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Tema 6: Distribuciones discretas de probabilidad
1.- Introducción.
Variable estadística. Ejemplo: número de hijos de una población de 4000 familias.
Nº hijos Nº familias Frec. rel.
0
600
0,15
1
900
0,23
2
1300
0,33
3
700
0,18
4
400
0,1
5
100
0,03
4000
1
2.- Variable aleatoria.
Asignación de un número a cada suceso elemental de un experimento aleatorio:
Ejemplos:
1.- Lanzamiento de un dado.
2.- Urna con 6 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas.
3.- De la urna anterior se extraen dos bolas y se anota el número de bolas blancas.
4.- Se lanza una moneda. Se sale cara gano 5€ si sale cruz, pierdo 10€
5.- Se lanzan dos dados y se anota la suma de ambos.
6.- Peso de una persona elegida al azar.
Variables discretas y continuas
3.- Variables discretas.
FUCIÓ DE PROBABILIDAD f(x). Asignación a cada valor de la variable de la
probabilidad de obtener ese valor: f(x) = P(X=x)
- Representación gráfica
Ejemplos 1.- Lanzamiento de un dado.
Ejemplo 2.- Urna con 6 bolas blancas 3 negras y 2 rojas.
Ejemplo 3.- De la urna anterior se extraen dos bolas y se anota el número de bolas blancas.
Ejemplo 4.- Se lanza una moneda. Se sale cara gano 5€ si sale cruz, pierdo 10€
5.- Se lanzan dos dados y se anota la suma de ambos.
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Generalización:
Función de probabilidad = Tabla con todos los valores de la variable y sus probabilidades.
FUCIÓ DE DISTRIBUCIÓ F(x). Asignación a cada valor de la variable de la
probabilidad de obtener un valor menor o igual que él: F(x) = P(X≤
≤ x)
- Representación gráfica
Ejemplo anteriores.
- Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado:
Xi
1
2
3
4
5
6
pi =f(x) 1/6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
F(x)
Función de distribución y gráfica.
Ejemplo 2: Se lanza una moneda. Se sale cara gano 5€ si sale cruz, pierdo 10€
Xi
-10
5
p =f(x) 1/2
1/2
F(x)
Función de distribución
MEDIA Y VARIAZA DE UA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Ver ejemplo de la introducción:
Nº hijos Nº fam. Frec. rel.
0
600
0,15
1
900
0,23
2
1300
0,33
3
700
0,18
4
400
0,1
5
100
0,03
4000
1
Definiciones. Sea X una variable aleatoria que toma los valores x1, x2,... xn con
probabilidades f(x1), f(x2) ...f(xn), es decir, sea X una variable aleatoria con la siguiente
función de probabilidad:
X
x1
x2
...
xn
f(xi) = pi f(x1) = p1 f(x2) = p2 … f(xn) = pn
n
Media:
µ = E[ X ] = ∑ pi xi
i =1
Varianza:
n
σ 2 = Var [X ] = ∑ pi (xi − µ )2
i =1
.
La desviación típica es su raíz cuadrada positiva.
Fórmula reducida
 n
2
2

σ = Var[X ] =  ∑ pi xi  − µ 2
 i =1

Ejemplos anteriores.
- Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado:
Xi
1
2
3
4
5
6
pi =f(xi) 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6 1/6
Media:
Varianza:
Ejemplo 2: Se lanza una moneda. Se sale cara gano 5€ si sale cruz, pierdo 10€
Xi
-10
5
p =f(x) 1/2
1/2
F(x)
Media y varianza:
Ejemplo 3: De una urna con 6 bolas blancas 3 negras y 2 rojas se extraen dos bolas sin
reposición. Se considera la variable aleatoria X= número de bolas blancas.
0
1
2
X= Nºblancas
f(xi) = pi 2/11
6/11
3/11
F(x)
Recordar función de distribución:
Media:
Varianza:
4.- Algunas distribuciones discretas de probabilidad.
Nota: Distribución = tabla con los valores y la probabilidad de cada uno.
a) Distribución de Bernouilli (Variable dicotómica): B(p)
Función de probabilidad y de distribución:
X
0
1
f(x)
q
p
F(x) q
1
Media = p; Varianza = pq
Ejemplo 1: Moneda trucada. P(C)=0,4
Ejemplo 2: Pregunta tipo test con cuatro alternativas.
b) Distribución Binomial: B(n,p).
Función de probabilidad.
Ejemplo 1: lanzamiento de una moneda defectuosa con P(C)=0,4 cinco veces consecutivas.
P(dos caras)=P(X=2)
Generalización:
Dada una variable de Bernouilli, con probabilidad de éxito p, si repetimos el experimento n
veces de manera independiente y definimos la variable X = número de éxitos en los n
lanzamientos, la función de probabilidad de X es:
 n  k n−k
P( X = k ) =   p q
k 
 
Uso de tablas.
Ejemplo 3: Examen de 12 preguntas con cuatro alternativas:
El número de aciertos seguirá una B(12; 0,25)
Hallar: P(X=5), P(X=10), P(X≤6), P(X<6), P(X>7), P(X≥7)