Download Introducción a los Números Enteros

Introducción a los
Números
Enteros
Sol Nydia Vélez
2005
Introducción
 Los números enteros surgieron de
las necesidades del hombre y sus
experiencias con el mundo físico.
 Los números naturales 1,2,3… fueron
los primeros números usados para
poder contar sus posesiones.
2
 Más tarde, cuando comenzó a
medir tuvo la necesidad de ampliar
el conjunto de los naturales para
expresar medidas más precisas y
poder representar situaciones a la
vida diaria.
3
Al principio, cuando los griegos
ejercían gran influencia sobre la
humanidad desconocían el cero y los
números negativos porque su interés
principal era la Geometría.
4
 Para esa época, las
medidas negativas no
tenían significado y, por
lo tanto el hombre sólo
tenía la necesidad de
números positivos
5
` Antes del Renacimiento,
cuando Europa se encontraba
algo estancado en
lo intelectual, surgió
un invento en la India
que tuvo repercusiones
en el mundo Occidental.
6
Para esa época, un
grupo de eruditos
hindúes crearon las
matemáticas del
álgebra y ampliaron el
sistema de números
para incluir negativos
7
Por primera vez en la historia, se
aceptaron soluciones negativas de los
ejercicios matemáticos
Este módulo preparado
para estudiantes de
escuela intermedia, te
presentará por vez
primera el conjunto de
los números enteros,
aún no conocidos por tí.
8
Justificación
 Basado en las Pruebas Puertorriqueñas
administradas anualmente a la Esc. S.U.
Federico Degetau se encontró deficiencias
en el nivel intermedio sobre el dominio de
los Números Enteros
El 100% de los estudiantes se inicia en los
Números Enteros en la escuela intermedia
9
 Los estudiantes de escuela intermedia
necesitan estar preparados para los retos
matemáticos que encontrarán en el nivel
secundario
 El dominio de los números enteros es parte
de esa preparación para álgebra y geometría.
10
Propósito
Al examinar el conjunto de los Números
Enteros,
aprenderás
a
leerlos,
escribirlos, localizarlos, hallar el valor
absoluto y comparar los elementos del
mismo.
Al finalizar el módulo, todo lo antes
mencionado tendrá significado al
relacionar esas ideas con el diario vivir.
11
Objetivo General
Al finalizar el Módulo estarás
capacitado para trabajar
con
Los Números Enteros
12
Objetivos Específicos
Al finalizar el Módulo estarás capacitado
para:
 Hablar de los números enteros
 Identificar los números enteros
 Leer y escribir números enteros
 Localizar los números enteros
 Hallar el valor absoluto
 Comparar los números enteros
13
Estimado estudiante:
Existen muchas situaciones de la vida diaria que
no pueden reprentarse matemáticamente sólo con
números positivos, teniedo que utilizar los números
Negativos.En este módulo tendrás la oportunidad de
trabajar con ellos y aplicarlos a la vida diaria. Te
invito a que exploremos juntos el maravilloso mundo
de los Números Enteros.
Ahora pasarás a contestar la Pre-Prueba
14
¿QUÉ VAMOS A ESTUDIAR EN
EL TEMA?
• Los números negativos
• Los números enteros
• Aplicaciones de los números enteros a la
vida diaria
• Representación de enteros en la recta
numérica
• Valor absoluto de un número entero
• Comparación de números enteros
15
¡Observa !:
Susana y Mario han hecho un
trabajo en el que estudian
dos tipos de animales: el yak
y el tiburón.
Uno de los datos que
aparecen en dicho trabajo es
que el yak es un animal que
habita en las montañas del
Tibet a unos 5.000 metros de
altura; y el cachalote vive
bajo el agua a unos 900
metros de profundidad.
16
Para reflejar este hecho en su trabajo
han realizado el siguiente
+ 5.000 m
+ 4.000 m
esquema:
+ 3.000m
+ 2.000 m
+ 1.000 m
Los números – 100, -200, -300 y
–400 son números negativos.
Nivel
del mar
- 100 m
- 200 m
- 300 m
- 400 m
- 500 m
- 600 m
- 700 m
- 800 m
- 900 m
Para explicar la situación del yak
y el tiburón con relación al nivel del
mar se han usado los números
+5.000 y –900. Estos números se llaman números enteros. Los
números enteros pueden ser positivos y negativos .
17
Repasa lo aprendido
• Los enteros positivos se obtienen
colocando el signo + (positivo) delante de
los números naturales
• Los enteros negativos se obtienen
colocando el signo – (negativo) delante de
los números naturales.
• Los números enteros se obtienen
colocando el signo + ó – delante de los
números naturales
18
Aplicaciones de los números
enteros a la vida diaria
• Los números negativos aparecen en muchas
situaciones de la vida diaria
• Observa que los números enteros negativos
no son naturales (no existen –2 peras).
• Son números creados para referirse a
situaciones en las que se marca un origen ( 0)
que provoca un antes y un después, un
delante y un detrás, un arriba y abajo
19
• Para señalar el número de pisos de un
edificio, podemos utilizar en el ascensor
los números negativos para los pisos
que están por debajo de cero, es decir,
para los sótanos o pisos subterráneos
4
5
sótano
2
1
0
1
2
20
• Para medir altitudes.
Se considera 0 el
nivel del mar
• Los niveles por
encima del mar se
pueden expresar por
números enteros
positivos
• Los niveles por debajo
del nivel del mar se
pueden expresar por
números enteros
negativos
p
o
s
i
t
i
v
o
s
Nivel del mar
n
e
g
a
t
i
v
o
s
21
Temperaturas
• Para medir temperaturas. Fíjate en el
termómetro. El termómetro mide la
temperatura en grados. Cuando el
termómetro marca 0 grados el agua se
congela
• Las temperaturas por encima de 0 grados
se indican con números enteros positivos.
• Las temperaturas por debajo de 0 grados
se indican con números enteros negativos.
22
Comprueba si lo haz aprendido
Conteste en la Hoja de Trabajo-Actividad #1 y
muestre al maestro antes de continuar
Piso
4
Piso
3
Piso
2
Piso
1
Lobby 0
Piso
-1
Piso
-2
Piso
-3
Piso
-4
1. Del Piso -1 al Piso -4 el ascensor
signo
¿sube o baja?
2. Del Piso 3 al Piso 1 el ascensor
signo
3. Del Piso -3 al Piso -1 el ascensor
signo
4. Del Piso -2 al Piso 3 el ascensor
signo
23
Parea cada termómetro con la temperatura
que le corresponde
80
A
80
B
C
80
70
70
70
60
60
60
50
50
50
40
40
40
30
30
30
10
10
10
0
0
0
-10
-10
-10
-20
-20
-20
Coloca el cursor sobre
la contestación
El termómetro A parea con
10ºF
-10ºF
0ºF
El termómetro B parea con
10ºF
-10ºF
0ºF
El termómetro C parea con
10ºF
-10ºF
0ºF
24
Representación de los números
enteros en la recta numérica
la temperatura que el
termómetro ha registrado
durante el experimento
han sido:
lunes
martes
-2ºF
0ºF
miércoles
- 5ºF
jueves
+ 2ºF
viernes
+ 6ºF
¿Cómo lo representarías tú en una recta numérica?
25
Fíjate cómo representamos los números
enteros en la recta numérica:
1. Trazamos una línea recta y situamos en ella
el 0.
0
2. El 0 divide a la recta en dos semirrectas
3. Dividimos cada una de las semirrectas en
segmentos iguales
0
4. Situamos los números enteros: los enteros
positivos a la derecha del cero y los enteros
negativos a la izquierda del cero
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
26
Ahora te toca a tí
• Representa en una
recta numérica las
temperaturas del
ejercicio anterior
D
B
• ¿Cúal número
colocarías en la letra:
lunes
martes
-2ºF
0ºF
E
miércoles
jueves
- 5ºF
A
+ 2ºF
viernes
+ 6ºF
C
A
D
B
E
C
27
Valor Absoluto de un número entero
Observa la recta numérica:
-3
O
3
• Los números +3 y –3 se encuentran a la
misma distancia del cero
• Ocurre así porque los dos números están
formados por el mismo número natural, el
3 , aunque con distinto signo
• Al número 3 se le llama valor absoluto
de +3 y –3, y se indica así:
|3| = 3
|+3| = 3
| -3 | = 3
28
Cosas para recordar
• Valor absoluto de un número entero es el
la distancia desde el número entero hasta
el cero.
• Se indica colocando el número entero
entre barras x
• El valor absoluto de un número es
siempre positivo, ya que representa
distancia y la distancia siempre es positiva
29
Comprueba lo aprendido
• Escribe el valor
absoluto de:
8 =
8
-7 =
7
5 =
5
0 =
0
• ¿Será cierto o falso?
Coloca el cursor sobre tu constestación
El valor absoluto de
cualquier número
negativo es negativo
C
F
El valor absoluto de un
número depende del
signo de éste
C
F
30
Comparación y ordenación de
números enteros
• En un día de invierno, Ismael
ha medido la temperatura de la
calle, la del salón donde tiene
aire acondicionado,de su casa,
y la del congelador de su
nevera.
El resultado ha sido el siguiente:
calle
82ºF
salón
71ºF
congelador
-10ºF
casa
87ºF
¿Dónde hace más calor, dentro o
fuera de la casa?
¿Dónde hace más frío, en la calle o
en el congelador?
31
• Las temperaturas están expresadas con
números enteros. Para comparar números
enteros puede ser de gran ayuda situarlos
en la recta numérica
-10
71 87
0
82
32
• Todo entero positivo es siempre
mayor que cualquier entero negativo.
• El 0 es el menor de los positivos
• El 0 es mayor que cualquier negativo
• Por tanto, +87 es mayor que –10,
hace más calor dentro de la casa.
33
Comparación de números
enteros positivos:
• Sigue obsevando la recta vemos que +87 (= 87)
está a la derecha de +71 (= 71). Además, se
cumple que el valor absoluto de +87 es mayor
que el valor absoluto de +71
0
|+87 | = 87
|+71 | = 71
71
87
87 >71
Dados dos números enteros positivos, es
mayor el que tiene el valor absoluto mayor
34
Comparación de números
negativos
• En la recta vemos que –2 está a la
derecha de –18.En los números negativos
ocurre al revés que en los positivos
• Para comprenderlo, piensa ¿Cuál es el
valor absoluto de -2 (=2) y de -18 (=18)?
• - 2 es mayor que – 18, aunque no lo sean
sus valores absolutos
35
Para recordar:
• Dados dos números enteros negativos, el
mayor es el que tiene el valor absoluto
más pequeño.
no olvides esta regla que es aún más fácil
Para comparar dos números enteros los situamos
en la recta numérica: siempre el número que
este a la derecha es el número mayor
-1
0
mayor
1
36
COMPRUEBA SI LO HAS COMPRENDIDO
Conteste en la Hoja de Trabajo –
Actividad #2 y muestre al maestro
antes de continuar
Ordena los siguientes números enteros
de menor a mayor:
-10 , -2 , +9 , 0 , +5 , -5 , +3 , -3 , +2 , -4
37
Escribe en cada caso el signo que
corresponda (> ó <)
Conteste en la Hoja de Trabajo –
Actividad #3 y muestre al maestro
antes de continuar
+5
+15
-3
-11
+50
+12
-3
+3
-2
-4
-1
+1
+40
-50
38
Estimado Estudiante:
Haz completado los temas contenidos en
el Módulo de Introducción a los Números
Enteros. Próximamente en el siguiente módulo,
aprenderás las operaciones básicas con los
Números Enteros. Espero hayas disfrutado de
los temas y actividades del módulo que acabas
de estudiar. Recuerda que para concluir debes
de realizar la Post-Prueba y esperar la
calificación de la misma.
Ahora pasarás a contestar la Post-Prueba
39
Definición de términos
• Números Naturales = los números
que usamos para contar: 1,2,3,4,5 ……
40
Definición de términos
• Números Enteros = El conjunto formado por los
números positivos, los números negativos y el
cero
positivos
1,2,3..
-1,-2..
negativos
0
cero
41
Definición de términos
• Números positivos = podemos indicarlos
con un signo + y se encuentran hacia la
derecha del cero en la recta numérica
4
5
42
Definición de términos
• Números negativos = podemos indicarlos
con un signo - y se encuentran hacia la
izquierda del cero en la recta numérica
-5
-9
43
Definición de términos
• Valor Absoluto = la distancia desde el
cero hasta el número entero, es siempre
positivo, es el mismo número entero pero
sin signo
44
Definición de términos
• Recta numérica = línea que gráficamente
expresa los números como puntos,
partiendo desde un punto neutral llamado
cero
-1
negativos
0
1
positivos
45
¡Muy bien, te felicito!
46
¡Trata otra vez!
Vamos a repasar nuevamente esta parte
47
¡Trata otra vez!
Vamos a repasar nuevamente esta parte
48
¡Trata otra vez!
Vamos a repasar nuevamente esta parte
49
¡Trata otra vez!
Vamos a repasar nuevamente esta parte
50
Coteja tus contestaciones
8
7
5
0
=8
=7
=5
=0
Pulsa sobre la cantidad de ejercicios
correctos que realizastes
0
1
2
3
4
5
51
Coteja tus contestaciones
A
B
C
D
E
=2
=7
=5
= -5
= 0
Pulsa sobre la cantidad de ejercicios
correctos que realizastes
0
1
2
3
4
5
52
Pre-Prueba
Nombre
Fecha
Prof.Sra. Sol N. Vélez Rivera
Módulo I Introd Num. Enteros
Realizar esta Pre- Prueba. Contestar en la hoja de contestaciones provista
por el maestro. Al finalizar entregar al maestro antes de comenzar a
trabajar con el Módulo I
1.
¿Cúal es la coordenada del punto C ? -4
2.
¿Cúal es es mayor -4 o 1 ?
3.
¿Cúal número tiene el valor absoluto mayor -4 o 1 ?
4.
El valor absoluto de un número es la distancia desde
a. el número hasta el cero
b. el número hasta su opuesto
c. el número hasta su recíproco
R C -1
0
1 M 3
53
5.
El símbolo para valor absoluto es
a. ‹ ›
b.
c. √
d. [ ]
6. Escribe en palabras los siguientes numerales
7
-8
+3
7. Dado el conjunto de números (-20, 100, 0, -5, -74, 36, +50) ¿Cuáles
elementos son:
a. enteros positivos
B. enteros negativos
c. enteros no negativos ni positivos
54
8.
¿ Cúal es el opuesto de -5?
9.
¿ Cúal es el opuesto de +6?
10. ¿Cómo se lee cada una de las siguientes expresiones?
a. - 2
b. -9
11. Compara los números enteros < = >
a.. 4
3
b. -6
2
c. 0
-10
d. -19
-5
12. Escribe una situación en la que se aplique:
los números enteros negativos
los números enteros positivos
55
Post-Prueba
Prof.Sra. Sol N. Vélez Rivera
Módulo I Introd Núm. Enteros
Nombre
Fecha
Realizar esta Pre- Prueba. Contestar en la hoja de contestaciones
provista por el maestro. Al finalizar entregar al maestro antes de
comenzar a trabajar con el Módulo I
1. ___ ¿Cual es la coordenada del punto C ?
-4
R C -1
0
1 M 3
2, ____ ¿Cual es es mayor -4 o 1 ?
3. ____ ¿Cuál número tiene el valor absoluto mayor -4 o 1 ?
4. ____ El valor absoluto de un número es la distancia desde
a. el número hasta el cero
b. el número hasta su opuesto
c. el número hasta su recíproco
56
5. _____ El símbolo para valor absoluto es
a. ‹ ›
b.
c. √
d. [ ]
6.Escribe en palabras los siguientes numerales
7 ________________
- 8 ________________
+ 3 _______________
7. Dado el conjunto de números (-20, 100, 0, -5, -74, 36, +50) ¿Cuáles
elementos son:
a. enteros positivos ___________________
B. enteros negativos __________________
c. enteros no negativos ni positivos __________
57
8. _______ ¿ Cúal es el opuesto de -5?
9. _______ ¿ Cúal es el opuesto de +6?
10. ¿Cómo se lee cada una de las siguientes expresiones?
a. - 2
b. -9
_____________________
______________________
11. Compara los números enteros < = >
a.. 4 ____3
b. -6 ___ 2
c. 0 __ -10
d. -19 ___-5
12. Escribe una situación en la que se aplique:
los números enteros negativos _______________________________
los números enteros positivos ________________________________
58
Hoja de Evaluación
¿Qué parte del módulo se te hizo difícil?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
¿Por qué?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________
¿Cúal de las instrucciones no están claras? Especifica
_________________________________________________________
_________________________________________________________
__________________
59
¿Cúal parte de este módulo consideras la más fácil?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_____________
¿Qué beneficios le encuentras al uso de este módulo en la clase de
matemáticas? ¿Te ayudó en la clase?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________
Comentarios Adicionales
_________________________________________________________
___________________________________________________
60
61