Download Matematicas III - Comisión General de Reforma universitaria

Universidad Autónoma de Guerrero
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
Comisión General de Reforma Universitaria
Educación Media Superior
Plan de Estudios por Competencias 2010
Matemáticas III
Tercer Semestre
Programa de Estudio de Matemáticas III
1
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
PLAN DE ESTUDIOS POR COMPETENCIAS 2010
PROGRAMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
MATEMÁTICAS III
Índice
Identificación y ubicación de la unidad de aprendizaje…………………………………………………………………………………………………
Tabla de contenido temático…………………….……………………………………………………………………………………………………..…………
Esquema gráfico de contenidos …………………………………………………………………………………………………………………………………..
Unidad temática de competencia I Ángulos y Triángulos……………………………………………………………………………………………
Unidad temática de competencia II Círculo, Circunferencia y Polígonos…………………………………………………………………….
Unidad temática de competencia III Trigonometría………………………………………………………………………………………………….
Evaluación de los aprendizajes……………….…………………………………………………………………………………..………………………………
Referencias…………………………………….…………………………………………………………………………………………………..………………………
Elaboración del programa………………………………….………………………………………………………………………………..…………………….
Programa de Estudio de Matemáticas III
3
6
7
8
14
20
28
29
30
2
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
Identificación y ubicación de la unidad de aprendizaje
Unidad de Aprendizaje
Matemáticas III
Clave
Tipo
Semestre
Etapa de formación
231
Obligatoria
Tercero
De Desarrollo
Núcleo integrador del semestre
Créditos
Conoce tu país
6
Área de formación
Descripción del área de formación
Horas semana
T
P
2
2
Horas semestre
64
Matemáticas
El área de Matemáticas busca desarrollar en los estudiantes la creatividad y el pensamiento lógico y crítico. Con los cursos que
corresponden al área se desarrollan las competencias disciplinares de matemáticas necesarias para que el estudiante
argumente y estructure mejor sus ideas y razonamientos; reconociendo que a la solución de cada tipo de problema
matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, así como el despliegue de diferentes valores y actitudes.
Los contenidos que se estudian en esta área se abordan de manera que el estudiante razone matemáticamente, y no
simplemente resuelva ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos; que aplique las
matemáticas más allá del salón de clases y tenga la capacidad de hacer una interpretación matemática del entorno que los
rodea.
Unidades de aprendizaje antecedentes del área
Matemáticas I y II
Programa de Estudio de Matemáticas III
Unidades de aprendizaje simultáneas
Física II
Química III
Filosofía II
Historia III
Taller de Lectura y Redacción III
Inglés I
Complementaria III
Unidades de aprendizaje consecuentes del área
Matemáticas IV, V y VI
3
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
Descripción de la Unidad de Aprendizaje
La Geometría como la ciencia del espacio, es una herramienta para describir y medir figuras que nos proporciona métodos mediante los cuales podemos construir y
estudiar modelos tanto del mundo físico como de otros fenómenos de la vida cotidiana. Su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, la ha transformado en una de las
herramientas más universales y útiles en todas las partes de las matemáticas, más todavía, es una herramienta para el entendimiento, es tal vez la parte de las
matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad y nos permite captar los procesos con los cuales, partiendo de la realidad, se conduce gradualmente hacia
una percepción más refinada del espacio.
La Geometría es un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias, por ejemplo gráficas y teoría
de gráficas, diagramas de varias clases. Es un punto de encuentro entre matemáticas como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos. La Geometría es
una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como renovadas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de
imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones.
La geometría es el mejor ejemplo de ciencia experimental, para comprender el teorema de Pitágoras que mejor método que dibujar triángulos, medir y comprobar, es
decir ¡experimentar! No hay duda de que el paso de lo experimental a lo abstracto es prácticamente inmediato en Geometría e incluso se llega a confundir, se dice que
se dibujan rectas, triángulos, aunque los dibujos no corresponden fielmente a los conceptos abstractos. En el momento presente las herramientas informáticas pueden
ofrecer simulaciones virtuales de prácticamente todo, se podría pensar en otro tipo de ejemplos para llevar a cabo esta formación, pero sin duda nos alejaríamos de la
vida cotidiana, de la proximidad y del interés general que posee la Geometría.
Las TIC’s han acudido en la ayuda de la enseñanza de la Geometría y la revolución que están causando no ha hecho más que comenzar. La geometría forma parte de la
cultura básica de cualquier persona, los conceptos geométricos aparecen en la vida cotidiana de forma muy variada: folletos turísticos, comentarios deportivos,
manuales de construcción de muebles o utensilios, además de que la geometría es vital para continuar otros estudios, por ejemplo, arquitectura, ingenierías, física, y
un largo etc.
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Propósitos generales de
la Unidad de Aprendizaje
Categorías, Competencias
Genéricas y Atributos
que se desarrollan
Competencias
Disciplinares Básicas que
se desarrollan
Plan de Estudios 2010
Al concluir el curso el alumno habrá desarrollado las competencias relativas a las relaciones métricas de los cuerpos reales desde el punto
de vista de la magnitud y de la posición, aplicando las propiedades y operaciones de los triángulos, los ángulo los polígonos, el círculo, la
circunferencia, y las propiedades de las funciones trigonométricas; formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr
consensos sobre lo aprendido.
Categorías
Competencias Genéricas
Atributos
III.
Piensa crítica y
reflexivamente
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo
como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
6. Sustenta una postura
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y
personal sobre temas de
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
interés y relevancia
6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
general, considerando otros 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer
puntos de vista de manera
nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo
crítica y reflexiva.
con el que cuenta.
6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
IV. Aprende de
7. Aprende por iniciativa e
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de
forma autónoma
interés propio a lo largo de
conocimiento.
la vida.
7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad,
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su
vida cotidiana.
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y
variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o
situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje
verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos
que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Programa de Estudio de Matemáticas III
5. Desarrolla innovaciones y
propone soluciones a
problemas a partir de
métodos establecidos.
5
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Perfil disciplinario de
docente
Competencias docentes
requeridas
Plan de Estudios 2010
Perfil específico
Lic. en Matemáticas, Lic. en Matemática Educativa, Lic. en Física y Matemáticas.
Perfil afín
Ing. Civil, Ing. Constructor, Ing. Topógrafo y Geomático, Ing. en Computación, Ing. en Producción Sustentable,
Ing. en Recursos Maderables y no Maderables, Ing. en Sistemas Ambientales, Ing. en Sistemas Computacionales,
Ing. en Energías Limpias, Ing. en Minas, Ing. en Prevención de Desastres y Protección Civil, Ing. Agrónomo, Ing. Eléctrico,
Ing. en Aeronáutica, Ing. en Cibernética, Ing. Automotriz, Ing. en Mecatrónica, Ing. en Electrónica, Ing. en Energía, Ing. en Geofísica,
Ing. Geólogo, Ing. en Informática, Ing. en Telecomunicaciones, Ing. Físico, Ing. Hidráulico, Ing. Industrial, Ing. Mecánico,
Ing. Arquitecto Urbanista, Ing. Topógrafo y Geodesta, Lic. en Actuaría, Lic. en Física, Lic. en Informática
Maestría en Docencia de la Matemática (UAGro).
1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.
2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo.
3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos
disciplinares, curriculares y sociales amplios.
4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.
5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.
6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.
7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano
8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.
Estructura de la Unidad de Aprendizaje
Unidad de Competencia I
Ángulos y Triángulos
Unidad de Competencia II
Círculo, Circunferencia y Polígonos
Unidad de Competencia III
Trigonometría
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
Tabla de contenido temático
Unidades de competencia
Competencias disciplinares básicas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos
deterministas mediante la aplicación de procedimientos
geométricos para la comprensión y análisis de situaciones
reales o formales.
2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de
problemas matemáticos buscando diferentes enfoques.
3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con
métodos numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal
y matemático.
Proceso de
construcción del
aprendizaje
Respecto de las
figuras y cuerpos
geométricos:
 Identifica
 Caracteriza
 Clasifica
 Conoce sus
propiedades
 Justifica sus
propiedades
I.
24 Hrs
Geometría
Definición de punto, línea,
línea recta, segmento, rayo,
plano, ángulo y triángulo.
Clasificación de los ángulos y
triángulos.
Líneas notables del triángulo
Congruencia y semejanza de
triángulos.
Teorema de Pitágoras y
razones trigonométricas.
II.
16 Hrs
Los polígonos y sus
elementos
Definición de círculo y
circunferencia
Líneas notables de la
circunferencia
Tipos de ángulos en los
polígonos y en la
circunferencia.
III.
24 Hrs
Funciones
trigonométricas de un
ángulo
Ley de senos y cosenos
Funciones
trigonométricas de un
número real
Identidades
trigonométricas
Ecuaciones
trigonométricas
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o
matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el
estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su
pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos
con símbolos matemáticos y científicos.
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
Esquema gráfico de contenidos
Representación del espacio
Ángulos y
triángulos
Círculo,
Trigonometría
Circunferencia
y Polígonos
Conoce a tu país
.
Conoce el mundo
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Unidad de competencia I
Propósitos
Ángulos y Triángulos
Plan de Estudios 2010
Sesiones previstas
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Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las propiedades y operaciones de triángulos y ángulos, formalizando sus
argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido en la unidad.
COMPONENTES DE COMPETENCIA
Competencias disciplinares básicas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos
deterministas mediante la aplicación de
procedimientos geométricos para la comprensión
y análisis de situaciones reales o formales.
2. Propone, formula, define y resuelve diferentes
tipos de problemas matemáticos buscando
diferentes enfoques.
3. Propone explicaciones de los resultados
obtenidos mediante procedimientos matemáticos
y los contrasta con modelos establecidos o
situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un
problema, con métodos numéricos o gráficos,
mediante el lenguaje verbal y matemático.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental
o matemáticamente magnitudes del espacio que
lo rodea.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio
para el estudio de un proceso o fenómeno, y
argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y
textos con símbolos matemáticos y científicos.
CONCEPTUALES (saber)
ACTITUDINALES (saber ser, saber
convivir)
 Resuelve problemas generados por  Comunica y comparte de manera
una situación real mediante el
solidaria y respetuosa sus ideas y
Punto, línea, línea recta,
cálculo de ángulos en distintas
hallazgos.
segmento, rayo, plano, ángulo y
figuras geométricas.
 Valora la importancia de estudiar
triángulo.
geometría
para
una
mejor
comprensión de su entorno y su
 Representa con un esquema la
Los ángulos y los triángulos.
clasificación
de
ángulos
y
aplicación
en
la
arquitectura,
triángulos.
ingeniería, artes, etc.
Líneas notables del triángulo
 Resuelve problemas generados por  Valora de forma crítica su desempeño
Congruencia y semejanza de
una situación real mediante el
personal
en
la
interpretación
triángulos.
cálculo de ángulos y lados de un
adecuada de problemas matemáticos,
triángulo utilizando congruencia y
reconociendo sus limitaciones y
Teorema de Pitágoras y razones
semejanza.
fortalezas.
trigonométricas.
 Valora las propiedades de los ángulos
y triángulos como herramienta para
 • Resuelve problemas generados
por una situación real mediante el
representar los fenómenos de su
cálculo de ángulos y lados de un
entorno.
triángulo rectángulo utilizando  Evalúa las ventajas de utilizar las
Teorema de Pitágoras y las razones
propiedades de los ángulos y
trigonométricas.
triángulos en la solución de
problemas de su entorno inmediato.
Geometría
Situación de aprendizaje
Trabajo colaborativo.
Aprendizaje basado en problemas
Temas transversales
Educación para el consumo
Educación para la sexualidad
Programa de Estudio de Matemáticas III
PROCEDIMENTALES (saber hacer)
Nivel de
desempeño
esperado
Comprensión: Identifica los detalles de la
información que son importantes. Ubica la
información en la categoría apropiada.
Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear
nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones
nuevas.
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Plan de Estudios 2010
Apertura
Actividades del alumno
1. Recuperar
conocimien
to previo.
Observa e identifica las distintas formas geométricas que están
en su entorno: el salón de clases, el pizarrón, el plumón, etc.
Escribe su conclusión personal acerca del objeto de estudio de
la geometría.
Observa en láminas presentadas por el docente distintos
ángulos.
Localiza triángulos rectángulos dentro y fuera del salón de
clases.
2.
Problematizar
Desarrollo
3. Adquirir y
organizar
nueva
información.
Investiga las definiciones de los conceptos de punto, línea,
línea recta, segmento semirrecta, plano y ángulo.
Valora la importancia de estudiar geometría para una mejor
comprensión de su entorno y su aplicación en la arquitectura,
ingeniería, las artes, etc.
Investiga la unidad de medición de ángulos llamada radianes.
Realiza una búsqueda de diversos tipos de triángulos en
internet.
Investiga las diferentes definiciones del concepto “triángulo”.
Discute las definiciones encontradas sobre punto, línea, línea
recta, segmento semirrecta, plano y ángulo.
Estrategias
didácticas
Recursos
didácticos
Cada caso es
el inicio de
una sesión.
Solución de
problemas
Producción
individual
Trabajo
colaborativo
Intercambio
por la web
Trabajo extra
clase
Pintarrón
Marcadores
Cuaderno
Lápiz
Juego
geométrico
Cuaderno
Lápiz
Internet
D
F
F
Participació
n
Función
Función
Momento
Evaluación
A
C
H
A
C
H
Producto
Instrumento
Figuras
geométricas.
Definición de
geometría.
Identificación
de ángulos.
Identificación
de triángulos.
Rúbrica
Reporte
personal
Lista de cotejo
Rúbrica
Rúbrica
Rúbrica
Reporte de
equipo
Trabajo
individual
Juego
geométrico
Describe los ángulos que reconoce y en una lluvia de ideas dice
el nombre y explica que caracteriza a esos ángulos.
Trabajo en
binas
Cuaderno
Utilizando el transportador construye ángulos de distinta
medida, por ejemplo de 60º, de 90º, de 100º, etc.
Trabajo en
equipo
F
A
C
H
Producción
personal
Lista de cotejo
Producción de
equipo
Lápiz
Convierte medidas de ángulos de grados a radianes y
viceversa.
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Plan de Estudios 2010
Identifica y traza los distintos tipos de ángulos que se observan
dentro y fuera del salón de clases.
Clasifique los ángulos de acuerdo a:
Su medida
Su forma
Por pares
Traza dos rectas paralelas y una transversal e identifica los
distintos tipos de ángulos que se generan.
Construye un triángulo de lados 4cm, 5cm y 6cm utilizando
regla y compás. Deduce que para construir un triángulo con
lados de longitudes a, b y c, es necesario que: 1.- a + b > c; 2.- a
+ c > b; 3.- b + c > a
Llama a estas relaciones desigualdad triangular.
4. Procesar
nueva
información.
Realiza un diagrama donde muestra la clasificación de los
triángulos.
Traza en una hoja de papel, dos triángulos congruentes.
Deduce los criterios que sirven para demostrar la congruencia
de dos triángulos: 1.- LLL; 2.- ALA
3.- LAL
Utilice estos criterios para demostrar algunas propiedades
propiedades geométricas.
Determina el baricentro, centroide o gravicentro; el
circuncentro; el incentroy el ortocentro de un triángulo.
Traza un triángulo con lados de longitudes 10cm, 8cm y 4cm
con regla y compás en una hoja.
Reconoce las características de los triángulos semejantes.
Denota la semejanza de triángulos con ΔABC∼ΔEFG.
Deduce los siguientes criterios que sirven para demostrar la
semejanza de dos triángulos: 1.- AAA; 2.- LAL; 3.- LLL
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Plan de Estudios 2010
Utiliza estos criterios para demostrar algunas propiedades
geométricas.
En equipo, discute cómo calcular el ancho de un río; la altura
de la torre de la iglesia de la ciudad en que se encuentra, de
una torre de luz o de un poste, usando semejanza de triángulos
(en alguno de estos casos pueden valerse de la sombra que
proyectan).
Comparte sus propuestas a sus demás compañeros y obtiene
conclusiones.
Usa la semejanza de triángulos y que prueba el Teorema de
Pitágoras.
Dibuja un cuadrado de lado 1 y traza una de sus diagonales.
4. Procesar
nueva
información.
Muestre que el triángulo formado es el siguiente:
Prolonga los segmentos AC y AB, traza rectas paralelas al
segmento BC .
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Plan de Estudios 2010
Mide los segmentos y comprueba las siguientes proporciones:
a)
BC EF GH


AC AE AG
Llama a estas proporciones seno del ángulo de 45° y lo denota
con sen(45°).
sen (45º ) 
b)
4. Procesar
nueva
información.
cateto opuesto al ángulo de 45º
hipotenusa
AB AF AH


AC AE AG
Llama a estas proporciones coseno del ángulo de 45° y lo
denota con cos(45°).
cos(45º ) 
c)
cateto adyacente al ángulo de 45º
hipotenusa
BC EF GH


AB AF AH
Llama a estas proporciones tangente del ángulo de 45° y lo
denota con tan(45°)
tan( 45º ) 
cateto opuesto al ángulo de 45º
cateto adyacente al ángulo de 45º
Con ayuda del profesor, define cot(45°), sec(45°) y csc(45°)
utilizando la figura anterior.
Generaliza la actividad anterior y establece las siguientes
proporciones para un triángulo rectángulo cualquiera:
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Cierre
5. Aplicar,
transferir
información.
Elabora sus conclusiones sobre la importancia que tiene los
ángulos en construcciones y objetos que se observan en el
entorno.
Valora la importancia de conocer la clasificación de los ángulos
para resolver problemas.
Reflexiona sobre la importancia de la desigualdad triangular en
la construcción de triángulos.
Expone sus conclusiones sobre los tipos de triángulos y la
relación que tienen con los lados y ángulos y valora la
importancia de éstos en la actividad profesional.
Utiliza y valora la importancia de la congruencia de triángulos
en las siguientes construcciones con regla y compás.
a) Punto medio de un segmento dado
b) Mediatriz de un segmento.
c) Bisectriz de un ángulo dado
e) Trazar una recta perpendicular a una recta dada,
desde un punto fijo.
Plan de Estudios 2010
Exposición
individual
Proyector
Pliegos de
papel bond
F
A
C
H
Exposición
personal
Escala Lickert
Lista de cotejo
Exposición de
equipo
Comparte sus propuestas a sus demás compañeros de cómo
calcular el ancho de un río; la altura de la torre de la iglesia de
la ciudad en que se encuentra, de una torre de luz o de un
poste, usando semejanza de triángulos y obtiene conclusiones.
Utiliza las razones trigonométricas para resolver problemas
Valora la importancia del uso de las razones trigonométricas en
la solución de problemas de la vida cotidiana.
Responde los siguientes cuestionamientos:
¿Qué complicaciones tuviste para solucionar los problemas
anteriores?
¿Qué fue lo que más se te dificultó representar?
¿Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el
problema?
¿Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo?
6. Tomar
conciencia
Programa de Estudio de Matemáticas III
14
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
Evaluación de la unidad de competencia:
Actividad:
Punto:
Instrumento:
(Desarrollar el instrumento)
Actividad:
Punto:
Instrumento:
(Desarrollar el instrumento)
(Añadir las filas necesarias para completar la evaluación de los productos de la unidad de competencia)
Registro, evaluación y seguimiento del logro de las competencias genéricas del perfil de egreso
Fecha
Actividades
Programa de Estudio de Matemáticas III
Competencias genéricas
Evidencias
Evaluación
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Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Unidad de competencia II
Círculo, Circunferencia y
Polígonos
Plan de Estudios 2010
Sesiones previstas
16
Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las propiedades y operaciones de los polígonos, el círculo y la
circunferencia, formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido en la unidad.
Propósitos
COMPONENTES DE COMPETENCIA
Competencias disciplinares
CONCEPTUALES (saber)
1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas
mediante la aplicación de procedimientos geométricos para la
comprensión y análisis de situaciones reales o formales.
Los polígonos y sus
elementos
2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas
matemáticos buscando diferentes enfoques.
Definición de círculo y
circunferencia
3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante
procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
Líneas notables de la
circunferencia
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos
numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal y matemático.
Tipos de ángulos en los
polígonos y en la
circunferencia.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental
matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea.
o
PROCEDIMENTALES
(saber hacer)
ACTITUDINALES (saber ser, saber
convivir)
•Representa en un
diagrama la clasificación
y propiedades de los
polígonos.
• Representa en un
diagrama los ángulos de
un polígono.
Comunica y comparte de manera solidaria
y respetuosa sus ideas y hallazgos.
Representa en un
diagrama las líneas y
ángulos de una
circunferencia.
Valora las propiedades del círculo, la
circunferencia y los polígonos como
herramienta
para
representar
los
fenómenos de su entorno.
Evalúa las ventajas de utilizar las
propiedades del círculo, la circunferencia
y los polígonos en la solución de
problemas de su entorno inmediato.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio
de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con
símbolos matemáticos y científicos.
Situación de aprendizaje
Trabajo colaborativo.
Aprendizaje basado en
problemas
Tema(s) transversal(es)
Educación para el
consumo
Educación para la
sexualidad.
Programa de Estudio de Matemáticas III
Valora de forma crítica su desempeño
personal en la interpretación adecuada de
problemas matemáticos, reconociendo
sus limitaciones y fortalezas.
Nivel de
desempeño
esperado
Comprensión: Identifica los detalles de la
información que son importantes. Ubica la
información en la categoría apropiada.
Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear
nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones
nuevas.
16
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
RECURSOS
DIDÁCTICOS
Cada caso es
el inicio de
una sesión.
Pintarrón
Marcadores
Cuaderno
Lápiz
Juego
geométrico
EVALUACIÓN
FUNCIÓN
ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
1. Recuperar
conocimiento
previo.
Utilizando una regla dibuja, una figura cerrada cuyos
lados son segmentos.
Solución de
problemas
D
F
PARTICIPACIÓ
N
ACTIVIDADES DEL ALUMNO
MOMENTO
FUNCIÓN
Plan de Estudios 2010
A
C
H
APERTURA
Producción
individual
Asigna un nombre a esta figura.
Identifica distintos polígonos que están en su entorno.
En una hoja dibuja el contorno de un disco compacto.
PRODUCTO
INSTRUMENTO
Polígonos
Rúbrica
Identificación de
polígonos
Rúbrica
Identificación de
circunferencias y
círculos
Rúbrica
Reporte personal
Lista de cotejo
Trabajo
colaborativo
Intercambio
por la web
Desarrollo
2. Problematizar
3. Adquirir y
organizar nueva
información.
Asigna un nombre a la figura resultante y a su contorno
o perímetro.
Realiza una búsqueda de información acerca de las
características de los polígonos.
Investiga los tipos de ángulos que se definen en el
círculo.
Programa de Estudio de Matemáticas III
Trabajo
extraclase
Cuaderno
Lápiz
Internet
F
A
C
H
Reporte de
equipo
17
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Clasifica estos polígonos en convexos y no convexos,
regulares e irregulares, y según el número de lados.
Identifica los elementos básicos de un polígono
regular: centro, apotema, lado, vértices, diagonales.
Analiza cuál de los elementos anteriores están
presentes en los polígonos irregulares.
4. Procesar
nueva
información.
Plan de Estudios 2010
Trabajo
individual
Juego
geométrico
Trabajo en
binas
Cuaderno
F
A
C
H
Producción
personal
Lista de cotejo
Producción de
equipo
Lápiz
Trabajo en
equipo
Elabora un mapa conceptual de la definición,
elementos y clasificación de los polígonos.
Traza polígonos regulares, cada vez de mayor número
de lados para observar el comportamiento de estos.
Concluye que para los polígonos regulares, existen
ángulos central, interior y exterior.
Analiza cuál de los ángulos anteriores están presentes
en los polígonos irregulares.
Elabora un mapa conceptual de la clasificación de los
ángulos de un polígono.
Conjetura las fórmulas que permitan calcular:
a) Ángulo central en función del número de
lados del polígono.
b) Ángulo interior en función del número de
lados del polígono.
c) Suma de los ángulos interiores en función
Programa de Estudio de Matemáticas III
18
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Plan de Estudios 2010
del número de lados del polígono.
d) Ángulo exterior en función del número de
lados del polígono.
e) Suma de los ángulos exteriores en función
del número de lados del polígono.
f) Número de diagonales en función del
número de lados del polígono.
Traza una circunferencia con todas sus líneas y puntos
notables (centro, radio, diámetro, cuerda, secante y
tangente)
Traza una circunferencia con todos los ángulos de esta.
Elabora un mapa conceptual con el tema: Líneas,
puntos y ángulos de la circunferencia.
4. Procesar
nueva
información.
Con ayuda del profesor verifique las siguientes
propiedades:
a) El ángulo central AOB se mide por su arco AB,
es decir está formado por dos radios.
a)
AOC  AB
Todo ángulo inscrito en una circunferencia es
igual a la mitad del central que comprende el
mismo arco.
Programa de Estudio de Matemáticas III
19
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Plan de Estudios 2010
ABC  12 AOC  12 AC
b) Todo ángulo semi-inscrito en una
circunferencia es igual a la mitad del ángulo
central que abarca el mismo arco.
ABC  12 BOC  12 BC
5. Aplicar,
transferir
información.
Valora cuál de las fórmulas conjeturadas es válida para
polígonos irregulares.
Resuelve problemas como los siguientes:
Encontrar el valor del ángulo externo (e) de un
pentágono regular:
Cierre
e
Exposición
individual
Proyector
Pliegos de
papel bond
F
A
C
H
Exposición
personal
Escala Lickert
Lista de cotejo
Exposición de
equipo
360 º 360 º

 72 º
n
5
Calcular el valor de los ángulos internos de un
decágono.
180 º n  2 
n
180 º 10  2 
i
10
i  144 º
i
Programa de Estudio de Matemáticas III
20
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6. Tomar
conciencia
Plan de Estudios 2010
Responde los siguientes cuestionamientos:
¿Qué complicaciones tuviste para solucionar los
problemas anteriores?
¿Qué fue lo que más se te dificultó representar?
¿Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver
el problema?
¿Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo?
Evaluación de la unidad de competencia:
Actividad:
Punto:
Instrumento:
(Desarrollar el instrumento)
Actividad:
Punto:
Instrumento:
(Desarrollar el instrumento)
(Añadir las filas necesarias para completar la evaluación de los productos de la unidad de competencia)
Registro, evaluación y seguimiento del logro de las competencias genéricas del perfil de egreso
Fecha
Actividades
Programa de Estudio de Matemáticas III
Competencias genéricas
Evidencias
Evaluación
21
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Unidad de competencia III
Propósitos
Trigonometría
Plan de Estudios 2010
Sesiones previstas
24
Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las relaciones y propiedades de las funciones trigonométricas.
COMPONENTES DE COMPETENCIA
Competencias disciplinares básicas
CONCEPTUALES (saber)
1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas
mediante la aplicación de procedimientos geométricos para la
comprensión y análisis de situaciones reales o formales.
Funciones trigonométrica de un
ángulo.
Ley de senos y cosenos
Funciones trigonométrica de un
número real.
Identidades trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de
problemas matemáticos buscando diferentes enfoques.
3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante
procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
PROCEDIMENTALES (saber
hacer)
• Aplica las reglas de las
funciones trigonométricas.
• Resuelve problemas utilizando
ley de senos y cosenos
•Representa en un diagrama a la
trigonometría.
• Resuelve problemas aplicando
las funciones trigonométricas.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con
métodos numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal y
matemático.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental
matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea.
Valora de forma crítica su desempeño
personal en la interpretación adecuada
de
problemas
matemáticos,
reconociendo sus limitaciones y
fortalezas.
Valora
la
trigonometría
como
herramienta para representar los
fenómenos de su entorno.
o
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio
de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
Evalúa las ventajas de utilizar la
trigonometría
en la solución de
problemas de su entorno inmediato.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con
símbolos matemáticos y científicos.
Situación de aprendizaje
Trabajo colaborativo.
Aprendizaje basado en
problemas
Temas transversales
Educación para el consumo
Educación para la sexualidad
Programa de Estudio de Matemáticas III
ACTITUDINALES (saber ser, saber
convivir)
Comunica y comparte de manera
solidaria y respetuosa sus ideas y
hallazgos.
Nivel de desempeño esperado
Comprensión: Identifica los detalles de la
información que son importantes. Ubica
la información en la categoría apropiada.
Análisis: Utiliza lo que han aprendido
para crear nuevos conocimientos y
aplicarlo en situaciones nuevas.
22
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
RECURSOS
DIDÁCTICOS
Cada caso es
el inicio de
una sesión.
Pintarrón
Marcadores
Cuaderno
Lápiz
Juego
geométrico
EVALUACIÓN
FUNCIÓN
APERTURA
1. Recuperar
conocimiento
previo.
2.
Problematizar
Dibuja dos rectas que se cortan perpendicularmente.
Llama a esta construcción plano cartesiano.
Observa las cuatro regiones que se forman. Las numera
con romanos en el sentido contrario a las manecillas del
reloj.
Pone nombre a las regiones anteriores.
Considera la igualdad ( x  2)( x + 2)=0 . Nota que la
igualdad solo se satisface cuando x = 2 ó x = −2.
2
Considera la igualdad (x − 2) (x + 2) ≡ x − 4 y da valores
cualesquiera a x. ¿Para qué valores de x se satisface esta
igualdad? Nota que la igualdad se cumple para cualquier
valor de x. Asigna nombre a este tipo de igualdad.
3. Adquirir y
organizar
nueva
información.
DESARROLLO
ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
Investiga la definición de función y razón.
Solución de
problemas
Programa de Estudio de Matemáticas III
A
C
H
Producción
individual
Trabajo
colaborativo
Intercambio
por la web
Trabajo
extraclase
Realiza una búsqueda de información acerca de la ley de
los senos y la ley de los cosenos.
En una figura identifica con base en la definición de
función y razón, seis nuevos tipos de funciones, llamadas
funciones trigonométricas de un ángulo y obtiene la
definición de las mismas, siendo α un ángulo que se forma
entre el radio vector r y el eje X.
Usa las definiciones de las funciones trigonométricas para
establecer el signo de cada una de ellas en función del
cuadrante en el que se encuentre α.
Observa las definiciones de las funciones anteriores por
pares, de la siguiente manera: sen(α) y csc(α) , cos(α) y
sec(α) , tan(α) y cot(α) , y llámelas funciones
D
F
PARTICIPACI
ÓN
ACTIVIDADES DEL ALUMNO
MOMENTO
FUNCIÓN
Plan de Estudios 2010
Cuaderno
Lápiz
Internet
Trabajo
individual
Juego
geométrico
Trabajo en
binas
Cuaderno
F
F
A
C
H
A
C
H
PRODUCTO
INSTRUMENTO
Plano
cartesiano
Rúbrica
Funciones
trigonométricas
Rúbrica
Ecuaciones
trigonométricas
Rúbrica
Identidades
trigonométricas
Rúbrica
Reporte
personal
Lista de cotejo
Reporte de
equipo
Producción
personal
Lista de cotejo
Producción de
equipo
Lápiz
Trabajo en
equipo
23
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
trigonométricas recíprocas.
Calcula los valores de las funciones trigonométricas para
ángulos agudos utilizando calculadora.
Grafica las funciones seno coseno y tangente.
Observa los elementos de las gráficas: periodo, amplitud,
rango, dominio.
Calcula los valores de las funciones trigonométricas para
ángulos de cualquier magnitud, utilizando calculadora.
Enuncia la ley de los senos y especifica los casos en los
que se puede utilizar para resolver triángulos
oblicuángulos.
Enuncia la ley de los cosenos y especifica los casos en los
que se puede utilizar para resolver triángulos
oblicuángulos
Analiza los casos cuando se puede resolver un triángulo
oblicuángulo.
4. Procesar
nueva
información.
Nota que la diferencia principal entre las funciones
trigonométricas de un ángulo y las funciones
trigonométricas de un número real radica en la
terminología del argumento.
Considera ahora un círculo de radio r = 1 y lo llama círculo
unitario o círculo trigonométrico.
Considera que el centro de un círculo unitario coincide
con el origen de un sistema de coordenadas
rectangulares.
Usa la fórmula para la distancia entre dos puntos, para
2
2
obtener x + y = 1.
Recuerda que la longitud de la circunferencia está dada
por C = 2πr; en consecuencia, la longitud de la
circunferencia unitaria es 2π unidades.
Observa el arco del círculo unitario que parte del punto
(1,0) y termina en el punto P o punto terminal y lo llama
arco asociado al número real que representa; usa el
símbolo u para el número real cuyo arco asociado parte
del punto (1,0).
Programa de Estudio de Matemáticas III
24
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
Llama también u para representar este arco.
Considera que para cualquier número real u, existe un par
de coordenadas, y solamente uno (x, y), para el punto
terminal del arco asociado u.
En un diagrama como el siguiente:
Considera nuevamente el círculo de radio 1, y α un ángulo
en posición normal. Traza diagramas como el siguiente:
4. Procesar
nueva
información.
Obtiene a partir de este círculo y de la definición de las
funciones seno y coseno, las siguientes relaciones:
sen ( ) 
y
y
1
cos( ) 
x
x
1
A partir de las relaciones anteriores establece las
Programa de Estudio de Matemáticas III
25
Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior
Plan de Estudios 2010
definiciones de las funciones tangente y cotangente,
como sigue:
tan( ) 
y sen ( )

x cos( )
cot( ) 
x cos( )

y sen ( )
Llama a las relaciones anteriores Identidades
trigonométricas de división o de cociente y las expresa de
la siguiente manera:
4. Procesar
nueva
información.
tan( ) 
sen ( )
cos( )
cot( ) 
cos( )
sen ( )
Utiliza la definición de funciones recíprocas para deducir
las expresiones siguientes:
sen ( )  csc( )  1
cos( )  sec( )  1
tan( )  cot( )  1
Y las llama Identidades trigonométricas de recíprocos.
Utiliza el conocimiento del Teorema de Pitágoras para
expresar a la hipotenusa en términos de los catetos,
sabiendo que y = sen(α) y x = cos(α) , para obtener:
a)
2
2
sen (α) + cos (α) ≡ 1
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Plan de Estudios 2010
Sustituye a continuación cuando sea pertinente en lugar
de sen(α) y cos(α); y y x , respectivamente para obtener:
2
2
b) 1+ tan (α) ≡ sec (α)
2
2
c) 1+ cot (α) ≡ csc (α)
Llama a a), b) y c), Identidades trigonométricas de
cuadrados o pitagóricas.
Aplica las ocho identidades trigonométricas anteriores
para resolver ejercicios como los siguientes:
Verifica las identidades siguientes:
a) csc( ) 
cot( )
cos( )
b) sen 2 ( )  1  cot2 ( )   1
Delibera la importancia que tienen las identidades
trigonométricas en las sustituciones, para simplificar
expresiones algebraicas como las anteriores.
CIERRE
5. Aplicar,
transferir
información.
Comprueba la relación que existe entre las funciones
trigonométricas de un ángulo,
Resuelve ejercicios como los siguientes:
Exposición
individual
Proyector
Pliegos de
papel bond
F
A
C
H
Exposición
personal
Escala Lickert
Lista de cotejo
Exposición de
equipo
Halle las funciones trigonométricas del ángulo que
satisface las condiciones dadas:
3
a) tan( )  ,  en el primer cuadrante
4
4
b) sen( )  ,  en el segundo cuadrante
5
Programa de Estudio de Matemáticas III
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b) sec( )  
Plan de Estudios 2010
13
,  en el tercer cuadrante
12
Utiliza la calculadora para encontrar ángulos cuyas
medidas de las funciones se conocen.
5. Aplicar,
transferir
información.
Con la ayuda del profesor resuelve problemas como los
siguientes:
a) El ángulo de elevación de la parte más alta de
una lámpara de alumbrado público es de 32º
respecto a un punto situado a 20 m de su base;
halle su altura.
Propone un diagrama para el problema anterior:
Establece una función trigonométrica que relacione la
incógnita con algún dato conocido:
Resuelve triángulos oblicuángulos que impliquen el uso de
la ley de los senos.
Aplica la ley de los senos y cosenos para resolver
problemas de la vida cotidiana como los siguientes:
Dos aviones salen de un aeropuerto al mismo tiempo,
yendo uno hacia el noreste a 400 mph y el otro
directamente hacia el oeste a 300 mph. ¿Qué tan alejados
están dos horas después de salir?
El lado mayor de un terreno triangular mide 1700 metros,
los otros dos lados forman ángulos de 56 y 71 grados,
respectivamente, con ese lado. ¿Cuál es el área del
terreno?
Diga con sus propias palabras la importancia que tienen
las leyes de los senos y cosenos y la trigonometría en
general para la vida y para su futuro profesional.
Analiza el enunciado del siguiente problema:
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Define las funciones trigonométricas del número real u.
Determina para qué ángulos están definidas estas
funciones.
Resuelve problemas con apoyo del profesor como los
siguientes:
Dada una coordenada y el cuadrante del punto terminal
del arco asociado al número real u, halle las funciones
trigonométricas de u.
5. Aplicar,
transferir
información.
Resuelve ecuaciones trigonométricas.
Verifica si todos los valores obtenidos son soluciones de la
ecuación.
Observa que no existe un método general para la
resolución de las ecuaciones trigonométricas.
CIERRE
6. Tomar
conciencia
Valora la importancia de resolver ecuaciones
trigonométricas en la solución de problemas de distinta
índole.
Responde los siguientes cuestionamientos:
¿Qué complicaciones tuviste para solucionar los
problemas anteriores?
¿Qué fue lo que más se te dificultó representar?
¿Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el
problema?
¿Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo?
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Plan de Estudios 2010
Evaluación de la unidad de competencia:
Actividad:
Punto:
Instrumento:
(Desarrollar el instrumento)
Actividad:
Punto:
Instrumento:
(Desarrollar el instrumento)
(Añadir las filas necesarias para completar la evaluación de los productos de la unidad de competencia)
Registro, evaluación y seguimiento del logro de las competencias genéricas del perfil de egreso
Fecha
Actividades
Programa de Estudio de Matemáticas III
Competencias genéricas
Evidencias
Evaluación
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Evaluación de los aprendizajes
Actividad:
Ponderación de calificaciones sugerida para los subproductos de las unidades de competencia y para la unidad de aprendizaje
Ponderación
Punto:
Subproducto
Instrumento*
parcial sugerida
Unidad de competencia I
Total para la unidad de competencia
Unidad de competencia II
100%
Total para la unidad de competencia
Unidad de competencia III
100%
Total para la unidad de competencia
Total de la unidad de aprendizaje
100%
Programa de Estudio de Matemáticas III
Ponderación
final sugerida
100%
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Plan de Estudios 2010
Referencias
Bibliografía básica para el estudiante:
Cuellar, A. (2006). Geometría y Trigonometría. Mc-Graw Hill. México
Clemens, S. R. et. al. (2001). Geometría. Con Aplicaciones y Solución de Problemas. Addison-Wesley Iberoamericana. USA.
García, J. (1995). Geometría y Experiencias, México, Alambra Mexicana.
Bibliografía complementaria para el estudiante:
Barnett, Ziegler & Byleen. (2003). Analytic Trigonomety. With Applications. Jhon Wiley & Sons, Inc. USA. Existe edición en español.
Rodríguez, M. (2005). Geometría y trigonometría de bachillerato. Editorial Publicaciones Cultural. México.
Niles, N. O. (1991). Trigonometría plana. Noriega Limusa. México.
Acevedo S. V./ Valadez S. M. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. McGraw Hill.
Baldor, J. A. (1967). Geometría plana y del espacio y trigonometría. (Primera Edición). Bilbao, España: Cultural
Centroamericana.
Clemens, S. (1998). Geometría. (Primera Edición). México D. F., México: Prentice Hall.
Clemens S. R ,/ O´Daffer P. G. (1998) Geometría, Ed. Pearson Educacion
Fuenlabrada, T. S. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. McGraw Hill.
Geltner, P../Peterson D. J. (1999) Geometría, Ed. Thomson Editores.
Guzmán H. A. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. Publicaciones Cultural
Guzmán A. (2004). Geometría y Trigonometría. (Cuarta Edición). México D. F., México: Publicaciones Cultural.
Hemmerling, E. (1988). Geometría Elemental. (Primera Edición). México D. F., México: Editorial Limusa
Ortiz F. (2005). Geometría y Trigonometría. (Segunda Edición). México D. F., México: Publicaciones Cultural.
Perelman, Ya.I. (1965) Problemas y Experimentos Recreativos, Ed.Mir, Moscú.
Perelman, Ya.I.,(1967) Geometría Recreativa, Ed.Mir, Moscú.
Swokowski E. W/ Cole, J. A. (1993) Trigonometría, Ed. Thomson.
Zubieta, F. (1989). Geometría razonada y trigonometría. (26ª Edición). México D. F., México: Editorial Porrúa.
Salazar, P. (2002). Matemáticas II. (Segunda Edición). México D. F., México: Compañía Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V.
Mesografía de consulta para el estudiante:
http://endrino.cnice.mecd.es/~hotp0055/javierzabala/geometr.htm
http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/Poligonos.htm
http://www.scribd.com/doc/81068/Ejercicios-de-geometria
http://www.escolar.com/geometr/04circycir.htm
http://www.desarrolloweb.com/articulos/1341.php
http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm
Programa de Estudio de Matemáticas III
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Elaboración del programa
Coordinación General:
Raúl Javier Carmona, Flavio Manrique Godoy, Efraín Mejía Cazapa, Edilberto Meza Fitz, Samuel Hernández Calzada, Confesor
Díaz Terrones.
Coordinación del Programa:
Elaboración:
Colaboración:
Asesoría metodológica:
Sara Griselda Sánchez Mercado
Diseño y apoyo técnico:
Hugo Enrique Mateos Serrano
Revisión de estilo y redacción:
Samuel Hernández Calzada
Jesús López Vega
Arturo Díaz Cárdenas
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