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Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
La función de transferencia de
sistemas lineales
México D.F. a 21 de Agosto de 2006
La función de transferencia
L c(t )
Función de transferencia 
L r (t )
c(t )  salida
r (t )  entrada
con condiciones iniciales cero
La función de transferencia
de un sistema se define como la
transformada
detransferencia:
Laplace de la variable de salida y la transformada de
La función de
Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo.
•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo
de entrada
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
R
1.- Circuito RL
Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
di
v(t )  Ri(t )  L
dt
i (t )
v (t )
Figura 1. Circuito RL
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
V ( s )  RI ( s )  LsI ( s )
la relación corriente voltaje en Laplace, queda:
1
R
I (s)

V (s) L s  1
R
L
La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
d2y
dy
m 2  b  ky(t )  r (t )
dt
dt
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,
k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t )
k
b
es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:

 

m
M s 2Y ( s)  sy (0 )  y ' (0 )  b sY ( s)  y (0 )  KY ( s)  R( s)
considerando:
y ' (0 )  0, y (0 )  0,
Ms 2Y ( s)  bsY ( s)  KY ( s)  R( s)
Y (s)
1

La función de transferencia es:
R( s ) Ms 2  bs  K
y(t)
r(t)
Figura 1. Sistema masa
Amortiguador resorte.
La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial
Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial y0 . Entonces para
conservar la condición una entrada una salida se hace r (t )  0

 

M s 2Y ( s)  sy (0 )  y ' (0 )  b sY ( s)  y (0 )  KY ( s)  R( s)
condiciones iniciales
r (t )  0, y ' (0 )  0, y (0 )  y0 ,
La función de transferencia es:
Y ( s) 
y0 ( Ms  b)
Ms 2  bs  K
Ahora el desplazamiento
solo depende de la
posición inicial y los
parámetros del sistema.
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo de
elemento
Elemento
físico
Ecuación
representativa
I
n
d
u
c
t
a
n
c
i
a
Inductancia
eléctrica
di
v21  L
dt
Resorte
traslacional
v21 
1 df
k dt
Símbolo
i
L
v1
v2
f
f
v1
Resorte
rotacional
1 dT
21 
k dt
v2
1
T1
2
T2
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Capacitancia
eléctrica
C
a
p
a
c
i
t
a
n
c
i
a
f m
Masa
Inercia
Capacitancia
fluídica
i
dv21
iC
dt
v1
dv
dt
m
f
v
d
T j
dt
q21  C f
dp21
dt
v2
C
T
j
p2
p1
q1
q2
Cf
Capacitancia
térmica
q  Ct
dT
dt
q
T
Ct
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Resistencia
eléctrica
R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a
Amortiguador
traslacional
Amortiguador
rotacional
i
1
i  v21
R
f  bv
T  b 21
v1
v2
R
b
f
v21
T
T
1
2
b
Resistencia
fluídica
q
1
p21
Rf
q
p1
p2
Rf
Resistencia
térmica
1
q  T21
Rt
f
q
T1
Rt
T2
Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite
representar las relaciones de un sistema por medios
diagramáticos.
Diagrama a bloques
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y
unidireccionales que representan la función de transferencia de las
variables de interés.
Consideraciones:
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales
de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente
al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).
• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
Diagramas de bloques
Elementos de un diagrama a bloques
Variable
de entrada
Función de
transferencia
G (s )
Variable
de salida
Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección
del flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para
producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en
los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
Diagramas de bloques
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
R(s )
+
punto de suma
C (s )
E (s )
G (s )
-
punto de bifurcación
B(s )
H (s )
Función de transferencia en lazo abierto
B( s)
 G( s) H ( s)
E ( s)
Función de transferencia trayectoria directa
C ( s)
 G( s)
E ( s)
Función de transferencia lazo cerrado
C (s)
G( s)

R( s) 1  G ( s) H ( s)
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en serie
R(s )
D (s )
G1 ( s )
C (s )
G2 ( s)
R(s )
C (s )
G1 ( s)G2 ( s)
Por elementos en paralelo
R(s )
G1 ( s )
+
+
G1 ( s )
C (s )
R(s )
G1 ( s)  G2 ( s)
C (s )
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en lazo cerrado
R(s )
C (s )
E (s )
+
G (s )
-
B(s )
R(s )
C (s )
G( s)
1  G( s) H ( s)
H (s )
La simplificación de un diagrama de bloques complicado se
realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas
para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques
utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
Diagrama de bloques original
A
G
Diagrama de bloques equivalente
AG  B
AG
+
A
+
-
B
G
B
A
G
AG
AG
B
A
G
A
-
AG  B
G
1
G
G
G
B
AG
AG
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
Diagrama de bloques original
A
AG
G
Diagrama de bloques equivalente
A
AG
G
A
A
1
G
B
A
+
-
G1
G2
A 1
G2
B
+
-
G2
G1