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Curso:
Estadística y Probabilidad para Ingenieros
Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones
Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software
CONSTRUIMOS FUTURO
2
La Investigación sustentada por Procesos
Líneas de Investigación:
Calidad, Ingeniería, Sistemas y
Modelado Organizacional de
Conocimiento
Gnosis Avanzada en Ingeniería y
Telemática Aplicada
Escuela de Ingeniería
Eléctrica, Electrónica y de
Telecomunicaciones
Tecnología y Estándares en Ingeniería
de Sistemas Software
Gnosis Unificada para la Ingeniería
del Aprendizaje.
Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones
Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software
CONSTRUIMOS FUTURO
3
Escuela de Ingeniería
Eléctrica, Electrónica y de
Telecomunicaciones
Continuous Representation
MÓDULO 3. Probabilidad y Evento aleatorios ó estocásticos
LECCIÓN 3.5. Estimaciones y Bondad de Ajuste
CONFERENCIA 5: Para qué la estimación y porqué la bondad e ajuste
.
Fecha
IDENTIFICACIÓN NOMBRE
VERSIÓN
Programa:
Curso:
Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Electrónica
Estadística para Ingenieros
CEPI-V1
11_10_2010
MÓDULO 3.
LECCIÓN 3.4.
Prueba de Hipótesis
Estimaciones y Bondad de Ajuste
CEPI_M3_V1
CEPI_M3_L5_V1
08_11_2010
08_11_2010
miércoles, 09 de agosto de
Material aprobado
2017 para uso público. Distribución limitada.
Copyright © CIDLIS–UIS 2005
CONSTRUIMOS FUTURO
(DD/MM/ AAAA)
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La Investigación Sustentado por Procesos
9. Agenda Detallada- Módulo 3. Lección 3.
Id
3
Módulo
Lección
Id. 5. Estimación y Bondad de Actividades
ajuste
• Estimador y
estimación
• Estimación
puntual.
Prueba de
Hipótesis 3.1. • Distribuciones
estadística
muestrales
• Estimación por
intervalos.
• Bondad de ajuste
Tareas
Preparar: Lección
Preparar: Caso
Preparar: Problema
Plantear y resolver : Caso
Inicio
Plantear y resolver : Problema
Establecer: Control de Tiempo
Establecer: Relatoría
Test
Entrada: Caso y Problema
Presentación
Conferencia Ajustes de Caso
Ajustes de Problema
Planificación de Proyecto
Asistencia Ejecución de Proyecto
Seguimiento de Proyecto
Test
Salida: Caso, Problema y Proyecto
Cierre de proyecto, caso, problema
Entrega Evidencias de Relatoría.
Entrega Evidencias: Caso, Problema, Proyecto
Cierre
Asistencia de Alumnos
Auditoría Aleatoria
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Trabajo
Responsable
Personal
Profesor
Personal
Equipo Docencia
Personal
Equipo Docencia
Individual
Alumnos
Individual
Alumnos
Personal
Equipo Docencia
Personal
Equipo Docencia
Docencia
Alumnos / ED
Docencia Instructor / ED / Al
Docencia
Alumnos / ED
Docencia
Alumnos / ED
Docencia
Alumnos / ED
Docencia
Alumnos / ED
Docencia
Alumnos / ED
Docencia
Alumnos / ED
Individual
Alumnos
Personal Equipo de Docencia
Individual
Alumnos
Personal
Alumnos / ED
Personal Equipo de Docencia
Duración
2 ,0
1,0
1,0
1,00
2,00
Fecha Exacta
Horas
Día Mes Año
Docencia
4,00
Alumnos
8,00
Soporte
8,00
Preparación
4,00
Otros
24,50
01
0,50
0,25
1,00
0,25
0,75
0,25
1,00
0,25
0,25
4,00
0,50
1,00
20,0
0,50
02
02 2011
02/03
(*)
03
04
01/04
04
La Investigación Sustentado por Procesos
Propósito de la Lección
Comprender, entender, definir, conceptualizar y aplicar
el concepto de:
•
•
•
•
Estimador y estimación.
Estimación puntual.
Distribuciones muestrales
Estimación por intervalos:
•
•
•
•
•
•
Intervalo de confianza.
Variabilidad de un parámetro
Error de Estimación
Nivel de confianza
Nivel de significación
Valor crítica
• Bondad de Ajuste.
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La Investigación Sustentado por Procesos
Guión de la Lección
1.
2.
3.
4.
Registro de Preguntas de Caso y Problema.
Revisión de requisitos de “Entrada de la Conferencia”.
Test de Entrada. Caso y Problemas.
Contenido de la Presentación de la Conferencia
5. Definir, conceptualizar, interpretar y aplicar concepto de hipótesis, hipótesis nula e
hipótesis alternativa, región de rechazo y de aceptación de reglas de decisión de
aceptación y/o rechazo
6. Definir, conceptualizar, interpretar y aplicar la prueba de hipótesis con Z para μ y P
7. Definir, conceptualizar, interpretar y aplicar la prueba de hipótesis con t-student, Chi-2 & F.
8. Entender el concepto y la aplicación de la bondad de ajuste.
9. Comprender y desarrollar pruebas de hipótesis a fin de determinar el comportamiento de
la variabilidad.
10. Ajustes de Caso y Problema
11.Guías de planeación y seguimiento del Proyecto de clase.
12.Test de Salida: Caso, Problema y proyecto.
13.Cierre.
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La Investigación Sustentado por Procesos
ARTESANÍA
(EMPIRIA)
ENTORNO
ERROR
IMPACTOS
PRUEBA
INGENIERÍA
IMPLEMENTACIÓN
OPERACIÓN
IMPLANTACIÓN
INSTRUMENTOS
SIMULACIÓN
PROTOTIPOS
Recopilación
(assessment)
MODELO
(TEORÍA)
PRODUCTOS
COLECCIONES
VALIDACIONES
PROYECTOS
DATOS
MEJORAS
DECISIONES
BRECHAS
Comprensión
(research)
TÁCTICA
LOGÍSTICA
CONTROL
VALORACIONES
ESCALAS
Medición
(Cuantificación)
PROCESOS
CATEGORIAS
CRITERIOS
CONOCIMIENTO
RAZONES
Evaluación
(Cualificación)
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FUENTES
SÍNTESIS
INFORMACIÓN
La Investigación Sustentado por Procesos
¿ESTIMADOR ó ESTIMACIÓN?
• La estimación es el conjunto de técnicas para dar un valor
aproximado a un parámetro de una población a partir de los
datos proporcionados por una muestra.
• Un estimador de un parámetro poblacional es una función de
los datos muestrales; es una fórmula que depende de los
valores de una muestra, con la cual se hacen estimaciones. Por
ejemplo, un estimador de la media poblacional, μ, sería la
media muestral, , según la siguiente fórmula:
x
•
Donde (x1, x2, ..., xn) sería el conjunto de datos de la
muestra, el ejemplo es una estimación puntual. Sin embargo,
el estimador es una variable aleatoria que asigna a cada valor
de la función su probabilidad de aparición, es decir, la
probabilidad de la muestra de la que se extrae.
• El resultado de un estimador pueden ser:
– un simple valor; estimación en un punto, o,
– un rango de valores; un intervalo de confianza.
 parámetro poblaciona l
ˆ estimación puntual
Al valorar un punto, hay que calcular el margen de error asociado a la estimación de ese punto.
Los estimadores de parámetros de población son diferenciados a veces de los valores verdaderos
usando el símbolo de “sombrero”.
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La Investigación Sustentado por Procesos
1. Estimación Puntual (EP)
•EP es la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una
fórmula determinada (estimador). Ejemplo, estimar la talla media de un determinado
grupo de individuos. Puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la
talla media de los individuos de la muestra.
– Sea X una v.a. cuya función de probabilidad (o densidad de probabilidad si es
continua) depende de unos parámetros
desconocidos :
– Representado mediante
una muestra aleatoria simple de la variable.
Se denota, mediante fc, a la función de densidad conjunta de la muestra, formada
por observaciones independientes, puede factorizarse como:
– Se denomina estimador de un parámetro a cualquier v.a. que se exprese en
función de la muestra aleatoria y que tenga por objeto aproximar el valor de:
•
•Debe observarse, que el estimador no es un valor concreto, sino una variable aleatoria,
porque aunque depende unívocamente de los valores de la muestra observados (X(i) =
x(i)), la elección de la muestra es un proceso aleatorio. Una vez que la muestra ha sido
elegida, se denomina estimación, al valor numérico que toma el estimador sobre esa
muestra.
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La Investigación Sustentado por Procesos
1. Estimación Puntual (EP)
•Ejemplo:
– Considerando una v.a, a la cual, sólo se le conoce que su ley de distribución es gaussiana,
– Para muestras aleatorias de tamaño n = 3,
– un posible estimador del parámetro  es
– Si al realizar un muestreo aleatorio simple, se obtiene:
•El estimador sirve para aproximar el valor de un parámetro desconocido, pero...Si el
parámetro es desconocido, ¿Cómo podemos decir que un estimador dado sirve para
aproximarlo? Para hacerlo, es necesario definir, en qué sentido un estimador es
bueno para cierto parámetro.
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La Investigación Sustentado por Procesos
1. Estimación Puntual (EP)
•Las características deseables para esta nueva variable aleatoria
(usada para estimar el parámetro desconocido) son:
– Carencia de sesgo: El valor medio que se obtiene de la estimación para
diferentes muestras debe ser el valor del parámetro.
– Consistencia: Cuando el tamaño de la muestra crece arbitrariamente, el
valor estimado se aproxima al parámetro desconocido.
– Eficiencia: El estimador, al ser v.a., no puede exigírsele, que para una
muestra cualquiera, se obtenga como estimación el valor exacto del
parámetro. Sin embargo, es deseable, que su dispersión con respecto al
valor central (varianza), sea tan pequeña como sea posible.
– Suficiencia: El estimador debería aprovechar toda la información
existente en la muestra.
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1. Estimación Puntual (EP)
Carencia de sesgo ó insesgamiento:
•El valor medio que se obtiene de la estimación para diferentes muestras
debe ser el valor del parámetro.
•Un estimador
de un parámetro
es insesgado si:
•
•La insesgamiento o carencia de sesgo se interpreta como:
– Si se tiene un número indefinido de muestras de una población, todas ellas
son del mismo tamaño n.
– En cada muestra el estimador ofrece una estimación concreta del parámetro
que buscamos.
– Entonces, el estimador es insesgado, si en dicha cantidad indefinida de
estimaciones, el valor medio es (el valor que se desea conocer).
•
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1. Estimación Puntual (EP)
CONSISTENCIA:
•Cuando el tamaño de la muestra crece arbitrariamente, el valor
estimado se aproxima al parámetro desconocido.
•Se dice que un estimador es un estimador consistente para el parámetro si:
•o equivalentemente
Este tipo de propiedades definidas cuando el número de observaciones n,
tiende a infinito, se llaman propiedades asintóticas.
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1. Estimación Puntual (EP)
EFICIENCIA
•El estimador, al ser v.a., no puede exigírsele, que para una muestra
cualquiera, se obtenga como estimación el valor exacto del parámetro.
Sin embargo, es deseable, que su dispersión con respecto al valor central
(varianza), sea tan pequeña como sea posible.
Dados dos estimadores y de un mismo
parámetro , diremos que es más eficiente si:
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La Investigación Sustentado por Procesos
1. Estimación Puntual (EP)
SUFICIENCIA:
El estimador debería aprovechar toda la información existente en la
muestra
Se dice que
es un estimador suficiente del parámetro
si
para todo posible valor de .
Esta definición, así enunciada, es un poco confusa, pero lo que expresa
es que un estimador es suficiente, si usa toda la información existente en
la muestra que sirva para estimar el parámetro.
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La Investigación Sustentado por Procesos
1. Estimación Puntual (EP)
Métodos para establecer estimadores:
• MÉTODO DE ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
• MÉTODO DE ESTIMADORES DE LOS MOMENTOS
• MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS (En otra ocasión)
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La Investigación Sustentado por Procesos
Métodos para establecer estimadores:
MÉTODO DE ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
La función de verosimilitud de una muestra o conjunto de variables aleatorias X1, X2, ...,
Xn se define como la función conjunta de densidad de dichas variables. Si
representamos por L(X,q) la función de verosimilitud, entonces está dada por:
Como las variables son independientes, entonces la función de verosimilitud puede
expresarse como:
Ahora, como las variables son idénticamente distribuidas, la función de densidad
conjunta puede expresarse como:
Dado que se toma la muestra aleatoria y se obtienen los resultados X1 = x1, X2 =x2, ...,
Xn = xn, y como la función de verosimilitud es una función de densidad, entonces el
objetivo que se pretende con el método de estimación es encontrar aquellos
valores de los parámetros que maximicen la probabilidad de obtener los valores
que se dieron en la muestra. Por lo tanto, para encontrar estos estimativos se debe
derivar la función de verosimilitud con respecto a cada uno de los parámetros a estimar,
igualar a cero y despejar el respectivo valor. Es decir
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Métodos para establecer estimadores:
MÉTODO DE ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
Ejemplo. Si una variable aleatoria sigue una distribución exponencial con parámetro l,
encontrar el estimador del parámetro usando el método de máxima verosimilitud.
f(X) = le-lx, x > 0
La función de verosimilitud está dada por:
Considerando el logaritmo tenemos que:
Derivando el logaritmo de la función de verosimilitud con respecto al parámetro q se
tiene:
Se observa que, el estadístico usado para estimar el parámetro l es el inverso de
la media muestral. Si el parámetro que estuviéramos estimando fuera el valor
esperado q = 1/l, entonces el estadístico será la media muestral. Este
estimador es insesgado.
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La Investigación Sustentado por Procesos
Métodos para establecer estimadores:
MÉTODO DE ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
Ejemplo. Consideremos la estimación de los parámetros  y ² de una
distribución normal por el método de máxima verosimilitud.
Si X~ N(, ²)  q = {q1, q2}  q1 = , q2 = ².
La función de verosimilitud está dada por:
El logaritmo de la función de verosimilitud está dado por:
Derive respecto a  y  para
encontrar
sus
respectivos
estimadores
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La Investigación Sustentado por Procesos
Métodos para establecer estimadores:
MÉTODO DE MOMENTOS
–los momentos sirven para caracterizar una distribución de probabilidad.
–Si dos variables aleatorias tienen los mismos momentos, dichas variables tienen la
misma función de densidad y se pueden emplear para estimar sus respectivos
parámetros.
–El método consiste en igualar los primeros momentos de una población a los momentos
correspondientes de una muestra:
Definición. El r- ésimo momento (absoluto) de una variable aleatoria está dado por:
 xir . f ( xi ) si X es discreta
 iI
r
 r  E[ x ]    
  x r . f ( xi ) dx si X es continua

El r-ésimo momento de orden central m r de una muestra aleatoria X1, X2, ..., X n es la media de
sus r- ésimas potencias:
 ( xi  E[ X ]) r . f ( xi ) si X es discreta
 iI
mr  E[( x  E[ X ]) r ]   
  ( x  E[ X ]) r . f ( xi ) dx si X es continua

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CONTINUA
La Investigación Sustentado por Procesos
Métodos para establecer estimadores:
MÉTODO DE MOMENTOS
Luego si una distribución tiene p parámetros desconocidos, su
estimación se da como:
1=m1
2=m2
……
p=mp
Ejemplo. Si una variable aleatoria sigue una distribución exponencial con parámetro l,
encontrar el estimador del parámetro usando el método de los momentos.
f(X) = le-lx, x > 0
Como sólo existe un parámetro, bastará con usar el primer momento, es decir,
1 = m1
El primer momento de la distribución exponencial es 1/l, por lo cual se tiene que
De nuevo, el estadístico usado para estimar el parámetro l es el inverso de la
media muestral. Si el parámetro que estuviéramos estimando fuera el valor
esperado q = 1/l, entonces el estadístico será la media muestral. Este estimador
es insesgado.
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La Investigación Sustentado por Procesos
Métodos para establecer estimadores:
MÉTODO DE MOMENTOS
Ejemplo. Si una variable aleatoria
tiene una distribución gama, con
parámetros l y k desconocidos, se
tiene lo siguiente:
Se puede demostrar que el j-ésimo
momento absoluto está dado por:
De (1) se tiene que
reemplazando en la ecuación(2)
obtenemos:
Por lo tanto los dos primeros momentos
poblacionales
están
dados
por:
Igualando
estos
dos
poblacionales
a
los
momentos
muestrales
momentos
respectivos
se
tiene:
Por lo tanto
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y
La Investigación Sustentado por Procesos
Métodos para establecer estimadores:
MÉTODO DE MOMENTOS
Ejemplo. Estimar por el método de los momentos los parámetros  y ² de una
distribución normal.
Como son dos parámetros los que necesitamos estimar, usaremos los dos
primeros momentos de la distribución normal, que están dados por:
Igualando los dos primeros momentos poblacionales con sus respectivos
momentos muestrales tenemos que:
De lo anterior se concluye que el estimativo de la media poblacional  es la media
muestral
, y es un estimativo insesgado, mientras que el estimativo de la
varianza poblacional ² no es la varianza muestral S², sino la cuasivarianza, y es
un estimativo sesgado.
Ejemplo. Estimar por el método de los momentos el parámetro l de una
distribución de Poisson.
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1. Estimación Puntual (EP)
•
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La Investigación Sustentado por Procesos
2. Distribuciones Muestrales
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2. Distribuciones Muestrales
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2. Distribuciones Muestrales
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La Investigación Sustentado por Procesos
3. Estimación por intervalos
Es estimar un intervalo dentro del cual estará el valor de un parámetro estimado
con una cierta probabilidad. La estimación por intervalos exige los siguientes
conceptos:
• INTERVALO DE CONFIANZA: expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro
a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel
de confianza.
• VARIABILIDAD DEL PARÁMETRO. Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación con
los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. Hay métodos para
calcular el tamaño de la muestra que prescinden de este aspecto. Habitualmente se usa
como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional (σ).
• ERROR DE LA ESTIMACIÓN. Medida de precisión correspondiente con la amplitud del
intervalo de confianza. A mayor precisión deseada en la estimación de un parámetro, más
estrecho deberá ser el intervalo de confianza; menor el error, y más sujetos deberán incluirse
en la muestra estudiada. Llamaremos a esta precisión E, según la fórmula E = θ2 - θ1.
• NIVEL DE CONFIANZA. Probabilidad que el verdadero valor del parámetro estimado en la
población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por
(1- α); frecuentemente se expresa con un porcentaje ((1-α)·100%). Es rutina tomar como nivel
de confianza un 95% o un 99%, que corresponden α con 0,05 y 0,01, respectivamente.
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La Investigación Sustentado por Procesos
3. Estimación por intervalos
Mas conceptos:
• VALOR Α (NIVEL DE SIGNIFICACIÓN). Probabilidad (en tanto por uno) de fallar en la
estimación; la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α); una estimación
con un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05.
• VALOR CRÍTICO (Zα/2). Valor de la abscisa en una determinada distribución que deja a su
derecha un área igual a α/2, siendo 1-α el nivel de confianza. Los valores críticos están
tabulados o se calculan en función de la distribución poblacional; La distribución normal,
de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α = 0,05 se calcula aplicando el
programa de distribución para ese valor (o el más aproximado), si se observa que
corresponde a -0,64. Entonces Zα/2 = 0,64.
• Ejemplo, en una muestra "3 es una estimación de la media con un margen de error de 0,6 y
un nivel de confianza del 99%", se interpreta que el verdadero valor de la media se
encuentra entre 2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se obtienen
restando y sumando, respectivamente, la mitad del error, para obtener el intervalo de
confianza según las definiciones dadas.
• Para un tamaño fijo de muestra, los conceptos de error y nivel de confianza van
relacionados. Si se admite un error mayor, es decir, se aumenta el tamaño del intervalo de
confianza, hay mayor probabilidad de éxito en una estimación; mayor nivel de confianza.
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3. Estimación por intervalos
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La Investigación Sustentado por Procesos
Prueba de la Bondad del Ajuste

La Estadística No Paramétrica sirve para corroborar la bondad de
las diferentes distribuciones de variables.

La bondad de ajuste está asociada a la interpretación de la prueba
Chi-cuadrado para validar los procedimientos de la Inferencia
Estadística
Cómo
se distribuyen
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las variables
de una población
La Investigación Sustentado por Procesos
Introducción
•
•
•
Cuando se realizan investigaciones, con
frecuencia es importante obtener información a
través de una muestra sobre la forma como se
distribuyen los datos de una población.
Algunos estudios producen resultados sobre
los que no podemos afirmar que se distribuyen
Normalmente, es decir con forma acampanada
concentrados sobre la media.
En estos casos debemos emplear técnicas no
paramétricas que se utilizan ampliamente en
las aplicaciones de las ciencias sociales,
cuando no se puede asumir a priori que los
datos de una muestra se ajusten a una
distribución normal.
32
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Ahora nos ocuparemos
del problema de verificar
si de un conjunto de
datos se puede afirmar
que proviene de una
determinada distribución
32
La Investigación Sustentado por Procesos
Estadística No Paramétrica
•
•
•
•
La estadística no paramétrica es una rama de la
estadística que estudia las pruebas y modelos
estadísticos cuya distribución subyacente no se
ajusta a los llamados criterios paramétricos.
Algunos experimentos producen respuestas
que no son cuantificables, es decir generan
mediciones que pueden ordenarse, pero la
posición de la respuesta en una escala de
medición es arbitraria.
Por ejemplo, suponga que desea evaluar y
comparar las habilidades de cinco profesores
de educación física, o las características de
atención de los alumnos de una clase…
Las pruebas no paramétricas no asumen ningún
parámetro de distribución de las variables
muestrales.
33
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Las pruebas paramétricas
asumen los parámetros de
la de la variable (media y
varianza) y un tipo de
distribución normal
Las pruebas no paramétricas no
asumen ningún parámetro de
distribución de las variables
muestrales.
33
34
La Investigación Sustentado por Procesos
PRUEBA DE FISHER
Prueba de la Bondad del Ajuste
•
•
Para resolver este problema utilizaremos unas pruebas
estadísticas que reciben el nombre general de "Pruebas
de Bondad de Ajuste" y específicamente la prueba Chi Cuadrado (ji dos) aunque existen otras pruebas :
• binomial,
• de Anderson-Darling,
• de Fisher, etc.
Estas no serán objeto de estudio por ahora.
El cálculo de estas pruebas, es sencillo, desde el punto
de vista manual y matemático, sin embargo y siguiendo
con nuestra práctica, facilita el trabajo hacerlo con la
hoja de calculo de Excel.
34
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Es la prueba estadística
de elección cuando la
prueba de chi.cuadrado
no puede ser empleada
por tamaño muestral
insuficiente.
Profundiza esta información en la Web
La Investigación Sustentado por Procesos
Prueba de Chi-cuadrado (X2)
•
La prueba de Chi- Cuadrado es considerada como una prueba no
paramétrica que mide la discrepancia (bondad de ajuste) entre una
distribución observada a partir de la muestra y otra teórica que se supone
debe seguir esa muestra, indicando en qué medida las diferencias existentes
entre ambas, de haberlas, se deben al azar en el contraste de hipótesis.
•
Esta prueba se basa en la hipótesis nula (H0) de que no hay diferencias
significativas entre la distribución muestral y la teórica. Mientras que la
hipótesis alternativa (H1) siempre se enuncia como que los datos no siguen
la distribución supuesta.
H0: La distribución de la probabilidad es Normal
H1: La distribución de la probabilidad NO es Normal
35
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H0 : f( x, θ) = F0 (x, θ)
H1 : f( x, θ) ≠ F0 (x, θ)
35
36
La Investigación Sustentado por Procesos
Naturaleza de la prueba de Chi-cuadrado
La estructura básica de la prueba para la bondad del ajuste se muestra
en la siguiente tabla
Clases
Frecuencias
observadas
(f oi – f ei) 2
___________
f ei
(f oi)
Frecuencias
esperadas en
base a H0
(f ei)
1
fo1
fe1
(f o1 – f e1) 2 / f e1
2
fo2
fe2
(f o2 – fe2) 2 / f e2
3
fo3
fe3
(f o3 – fe3) 2 / f e3
:
:
:
:
K
Total
fok
n
fek
n
(f ok – f ek) 2 / f ek
X2 = Σ(f oi – f ei) 2 / fei
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Estadístico de Prueba
El estadístico de prueba está definido como la sumatoria de los residuos expresados
en términos de las frecuencias esperadas para cada una de las clases:
X2 = Σi=1 hasta K (f oi – f ei)2 / f ei
La prueba se basa en qué tan buen ajuste se
tiene entre la frecuencia de ocurrencia de las
observaciones en una muestra observada y las
frecuencias esperadas que se obtienen a partir
de la distribución hipotética.
donde:
•f oi = Total de valores que caen en el intervalo i.
•f ei = Nro. esperado de valores en el intervalo i.
•k = Nro. de intervalos de clase en que se distribuyen las observaciones.
Formulación de Hipótesis:
• H0: f(x, q) = fo (x, q)
• H1: f(x, q) ≠ fo (x, q)
Donde fo (x, q) es la distribución que se supone sigue la muestra aleatoria.
La hipótesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la
distribución supuesta.
Aceptar H0 si no existe diferencia significativa entre la distribución de la frecuencia
observada en la muestra y la distribución teórica de la población.
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Estadístico de Prueba
•
Interpretación: cuanto mayor sea el valor de X2, menos verosímil es que
la hipótesis H0 sea correcta. De la misma forma, cuanto más se aproxima
a cero el valor de Chi-cuadrado, más ajustadas están ambas
distribuciones.
– Si X2 =0 La frecuencia teórica y observada concuerdan exactamente.
– Si X2 >0 Mientras mayor es la diferencia mayor es la discrepancia.
•
•
Debemos comparar el valor calculado, con el observado para determinar
si dicha variación es aleatoria.
En la práctica :Si Ho. = 0 no existe diferencia significativa entre la
distribución de la frecuencia Observada y la distribución Teórica
específicamente con los mismos parámetros.
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Consideraciones
Muestra
Naturaleza de los datos a analizar
• La muestra es aleatoria simple de una
población.
• El tamaño de la muestra es
razonablemente grande (n ≥ 20)
• Para esta prueba es necesario agrupar o
distribuir las observaciones de la muestra
en intervalos de clase, preferiblemente del
mismo tamaño.
• Se hacen conteos con números reales.
• Por ejemplo, si tratamos de investigar la
distribución que siguen los errores de
ortografía cometidos por los alumnos en un
dictado, podríamos pensar en una
distribución de Poisson, así que en
principio no consideraríamos una
distribución normal.
Para formular la hipótesis nula deberán
tenerse en cuenta los siguientes aspectos
La prueba se basa en la
comparación de las frecuencias
observadas
• Por lo tanto la forma que tome el histograma de
frecuencia es quizás la mejor indicación del tipo
de distribución a considerar.
• Es decir, se quiere determinar si las frecuencias
observadas en la muestra están lo suficientemente
cerca de las frecuencias esperadas bajo la
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hipótesis nula.
Ordenar las observaciones
• El número de intervalos de clase debe ser por lo
menos cinco.
• El número esperado de observaciones en cada
intervalo debe ser mayor o igual a cinco; en
caso contrario, deberían agruparse varios
intervalos para lograr esto.
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Ejemplo
•
Se realizo una encuesta en la universidad y se les pregunto a los
estudiantes si estarían o no de acuerdo en sustituir por completo la
modalidad presencial por la modalidad de estudio a distancia y se
obtuvieron los siguientes datos:
Hombres (Real)
Mujeres (Real)
58
11
10
Hombres (Esperado)
45,35
17,56
16,09
Descripción
35 Están de acuerdo
25 Neutrales
23 No están de acuerdo
Mujeres (Esperado)
Se desea comprobar si la
probabilidad de que las
tendencias de la muestra sean
iguales a las tendencias esperadas
en la población
H0:
H1:
Descripción
47,65 Están de acuerdo
18,44 Neutrales
16,91 No están de acuerdo
PRUEBA.CHI se calcula con Excel:
devuelve el valor de la distribución chi
cuadrado (χ2) para la estadística y los
grados de libertad apropiados.
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PRUEBA.CHI
fo – fe= 0
fo – fe≠ 0
0,000308
Se aproxima a 0
Acepto H0, los datos de la muestra
se comportan muy parecido a los
esperados
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5. Ajustes de Caso y Problema
• Resolución de Preguntas de Caso y Problema
• Plan para ajuste de Caso y Problema
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7. Guía para la planeación y seguimiento de Proyecto de clase.
1. Planteamiento de equipo de docencia.
Segunda parte del proyecto
Estado de avance:
2. Selección de procesos por analizar.
Tiempo para trabajar. La semana entrante se revisarán los temas.
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7. Guía para la planeación y seguimiento de Proyecto de clase.
1. Planteamiento de equipo de docencia.
Segunda parte del proyecto
Estado de avance:
2. Selección de procesos por analizar.
Presentación de estado de avance:
¿Hay variables aleatoria en su estudio?
¿Cuáles son variables estocásticas discretas?
¿Que modelo representan?
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8. Test de Salida: Caso, Problema y proyecto.
• Se hace después de la actividad de Proyecto de Clase.
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9. Cierre.
•
•
•
•
•
Entrega de Actividades por parte de todos los equipo.
Balances de las acciones.
Acciones de Mejora.
Auditoría
Cierre de Relatoría.
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Líneas de Investigación:
Calidad, Ingeniería, Sistemas y
Modelado Organizacional de
Conocimiento
Gnosis Avanzada en Ingeniería y
Telemática Aplicada
Escuela de Ingeniería
Eléctrica, Electrónica y de
Telecomunicaciones
Tecnología y Estándares en Ingeniería
de Sistemas Software
Gnosis Unificada para la Ingeniería
del Aprendizaje.
Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones
Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software
CONSTRUIMOS FUTURO