Download Estadística - Mestre a casa

4
Estadística y probabilidad
1.
Variables estadísticas
2.
Gráficos estadísticos
3.
Medidas de centralización
4.
Medidas de dispersión
5.
Agrupación de datos en intervalos
6.
Fenómenos deterministas y aleatorios
7.
Técnicas de recuento
8.
La regla de Laplace
9.
Experimentos compuestos
Índice del libro
4
Estadística y probabilidad
1. Variables estadísticas
ESTADÍSTICA
La Estadística se encarga de describir, analizar e interpretar las características
de un conjunto de individuos.
Población: conjunto de individuos objeto de un estudio.
Individuo: cada uno de los miembros de la población.
Muestra: porción de la población elegida para realizar un estudio estadístico.
Técnicas de muestreo
• Muestreo aleatorio: todos los individuos de la población tienen las mismas
posibilidades de ser elegidos.
• Muestreo aleatorio simple: muestreo aleatorio sin reposición de los
elementos.
• Muestreo aleatorio estratificado: se divide la población en estratos,
por ejemplo, sexo, edad,...
4
Estadística y probabilidad
1. Variables estadísticas
VARIABLE ESTADÍSTICA
Variable estadística: característica de la población que vamos a estudiar,
que puede ser medida, adoptando diferentes valores.
Tipos de variables estadísticas.
 Cualitativa: se designa mediante una palabra.
 Cuantitativa: se designa por un número.
‒ Discreta: toma valores dentro de un rango finito de posibilidades.
‒ Continua: puede tener cualquier valor dentro de un intervalo.
4
Estadística y probabilidad
1. Variables estadísticas
ORGANIZACIÓN DE DATOS: TABLAS DE FRECUENCIA
Para organizar los datos obtenidos al realizar un estudio estadístico construimos
tablas de frecuencia.
1.º Agrupamos los xi diferentes y los ordenamos en orden creciente.
2.º Hallamos las frecuencias.
 Frecuencia absoluta
fi = veces que se repite cada xi
 Número total de valores
n = suma ( fi )
 Frecuencia absoluta acumulada Fi = la obtenemos sumando las
frecuencias absolutas de los datos anteriores a cada valor xi de la variable
estadística
 Frecuencia relativa hi = se obtiene al dividir cada una de las frecuencias
absolutas fi entre el número total de valores n
hi = fi /n
 Frecuencia relativa acumulada Hi = se obtiene al dividir la frecuencia
absoluta acumulada Fi entre el número total de datos n
Hi = Fi /n
4
Estadística y probabilidad
2. Gráficos estadísticos
DIAGRAMAS DE BARRAS
Están formados por barras que relacionan cada valor de la variable con su
frecuencia absoluta. En el eje X situamos los valores de las variables.
En el eje Y situamos las frecuencias absolutas.
EJEMPLO
Color del pelo de 110 jóvenes.
4
Estadística y probabilidad
2. Gráficos estadísticos
HISTOGRAMAS
Están constituidos por barras que relacionan cada intervalo de datos en los que
se agrupan los valores de la variable con su frecuencia absoluta.
EJEMPLO
Estatura de 200 jóvenes de 15 años.
4
Estadística y probabilidad
2. Gráficos estadísticos
DIAGRAMA DE SECTORES
Relacionan la frecuencia absoluta de una variable con cada valor de un sector
de una circunferencia proporcional a dicha frecuencia.
EJEMPLO
Número de hermanos de los alumnos de una clase.
Ángulo 
360
f
n i
4
Estadística y probabilidad
2. Gráficos estadísticos
PIRÁMIDE DE POBLACIÓN
EJEMPLO
Edad de una población de animales
4
Estadística y probabilidad
2. Gráficos estadísticos
CARTOGRAMA
EJEMPLO
Precipitaciones anuales
4
Estadística y probabilidad
2. Gráficos estadísticos
PICTOGRAMA
EJEMPLO
Comercio mundial de mercancías.
4
Estadística y probabilidad
3. Medidas de centralización
MEDIA, MODA Y MEDIANA
Media, o media aritmética x
k  número de valores xi diferentes
fi  frecuencia de xi
n  número de datos
n  f1  f2  f3 
 fk  suma( fi )
x
x1  f1  x2  f2  x3  f3 
n
x
suma( xi  fi )
n
 xk  fk
Moda Mo
Valor de la variable xi que más se repite, es decir,
el que tiene mayor frecuencia absoluta fi
Mediana Me
Posición central. Ordenados los valores xi en orden creciente, es el valor de la
variable xi que deja el mismo número de datos a la derecha que a la izquierda.
‒ Si el número de datos n es impar Me = valor central
‒ Si el número de datos n es par
Me = media de los dos valores centrales
4
Estadística y probabilidad
4. Medidas de dispersión
RANGO, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

Rango o recorrido
Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable xi

Varianza s2
Media de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media
f1  ( x1  x )2  f2  ( x2  x )2 
s 
n
2
suma( fi  ( xi  x )2 )
s 
n
2

Desviación típica s
s
s2
 fk  ( xk  x )2
4
Estadística y probabilidad
5. Agrupación de datos en intervalos
AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS
1 de 6
EJEMPLO
Alturas de un grupo de 30 alumnos.
Alturas, en cm:
{ 179, 181, 176, 184, 173, 167, 161, 185, 177, 165, 178, 176, 169, 181, 174, 179,
166, 174, 171, 180, 178, 183, 171, 184, 173, 165, 168, 170, 175, 168 }
 Organizar los datos en una tabla.
 Calcular las medidas de centralización: mediana, moda y media.
 Calcular las medidas de dispersión: rango, desviación típica y varianza.
1. Calcular el campo de variación de la variable, es decir, los valores mayor y
menor que toma.
Mínimo = 161 cm
Máximo = 185 cm
4
Estadística y probabilidad
5. Agrupación de datos en intervalos
AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS
2 de 6
2. Repartimos los datos en intervalos de igual amplitud.
Tomamos las alturas de cinco en cinco centímetros:
[160, 165]; (165, 170]; (170, 175]; (175, 180]; (180, 185]
3. Le asignamos a cada intervalo su frecuencia absoluta.
4. Elegir un representante de cada intervalo.
Se denomina marca de clase del intervalo, MC
Tomamos como marca de clase la media de los extremos del intervalo.
4
Estadística y probabilidad
5. Agrupación de datos en intervalos
AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS
Clasificamos por intervalos, y hallamos las frecuencias.
3 de 6
4
Estadística y probabilidad
5. Agrupación de datos en intervalos
AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS
4 de 6
Organizamos los datos que necesitamos en una tabla.
n  suma( fi )
Mediax 
x
suma( xi  fi )
n
suma( fi  ( xi  x )2 )
Varianzas 
n
Desviación típicas  s2
suma( xi  fi ) 5215

 173 ,8333  173 ,83
n
30
2
4
Estadística y probabilidad
5. Agrupación de datos en intervalos
AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS
5 de 6
 Medidas de centralización: mediana, moda y media.
Mediana Me = (170, 175]
Moda
Mo = (175, 180]
Media
x
suma( xi  fi )
n
x
5215
 173 ,8333cm  173 ,83cm  173 ,8cm  174cm
30
4
Estadística y probabilidad
5. Agrupación de datos en intervalos
AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS
6 de 6
 Medidas de dispersión: rango, desviación típica y varianza.
Rango o recorrido R = 185 – 160 = 25 cm
Varianza
suma( fi  ( xi  x )2 ) 1196 ,67
s 

 39 ,89cm2
n
30
2
Desviación típica
s
s2  39 ,89  6 ,32cm  6 ,3cm
4
Estadística y probabilidad
6. Fenómenos deterministas y aleatorios
FENÓMENOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS: PROBABILIDAD
Experimento aleatorio: no conocemos con certeza el resultado, y al repetirlo el
resultado no es el mismo aunque repitamos el experimento en las mismas
condiciones.
Experimento determinista: podemos predecir el resultado que vamos a
obtener siempre que lo realicemos en las mismas condiciones.
Probabilidad: rama de las matemáticas que se dedica al estudio de los
procesos aleatorios.
Espacio muestral: conjunto formado por todos los resultados posibles de un
experimento.
Suceso: subconjunto del espacio muestral.
‒ Suceso elemental: suceso compuesto únicamente por un resultado.
‒ Suceso compuesto: suceso compuesto por dos o más resultados.
4
Estadística y probabilidad
7. Técnicas de recuento
DIAGRAMA DE ÁRBOL
La probabilidad es una de las ramas de las matemáticas que más se emplea en
la actualidad.
Las técnicas de recuento se utilizan para calcular probabilidades.
Diagrama de árbol
EJEMPLO
Lanzamos al aire
tres monedas.
¿Cuántos
resultados posibles
existen?
4
Estadística y probabilidad
7. Técnicas de recuento
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Siempre que tengamos un suceso compuesto por n sucesos independientes,
es decir, cuando el resultado de un suceso no influya en el siguiente,
siendo
m1, m2, …, mn
el número de resultados posibles de cada suceso independiente,
obtendremos el número total de posibilidades multiplicando
m1 ⋅ m2 ⋅ … ⋅ mn
EJEMPLO
Lanzamos cinco dados.
Si lanzamos cinco dados, cada uno de ellos con seis posibles resultados,
tendremos 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65 = 7 776 resultados posibles.
4
Estadística y probabilidad
7. Técnicas de recuento
FACTORIAL
Factorial de un número n es un símbolo matemático para esta operación
de multiplicación
n! = n ⋅ (n – 1) (n – 2) (n – 3) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1
4
Estadística y probabilidad
7. Técnicas de recuento
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS
Permutaciones de n elementos son las diferentes ordenaciones que podemos
realizar de todos ellos sin repetir ninguno.
Se escribe
Pn
Se cumple que
Pn = n!
EJEMPLO
P5 = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
4
Estadística y probabilidad
8. La regla de Laplace
REGLA DE LAPLACE
Siempre que en un experimento aleatorio todos los resultados posibles sean
equiprobables, la probabilidad de un suceso S determinado viene dada por
P( S) 
número de casos favorables al suceso S
número de casos posibles
Siendo los casos favorables al suceso S aquellos que están incluidos en él,
y los casos posibles todos los sucesos elementales que componen el espacio
muestral.
4
Estadística y probabilidad
9. Experimentos compuestos
EXPERIMENTOS COMPUESTOS
1 de 3
Experimentos compuestos: situaciones aleatorias formadas por el
encadenamiento sucesivo de otras situaciones aleatorias más sencillas.
EJEMPLO
Clima.
P (día soleado) = 0,3
P (día nublado) = 0,2
P (día lluvioso) = 0,5
a) Calcular la probabilidad de que llueva durante dos días seguidos.
b) Calcular la probabilidad de que un día haga sol y otro llueva.
c) Calcular la probabilidad de que ningún día sea soleado.
4
Estadística y probabilidad
9. Experimentos compuestos
EXPERIMENTOS COMPUESTOS
Diagrama de árbol
2 de 3
4
Estadística y probabilidad
9. Experimentos compuestos
EXPERIMENTOS COMPUESTOS
3 de 3
La probabilidad de cada resultado se obtiene multiplicando las probabilidades
de las ramas que conducen a él.
Si hay varias formas de obtener un mismo resultado, tendremos que sumar las
probabilidades de todas las ramas que nos llevan a él.
a) P (dos días de lluvia) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25
b) Valen dos ramas: Soleado – Lluvioso y Lluvioso – Soleado.
P (día de sol y día de lluvia) = 0,3 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,3 = 0,3
c) «Ningún día soleado» incluye:
Nublado – Nublado
Nublado – Lluvioso
Lluvioso – Nublado
Lluvioso – Lluvioso
P (ningún día soleado) = 0,2 ⋅ 0,2 + 0,2 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,2 + 0,5 ⋅ 0,5 = 0,49