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LOS NÚMEROS METÁLICOS
MARÍA ROSA CANO SUÁREZ
La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.III a.C.), en una construcción
geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como
perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es
igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. En un segmento de longitud
unidad tenemos
De la definición
1
x
x
1 x
, de donde
x2
x 1 0 , ecuación de 2º grado de soluciones
tomando la solución positiva la razón de la proporción
1
x
x
1 x
es
1
5
2
1
5
2
,
= nº áureo.
La familia de los números metálicos es un conjunto infinito de números irracionales cuadráticos
positivos, descubierta por la matemática argentina Vera G. de Spinadel (1929 –) en 1994. Son las
soluciones positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo x
números naturales. A sus
soluciones positivas
metálicos denotados por
q
p
Fibonacci generalizadas Gn
2
Estas ecuaciones x
pGn
1
p
2
2
px q
0 , donde tanto p como q son
p 2 4q
se les conoce por los números
2
px q 0 van asociadas a las sucesiones de
qGn
Algunos de estos números metálicos tienen nombre propio y son muy conocidos. El más famoso de todos
ellos se obtiene cuando p = 1 y q = 1. En tal caso la ecuación que nos resulta es x2 − x − 1 = 0, cuya raíz
positiva es el número de oro.
En la siguiente tabla puedes ver los nombres de algunos de los números metálicos:
1
En Primer lugar: El número de oro.
Actividad 1
Completa la siguiente tabla. Para ello resuelve la ecuación x2 − p x − q = 0 para los valores de p y q que
en cada caso corresponden y, a continuación, comprueba tus resultados con la aplicación:
2
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p q Símbolo Nombre del número Valor exacto Valor aproximado
1 1 Φ
Número de oro
2 1 σ2,1
Número de plata
3 1 σ3,1
Número de bronce
1 2 σ1,2
Número de cobre
1 3 σ1,3
Número de níquel
2 2 σ2,2
Número de platino
¿Cuál es la expresión general del número metálico de orden (p, q) que representamos como σp,q?
¿Podemos expresar siempre en forma decimal el valor exacto de un número metálico?
2
Algunas características de estos números
Son todos irracionales cuadráticos: Lo que implica ser solución de una ecuación cuadrática
Son todos límites de sucesiones de Fibonacci:
Leonardo de Pisa (1170 – 1250), más conocido por Fibonacci (que significa hijo de Bonaccio), cuyas
aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, es conocido sobre todo a causa de un
matemático francés, Edouard Lucas (1842 – 1891), interesado por la teoría de números. Lucas efectuó un
profundo estudio de las llamadas sucesiones generalizadas de Fibonacci, que comienzan por dos enteros
positivos cualesquiera y a partir de ahí, cada número de la sucesión es suma de los dos precedentes.
Fn
F1
1
Fn
Fn
1,
Lucas dio el nombre de sucesión de Fibonacci a la más sencilla de estas sucesiones
F2 1 , a saber: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... (otra también sencilla F1 1; F2
Ln
es conocida por sucesión de Lucas
3 : 1, 3, 4, 7, 11, 18...,
).
La sucesión de Fibonacci se puede “visualizar” mediante una sucesión de cuadrados que crece en espiral .
El cuadrado inicial tiene de lado 1, al igual que su vecino de la izquierda. Sobre estos dos primeros
cuadrados se superpone un cuadrado de lado 2, seguido a su vez por cuadrados de lados 3, 5, 8, 13, 21, y
así sucesivamente, se van obteniendo rectángulos que se van aproximando cada vez mejor a un rectángulo
áureo. Si en el interior de cada cuadrado se traza un cuadrante de circunferencia, estos arcos quedan
conectados y forman una elegante espiral. Dicha espiral constituye una buena aproximación de la llamada
espiral logarítmica, que es frecuente encontrar en la naturaleza.
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Otra espiral asociada al número áureo es la de Durero. En la siguiente figura al rectángulo áureo ABCD
se le quita el mayor cuadrado posible ABFE el rectángulo sobrante EFCD también es áureo, repetimos la
operación y a éste rectángulo le quitamos el mayor cuadrado posible EHGD el rectángulo restante HFCG
es áureo y así sucesivamente
Uniendo vértices de los cuadrados auxiliares con arcos de circunferencia, se forma la curva llama “Espiral
de Durero”, ya que la descubrió y utilizó ese pintor italiano. Esta espiral es casi una espiral logarítmica
(ésta se construye trazando sucesivos triángulos rectángulos semejantes, de tal forma que la hipotenusa de
uno es un cateto del siguiente; y uniendo los vértices consecutivos) de salto angular 90 grados y razón
geométrica el número de oro. La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de
esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de los rectángulos.
Actividad 2
Una pareja de conejos da origen a otra pareja al cabo de un mes. Cada pareja
necesita dos meses para ser capaces de procrear. ¿Cuántos conejos tendremos
al cabo de los meses?
Inicialmente: 1 pareja El 6º mes: ……. parejas
El 1er mes: 1 pareja El 7º mes: ……. parejas
El 2º mes: 2 parejas El 8º mes: ……. parejas
El 3er mes: 3 parejas El 9º mes: ……. parejas
El 4º mes: 5 parejas El 10º mes: ……. parejas
El 5º mes: 8 parejas El 11º mes: ……. parejas
Lo interesante de este problema es que la solución es muy curiosa. Se trata de una
secuencia de números en el que cada uno, a partir del tercero, es la suma de los dos
anteriores.
Consigues una secuencia de números: sucesión de Fibonacci, efectúa las divisiones de cada término por el
anterior ,si las cuentas están bien hechas, sí, se aproximan al valor 1,6180…, al
número de oro.
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Fracciones continuas y números metálicos
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Todo número real puede expresarse como una fracción continua simple. Si el número es racional, se
expresa mediante una fracción continua simple finita; si el número es irracional, se representa mediante
una fracción continua simple infinita.
Una fracción continua es una expresión de la forma
Actividad 3
Expresemos el número 30/11 como una fracción continua simple. Será finita pues se trata de un número
racional.
Puede probarse que todo irracional cuadrático, es decir que es solución de la ecuación cuadrática
ax2 bx c 0 con a,b, c € Z, puede expresarse mediante una fracción continua periódica y que toda
fracción continua periódica representa un irracional cuadrático.
menor.
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Rectángulos de módulo los números metálicos
Actividad 3
Un rectángulo es áureo si cumple: lado mayor entre lado menor=1,6180...
Dibujamos un cuadrado de lado 5 cm. Haciendo centro con el compás en el punto medio de la base con
abertura la distancia de este punto al vértice del lado opuesto, trazamos un arco que intercepte la
prolongación de la base, tal como se muestra en la figura. Esta propiedad se usa para construir rectángulos
áureos conocido el lado menor.
Actividad 4
Para construir un rectángulo de módulo el número de plata, el procedimiento es similar.
Se dibujaría un rectángulo de lados N y 2N (es decir, el doble de largo que de ancho, como dos
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cuadrados iguales unidos). Colocando el compás en el punto medio de la base y tomando como abertura
la distancia de este punto al vértice opuesto (diagonal de cada cuadrado),trazamos un arco que intercepte
la prolongación de la base.
Evidentemente, para construir un rectángulo de módulo el número de bronce, se comenzaría
dibujando un rectángulo Nx3N (tres cuadrados iguales unidos).
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La espiral Áurea
Si se reitera el proceso comenzando por un rectángulo áureo y cortando cada vez un cuadrado, obtenemos
una serie de rectángulos áureos. A partir de esta secuencia de rectángulos se puede obtener la espiral
áurea o de Durero, que es una falsa espiral pues está formada por arcos de circunferencia.
Actividad 5
Sobre
6
el
rectángulo
aúreo
que
has
dibujado
vamos
a
construir
una
espiral
aúrea
Polígonos asociados a números metálicos
El pentagrama, estrella de cinco puntas, fue el símbolo distintivo de los pitagóricos.
En esta figura tan emblemática también está presente la razón áurea.
Si os fijáis bien, en el centro de la estrella aparece de nuevo un pentágono regular. Sobre él también
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se podría construir un pentagrama. Se podría proseguir así indefinidamente, en una técnica que se
denomina autorreproducción.
El número de plata estaría asociado al octógono, donde de nuevo se aprecia la propiedad reproductiva. Si
el lado es 1 el doble del apotema es 2,414 número de plata
El triángulo cordobés se obtiene de un octógono. Al formar triángulos isósceles con un ángulo central de
45º, se obtiene el triángulo que se conoce como cordobés, cuya razón entre el lado mas grande y el más
pequeño es 1,307, aproximadamente. Este triángulo recibe este nombre porque se encuentra mucho en la
mezquita de Córdoba.
El número de oro también viene del triángulo isósceles con un ángulo central de 36º que se obtiene a
partir de un decágono, cuya razón entre el lado más grande y el más pequeño es en este caso 1'61.... El
número de platino 1.732 quedaría vinculado al hexágono, quizá el más prolífico en la historia de la
arquitectura. El apotema es 1 y el lado 1.732
Actividad 6
Una aplicación geométrica , consiste en la manipulación
de tangramas distintos al tangram chino tradicional. Esta opción está basada en la
construcción del tangram a partir de un pentágono regular al que se le trazan dos
diagonales, un segmento de una tercera diagonal y segmentos paralelos a los lados y a
esta última diagonal. Al cortar por los segmentos trazados en el pentágono se obtienen
siete triángulos
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El problema consiste con cinco de esos triángulos formar el pentágono original con un
hueco, también de forma pentagonal, ubicado en el centro; y establecer la relación entre la
diagonal del pentágono hueco y el lado y la diagonal del pentágono original.
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Proporciones antropomórficas
- Canon griego en las esculturas humanas.
- Renacimiento: se estudiaron con profundidad las proporciones del cuerpo humano.
Leonardo da Vinci, en su Tratado de Pintura recoge: la longitud de la mano debe ser 1/3 del brazo; la
distancia entre el corte de la boca y la base de la nariz debe ser 1/7 del rostro… y así miles de medidas
diferentes para todas las partes del cuerpo, como el famoso Hombre de Vitrubio.
- A mediados del siglo XIX se comprobó estadísticamente que el ombligo divide al cuerpo humano adulto
en sección áurea.
Actividad 7
Medid vuestra altura y vuestra distancia del ombligo al suelo. ¿Qué ocurre, más o menos?
Lo mismo ocurre con la distancia del codo a los dedos y la medida del brazo desde el hombro.
8
Proporciones en el diseño y la arquitectura
Los números metálicos han sido muy utilizados para mantener unas proporciones determinadas y
transmitir la sensación de belleza o armonía, sobre todo la proporción áurea. Algunos ejemplos:
El Partenón griego es una construcción con un ejemplo más claro del saber en geometría por parte de los
matemáticos y arquitectos griegos. Es octóstilo y períptero (que tiene columnas en todo su perímetro). Las
dimensiones y proporciones utilizadas en la fachada no fueron resultado de la casualidad, sino que los
griegos pensaban que eran mucho más bellas y armoniosas si quedaban ajustadas a un número conocido
en la actualidad como razón áurea o número de oro.
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La obra de Dalí “Leda Atómica” contiene una gran tradición matemática, especialmente Pitagórica. Se
trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que es imposible verla a
simple vista. En el boceto de 1947 se puede observar el análisis geométrico realizado por Dalí basado en
el pentagrama pitagórico.
Los elementos de la fachada de la iglesia de Santa María de Novella en Florencia se relacionan unos con
otros en proporción áurea. Si dividimos, por ejemplo, el frontón superior en dos triángulos rectángulos;
cada uno de ellos es la mitad de un rectángulo de oro. Si nos fijamos ahora en el gran rectángulo que se
encuentra justo debajo del frontón; de nuevo la proporción áurea. El rectángulo áureo está íntimamente
ligado al número de oro. La composición de la fachada de Santa María Novella, no obstante, usa también
otras proporciones basadas en el cuadro y asociadas al número de oro. Pero su belleza proviene de la
proporción matemática y geométrica de sus elementos.
Mario Merz es un famoso arquitecto por sus iglúes formados con materiales diversos, que comenzó a
elaborar en 1968. y por sus trabajos en los que usa frecuentemente la sucesión de Fibonacci . Destacan la
obra situada en el Puerto de Barcelona y en el metro de Nápoles.
Actividad 8
Mide la anchura y la longitud de los siguientes rectángulos en milímetros
Haz el cociente entre la longitud y la anchura, aproximando hasta las milésimas.
longitud
anchura
cociente
Edificio
dni
Podrás observar que todos estos cocientes se aproximan al número 1,618, llamado número de oro.
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Proporciones en la música y la naturaleza
Las proporcionen también desempeñan una función importante en la música. Los antiguos encontraron la
ley de las razones sencillas operando con una cuerda vibrante cuya longitud se hacía variar con un cursor.
Tomando un sonido como base (tono) y pisando la cuerda en distintos puntos se obtenían los tres sonidos
consonantes fundamentales: la octava, la cuarta y la quinta. Los sonidos obtenidos al pisar otros puntos de
la cuerda serían discordes.
El arte de encadenar acordes sucesivos en una frase es la armonía musical. En opinión de algunos
expertos, en la 5ª Sinfonía de Beethoven podemos encontrar que el compás “la llamada del destino”
divide la obra en su sección áurea.
NATURALEZA: Veamos algunos ejemplos…
La concha del Nautilus crece en forma de espiral áurea.
Por ejemplo, si contamos el número de abejas de una colmena y lo dividimos entre el número de
zánganos, obtenemos el número de oro.
El número de oro también aparece en la distribución de las ramas, de las hojas y de las semillas. Si se
calcula qué ángulo constante deben formar entre sí las hojas o las ramas de una planta (dispuestas en
hélice ascendente sobre la rama o el tronco) para asegurar el máximo de exposición a una luz vertical, se
encuentra que es el ángulo ideal, que es el menor de los dos que resultan al dividir áureamente la
circunferencia completa. Además, si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas
consecutivas (supongamos que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número
es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas
vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el número de vueltas 'm'
que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también
un término de la sucesión.
La serie de Fibonacci se puede encontrar también en ciertas flores, que tienen un número de pétalos que
suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien
8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.
Algunas propiedades comunes de los números metálicos son fundamentales en campos actuales de la
investigación sobre la estabilidad de sistemas físicos, desde la estructura interna del ADN hasta las
galaxias astronómicas.
Actividad 9
Podemos buscar vídeos en internet que nos ilustren gráficamente sobre el número de oro o proporción
áurea, hay algunos muy entretenidos y muy apropiados.
También podemos buscar imágenes que hemos mencionado en este tema y contienen la proporción
áurea. Seguro que encontramos muchas más.
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