Download Diapositiva 1 - Colegio Maravillas

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Funciones
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Una muestra sencilla de una función y de su gráfica
lo constituye la representación que muestra
la altitud de una carrera ciclista en cada punto
del recorrido. Los participantes tienen así
una información eficaz de la carrera.
LECTURA INICIAL
Fuente:
www.viamichelin.es
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Fuente:
www.letour.fr
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
La “gripe española” y otras enfermedades infecciosas
Busca en la Web
Enlace a diversas gráficas
sobre la mayor pandemia de
nuestra época, el sida
Enlace a la historia de la epidemia
mundial de gripe de 1918
(la “gripe española”)
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Esquema de contenidos
Funciones
Concepto de función
Variables independiente y
dependiente
Características gráficas básicas
Continuidad
Dominio y recorrido
Cortes con ejes
Intersección de gráficas
Características gráficas de regularidad
Formas de expresar una función
Por un enunciado
Mediante el álgebra
Mediante una tabla
Mediante una gráfica
Características gráficas de evolución
Crecimiento y decrecimiento
Máximos y mínimos
Simetrías
Periodicidad
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.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Funciones expresables por un enunciado
¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de
uno de sus ángulos iguales?
Seguramente ya conoces la relación existente entre el número de lados y la suma
de todos los ángulos de un polígono, sea regular o no. ¿La recuerdas?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Funciones expresables por un enunciado
¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de
uno de sus ángulos iguales?
Seguramente ya conoces la relación existente entre el número de lados y la suma
de todos los ángulos de un polígono, sea regular o no.
Si dividimos el polígono (en la figura, un pentágono) en triángulos,
ˆ  Bˆ  Cˆ  Dˆ  Eˆ ,
puedes observar que la suma de sus ángulos, A
es la misma que la de los ángulos de los triángulos en que se
dividió, pues,
1ˆ  4ˆ  7ˆ  Aˆ
2ˆ  Bˆ
3ˆ  5ˆ  Cˆ
6ˆ  8ˆ  Dˆ
9ˆ  Eˆ
Así pues, los ángulos de un pentágono suman 180º · 3 = 540º. Para
cualquier polígono con n lados, se pueden dibujar n  2 triángulos,
luego (n  2) · 180º será la suma de todos sus ángulos.
¿Puedes ya deducir la función que relaciona a n (número de lados) con la medida de un
solo ángulo del polígono regular de n lados?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Funciones expresables por un enunciado
¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de
uno de sus ángulos iguales?
Si (n  2) · 180º suman todos los ángulos del polígono regular, lo que mida uno de los
n ángulos iguales, f(n) , será:
f (n) 
(n  2) 180
n
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Funciones expresables por un enunciado
¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de
uno de sus ángulos iguales?
f (n) 
(n  2) 180
Haz una tabla de esta función con valores de n desde 3 a 12 lados.
n
Número lados
Medida del ángulo
3
(3-2)·180/3 = 60º
4
(4-2)·180/4 = 90º
5
(5-2)·180/5 = 108º
6
(6-2)·180/6 = 120º
7
(7-2)·180/7 = 128,6º
8
(3-2)·180/3 = 135º
9
(9-2)·180/9 = 140º
10
(10-2)·180/10 = 144º
11
(11-2)·180/11 = 147,3º
12
(12-2)·180/12 = 150º
¿Hay algún polígono regular cuyo ángulo mida
162º?
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Funciones expresables por un enunciado
¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de
uno de sus ángulos iguales?
f (n) 
(n  2) 180
Haz una tabla de esta función con valores de n desde 3 a 12 lados.
n
Número lados
Medida del ángulo
¿Hay algún polígono regular cuyo ángulo mida
162º?
Tienes que solucionar la ecuación:
3
(3-2)·180/3 = 60º
4
(4-2)·180/4 = 90º
5
(5-2)·180/5 = 108º
6
(6-2)·180/6 = 120º
(n  2) 180
 162
n
7
(7-2)·180/7 = 128,6º
(n  2) · 180 = 162 n
8
(3-2)·180/3 = 135º
9
(9-2)·180/9 = 140º
10
(10-2)·180/10 = 144º
18 n = 360
11
(11-2)·180/11 = 147,3º
n = 20 lados
12
(12-2)·180/12 = 150º
180 n  162 n = 360c
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de representación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Qué magnitud representa la variable x ? ¿Cuál la variable y ?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de representación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Qué magnitud representa la variable x ? ¿Cuál la variable y ?
La variable x mide el espacio recorrido desde la salida. La variable y mide la
altura sobre el nivel del mar. Observa que 1 km (= 1.000m) en horizontal no se
mide con la misma longitud en vertical.
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ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Entre qué valores de x la gráfica es creciente (es decir, la carretera sube)? ¿En
cuáles es decreciente?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Entre qué valores de x la gráfica es creciente (es decir, la carretera sube)? ¿En
cuáles es decreciente?
La función es creciente entre 0 y 81, entre 110 (aproximadamente) y 132, entre 158
y 175 y entre 188 (aproximadamente) y 218. Es decreciente en el resto, salvo un
tramo horizontal que se encuentra entre x = 100 y x =110, aproximadamente.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Cuáles son los máximos relativos (“cumbres de la gráfica”)? ¿Y cuáles mínimos
relativos (“valles”)?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Cuáles son los máximos relativos (“cumbres de la gráfica”)? ¿Y cuáles mínimos
relativos (“valles”)?
Los máximos relativos son los puntos en los que se pasa de crecer a decrecer.
Son el Col de Larrau, el Col de la Pierre St-Martin y el Col de Marie-Blanche.
La meta (Col de l’Aubisque) no es máximo relativo pues
no se sabe si más allá de x = 218 la gráfica crece o decrece.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿A qué altitud máxima llega la carrera en España (= máximo absoluto en ese
intervalo)? ¿Cuál es la menor altitud (= mínimo absoluto)?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿A qué altitud máxima llega la carrera en España (= máximo absoluto en ese
intervalo)? ¿Cuál es la menor altitud (= mínimo absoluto)?
El máximo absoluto en ese intervalo es 1.760 m alcanzado en x = 132. El mínimo
absoluto es 813 m, alcanzado en x = 105.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Para qué valores de x la carretera está exactamente a 1.000 m de altitud?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica
de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia
2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas.
Francia
|
España
|
Francia
¿Para qué valores de x la carretera está exactamente a 1.000 m de altitud?
Basta con superponer una línea a la altura 1.000 para hallar los puntos donde la
carrera está a exactamente 1.000 m. Hay exactamente 7 puntos.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El Campeonato del Mundo de ciclismo se celebra en una única etapa en un circuito
cerrado que se recorre varias veces.
Supón que se recorre 5 veces el circuito de la figura. ¿Puedes elaborar el perfil de la
prueba concreta?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Perfil de una etapa de montaña
El Campeonato del Mundo de ciclismo se celebra en una única etapa en un circuito
cerrado que se recorre varias veces.
Supón que se recorre 5 veces el circuito de la figura. ¿Puedes elaborar el perfil de la
prueba concreta?
Reduciendo la escala apropiadamente, tenemos:
Es una representación periódica, pues se repite en horizontal la gráfica original.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
a) Calcula el importe a pagar por consumos de 50, 100, 200
y 300 kWh con cada tarifa.
b) Expresa las funciones f(x) y g(x) que relacionan el consumo, x, con
el importe de la factura en cada tarifa.
c) Represéntalas sobre los mismos ejes de coordenadas.
d) ¿Para qué consumos es más conveniente la tarifa A y para cuáles la
tarifa B?
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
a) Calcula el importe a pagar por consumos de 50, 100, 200
y 300 kWh con cada tarifa.
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ACTIVIDAD
Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
a) Calcula el importe a pagar por consumos de 50, 100, 200
y 300 kWh con cada tarifa.
a) Para la tarifa A, los importes respectivos son: 14 + 0,18 · 50 = 23 €,
14 + 0,18 · 100 = 32 €, 14 + 0,18 · 200 = 50 € y 14 + 0,18 · 300 = 68 €.
Para la tarifa B, 23 + 0,12 · 50 =29 €, 23 + 0,12 · 100 = 35 €,
23 + 0,12 · 200 = 45 €; 23 + 0,12 · 300 = 59 €.
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Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
b) Expresa las funciones f(x) y g(x) que relacionan el consumo, x, con
el importe de la factura en cada tarifa.
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Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
b) Expresa las funciones f(x) y g(x) que relacionan el consumo, x, con
el importe de la factura en cada tarifa.
b) Para la tarifa A, f(x) = 14 + 0,18 x. Para la B, g(x) = 23 + 0,12 x.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
c) Represéntalas sobre los mismos ejes de coordenadas.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
c) Represéntalas sobre los mismos ejes de coordenadas.
c)
El punto de encuentro de las dos
gráficas es la solución del sistema
formado por las ecuaciones:
y = 14 + 0,18 x
,
y = 23 + 0,12 x
cuya solución es x = 150, y = 41.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Gráficas lineales
En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas
rectas.
Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios.
En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio
hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio
de cada kWh consumido es de 0,12 €.
d) ¿Para qué consumos es más conveniente la tarifa A y para cuáles la
tarifa B?
d)
A la vista de la gráfica, es claro
que, para el consumidor, es
preferible la tarifa A para consumos
inferiores a 150 kWh y la tarifa B
para consumo superiores a ese
consumo.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Función dada por una tabla
En la tabla adjunta se dan las horas
de la salida y puesta del Sol,
tomadas cada 15 días a partir del 1
de enero y hasta el 30 de julio,
referido a las coordenadas de
Madrid. Si deseas usar los datos de
tu pueblo o ciudad, puedes extraerlo
en Internet de páginas como
www.jgiesen.de/SME/index.htm .
A partir de esta tabla, obtén las
gráficas de:
a) La hora de salida del Sol según la
fecha del año, en el periodo citado.
Fecha
1
Enero, 1
Salida del Sol
Puesta del Sol
Horas de luz solar
08:38
17:59
09:21
2
“
, 16
08:35
18:14
09:39
3
“
, 31
08:25
18:32
10:07
4
Febrero, 15
08:09
18:50
10:41
5
Marzo, 2
07:48
19:07
11:19
07:24
19:23
11:59
06:59
19:39
12:40
“ , 17
6
7
Abril, 1
8
“ , 16
06:35
19:54
13:19
9
Mayo, 1
06:14
20:10
13:56
10
“ , 16
05:58
20:25
14:27
11
“ , 31
05:47
20:38
14:51
12
Junio, 15
05:44
20:47
15:03
05:47
20:49
15:02
05:57
20:44
14:47
06:10
20:32
14:22
b) La hora de puesta de Sol en el
mismo periodo.
13
c) La duración del día en ese periodo.
15
14
“
, 30
Julio , 15
“
, 30
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Función dada por una tabla
A partir de esta tabla, obtén las gráficas de:
a) La hora de salida del Sol según la fecha del año, en el periodo citado.
X
Fecha
1
Enero, 1
Salida del Sol
y
08:38
2
“
, 16
08:35
3
“
, 31
08:25
4
Febrero, 15
08:09
5
Marzo, 2
07:48
“ , 17
6
7
Abril, 1
07:24
06:59
8
“ , 16
06:35
9
Mayo, 1
06:14
10
“ , 16
05:58
11
“ , 31
05:47
12
Junio, 15
05:44
13
14
15
“
, 30
Julio , 15
“
, 30
Si llevas los datos de la tabla sobre unos ejes y unes
los puntos con líneas rectas (que es correcto para
completar la gráfica en los días intermedios) se tiene:
05:47
05:57
SIGUIENTE
06:10
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Función dada por una tabla
A partir de esta tabla, obtén la gráfica de: b) La hora de puesta de Sol en el mismo periodo.
X
Fecha
1
Enero, 1
Puesta del Sol
y
17:59
2
“
, 16
18:14
3
“
, 31
18:32
4
Febrero, 15
18:50
5
Marzo, 2
19:07
“ , 17
6
7
Abril, 1
19:23
19:39
8
“ , 16
19:54
9
Mayo, 1
20:10
10
“ , 16
20:25
11
“ , 31
20:38
12
Junio, 15
20:47
13
14
15
“
, 30
Julio , 15
“
, 30
Se han realizado las dos gráficas sobre el mismo
sistema de coordenadas:
20:49
20:44
20:32
SIGUIENTE
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Función dada por una tabla
A partir de esta tabla, obtén la gráfica de: c) La duración del día en ese periodo.
La gráfica resultante es:
Fecha
1
Enero, 1
Horas de luz solar
09:21
2
“
, 16
09:39
3
“
, 31
10:07
4
Febrero, 15
10:41
5
Marzo, 2
11:19
“ , 17
6
7
Abril, 1
11:59
12:40
8
“ , 16
13:19
9
Mayo, 1
13:56
10
“ , 16
14:27
11
“ , 31
14:51
12
Junio, 15
15:03
13
14
15
“
, 30
Julio , 15
“
, 30
15:02
14:47
14:22
Puedes ampliar las tres gráficas a todo el año y tomar
los datos de tu localidad de residencia.
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Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Enlaces de interés
Actividades matemáticas
Juegos de ingenio
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MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 11: Funciones
ACTIVIDAD
Actividad: La función lineal
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4aa.htm
En Santillana-Chile elaboran, mediante el
programa Microsoft Excel, una actividad
sobre una función de la vida cotidiana
Para conocerlo, sigue este enlace.
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