100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un
sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir
el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la
probabilidad total.
Ejemplo 7: En el ejemplo de las semillas encontrar la probabilidad de que
la segunda semilla extraída sea roja
R2 : {segunda semilla sea roja}
P(R2)= P(R2/R1).P(R1) + P(R2/B1).P(B1)
P(R2)= (9/14) . (10/15) + (10/14).(5/15)
P(R2)= 140/210 = 0,667
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado
que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de
la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad
marginal de sólo A
.
Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y tales que la
probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se
conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai/B) viene dada por
la expresión:
donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B/Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai/B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la
probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de
probabilidades que emplea.
En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten
probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una
confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos
permiten probabilidades subjetivas.
El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar
nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional
de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad
en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y
permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está
abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes
Técnicas de Conteo

Principio de multiplicación:
Si un suceso P1 ocurre de n1 maneras
diferentes y otro suceso P2 ocurre de n2
maneras diferentes entonces el suceso P1 Y
P2 ocurren de n1 por n2 maneras diferentes.
Esto
se
conoce
como
principio
de
multiplicación o principio fundamental del
análisis combinatorio.

•
•
Variaciones, Vn,r: sirve para contar los diferentes
grupos de r elementos que se pueden formar en
un conjunto de n elementos (r < n).
Los elementos no se pueden repetir e influye el
orden en el que los colocamos.
Vn,r = n! / (n-r)!
Variaciones con repetición de n elementos
tomados de r en r, VRn,r: es una variación en la
que los elementos se pueden repetir.
VRn,r = nr



Permutaciones, Pn, es una variación en la que
r = n.
Pn = Vn, n = n!
Combinaciones
Las combinaciones de n elementos tomados de
r en r, Cn,r, cuentan el número de grupos
diferentes (no influye el orden y ninguno puede
estar repetido) que se pueden formar con r
elementos distintos, elegidos de un conjunto de
n elementos:
Cn,r = n ! / r! (n –r)!
Ejercicio propuesto:
Se tienen 5 productos químicos de los cuales se conoce que
2 están vencidos y 3 no.
Si se escogen al azar dos productos de los cinco:
a) ¿cuál es la probabilidad de seleccionar dos no vencidos?
b) ¿cuál es la probabilidad de seleccionar dos vencidos?
c) ¿cuál es la probabilidad de seleccionar uno no vencido y uno
vencido?
La regla de Chebyshev
En cualquier conjunto de observaciones (muestra o población), la
proporción de los valores que queda dentro de k desviaciones
estándar de la media es por lo menos 1 – 1/k2 donde k es un
constante mayor a uno.
Esto significa que no importa como se distribuyen los datos. el
porcentaje de las distribuciones están contenidas dentro de las
distancias de k desviaciones estándar alrededor de la media debe ser
al menos 1 - 1 / k2, es decir, al menos 75% de las observaciones
deben estar contenidas dentro de distancias de +/-2 desviaciones
estándar alrededor de la media. Al menos 88,89% de las
observaciones deben estar contenidas dentro de una distancia de +/-3
desviaciones estándar alrededor de la media. Al menos 93.75% de las
observaciones deben estar contenidas dentro de distancias de +/-4
desviaciones estándar alrededor de la media.
PUNTUACIÓN Z
es la puntuación típica o resultado estándar
individual más utilizada. Gracias a la puntuación z
podemos comparar los resultados de un individuo (o de
varios) en distintas pruebas en las que las distribuciones
de los resultados de los otros miembros de la población
sean distintas. Se obtiene restando a la puntuación que
obtiene un individuo la media aritmética de una
distribución, y dividiendo esta diferencia por la
desviación típica.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD