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NÚMEROS Y FORMAS
El número en la Geometría
• La Geometría usa el número para:
– Medir magnitudes geométricas (longitud, amplitud, etc..)
– Representar y situar puntos del plano (coordenadas)
– Expresar regularidades geométricas (en las teselaciones, el nº
de polígonos que concurren en un vértice; en los poliedros, nº
de lados de las caras y nº de caras en un vértice)
(8,8,4)
(3,4,4,6)
(3, 5)
(5, 3)
– Expresar relaciones o funciones (π y la longitud de la
circunferencia; relaciones entre )
Las proporciones y la forma
Proporción.- Comparación de dos razones o cocientes entre dos
cantidades
Se usa con frecuencia en relación con la armonía, el equilibrio o la belleza
Proporción discontinua,
intervienen cuatro elementos
distintos a, b, c, d, expresándose
así
a c

b d
Proporción continua,
intervienen tres elementos
distintos a, b, c, expresándose así
a b

b c
Ejemplo: 4, 6, 9
Ejemplo: 2, 5, 6, 15
2 6

5 15
4 6

6 9
Las proporciones y la forma
Si establecemos como cociente la relación entre los lados de un rectángulo,
encontraremos diferentes tipos de proporciones según la medida de sus lados,
surgiendo las siguientes:
Proporción estática, se expresa
mediante una fracción y se
produce cuando el rectángulo se
puede dividir en cuadrados que se
establecen como unidad. La
relación entre sus lados es un
número racional. También se llama
conmensurable o racional.
Proporción dinámica, no se puede
expresar mediante una fracción y se
produce cuando el rectángulo no se
puede dividir en cuadrados
conmensurables que establezcamos
como unidad. La relación entre sus lados
es un número irracional. También se
llama inconmensurable o irracional.
1
√2
1
1
√2
Las proporciones y la forma
Rectángulos dinámicos
Son rectángulos en los que uno de sus lados
mide √n
1
1
√2
√3
1
√4
1
√5
Las razones entre las medidas de sus lados
es un número irracional, menos cuando el
radicando es un cuadrado perfecto
Las proporciones y la forma
División áurea de un segmento
Dado el segmento AB, hay que elegir un
punto T entre A y B de tal forma que
exista proporción continua entre los
segmento AT, TB y AB
Número áureo
En esta proporción hacemos
A
T
a
b
B
c  a b
ab a

a
b
a
Operando tenemos dos soluciones
 a  bx
b
X 1 = Φ = 1,6180339….
sustituido en la anterior proporción nos queda
X 2= Φ´ = - 0,6180339…
ab a
bx  b
b( x  1) x  1
 
 xx

La primera de ellas es el
a
b
bx
bx
x
Número Áureo
x 1
1 5
x
 x2  x 1  0  x 
x
2
o Número de Oro
x
Las proporciones y la forma
El rectángulo de oro
Todo rectángulo que cumple que la
razón entre sus lados es el número de
oro se dice que es un rectángulo de
oro.
Para construirlo partimos de un
cuadrado, desde la mitad de uno de
sus lados trazamos un segmento
hasta uno de los vértices no
contiguos. Con centro en esa mitad
del lado y con radio igual a la longitud
del segmento anterior, trazamos un
arco de circunferencia que corte al
lado en su prolongación. Construimos
un rectángulo que tiene por lado
menor el lado del cuadrado y por lado
mayor la suma del segmento hallado y
el lado del cuadrado.
Tiene una característica muy
interesante: si recortas de él un
cuadrado de lado igual al lado menor
del anterior rectángulo, el rectángulo
que queda sigue siendo un rectángulo
de oro. Lo mismo si sigues este
proceso indefinidamente.
Las proporciones y la forma
El rectángulo áureo y el número áureo los encontramos:
En la Naturaleza
El hombre, los animales, las plantas, siguen a veces modelos
de crecimiento que se corresponden fielmente con
proporciones aureas.
Numerosas conchas de
moluscos y crustáceos se
desarrollan siguiendo este
modelo de crecimiento,
como por ejemplo el
Nautilus.
En el crecimiento de las
plantas las células crecen
empujando a las anteriores
para aprovechar al máximo la
energía solar. En ese empuje
las células giran un ángulo de
222,49 grados. Si dividimos
360 grados, que es un giro
total, entre 222,49 da 1,618; el
número de oro.
Si se divide la altura total de un
hombre entre la distancia del
ombligo a los pies o la longitud
de las falanges entre la del
dedo se obtiene el número de
oro. Las proporciones entre
distintas partes del cuerpo
humano da este número de
oro.
Las formas en la Aritmética
El número se expresa mediante una representación gráfica.
Situaciones aritméticas usan representaciones gráficas.
Ejemplos:
Representación geométricas de propiedades numéricas:
Teorema de Pitágoras
Cuadrado de una suma
a
a2
a
b
a2
a+b
b2
b
a 2 = b2 + c2
c2
axb
b2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2 (a x b)
Las formas en la Aritmética
Los números de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
F1 = F2 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2
http://video.google.com/videoplay?docid=2304754165324979306
Patrones numéricos
• La idea de patrón está ligada a la de
repetición y regularidad para generalizar
algo.
• Se forman a partir de un núcleo y se usan
criterios que rigen esa repetición y
regularidad.
• Podemos encontrar diferentes tipos de
patrones: patrones numéricos, patrones en
las formas, patrones en los movimientos,
etc..
Patrones numéricos
Configuración puntual de números
• Representación gráfica de un conjunto finito de puntos.
• Número figurado: configuración puntual que representa un
cardinal fácilmente reconocible.
• Patrón puntual: estructura de representación mediante
configuraciones puntuales.
Ejemplos de configuraciones puntales:
Configuración puntual: La disposición de la constelaciones
Número figurado: La disposición de los puntos en las fichas
del dominó
Patrón puntual: La disposición de los números poligonales
Patrones numéricos
Números poligonales o figurados
• Patrón que representa números de acuerdo con un
modelo geométrico cuya forma es un polígono y que se
genera por ampliación.
• Esto ayuda a reconocer relaciones y establecer
conexiones entre Aritmética y Geometría.
• Los números poligonales más sencillos son los
cuadrados C=r2 donde r es el número de puntos que hay
en un lado del cuadrado.
12 =1, 22 =4, 32 =9, 42 =16
Patrones numéricos
Otros números poligonales
Triangulares
Pentagonales
1, 5, 12, 22, 35, …
1, 3, 6, 10, 15, …
Hexagonales
1, 6, 15, 28, …
Generación de los números poligonales
Los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ...)
son enteros del tipo T = 1 + 2 + 3 + ... + n
Los números cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, ...)
son enteros del tipo C = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)
Los números pentagonales (1, 5, 12, 22, ...)
son enteros del tipo P = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)
Los números hexagonales (1, 6, 15, 28, ...)
son enteros del tipo H = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)
y así sucesivamente.
En general, los números poligonales son enteros del tipo
Cuando b=1 se dice que es un número triangular,
n(n  1)b
para b=2 cuadrados, para b=3 pentagonales, etc.
n
2
Siendo n es el orden de la serie del número, 2º, 3º, ….
Números poligonales
Patrones en las tablas numéricas
Patrones en la tabla de multiplicar
• Es simétrica respecto a la diagonal
principal que va del 1 al 100
• Los números poligonales se
encuentra con regularidad en esta
tabla:
– En la diagonal principal están los
números cuadrados
– Los triangulares (1,3,6,10,15,21,28,..)
se disponen de forma alterna
desde el 1 hasta el 45
– Los cinco primeros hexagonales
(1,6,15,28,45) se presentan todos
alineados a la izquierda de la
diagonal
– De los pentagonales (1, 5, 12, 22, 35,
51, 70, 92, …) solo se presentan el 1,
5, 35 y 70
Triángulo de Pascal
• Dibujamos un triángulo y en el
En la inferior colocamos un 1 a cada
vértice superior colocamos un 1.
extremo y entre ellos colocamos un
2 (1 + 1).
• Después, en la fila inferior de este
número, colocamos un 1 a la
• Debajo de esto colocamos un 1 en
derecha y un 1 a la izquierda.
cada extremo y en medio un 3
entre el 1 y el 2 (1 + 2) y otro 3
entre el 2 y el 1 (2 + 1).
• Y así sucesivamente colocamos
en los extremos un 1 a cada lado
y en las posiciones intermedias
colocamos la suma de los
números de arriba.
Queda una cosa así:
También es conocido como Triángulo
de Tartaglia. En países orientales
como China, India o Persia, este
triángulo se conocía y fue estudiado
por matemáticos como Al-Karaii, cinco
siglos antes de que Pascal expusiera
sus aplicaciones. En China es
conocido como Triángulo de Yanghui.
Patrones en el triángulo de Pascal
1
1
2
3
5
8 13
21 34
Sucesión de Fibonacci
Números triangulares