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MATEMÁTICA
Guía teórico-Práctica
Unidad 25
LOS NÚMEROS ENTEROS
LOS NÚMEROS NATURALES
Hace muchísimo tiempo, el hombre solo conocía los números naturales que son aquellos
números exactos, o sea aquellos que no poseen partes decimal ni fraccionaria, y además son
solo los positivos. O sea que los números naturales son el 1, 2, 3, 4, 5, 6….y así
sucesivamente….
A través de estos números podía conversar de, por ejemplo:
 “Hoy vi 2 leones.”
 “Con esos 13 caracoles hice 1 collar.”
 “Hoy pinte 4 dibujos nuevos en la caverna.”
Por ese entonces, con estos números era suficiente para desenvolverse bien.
Esta era entonces la recta numérica:
Escribimos “N” simbolizando a los números naturales. Estos números siguen hasta el infinito.
EL NÚMERO CERO
Con el tiempo surgió la necesidad de utilizar también el cero, ya que se dieron cuenta que
necesitaban expresar la ausencia de unidades.
LOS NÚMEROS NEGATIVOS
Un problema cotidiano en el que resulta útil emplear números negativos, es cuando por
ejemplo, se prestan cosas entre personas y alguna termina “debiendo” que seria como terminar
con un saldo negativo.
Veamos un ejemplo: le preste $15 a un amigo y me devolvió $12. Aun me debe $3 (-3)
Los números negativos no forman parte de los números naturales. Para poderlos incluir,
tendremos que ampliar el conjunto N y definir un nuevo conjunto, que es el conjunto de los
números enteros.
EJERCITACIÓN
1) Ordenar de menor a mayor los siguientes números enteros
-3; 2; -1; -5; 0; 3; 6; -9; 11
2) Ubicar en la recta numérica los números anteriores
3) Escribir como números positivos o negativos las fechas correspondientes al nacimiento
de los siguientes sabios y pensadores, y ordenarlos de menor a mayor.
a) Hiparco (161 a. C.)
b) Sófocles (496 a. C.)
c) Sócrates (470 a. C.)
d) Eratóstenes (276 a. C.)
e) Maimónides (1135 d. C.)
f) Plinio el Viejo (23 d. C.)
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Si juntamos los números naturales, los números negativos y el numero cero, tenemos los
números enteros.
Entonces, los números enteros son:



Los enteros positivos (o números naturales): +1, +2, +3, +4, +5...
El 0, que no es ni positivo ni negativo.
Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...
Se representan sobre una recta, llamada recta numérica, así:
El cero en mitad de la recta, los enteros negativos a la izquierda del cero y los enteros positivos
a su derecha. Normalmente no escribimos el signo + que precede a los enteros positivos.
ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Un número entero es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está situado más a
la derecha sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 5 > 3; 5 > -1; -1 > -3:
De la misma forma, un número entero es menor que otro (símbolo <) si está situado a la
izquierda sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 2 < 4; -7 < -1; -3 < 0:
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
Observa la recta numérica:
Los números enteros +3 y -3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque
los dos números están formados por el mismo numero natural, el 3, aunque con distinto signo.
Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y -3, y se indica así:
|+3|= |-3|= 3
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica
poniendo el número entero entre barras.
Valor absoluto: es el módulo del
número, es decir la distancia hasta el
cero, y siempre es positivo.
NÚMEROS OPUESTOS
Siéntate cómodo y fíjate en la posición que ocupa el +3 y el -3 en la recta
Observa que +3 y -3 se encuentran a la misma distancia de 0.Son simétricos respecto al 0.
Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.
Se llaman opuestos, por tanto:
El opuesto de un número entero es aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto
signo.
EJERCITACIÓN
1) Responder en la carpeta verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Justificar las
respuestas falsas.
a)
b)
c)
d)
e)
El numero cero es un número entero.
Los números naturales pueden tener como máximo 20 cifras.
Los números enteros (Z) pueden ser positivos, negativos y cero.
El número cero es un número natural.
Los números enteros pueden contener un máximo de 100 números.
f) El valor absoluto de un número puede ser menor que cero.
g) Los números opuestos están a igual distancia del cero.
2) Completar con los signos >, < o =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
-7
9
12
-5
4
0
-5
...... –9
...... 8
...... 16
...... –9
.......–4
...... 6
....... 0
3) Responder justificando la respuesta.
a) ¿Nos alcanza el conjunto de números naturales para medir las temperaturas?
b) Si tenemos los siguientes números: 11, -1, 2, 50, -23, 9, 0, -3 y queremos definir un
conjunto numérico que los contenga a todos……. ¿cual elegirías?
4) Colocar el valor absoluto correspondiente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
/ -5/ =
/8/=
/-7 / =
/ 4/ =
/5/ =
/-45/ =
/-5/ =
5) Escribir el opuesto de cada número.
a)
b)
c)
d)
e)
-2
4
5
-1
-7
6) Marcar en la recta numérica todos los números que cumplen las siguientes
condiciones:
a) Su módulo es cinco.
b) Su distancia al cero es dos.
c) Su valor absoluto es mayor que dos y menor que seis.
SUMA DE UN ENTERO POSITIVO SOBRE LA RECTA NUMÉRICA
Para sumarle a cualquier número entero otro entero positivo, nos situamos sobre el punto que
representa el primer sumando y avanzamos hacia la derecha tantas unidades como nos
indique el segundo sumando.
Por ejemplo, para efectuar la suma -5 + 3:
1. Nos situamos en el punto de la recta que representa – 5:
2. Avanzamos desde ese punto tres unidades hacia la derecha:
3. Hemos alcanzado el punto –2. Así pues: -5 + 3 = -2.
Si, por ejemplo, hemos aparcado el coche en la planta –2 de unos grandes almacenes y
subimos 6 plantas:
–2 + 6 = 4llegaremos a la 4ª planta.
SUMA DE UN ENTERO NEGATIVO SOBRE LA RECTA NUMÉRICA
Para sumarle a cualquier número entero otro entero negativo, nos situamos sobre el punto que
representa el primer sumando y avanzamos hacia la izquierda tantas unidades como nos
indique el segundo sumando.
Por ejemplo, para efectuar la suma 5 – 6:
1. Nos situamos en el punto de la recta que representa 5:
2. Avanzamos desde ese punto seis unidades hacia la izquierda:
3. Hemos alcanzado el punto –1. Así pues: 5 - 6 = -1.
Si, por ejemplo, estamos en la planta 6ª del edificio y descendemos 8 plantas,
6 - 8 = -2 bajaremos a la planta - 2.
SUMA ALGEBRAICA
1) Cuando los dos números tienen el mismo signo
Reglas de cálculo:




sumamos sus valores absolutos;
al resultado le ponemos el signo de los números.
Si los dos son positivos, el resultado será positivo.
Si los dos sumandos son negativos, el resultado llevará signo negativo.
Ejemplo 1.1:
(+7)+(+2) =+9, porque
y como ambos son positivos, el resultado es +9.
Ejemplo 1.2:
(-4)+(- 6) =-10, porque
y como ambos son negativos, el resultado es -10.
2) Cuando los dos números tienen distinto signo
Reglas de cálculo:
 restamos sus valores absolutos (al de mayor valor absoluto le restamos el de menor
valor absoluto.
 El signo del resultado será el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo 2.1:
5 + (-7) →
. En este caso, el signo del número de mayor valor absoluto (-7) es
negativo. Por lo tanto, 5 + (-7) = -2.
Caso particular:

la suma de un número con su opuesto es igual a 0.
Ejemplo 2.2:
(-7) + (+7) = 0.
Recuerda que el opuesto de un número es el mismo número en valor absoluto pero cambiado
de signo. Por ejemplo: el opuesto de 3 es -3 y el opuesto de -5 es +5.
Ejemplo 2.3:
(+9) + (-4) = +5
De los números +9 y -4, el +9 es el que tiene mayor valor absoluto y por ello es el que aportará
el signo “+” al resultado final.
Si ahora hacemos la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor) tenemos:
. Por lo tanto, el resultado es +5.
Ejemplo 2.4:
(+2) + (-8) = -6
En este ejemplo es el -8 el número que tiene mayor valor absoluto, por lo que aportará su signo
“–” al resultado.
Si ahora hacemos la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor) tenemos:
. Por lo tanto, el resultado es -6.
PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:




Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa: a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a+0=a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
RECUERDA!!!
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Regla de cálculo:
 Restar un número de otro es lo mismo que sumarle su opuesto.
 Recuerda que el opuesto de un número es el mismo número en valor absoluto pero
cambiado de signo.
Ejemplos:
Para restar +5, lo que hacemos es sumar -5.
De este modo:
(- 4) - (+5) = (- 4) + (- 5); entonces calculamos el resultado de acuerdo con las reglas que ya
hemos visto; por lo tanto: (- 4) - (+5) = (- 4) + (- 5) = - 9.
Para restar - 3, lo que hacemos es sumar +3, ya que el opuesto de -3 es +3.
De modo que: (- 8) - (- 3) = (-8) + (+3) = - 5.
EJERCITACIÓN
1) Expresar cada situación como suma, resolverla y escribir una pregunta que se pueda
responder con el resultado obtenido.
a) Le debía $5 a mi hermano y mi abuela me regalo $10.
b) Estaba en el tercer piso y bajé cuatro pisos.
c) La temperatura era de dos grados bajo cero y bajó 3 grados más.
d) El mes pasado encontré $4, pero ayer perdí $2.
2) Resolver los siguientes cálculos:
a) -12 + 8 =
b) 8 + (-7) + (-15) =
c) -6 + (-3) =
d) 9 + (-17) =
e) -3 + (-5) + 7 + (-4) =
f)
6 + 4 + (-3) + (-5) =
3) Marcar en una línea de tiempo los siguientes acontecimientos e indicar cuantos años
pasaron entre ellos.
a) Nacimiento de Octavio (63 a. C.) y su nombramiento como emperador (27 a. C.).
b) Nacimiento de Arquímides (287 a. C.) y nacimiento de Eratóstenes (276 a. C.).
c) Nacimiento de Aristóteles (384 a. C.) y muerte de Platón (347 a. C.).
4) Completar la tabla con la amplitud térmica en Mendoza para cada día de la semana
pasada.
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
MÍNIMA
- 2 °C
-4 °C
-6 °C
-3 °C
-5 °C
MÁXIMA
5 °C
1 °C
-1°C
2°C
5°C
AMPLITUD
TÉRMICA
LOS NÚMEROS ENTEROS
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Un regalo matemático ¡tres problemas resueltos!......................................
1) Marcos ahorra cada día $20. ¿Cuánto ahorra a lo largo de 7 días?
-
Cada día ahorra $20----------------- (+20)
A lo largo de 7 días------------------ (+20) x (+7) = (+140)
-
Ahorra $140 en 7 días.
2) María José gasta en golosinas $2,50 cada día. ¿Cuánto gasta en 5 días?
-
Cada día gasta $2,50----------------- (- 2,50)
A lo largo de 5 días------------------ (- 2,50) x (+5) = (-12,50)
-
Gasta $12,50 en 5 días.
3) Manuel se gasta $15 cada domingo en la entrada de futbol. Deja de ir 4 domingos.
¿Cuánto ahorra en total?
-
Gasta $15 cada domingo----------------- (- 15)
Deja de ir 4 domingos---------------------- (- 15) x (-4) = (+60)
-
Ahorra $60 en 4 domingos.
SINTESIS


Para multiplicar dos números enteros del mismo signo, se multiplican sus
valores absolutos y al producto se le pone el signo +
Para multiplicar dos números enteros de distinto signo, se multiplican sus
valores absolutos y al producto se le pone el signo -
Regla de los signos del producto
+ por + = +
- por - = +
+ por - = - por + = -
EJERCITACIÓN
1) Ana María trabaja 5 horas por día. Si trabaja 4 días por semana, ¿Cuántas horas
trabaja semanalmente?
2) Diego gasta $3 diarios en el kiosco de la escuela.
a) ¿Cuánto dinero gasta en una semana?
b) Cuanto dinero gasta en 4 semanas?
3) ¿Cuál es el resultado?
a)
b)
c)
d)
e)
(+5) · (+3) =
(+7) · (-6) =
(-8) · (-7) =
(+5) · (-10) =
(-13) · (+2) =
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a·b=b·a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a·1=a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Con esa cara seguro que aciertas los tres problemas siguientes:
Problema 1.
¿Cuál es el número que multiplicado por 7 da 21?
¿ . 7 = 21
? = 21 : 7 = 3
(+21) : (+7) = (+3)
El cociente es 3 porque 3 . 7 = 21
Problema 2.¿Cuál es el número que multiplicado por -4 da 32?
? . (-4) = 32
? = 32 : (-4)
(+32) : (-4) = (-8)
El cociente es –8 porque (-8) . (-4 ) = (+32)
Problema 3.¿Cuál es el número que multiplicado por –6 da -42?
? . (-6) = -42
? = -42 : (-6)
El cociente es +7 porque
(-42) : (-6) = (+7)
(+7) . (-6) = (-42)
Para calcular el cociente de dos números enteros:
1.- Se halla el cociente de sus valores absolutos.
2.- Al resultado obtenido se añade el signo más (+), si ambos tienen el mismo signo, y el
signo menos (-), si tienen distinto signo.
COMPRUEBA SI LO HAS APRENDIDO………
1) Resolver las siguientes divisiones.
a)
b)
c)
d)
e)
(+12) : (-3) =
(+10) : (-2) =
(-123) : (-3) =
(-48) : (+4) =
(+564) : (-4) =
2) Razona y resuelve.
a) La mama de Diego le da $20 para gastar semanalmente en el kiosco.
-
¿Cuánto dinero deberá gastar por día para repartir el dinero en cantidades iguales?
b) María tiene 6 nietos y decide repartir entre ellos, en cantidades iguales 78
caramelos.
-
¿Cuántos caramelos les corresponde a cada uno de los nietos?
Si guardara 12 caramelos, cuantos le corresponderían?
EJERCITACION INTEGRADORA
1) Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, justificando las respuestas falsas.
a) Los números enteros (Z) son positivos.
b) 4 es opuesto de -4.
c) Cualquier número entero positivo (Z+) es mayor que cualquier número
entero negativo (Z-).
d) El número cero es menor que cualquier número entero negativo (Z-) y
mayor que cualquier número entero positivo (Z+).
e) El valor absoluto de los números enteros negativos (Z-) son los números
enteros positivos (Z+).
2) Representar en la recta numérica los siguientes sucesos:
a) Oscar y Manuel han anotado la temperatura que el termómetro del patio
ha registrado durante la primera semana de febrero:
LUNES
MARTES
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
SABADO
DOMINGO
-2ºC
0ºC
-5ºC
2ºC
6ºC
-3ºC
4ºC
b) Susana y Mario han hecho un trabajo en el que estudian dos tipos de
animales: el búfalo y el delfín. Uno de los datos que aparecen en dicho
trabajo es que el búfalo es un animal que habita en las montañas del Tíbet
a unos 5000 metros de altura; y el delfín vive bajo el agua a unos 900
metros de profundidad.
c) Sucesos:
-
Siglo VI (seis) después de Cristo: Pitágoras y sus discípulos fundan una
escuela dedicada
a la investigación de problemas matemáticos y filosóficos.
- Siglo V (cinco) antes de Cristo: Filolao, un famoso pensador de la escuela de
Pitágoras, opina: “Puede verse el poder del numero no solo al manifestarse en
asuntos de dioses y demonios, sino en todos los actos y los pensamientos de
los hombres, en sus artesanías y en su música”.
- Siglo V (cinco) después de Cristo: muerte de Hipatia, la más celebre
matemática de la escuela de Alejandría.
- Siglo IV (seis) antes de Cristo: Euclides produce su obra “Elementos” que
ordena, sistematiza y completa los conocimientos de Geometría de su época.
3) Oscar y Manuel han ido de compras al shopping. ¿A que planta han ido cada uno
después de estacionar el auto?
a)
b)
c)
d)
e)
4)
5)
6)
7)
Oscar estaciono el auto en el sótano 2 y ha subido 5 plantas.
Manuel ha estacionado el auto en el sótano 4 y ha subido 3
plantas.
Oscar se encuentra ahora en el tercer piso y decide ir a
comprar una campera a un local que se encuentra 4 pisos
mas arriba.
Manuel se encuentra en planta baja y decide ir hasta su auto a
guardar los objetos que compro.
Finalmente, Manuel cansado de esperar a Oscar, decide ir a
buscarlo al local de camperas.
Ordenar de menor a mayor los siguientes números enteros: -4, 8, -2, 9, 0, 1, -1, -6, 7
Ordenar de mayor a menor los siguientes números enteros: -5, 3, -12, 4, 0, 1, -2, -6, 5
Ordenar crecientemente las temperaturas: 16ºC, -12ºC, 17ºC, -18ºC, 0ºC, 13ºC, -3ºC
Ordenar decrecientemente las temperaturas: 16ºC, -12ºC, 17ºC, -18ºC, 0ºC, 13ºC, -3ºC
8) Completar con el signo “<” o “>” según corresponda
-4
-6
-6
-5
15
11
-13
3
15
8
0
5
-3
11
-1
0
5
-9
-13
17
4
-2
0
-10
9) Dada la temperatura inicial, calcular la temperatura final, luego de producirse los
enfriamientos y calentamientos de los siguientes cuadros:
Temperatura
inicial
15ºC
Enfriamiento
de 15ºC
Calentamiento
de 16ºC
Enfriamiento
de 12ºC
Calentamiento
de 9ºC
-18ºC
-2ºC
55ºC
-13ºC
Temperatura
inicial
17ºC
-1ºC
0ºC
28ºC
-12ºC
10) Resolver los siguientes ejercicios combinados
a)
b)
c)
d)
-17+20-3 +47+54-101=
20 – 3 - 48=
17+20-23-14+5-8+2=
-9 + 35 – 5 + 6 + 23 - 4=
11) Resolver los problemas siguientes:
a) Supongamos que hacemos un experimento en el que logramos congelar una
sustancia que inicialmente estaba a 129ºC y la llevamos a 52ºC bajo cero.
¿Cuántos grados centígrados tuvimos que enfriar a la sustancia?
b) José le debía al almacenero $3, le pago $5 y dejo lo que quedaba a cuenta a su
favor. Días después llevo una latita de gaseosa que vale $1 y un paquete de
galletas que vale $2. Luego le pago $2 más. ¿le debe dinero José al almacenero
todavía?
c) El primer día de enero en la ciudad de Mendoza, la temperatura media fue 8ºC bajo
cero, el dos de enero aumento 3ºC la temperatura promedio, el tres de enero bajo
2ºC, el cuatro de enero volvió a subir, esta vez 7ºC, el cinco de enero subió 6ºC
mas y el seis de enero permaneció constante. ¿Que temperatura hubo el seis de
enero?