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TEORIA DE DECISIONES
Profesor: Gabriel Conde A.
Escuela de Ingeniería Industrial y
Estadística
UNIVERSIDAD DEL VALLE
CALI
INTRODUCCION
Análisis de decisiones: Es una herramienta cuyo
objetivo es ayudar en el estudio de la toma de
decisiones en escenarios bajo una gran incertidumbre.
Estudiaremos dos formas:
•Toma de decisiones sin experimentación
•Toma de decisiones con experimentación
TOMA DE DECISIONES SIN
EXPERIMENTACIÓN
ESQUEMA
ALTERNATIVAS FACTIBLES
(Estrategias del tomador de decisiones. Selecciona sólo una)
VS
ESTADO DE LA NATURALEZA
(Estrategias de la naturaleza. Sucesos inciertos, se conocen o se tiene
idea de sus probabilidades)
MARCO CONCEPTUAL
• El tomador de decisiones necesita elegir una de
las alternativas posibles.
• La naturaleza elegirá uno de los estados de la
naturaleza.
• Cada combinación de una acción y un estado
de la naturaleza da como resultado un pago,
que se da por medio de una tabla de pagos.
• La tabla de pagos se usa para encontrar una
acción óptima para el tomador de decisiones
según un criterio adecuado.
MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA
EL ANÁLISIS DE DECISIONES
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS
N1
N2
…
Nn
A1
Q11
Q12
…
Q1n
A2
Q21
Q22
…
Q2n
…
…
…
Am
Qm1
Qm2
…
…
Qmn
NOTA:
El tomador de decisiones elige su estrategia para
promover su propio beneficio. Por el contrario la
naturaleza es un jugador pasivo que elige sus
estrategias de manera aleatoria.
El tomador de decisiones tiene información para tener
en cuenta sobre la posibilidad de los estados de la
naturaleza. Esta información se traduce en una
distribución de probabilidad. El estado de la naturaleza
es una variable aleatoria (distribución a priori).
MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA EL
ANÁLISIS DE DECISIONES CON
PROBABILIDADES A PRIORI
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS
N1
N2
…
Nn
A1
Q11
Q12
…
Q1n
A2
Q21
Q22
…
Q2n
…
…
…
Am
Qm1
Qm2
…
Qmn
PROB. A PRIORI
P1
P2
…
Pn
…
n
P 1
i 1
i
DOS CONCEPTOS IMPORTANTES
a priori:
Independiente de la experiencia, es decir, que
ésta supone pero no puede explicar, aunque sea
necesario a la posibilidad de la experiencia; a
priori no designa, pues, una anterioridad
psicológica, sino una anterioridad lógica o de
validez.
En la filosofía escolástica, [razonamiento] que
desciende de la causa al efecto, o de la esencia
de una cosa a sus propiedades.
a posteriori
Que proviene o depende de la experiencia.
En la filosofía escolástica, [razonamiento]
que asciende del efecto a la causa o de las
propiedades de una cosa a su esencia.
FORMULEMOS UN EJEMPLO
Un ingenio es dueño de unos terrenos en los que
puede haber petróleo. Un geólogo consultor ha
informado que piensa que existe una posibilidad
entre cuatro de encontrar petróleo. Otra
posibilidad es sembrar caña en estos terrenos. El
costo de la perforación es de 100.000 dólares. Si
encuentra petróleo el ingreso esperado será de
800.000 dólares. Si no se encuentra petróleo se
incurre en una pérdida de 100.000 dólares. Por
otro lado la caña producirá un ingreso de 90.000
dólares.
TABLA DE PAGOS PARA EL ANALISIS DE
DECISION DEL PROBLEMA DEL INGENIO
ESTADOS DE LA
NATURALEZA
ALTERNATIVA
Petróleo
Seco
Perforar
700
-100
Sembrar caña
90
90
Probabilidad a priori
0.25
0.75
CRITERIO DEL PAGO MÁXIMO
Para cada acción posible, encuentre el pago
mínimo sobre todos los estados de la
naturaleza. Después encuentre el máximo de
estos pagos mínimos. Elija la acción cuyo
pago mínimo corresponde a este máximo.
EXPLICACIÓN
Este criterio elige la acción que proporciona el
mejor pago para el peor estado de la naturaleza.
Proporciona la mejor garantía del pago que se
obtendrá. Sin importar cual sea el estado de la
naturaleza el pago por vender el terreno no
puede ser menor que 90.
Este razonamiento es válido cuando se está
compitiendo con un oponente racional.
Este criterio casi no se usa contra la naturaleza.
CRITERIO DE LA MÁXIMA
POSIBILIDAD
Identifique el estado más probable de la
naturaleza (aquel que tenga la probabilidad a
priori más grande). Para este estado de la
naturaleza, encuentre la acción con máximo
pago.
En nuestro ejemplo, el estado seco tiene la
mayor probabilidad a priori. En la columna
seco el pago máximo corresponde a la
siembra de caña.
EXPLICACIÓN
La acción elegida es la mejor para el estado
más importante de la naturaleza.
Desventaja: Ignora otra información. No
considera otro u otros estados de la
naturaleza distintos al más probable.
REGLA DE DECISIÓN DE BAYES
Usando las mejores estimaciones disponibles
de las probabilidades de los respectivos
estados de la naturaleza (en este caso las
probabilidades a priori), se calcula el valor
esperado del pago de cada acción posible. Se
elige la acción con máximo pago esperado.
Para nuestro ejemplo
E[pago (perforar)] = 0.25*700 + 0.75*(-100)
= 100
E[pago (sembrar)] = 0.25*90 + 0.75*(90)
= 90
Como 100 > 90, la decisión es perforar.
RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL
CRITERIO DE BAYES
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS
PETRÓLEO
SECO
PERFORAR
700
-100
100 MAX
SEMBRAR C.
90
90
90 MIN
PROB. A PRIORI
0,25
0,75
ESPERANZA
EXPLICACIÓN
La mayor ventaja de este criterio es que
incorpora toda la información disponible (pagos,
estimaciones de las probabilidades de los
estados de la naturaleza).
La mayor crítica es que las probabilidades a
priori no dejan de ser subjetivas.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Nos centraremos en el análisis de sensibilidad
sobre las probabilidades a priori. Queremos
saber cómo cambia nuestra decisión al
cambiar las probabilidades a priori.
Supongamos que sabemos con buena
certeza que 0.15 < P(petróleo) < 0.35. Esto
implica que 0.65 < P(seco) < 0.85.
Comenzamos el A. de S. aplicando el criterio
de Bayes para los dos casos extremos.
A. de S. continuación
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS
PETRÓLEO
SECO
PERFORAR
700
-100
20 MIN
SEMBRAR C.
90
90
90 MAX
PROB. A PRIORI
0,15
0,85
ESPERANZA
A. de S. continuación
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS
PETRÓLEO
SECO
PERFORAR
700
-100
180 MAX
SEMBRAR C.
90
90
90 MIN
PROB. A PRIORI
0,35
0,65
ESPERANZA
Conclusión:
La decisión es muy sensible a la
probabilidad a priori de encontrar petróleo.
Lo cual nos dice que “debemos de hacer
algo más” para tomar nuestra decisión.
CAMBIO DEL PAGO ESPERADO EN FUNCIÓN
DE LA PROBABILIDAD A PRIORI
Si p es la probabilidad a priori de
encontrar petróleo entonces el pago
esperado por perforar será:
E(pago perforar) = 700p – 100(1-p)
= 800p - 100
GRÁFICA DEL CAMBIO DEL PAGO
ESPERADO
PUNTO DE CRUCE
E(pago perforar) = E(pago caña)
800p – 100 = 90
p = 190/800 = 0.2375
Se debe cultivar caña si p < 0.2375
Se debe perforar en busca de petróleo
si p > 0.2375
GENERALIZACIONES
MAS DE DOS ALTERNATIVAS
Si se tiene más de dos alternativas entonces
habrá más de dos rectas. Las partes
superiores (para cualquier valor de la
probabilidad a priori) seguirán indicando que
alternativa debe elegirse. Los puntos de corte
indica en donde la decisión cambia de una
alternativa a otra.
MAS DE DOS ESTADOS DE
NATURALEZA
Se centra el análisis de sensibilidad en dos
estados de la naturaleza. Esto significa
investigar que pasa cuando la probabilidad
a priori de un estado aumenta mientras la
del otro disminuye en la misma cantidad y
se mantienen fijas las probabilidades a priori
de
los
estados
restantes.
Este
procedimiento se repite para los pares de
estados que se deseen.
TOMA DE DECISIONES CON
EXPERIMENTACIÓN
INFORMACION COMPLEMENTARIA
PARA TOMAR UNA DECISIÓN
Una exploración sismológica obtiene
sondeos sísmicos que indican si la
estructura geológica es favorable o no a
la presencia de petróleo. Con esto
mejoramos la estimación de la
probabilidad de que haya petróleo.
Supongamos que el costo de este
estudio es de 30.000 dólares.
RESULTADOS DE LA EXPLORACIÓN
DOS RESULTADOS POSIBLES:
Es poco probable encontrar petróleo
SSD (Sondeo sísmico desfavorable)
Es bastante probable encontrar petróleo
SSF (Sondeo sísmico favorable)
Por experiencia (datos históricos) tenemos
las siguientes probabilidades condicionales:
P(SSD estado = petróleo) = 0.4
P(SSF estado = petróleo) = 1 - 0.4 = 0.6
P(SSD estado = seco) = 0.8
P(SSF estado = seco) = 1 - 0.8 = 0.2
PROBABILIDADES A POSTERIORI
Quisiéramos saber más bien las siguientes
probabilidades, llamadas probabilidades a
posteriori (Seguramente son más útiles que
las anteriores)
P(estado = petróleo resultado = SSD)
P(estado = seco resultado = SSD)
P(estado = petróleo resultado = SSF)
P(estado = seco resultado = SSD)
EL TEOREMA DE BAYES NOS PERMITE
CALCULAR ESTAS PROBABILIDADES
Definición: Si A y B son eventos en un espacio de
probabilidad la probabilidad condicional de A dado B
denotada por P[AB] se define mediante la relación:
P[AB] =
P[A  B]
, con P[B]  0
P[B]
Definición: Dos eventos A y B en un espacio de
probabilidad son independientes si la ocurrencia de
uno de ellos no influye en el valor de la probabilidad
del otro. Esto se expresa escribiendo:
P[AB] = P[A]
De lo anterior se deduce que P[AB] = P[A].P[B] si
A y B son independientes.
CONTINUACIÓN. T. BAYES
Una fórmula que se deriva de la definición de
probabilidad condicional es la siguiente:
P[AB] = P[A]P[BA] = P[B]P[AB] y relaciona las
probabilidades condicionales en términos de las
probabilidades no condicionales P[A] y P[B].
Probabilidad total: Sea S un espacio muestral y B1,
B2, ...,Bn, eventos tales que definen una partición (*)
en S y A cualquier evento en Fs entonces:
n
P[A] =

i 1
P[ABi ]P[Bi]
CONTINUACIÓN. T. BAYES
Teorema de Bayes:
Sea S un espacio muestral y B1, B2, ...,Bn, eventos
tales que definen una partición en S y A cualquier
evento en Fs entonces se cumple la relación:
P[BkA] =
P[A B k ]P[B k ]
n
 P[A B ]P[B ]
i 1
i
i
TEOREMA DE BAYES COMO HERRAMIENTA
EN LA TOMA DE DECISIONES
P(estado i | resultado j) 
P(resultad o j | estado i) * P(estado i)
n
 P(resultad o
k 1
j | estado k) * P(estado k)
CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES
A POSTERIORI
P(estado = petróleo resultado = SSD)
0.4 * 0.25
1
  0.1429  0.14
0.4 * 0.25  0.8 * 0.75 7
P(estado = seco resultado = SSD)
0.8 * 0.75
6
  0.8571  0.86
0.4 * 0.25  0.8 * 0.75 7
o también
1 6
1    0.8571  0.86
7 7
P(estado = petróleo resultado = SSF)
0.6 * 0.25
1
  0.5
0.6 * 0.25  0.2 * 0.75 2
P(estado = seco resultado = SSF)
0.2 * 0.75
1
  0.5
0.6 * 0.25  0.2 * 0.75 2
o también
1 1
1    0.5
2 2
DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA EL CÁLCULO
DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI
CÁLCULO DEL PAGO ESPERADO
TENIENDO EN CUENTA LAS
PROBABILIDADES A POSTERIORI
Pago esperado si el resultado es un
sondeo desfavorable
E(pago[perforar|SSD])
1
6
* 700  * (100)  30  15.7
7
7
E(pago[s. caña|SSD])
1
6
* 90  * 90  30  60
7
7
RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL
CRITERIO DE BAYES (SSD)
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS
PETRÓLEO
SECO
PERFORAR
700
-100
-15.7
SEMBRAR C.
90
90
60
PROBABILIDAD A
POSTERIORI
(SSD)
1/7
6/7
ESPERANZA
Pago esperado si el resultado es un
sondeo favorable
E(pago[perforar|SSF])
1
1
* 700  * (100)  30  270
2
2
E(pago[s. caña|SSF])
1
1
* 90  * 90  30  60
2
2
RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL
CRITERIO DE BAYES (SSF)
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS
PETRÓLEO
SECO
PERFORAR
700
-100
270
SEMBRAR C.
90
90
60
PROBABILIDAD A
POSTERIORI
(SSF)
1/2
1/2
ESPERANZA
DECISIÓN, BAJO EXPERIMENTACIÓN,
CON LA REGLA DE BAYES
SONDEO
DESFAVORABLE
(SD)
FAVORABLE
(SF)
PAGO CON
COSTO
EXPLOTACION
ALTERNATIVA
OPTIMA
PAGO SIN COSTO
EXPLOTACION
SEMBRAR
CAÑA
90
60
300
270
PERFORAR
POR
PETROLEO
VALOR DE LA EXPERIMENTACION
Antes de realizar cualquier experimento, debe
determinarse su valor potencial. Veremos dos
métodos para evaluar este potencial, a saber:
•Valor esperado de la información perfecta.
•Valor esperado de la experimentación.
VALOR ESPERADO DE LA
INFORMACIÓN PERFECTA (VEIP)
Aquí se supone que la experimentación elimina
toda incertidumbre sobre cual es el estado
verdadero de la naturaleza y se hace un cálculo
sobre cual sería la mejora en el pago esperado.
Esta cantidad se llama valor esperado de la
información perfecta. (cota superior para el valor
del experimento)
Pago esperado con información perfecta =
0.25*700+0.75*90 = 242.5
VEIP = PECIP – pago esperado sin experim.
VEIP = 242.5 – 100 = 142.5
VEIP continuación
Si el VEIP fuera menor que 30 entonces no
se llevaría a cabo la experimentación.
En nuestro caso el VEIP > 30, lo cual indica
que puede valer la pena llevar a cabo la
experimentación.
Entramos a confirmar esto estudiando un
segundo método: Valor Esperado de la
Experimentación = VEE
VALOR ESPERADO DE LA
EXPERIMENTACIÓN (VEE)
En este caso no se calcula una cota superior
para el incremento del pago esperado. Se
calcula de manera directa este incremento
esperado:
Pago esperado de la experimentación =
 P(resultado j)*E(pago|resultado j),  j
j
En esta expresión el cálculo de
esperanzas
debe
hacerse
con
probabilidades a posteriori
las
las
VEE continuación…
De los cálculos anteriores sabemos que los
valores de P(resultado j) son:
P(SSD) = 0.7 y P(SSF) = 0.3
Así mismo los valores de E(pago|resultado j),
que se calcularon teniendo en cuenta las
probabilidades a posteriori, son:
E(pago|resultado = SSD) = 90
E(pago|resultado = SSF) = 300
VEE continuación…
El pago esperado con experimentación =
0.7*90 + 0.3*300 = 153
El VEE será entonces:
VEE = El pago esperado con experimentación El pago esperado sin experimentación =
153 – 100 = 53 > 30
Como este valor excede a 30.000 entonces
debe llevarse a cabo el sondeo de sismología
ÁRBOL DE DECISIÓN
Es una manera de visualizar un problema
de decisión mediante un esquema de árbol
(red sin ciclos). Su objetivo es facilitar la
comprensión del problema y los cálculos.
CONSTRUCCIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN
0.14
0.7
670
800
-100
0.86
-130
0
-30
90
800 0.5
670
-100
0.3
60
0.5
0.5
-130
0
90
90
0.5
0.75
700
0
-100
0.25
-100
90
90
ELEMETOS DEL ÁRBOL
• Los arcos = Ramas
• Puntos de ramificación = Nodos
Nodo de decisión = Indica que debe tomarse
una decisión (cuadrado)
Nodo de probabilidad = Indica que ocurre un
evento aleatorio (círculo)
CÁLCULOS, PRIMERA ETAPA
LOS NÚMEROS EN EL ÁRBOL
Números debajo de ramas = Flujos de efectivo
Números arriba de las ramas = Probabilidad
(después de un nodo de probabilidad)
(a priori o a posteriori)
Números en cada nodo = Pagos esperados
(Surgen del procedimiento de análisis)
CÁLCULOS, SEGUNDA ETAPA
ANÁLISIS
Una vez calculado el árbol se hace el siguiente
procedimiento de análisis
• 1. Iniciar en el lado derecho, moverse a la izquierda
una columna a la vez, realizar el paso 2 o el 3
según los nodos sean de probabilidad (NP) o de
decisión (ND).
• 2. Para cada NP calcular su pago esperado -PE[(pago de c/rama) * (probabilidad de c/rama)]
• 3. Para cada ND, compare los PE de sus ramas y
seleccione la alternativa cuya rama tenga mayor
pago esperado.
BIBLIOGRAFÍA
Peña Daniel, “Fundamentos de Estadística”. Alianza Editorial, Madrid 2001
H. TAHA, “Investigación de Operaciones”, Ed. Alfaomega, México 1998.
F. HELLIER, G. LIEBERMAN, “Introducción a la investigación de
operaciones”, Ed. McGraw-Hill 2001.
KENNEDY y NEVILLE. (1982) "Estadística para Ciencias e Ingeniería".
México: Harla.
SCHEAFFER y MCCLAVE. (1993) "Probabilidad y Estadística para
Ingeniería". México: Grupo Editorial Iberoamérica.
BRETÉS A. P, LLABRÉS X. T., GRIMA PERE y POZUELA L. (2000)
“Métodos estadísticos. Control y mejora de la calidad” México: Alfaomega
Grupo Editor