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Modelado De Sistemas Físicos
O B J E T I V O :
El alumno:
a) comprenderá las leyes fundamentales que rigen a los elementos y
sistemas físicos (mecánicos, fluidicos, térmicos, etc. ).
b) Comprenderá que es posible representar a los sistemas lineales
mediante ecuaciones diferenciales.
I N T R O D U C C I Ó N
El análisis de sistemas constituye, en condiciones especificas, la
investigación del funcionamiento de un sistema cuyo modelo matemático
se conoce.
El diseño de sistemas se refiere al proceso de encontrar un sistema que
satisfaga una tarea específica. Cualquier tentativa de diseño de un
sistema debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento
antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse
físicamente. Tal predicción se basa en una descripción matemática de las
características dinámicas del sistema. A esta descripción matemática se
le llama modelo matemático.
2 . 1
M O D E L A D O
M A T E M A T I C O
Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que
resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales.
Los modelos empleados serán aquellos que resulten más simples, útiles y
operativos a fin de facilitar su estudio, sin olvidar por supuesto que
deben ser un reflejo, lo más fiel posible del comportamiento real del
sistema.
La dinámica de sistemas trata del modelado matemático y el análisis
de la respuesta de los sistemas dinámicos. Hoy en día, el diseño de
ingeniería requiere de un concienzudo estudio de esa materia.
Al aplicar las leyes físicas a un sistema específico, es posible desarrollar
un modelo matemático que describa al sistema. Tal sistema puede incluir
parámetros desconocidos, los cuales deben evaluarse mediante pruebas
reales. Cuando se intenta construir un modelo, debe establecerse un
equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados
del análisis.
Para determinar un modelo razonablemente simplificado, se necesita
decidir cuáles de las variables y relaciones físicas pueden despreciarse y
cuales son cruciales en la exactitud del modelo. Ningún modelo
matemático puede representar cualquier componente o sistema físico con
precisión, siempre se involucran aproximaciones y suposiciones.
2
En base a los párrafos anteriores se puede establecer el siguiente
procedimientos de diseño.
Determinar un sistema físico
y especificaciones a partir de
requerimientos.
Dibujar un
diagrama de
bloques funcional
Transformar el sistema
físico en diagrama
esquemático
Obtener un diagrama a bloques,
de flujo de señal, representación
en el espacio de estados o modelo
matemático
Reducir El diagrama a
un solo bloque o
sistema
de
lazo
cerrado.
Analizar, diseñar y probar para
ver que se satisfagan los
requisitos y las
especificaciones.
3
2 . 1 . 1
E L E M E N T O S
B Á S I C O S
D E L
M O D E L A D O
Resistencia.
Los elementos resistivos se caracterizan principalmente
por su
capacidad para disipar energía, esto es, la energía suministrada al
sistema se disipa o se transforma a través de ellos.
Capacitancia
Los elementos capacitivos se caracterizan por la propiedad de almacenar
energía en forma de campo eléctrico que a su vez la suministran a otros
elementos del sistema. La rapidez con que ceden la energía depende del
valor de la capacitancia y del elemento resistivo al cual dicha energía es
transferida.
Inductancia
Los elementos inductivos se caracterizan por la propiedad de almacenar
energía en forma de campo magnético que a su vez la suministran a
otros elementos del sistema en forma instantánea.
4
2 . 2
M O D E L A D O
D E
S I S T E M A S
M E C Á N I C O S
Un amortiguador es un elemento que provee resistencia en el movimiento
mecánico, y como tal, su efecto es similar al de un resistor eléctrico.
En un sistema mecánico, un amortiguador consiste en un pistón y un
cilindro lleno de aceite. Cualquier movimiento relativo entre el vástago
del pistón y el cilindro encuentra resistencia por el aceite ya que éste
debe fluir alrededor del pistón de un lado a otro. Esencialmente, el
amortiguador absorbe energía y la disipa en forma de calor que fluye al
ambiente. El amortiguador se puede representar como se indica en la
figura 1.
Figura 1
En el amortiguador, la fuerza fB que actúa sobre él es proporcional a la
velocidad a la cual se mueve el amortiguador, es decir,

fB es la fuerza que producida por el amortiguador,
se opone al movimiento de éste, y es igual a la
fB  B
fuerza externa f ( N )

dx
dt
dx/dt es la velocidad a la cual se mueve el
amortiguador y se representa por la letra v, ( m / s )

B es la constante del amortiguador o coeficiente
de fricción viscosa. ( N – s / m )
En los sistemas mecánicos rotacionales, el par aplicado
al
amortiguador
rotacional
es
proporcional
a
la
velocidad angular a la cual gira, es decir,
Figura 2
5

TB es la fuerza que producida por el amortiguador,
se opone al giro de éste y es igual al par externo
TB  B
aplicado T ( N.- m )

d/dt es la velocidad angular a la cual gira el
d
dt
amortiguador y se representa por la letra , (rad / s)

B es el coeficiente de fricción viscosa de
torsión . ( N – m / rad/s )
En conclusión, normalmente se trata al coeficiente de fricción viscosa
como a la resistencia mecánica.
Por lo tanto la resistencia mecánica para el amortiguador traslacional es,
Cambio en la fuerza
B
cambio en la velocidad
 N 


m 
 s
y para el amortiguador de torsión
B 
Cambio en el par
cambio en la velocidad angular
 N  m


 rad 
s 

Existen dos tipos de capacitancia mecánica, la traslacional o masa y la
rotacional o inercia.
x
La capacitancia mecánica traslacional o
masa se representa por el símbolo de la
f
M
figura 3
Figura 3
Las variables asociadas con este elemento son fuerza y aceleración y su
comportamiento esta definido por
6

fM es la fuerza que producida por la masa, se
opone al movimiento de ésta y es igual a la fuerza
externa aplicada f ( N )

fM  M
d2x/dt2 es la aceleración a la cual se mueve la masa
d 2x
dt 2
y se representa por la letra a ( m / s2 )

M es el valor que tiene la masa o capacitancia
mecánica traslacional ( Kg )
La capacitancia mecánica rotacional o inercia se
T

representa por medio de la figura 4
J
Figura 4
Las variables asociadas con este elemento son par y aceleración angular
y su comportamiento físico esta definido por:

TJ es el par, que producido por la inercia, se opone
al movimiento de ésta y es igual al par externo
aplicado T ( N - m )

TJ  J
d2/dt2 es la aceleración angular a la cual gira la
d 2
dt 2
inercia y se representa por la letra  ( rad / s2 )

j es el valor de la inercia o capacitancia
mecánica rotacional ( kg – m2 /rad )
En conclusión, normalmente se trata a la masa como la capacitancia
mecánica traslacional.
M 
7
Cambio en la fuerza
cambio en la aceleració n


 N 
m 2 
 s 
y a la inercia como la capacitancia mecánica rotacional
J
Cambio en el par
cambio en la aceleració n angular


 N  m
 rad 2 
s 

Existen dos tipos de inductancia mecánica, el resorte traslacional y el
resorte rotacional o torsional.
Un resorte lineal es un elemento mecánico que puede
ser deformado por una fuerza externa tal que la
deformación sea directamente proporcional a la fuerza o
par que se le aplique.
Figura 5
En la figura 5, se muestra la representación de un resorte o inductancia
mecánica traslacional
Las
variables
asociadas
a
este
elemento,
son
la
fuerza
y
el
desplazamiento definidos por

fK es la fuerza que producida por el resorte o
inductancia mecánica traslacional , se opone al
fk  k x
movimiento de éste y es igual a la fuerza externa
aplicada f (N)

x es el desplazamiento del resorte o inductancia
mecánica traslacional ( m )

k es el valor o la constante del resorte ( N / m )
En los sistemas mecánicos rotacionales, un resorte de
k
torsión se representa por el símbolo de la figura 6.
Figura 6
8
T

El par y el desplazamiento están relacionados por,

Tk es el par que producido por el resorte se opone
al giro de éste y es igual al par externo aplicado T
(N)

 es el desplazamiento angular del resorte ( rad )

K es la constante del resorte de torsión
Tk  k 
( N – m / rad )
En conclusión, normalmente se trata a la constante del resorte k como
la inductancia mecánica.
Por lo tanto la inductancia mecánica para el resorte traslacional es,
k
cambio en la fuerza
cambio en el desplazami entto del resorte
N 
 m 
y la inductancia para el resorte rotacional es,
k 
Cambio en el par
cambio en el desplazamiento angular del resorte
 N  m
 rad 
Las constantes del resorte indican rigidez; un gran valor de k
corresponde a un resorte duro y un valor o pequeño de k a un resorte
suave.
9
Ecuaciones de equilibrio.
Las ecuaciones de equilibrio de los sistemas mecánicos se plantean con
base en las leyes de Newton y el principio de D’Alembert.
La primera ley de Newton, que trata de la conservación de la cantidad
de movimiento, establece que la cantidad de movimiento, total de un
sistema mecánico es constante en ausencia de fuerzas externas.
La cantidad de movimiento es el producto de la masa m y la velocidad
v, para el movimiento traslacional o lineal.
En el movimiento rotacional, la cantidad de movimiento es el producto
del momento de inercia J y la velocidad angular, y se denomina cantidad
de movimiento angular.
Para un movimiento traslacional, la segunda ley de Newton dice que la
aceleración de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la
fuerza que actúe sobre él e inversamente proporcional a la masa del
cuerpo, esto es,
fuerza  masa x aceleracíó n
Para un cuerpo rígido en rotación pura alrededor de un eje fijo, la
segunda ley establece que:

T es la suma de todos los pares que actúan
alrededor de un eje dado

 pares  momento de inercia x aceleracíó n angular
J es el momento de inercia del cuerpo alrededor de
T  J 
ese eje

 es la aceleración angular.
10
La segunda ley de Newton da la relación fuerza aceleración de un cuerpo
rígido o la relación de aceleración angular-par de un cuerpo rígido en
rotación.
La tercera ley de Newton se refiere a la acción y reacción, y en efecto,
establece que a toda acción corresponde una reacción de igual magnitud
pero de sentido contrario.
Finalmente, el principio de D’Alembert establece que:
Las fuerzas aplicadas a un elemento, junto con las fuerzas de inercia
forman un sistema en equilibrio.
En el modelado de sistemas mecánicos traslacionales se recomienda
utilizar las variables como desplazamiento, velocidad, aceleración y
fuerza, mientras que en los sistemas mecánicos rotacionales las
variables de interés son el desplazamiento, velocidad y aceleración
angular así como el Par.
11
2 . 3
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D E
S I S T E M A S
H I D R Á U L I C O S
Al fluir un liquido por una tubería se presentan fuerzas de fricción. Dicho
efecto se puede aproximar por un elemento llamado resistencia
hidráulica ( Rh )que se relaciona con la presión ( p ) y el gasto ( q ) por la
relación.
p(t )  Rh q(t )
la resistencia hidráulica se representa por medio de los símbolos de la
figura 7
P1
P2
p1
P2
q
q
Rh
Rh
Figura 7
El comportamiento físico de la resistencia hidráulica se puede definir
por:

p es el incremento de presión a través de la
resistencia hidráulica ( Pa )

 p  p1  p2  Rh q
q es el gasto que fluye a través de la resistencia
hidráulica ( m3/s )

Rh es el valor de la resistencia hidráulica que
presentan las paredes de la tubería (Pa-s/m3)
Resumiendo, la resistencia de un sistema hidráulico o neumático puede
definirse como el cambio en potencial requerido para producir un cambio
unitario en la razón de flujo o velocidad, o bien,
cambio en potencial
Rh 
cambio en corriente, razón de flujo o velocidad
12

 pa
 m3
 s




El flujo liquido en tubos, orificios, válvulas o cualquier otro dispositivo
restrictor de flujo, el potencial puede corresponder ya sea a la presión
diferencial o altura diferencial y la razón de flujo puede ser la razón de
flujo liquido. Al aplicar la definición general de resistencia a un flujo
liquido, tenemos,
cambio en potencial
Rh 
cambio en presión diferencia l
N 2

 m  N  s
 m3
m5 
s


O bien
cambio en altura diferencia l
Rh 
cambio en razón de flujo

 m
 m3
 s




Por lo tanto, podemos decir que la resistencia hidráulica es la oposición
que presentan las tuberías al paso del fluido.
Supongamos que el fluido escurre a razón de q(t) hacia un tanque abierto
de sección constante A. La relación entre el gasto y la altura del fluido es:
q (t )  A
dh(t )
dt
La relación entre la altura del fluido en el tanque y la presión en la boca
del tubo de alimentación es

 es la densidad del fluido ( kg / m3 )

g es la aceleración de la gravedad ( m / s2 )
h(t ) 
Por lo tanto,
q(t ) 
A dp(t )
 g dt
q (t )  C h
13
dp (t )
dt
p (t )
g
Siendo C h 
A
, la capacitancia hidráulica
g
Concluyendo, la capacitancia de un elemento físico puede definirse
como el cambio en la cantidad de material o distancia requerido para
producir un cambio unitario en potencial o
Ch 
cambio en la cantidad de material o dis tan cia
cambio en potencial
En un sistema de tanque lleno de liquido, la cantidad de material puede
ser el volumen del liquido y el potencial puede ser, ya sea la presión o la
altura. Si aplicamos la definición general precedente de la capacitancia al
sistema del tanque lleno de liquido, el resultado es:
cambio en la cantidad de liquido
Ch 
cambio en la altura
 3 
 m 
N 2 
 m 
O bien,
Ch 
cambio en la cantidad de liquido
cambio en presión
 m3 
 
m
Si el fluido escurre por una tubería de sección A, su velocidad promedio
esta dada por,
v(t ) 
q(t )
A
siendo la masa m del fluido en una longitud d de tubería es:
m A d
De acuerdo a la segunda ley de Newton
f (t )  m a
por lo tanto,
f (t )   d
14
dq (t )
dt
Pero por otro lado,
p (t ) 
f (t )
A
resultando
p(t ) 
donde I h 
d
A
 d dq(t )
A
dt
p(t )  I h
dq(t )
dt
es la inductancia hidráulica
Finalmente, el termino inertancia e inductancia se refieren al cambio
en potencial necesario para producir una razón de cambio unitaria en la
razón de flujo, la velocidad o la corriente, o bien
Ih 
cambio en el potencial
cambio en la razón deflujo por segundo
Para el efecto de inertancia en el flujo de líquidos en tubos y dispositivos
semejantes, el potencial puede ser aún la presión o la altura, y el cambio
en la razón de flujo por segundo puede ser la aceleración del flujo líquido
volumétrico.
La aplicación de la definición general precedente de inertancia, inercia o
inductancia da,
cambio en presión
Ih 
cambio en la razón deflujo por segundo
N

 m2 
 m3 
 s 2 
cambio en la altura
Ih 
cambio en la razón deflujo por segundo


 m 
 m3 
 s 2 
O bien,
15
Ecuaciones de equilibrio.
En los sistemas hidráulicos se requieren algunos conceptos de los cuales
mencionaremos los más importantes.
La densidad de un fluido es la relación de la masa y el volumen, o sea,

m es la masa del fluido ( kg )

v es el volumen del fluido ( m3 )

masa


volumen g
El peso especifico de un fluido (  ) es la relación o razón entre el peso y
el volumen.

w es el peso del fluido ( kgf )

v es el volumen del fluido ( m3 )
 
peso
w

volumen V
La presión hidrostática de un liquido dependerá de la altura h y del
peso especifico del liquido.
Ph  h 

h es la altura del fluido ( m )

 es el peso especifico del fluido ( kgf / m3 )
El principio de pascal nos dice que cualquier incremento de presión
ejercido sobre un fluido contenido en un dispositivo cerrado se transmite
con la misma intensidad a todos los puntos del fluido.
Los fluidos son incomprensibles, por lo tanto las densidades y los pesos
específicos son casi constantes a diferentes presiones.
De acuerdo a la figura 8, la presión del liquido es
p
fuerza1 F1 F2


Area1
A1 A2
16
y la fuerza en los émbolos es:
F1  p A1  F2
A1
A2
F2  p A2  F1
A2
A1
F1
A1
A2
F2
Figura 8
El principio de Arquímedes dice que la fuerza de empuje vertical Fe de
un cuerpo es igual al peso del fluido desplazado por el, o sea,
Fe   v

w es el peso del cuerpo
Si Fe < w, éste se hunde.

 es el peso especifico del fluido
Si Fe = w, queda suspendido.

v es el volumen
Si Fe > w, este flotará
Ecuación del flujo
Como se observa en la figura 9,
las
velocidades
son
A1
inversamente proporcionales al
V1
A2
área de la sección transversal
por la que el liquido fluye, o sea,

Figura 9
q  V1
q es el gasto ( m3 / s )
17
A1  V2 A2
V2
Ecuación de Bernoulli
De acuerdo a la figura 10, la ecuación
de Bernoulli nos relaciona la posición,
las cargas de presión, la velocidad, la
altura y las perdidas en la siguiente
expresión.
Figura 10
h1 
p1


V12
P V2
 E P1  2  2  E P2  H
2g
 2g
La ley de balance de presiones establece que:
La suma de las caídas de presión alrededor de una malla es igual a cero.
 Pi  0
La ley de conservación de la masa establece que:
La suma algebraica de gasto en un nodo es igual a cero, o las variaciones
de volumen con respecto al tiempo es igual a la suma de los gastos de
entrada menos la suma de los gastos de salida.
dv
  qe   qs
dt
En estos sistemas las variables de interés son presión y gasto, y en
algunas ocasiones la altura de la columna del fluido del sistema.
18
2 . 4
M O D E L A D O
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N E U M Á T I C O S
Los sistemas neumáticos son sistemas de fluido que utilizan el aire como
el medio para la transmisión de señales y de potencia.
La resistencia al flujo de aire en tubos, orificios, válvulas y cualesquiera
otros dispositivos restrictores de flujo puede definirse como el cambio en
la presión diferencial necesaria para hacer un cambio unitario en la
razón de flujo de masa o,
Rn 
cambio en la presión diferencia l
cambio en la razón de flujo de masa
 N s 

2
 kg  m 
Por lo tanto la resistencia Rn puede expresarse como:

d(p) es un cambio en la presión diferencial

dq es un cambio en la razón de flujo de masa
Rn 
d (p)
dq
En un recipiente de presión neumática, la capacitancia puede definirse
como el cambio en la masa de aire en el recipiente, requerido para hacer
un cambio unitario en la presión.
cambio en la masa de aire
Cn 
cambio en la presión
La cual puede expresarse como

m es la masa del aire en el recipiente ( kg )

 es la densidad de masa del aire ( kg/m3 )

p es la presión absoluta del aire ( N/m2 )

V es el volumen del recipiente ( m3 )
Cn 
19
dm
d
V
dp
dp
kg
N 2
m


 kg 
N 2 
 m 
La inertancia o inductancia de un sistema neumático se refiere al cambio
de presión requerido para hacer un cambio de razón unitario en la razón
de flujo de masa, o
cambio en la presión
In 
cambio en la razón de flujo de masa por segundo
N

 m2 
 kg 
 s 2 
El aire o gas en tubos puede presentar vibraciones sostenidas (
resonancia acústica ) porque el aire o gas tiene inertancia y más aún, es
elástico.
Ecuaciones de equilibrio.
Considere un gas perfecto que cambia de un estado representado por p1,
v1, T1 a un estado representado por p2, v2, T2.
Si la temperatura se mantiene constante pero la presión cambia de p1
a p2, entonces el volumen del gas cambiará de v1 a v’ de modo que,
p1V1  p2V '
Si la presión se mantiene constante pero la temperatura se incrementa
de T1 a T2, entonces el volumen del gas llega a V2. Así,
V ' V2

T1 T2
Combinando las dos ecuaciones anteriores
p1V1 p 2V2

T1
T2
20
Lo que significa que para una cantidad fija de un gas perfecto, pV/T será
constante sin importar los cambios físicos que ocurran, o sea,
cons tan te 
pV
T
En presiones bajas y temperaturas altas todo gas se acerca a una
condición tal que,

p es la presión absoluta del gas ( N / m2 )

V es el volumen del gas ( m3 )

m es la masa del gas ( kg )

T es la temperatura del gas ( K )

R es una constante del gas ( N-m/kg K )
pV  m R T
Si el volumen del gas corresponde a un peso molecular, la constante del
gas es la misma para todos los gases (Constante universal de los
gases). Así que si definimos el volumen ocupado por un mole de gas
como , la ley del gas perfecto resulta,
~
p  R T
~


R~ se llama constante del gas universal
R = 8314 N-m/kg-mole K
los gases reales por debajo de la presión crítica y por arriba de la
temperatura crítica tienden a obedecer la ley del gas ideal o perfecto.
En los sistemas neumáticos las variables de interés son presión y gasto.
21
2 . 5
M O D E L A D O
D E
S I S T E M A S
T É R M I C O S
En los sistemas de conducción de calor también se puede identificar un
elemento resistivo.
d
A
B
Cuerpo conductor
de calor
Ta
Tb
Figura 11
La figura 11 muestra dos superficies con temperaturas Ta y Tb separadas
por un cuerpo conductor de calor.
Si Ta > Tb, el calor fluirá de la superficie A hacia la superficie B de
acuerdo a la relación,

Q es el flujo de calor que pasa a través de la
resistencia térmica ( W )

 es el índice de calor ( W / m K )

A es el área ( m2 )

Ta(t) – Tb(t) es el incremento de temperatura a
Q

d
A ((Ta (t )  Tb (t ))
través de la resistencia térmica ( K )

d es la distancia que se para a las dos superficies
(m)
También puede ser,

Q(t ) 
Q es el flujo de calor que pasa a través de la
resistencia térmica ( W )

o
T es el incremento de temperatura a través de la
resistencia térmica ( K )

1
(Ta (t )  Tb (t ))
RT
Q (t ) 
RT es el valor de la resistencia térmica o la
oposición que presenta el material al paso del flujo
de calor (K/W )
22
1
T (t )
RT
De otra forma, La resistencia térmica a la transferencia de calor por
conducción o convección es el cambio en la diferencia de temperatura
necesario para causar un cambio unitario en la razón de flujo de calor,
esto es,
cambio en la temperatura
RT 
cambio en la razón de flujo de calor
 K 
 
J 
 s
En resumen, la resistencia térmica depende de la conductividad
térmica y la geometría del material que separa los cuerpos que están a
temperaturas Ta y Tb respectivamente.
Por lo tanto, podemos definir a la resistencia térmica como la oposición
que presentan los materiales al paso del flujo de calor a través de ellos.
El flujo de calor es un proceso de transferencia de energía. La energía
que fluye a un cuerpo en forma de calor puede ser almacenada por dicho
cuerpo. Si no se realiza ningún trabajo, la rapidez de cambio de la
temperatura es directamente proporcional a la rapidez con que la energía
térmica fluye al cuerpo, es decir,

T es la temperatura a la cual esta la capacitancia
térmica ( K )

dT (t ) 1
 q (t )
dt
C
Q es el flujo de calor que se transfiere a la
capacitancia termica ( W )

CT es el valor de la capacitancia termica ( J/K)
Por lo que la capacitancia térmica se define como el cambio en la
cantidad de calor necesario para hacer un cambio unitario en la
temperatura, o
CT 
23
cambio en la cantidad de calor
cambio en la temperatura
 J 
 K 
Concluyendo, la capacidad que tiene un cuerpo para almacenar calor es
lo que se conoce como capacitancia térmica.
La inductancia térmica no tiene interpretación física para estos sistemas.
Ecuaciones de equilibrio.
Conducción de calor
La capacidad de una sustancia para emitir radiación cuando está
caliente es proporcional a la capacidad que posee para absorberla.
Si dos fluidos separados por una pared tienen temperaturas diferentes,
la cantidad de calor que fluye del más caliente al menos caliente, será:

Q es el flujo de calor que pasa a través de la
resistencia térmica ( W )

K es el coeficiente de conducción de calor

A es el área
Q(t )  K A ((Ta (t )  Tb (t ))
Convección de calor
Si entre un fluido y las paredes del tubo o recipiente que lo contiene hay
una diferencia de temperatura, la cantidad de calor que fluye de la zona
más caliente a la menos caliente será:

Q es el flujo de calor que pasa a través de la
resistencia térmica ( W )

 es el coeficiente de transmisión de calor

A es el área
Q(t )   A ((Ta (t )  Tb (t ))
24
Radiación de calor.
La cantidad de calor que se irradia de un cuerpo de superficie A y calor
absoluto T1 al espacio que lo rodea con temperatura absoluta T2, es

Q es el flujo de calor que pasa a través de la
resistencia térmica ( W )
4
4
T
  Tb
 
Q(t )  C A  a
 100  100 



C es la constante de irradiación de calor

A es el área

Ta(t) – Tb(t) es el incremento de temperatura a
través de la resistencia térmica ( K )
Primera ley de la termodinámica
En la transformación de cualquier tipo de energía en energía calorífica o
viceversa, la energía calorífica producida equivale exactamente a la
energía transformada.
Para un sistema térmico, esta ley puede ser expresada como:

U es la energía interna del sistema

Q es la cantidad de calor transferido al sistema

W es el trabajo realizado por el sistema
dQ  dW  dU
Sin embargo, la ecuación anterior se puede escribir como:
Qneto dt  dW   v dU
En los sistemas donde solo se transmite calor, es decir, no se realiza
trabajo, la primera ley de la termodinámica puede ser escrita como:

 es la densidad

v es el volumen del sistema

U es la energía interna del sistema por unidad de
Qneto dt   v dU
O bien
Qneto   v
masa

Qneto es la tasa neta de flujo de calor dentro del
sistema
25
dU
dt
Por otra parte, los cambios de temperatura son proporcionales a los de
energía interna por unidad de masa, es decir,

dT 
c es el calor especifico
1
du
c
Por lo tanto,
 v c   dT
dt
 Qnet
El término del lado izquierdo se define como la capacitancia térmica (
CT ), por lo que,
CT
dT
 Qnet
dt
Finalmente si Qnet se define como la diferencia entre el flujo de calor
suministrado al sistema y el cedido por éste, la ecuación de equilibrio
para sistemas térmicos se puede escribir como:
CT
dT
  Qe   Qs
dt
En los sistemas térmicos las variables de interés son temperatura y
flujo de calor.
26
2 . 5
M O D E L A D O
D E
S I S T E M A S
E L É C T R I C O S
En un circuito eléctrico, se encuentran tres tipos de elementos básicos.
El
primero
de
ellos
es
la
resistencia
eléctrica, la cual se representa por el
símbolo de la figura 12.
Figura 12
Este elemento tiene como variables asociadas a el voltaje y la corriente
relacionados por la ley de Ohm,

vR es el voltaje a través de la resistencia ( Volts )

iR es la corriente que fluye a través de la
resistencia ( Ampers )

vR  R iR
R es el valor de la resistencia eléctrica ( Ohms )
En conclusión, El factor de proporcionalidad R se llama resistencia
eléctrica.
Por lo que la podemos definir como el cambio en voltaje requerido para
producir un cambio unitario en la corriente, o sea,
R
cambio en voltaje
cambio en corriente
V 
 A   
En otras palabras, la resistencia eléctrica es la oposición que presentan
los conductores al paso de la corriente eléctrica.
27
Un capacitor esta formado por dos placas metálicas separadas por un
material dieléctrico, por lo tanto, en un circuito eléctrico un capacitor es
un elemento que por definición satisface la ecuación
qC v
en la cual, q es la carga neta en una de las placas del
capacitor y C es una medida de la cantidad de carga
que puede almacenarse para un voltaje dado entre
las placas, ver figura 13.
Figura 13
Las variables asociadas a este elemento son voltaje y corriente y su
comportamiento físico esta definido por:

ic  C
vc es el voltaje a través del capacitor o capacitancia
eléctrica ( V )

ic es la corriente que fluye a través del capacitor (A)

C es el valor de la capacitancia electrica ( f )
dvc
dt
t
vc 
1
ic dt
c 0
En resumen, el cambio en la cantidad de carga eléctrica requerido para
producir un cambio unitario en el voltaje se conoce como la capacitancia
eléctrica.
C
cambio en cantidad de c arg a electrica
cambio en voltaje
 A  s coulomb

 V  volt  faradio
Alrededor de una carga en movimiento o corriente
hay una región de influencia que se llama campo
magnético. Si el circuito se encuentra en un
campo magnético variante con respecto al tiempo,
se induce una fuerza electromotriz en el circuito.
28
Figura 14
Por lo tanto, una inductancia se representa por el símbolo de la figura
14, que satisface la ecuación
 (t )  L i(t )
En la cual  es el flujo en Webers, i es la corriente y l es la inductancia.
Las variables asociados a este elemento son voltaje y corriente y su
comportamiento físico está definido por:

vL es el voltaje a través de la inductancia eléctrica
v L (t )  L
(Volts)

t
iL es la corriente que fluye a través de la inductancia
i L (t ) 
(Ampers)

di L
dt
1
v L dt
L 0
L es el valor de la inductancia eléctrica ( henrio )
Finalmente, la capacidad que tiene un conductor de inducir voltaje en si
mismo cuando cambia la corriente se conoce como inductancia.
De otra forma, la inductancia se define como la relación entre el voltaje
inducido y la razón de cambio de la corriente.
I
cambio en voltaje inducido
cambio en corriente por segundo
29
V

webwe


 Henrio 
Ampere
A

 s

Ecuaciones de equilibrio.
Las tres leyes básicas para analizar un sistema eléctrico son:
Ley de Ohm
La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial entre dos puntos
es la causa del flujo de corriente y la posición a éste es la resistencia.
i
v
R
Primera ley de Kirchhoff ( Ley de las corrientes )
Esta ley indica que la suma algebraica de las corrientes que entran y
salen de un nodo es cero. ( un nodo es una unión de dos o más ramas ).
En otras palabras, la suma de las corrientes que entran a un nodo debe
ser igual a la suma de las corrientes que salen de él,
 Ientrada   I salida
Segunda ley de Kirchhoff ( Ley de tensiones )
En cualquier instante la suma algebraica de los voltajes alrededor de una
malla cualquiera en un circuito eléctrico es cero.
V  0
De otra forma, la suma algebraica de las caídas de tensión es igual a la
suma de elevaciones de tensión alrededor de una malla.
En este tipo de sistemas, las variables de interés pueden ser, el voltaje
en el capacitor, o la corriente en la inductancia.
30
2 . 6
S I S T E M A S
A N A L O G O S
El concepto de sistemas análogos es muy práctico para tratar o analizar
determinados tipos de sistemas. Los sistemas que pueden representarse
mediante el mismo modelo matemático o función de transferencia pero
que son diferentes físicamente se llaman sistemas análogos.
Debido e esta razón, las computadoras electrónicas analógicas son
ampliamente utilizadas para simular el comportamiento de cualquier
sistema físico.
De esta forma, también es posible por ejemplo obtener el circuito
mecánico análogo de un sistema acústico dado, y analizarlo a través de
una nueva analogía a sistema eléctrico.
Estos sistemas son muy útiles por las siguientes razones.
1. La solución de la ecuación que describe un sistema físico puede
aplicarse directamente al sistema análogo en otro campo.
2. Debido a que los sistemas eléctricos son más fáciles de tratar e
incluso por herramientas de simulación, es posible representar y
estudiar
un
sistema
mecánico,
hidráulico,
mediante su sistema eléctrico análogo.
Para
comprender
las
analogías vamos a ver un
caso sencillo de un sistema
mecánico.
Figura 15
31
neumático,
etc.
Para el sistema mecánico de la figura 15, la ecuación diferencial que
define su comportamiento es:
M
d 2x
dx
R K xF
2
dt
dt
Ecuación 1
Por analogía, el sistema eléctrico de la figura 15 esta representado por la
figura 16
Figura 16
Por la ley de mallas, la ecuación integro-diferencial que rige su
comportamiento es:
L
di
1
 R i   i dt  v
dt
C
Ecuación 2
que puede ponerse en términos de la carga eléctrica q como:
L
d 2q
dq 1
R
 qv
2
dt C
dt
Ecuación 3
De donde resulta evidente que las ecuaciones ( 1 y 3 ) para ambos
sistemas son idénticas, por lo que estos sistemas se denominan sistemas
análogos, y las magnitudes que los representan se llaman magnitudes
análogas.
Esta correspondencia es conocida como analogía de impedancia,
analogía en serie, analogía masa – inductancia o Fuerza-Tensión.
Las relaciones entre los elementos mecánicos y eléctricos se muestran en
la tabla 1
32
Sistema eléctrico
Sistema mecánico
Traslacional
Rotacional
Voltaje ( V )
Fuerza ( f )
Par ( T )
Corriente ( i )
Velocidad ( v )
Velocidad angular (  )
Carga ( q )
Desplazamiento ( x )
Desplazamiento angular (  )
Inductancia ( L )
Masa ( m )
Momento de inercia ( J )
Resistencia ( R )
Coeficiente
de
fricción
viscosa Coeficiente de fricción viscosa
traslacional ( B )
rotacional ( B )
Reciproco de la capacitancia Constante del resorte traslacional( Constante del resorte rotacional
(Elastancia S)
k)
(k)
Tabla 1
Existe otro tipo de analogía, también muy útil, entre sistemas mecánicos
y eléctricos que es la analogía de movilidad o admitancia, analogía en
paralelo, masa – capacitancia o fuerza – corriente y que es simplemente
la dual de la anterior.
De hecho, es este tipo de analogía es la que se suele emplear por la
facilidad con que se halla el circuito eléctrico a partir de su mecánico
análogo,
y
porque
el
circuito
eléctrico
es
fácilmente
analizable
eléctricamente usando análisis de nodos.
Por analogía, el sistema eléctrico de la figura 15 esta representado por la
figura 17
Figura 17
33
Aplicando la ley de Nodos, la ecuación integro-diferencial que rige su
comportamiento es:
C
dv v 1
 
v dt  i
dt R L 
Ecuación 4
y que puede ponerse en términos de carga eléctrica como:
C
d 2q
1 dq
1
Z
Z  qZ  i
2
R dt
L
dt
Ecuación 5
Comparando las expresiones 2 y 5, vemos que al igual que ocurría con la
analogía de impedancia, las ecuaciones son iguales.
La correspondencia mecánico-eléctrico de la analogía de movilidad se
muestra en la tabla 2:
Sistema eléctrico
Sistema mecánico
Traslacional
Rotacional
Corriente ( i )
Fuerza ( f )
Par ( T )
Voltaje ( V )
Velocidad ( v )
Velocidad angular (  )
Acoplamiento
por
flujo Desplazamiento ( x )
Desplazamiento angular (  )
magnetico ( )
Capacitancia ( C )
Reciproco
de
la
(Conductancia)
Reciproco
de
(Invertancia)
Masa ( m )
resistencia Coeficiente
Momento de inercia ( J )
de
fricción
traslacional ( B )
la
viscosa Coeficiente
de
fricción
viscosa
rotacional ( B )
inductancia Constante del resorte traslacional Constante del resorte rotacional
(k)
(k)
Tabla 2
También existe una correspondencia entre los sistemas hidráulicos y
térmicos con los sistemas eléctricos como se aprecia en la tabla 3 y 4.
34
Sistema eléctrico
Sistema térmico
Voltaje ( V )
Temperatura ( t )
Corriente ( i )
Razón de flujo de calor ( Q )
Carga ( q )
Calor ( h )
Resistencia ( R )
Resistencia térmica ( RT )
Capacitancia ( C )
Capacitancia térmica ( CT )
Tabla 3
Sistema eléctrico
Sistema hidráulico
Voltaje ( V )
Presión
Corriente ( i )
Gasto ( q )
Resistencia ( R )
Resistencia hidráulica ( Rh )
Inductancia ( L )
Inductancia hidráulica ( Ih )
Capacitancia ( C )
Capacitancia hidráulica ( Ch )
Tabla 4
2 . 7
M O D E L A D O
D E
S I S T E M A S
H Í B R I D O S
Es difícil encontrar en la realidad un sistema como los descritos
anteriormente. Por lo cual, es necesario realizar un estudio de los
sistemas formados por la combinación de subsistemas de distinto tipo,
es decir, sistemas híbridos.
Entre los elementos híbridos más comunes podemos mencionar al
potenciómetro traslacional y rotacional, motor ideal de cd, turbina
hidráulica ideal, servomecanismo hidráulico de posición, palanca etc. Las
ecuaciones para el modelado de sistemas híbridos se deben plantear
dependiendo del tipo de sistema, es decir, combinando los principios y
leyes descritos anteriormente.
35
En resumen, todos los elementos y sus relaciones se pueden apreciar en
las tablas 5, 6 y 7 agrupados como:
Elementos resistivos.
Tabla 5
Elementos capacitivos
TIPO DE SISTEMAS
ELECTRICO
MECANICO
HIDRAULICO
TRASLACIONA ROTACIONAL
L
Tabla 6
36
TERMICO
Elementos Inductivos
TIPO DE SISTEMAS
ELECTRICO
MECANICO
TRASLACIONAL
HIDRAULICO
ROTACIONAL
No
hay
representación
simbólica
Tabla 7
37
1 . 1 0
F U N C I Ó N
D E
T R A N S F E R E N C I A
Los modelos de función de transferencia constituyen una importante
técnica de análisis y diseño de los sistemas dinámicos lineales. Esta
metodología nos proporciona una comprensión de las relaciones causaefecto.
Existen diversas técnicas de transformación de variables (obtención del
modelo de función de transferencia), entre las cuales podemos mencionar
la transformada de Laplace, la transformada de Fourier o el álgebra
de fasores, todas ellas convierten modelos de ecuaciones diferenciales
lineales a modelos algebraicos.
La transformada de Laplace se utiliza para obtener la respuesta total
con una gran variedad de funciones de entrada, mientras que el álgebra
de fasores es aplicable solo con entradas sinusoidales y permite obtener
solo la respuesta forzada o en estado estacionario.
Sin
embargo
ambas
técnicas
permiten
obtener
una
función
de
transferencia idéntica a excepción de la variable de transformación. Esto
es muy importante ya que una función de transferencia que se obtiene
utilizando una técnica se convierte rápidamente para emplearse con la
otra técnica simplemente sustituyendo la variable de Laplace S por la
variable jw del álgebra de fasores.
Como ya se menciono, la función de transferencia permite ver que en
general las relaciones causa-efecto son más fáciles de entender, además,
por otro lado, los parámetros de la función de transferencia se relacionan
rápidamente con las funciones operacionales de partes especificas de un
sistema físico y también de datos experimentales.
38
Los modelos matemáticos descritos hasta el momento constituyen
ecuaciones diferenciales, y la aplicación de la transformada de Laplace
convierte estos modelos en relaciones algebraicas equivalentes las
cuales podrían considerarse simplemente como un paso en un
procedimiento de solución que considera una transformación directa e
inversa. Sin embargo, el modelo algebraico puede dar una comprensión
mejorada
de
la
relación
causa-efecto
y
el
empleo
del
modelo
transformado proporciona la base de una serie de técnicas de análisis y
diseño importante.
La función de transferencia de un sistema lineal e invariante con el
tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la
salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposición que
todas las condiciones iniciales son cero.
Función de transferencia  G ( s ) 
salida 
entrada
Función de transferencia  G ( s) 
condiciones iniciales cero
Y ( s)
X ( s)
La función de transferencia de un sistema:
1. Es un modelo matemático para expresar la ecuación diferencial
que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.
2. Es una propiedad de un sistema, independientemente de la
magnitud y naturaleza de la entrada.
3. No proporciona información acerca de la estructura física del
sistema.
4. Permite estudiar la salida para varias formas de entrada, con la
intención de comprender la naturaleza del sistema.
5. Proporciona una descripción completa de las características
dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.
39
La función de transferencia se puede obtener de cinco maneras:
1. A partir del modelo matemático empleado para describir el
comportamiento del sistema dinámico
Considere el modelo matemático de un sistema, representado por la
m
m 1
dnx
d n 1 x
d n2 x
dx

a

a
   a n 1
 a n x  b0 u  b1 u    bm1u  bm u
1
2
n
n 1
n2
dt
dt
dt
dt
siguiente ecuación:
Que tiene la función de transferencia descrita por:
Y ( s) b0 s m  b1 s m1  b2 s m2  ...  bm1 s  bm
 n
X ( s)
s  a1 s n 1  a 2 s n2  ...  a n 1 s  a n
Para m <= n
de otra forma,

H(s) es la función de transferencia

Q(s) es un polinomio de orden m y las raíces de éste
Y ( s ) Q( s )

X ( s ) P( s )
representan los ceros del sistema

P(s) es un polinomio de orden n y las raíces de éste
representan los polos del sistema
2. A partir de la respuesta impulso del sistema.
Debido a que la transformada de Laplace de la función impulso unitario
es la unidad, la transformada de Laplace de la salida del sistema es
Función de transferencia  G ( s)  Y ( s)
La transformada inversa de Laplace de la salida es la respuesta impulso
del sistema, o sea,
1 [G(s)   g (t )
La cual se denomina respuesta impulso o función de ponderación.
40
3. Por medio de diagramas a bloques
Como se menciono anteriormente, la transformada de Laplace convierte
las relaciones diferenciales entre las variables en el tiempo en relaciones
algebraicas en términos de una variable compleja s, las cuales pueden
ser representadas convenientemente utilizando diagramas a bloques.
Los diagramas a bloques son una representación grafica de las variables
de un sistema, en otras palabras, indica en forma más realista el flujo de
lass señales en un sistema.
Generalmente, los diagramas a bloques están constituidos por tres
componentes:
1. Elementos:
Y(s)
X(s)
G(s)
2. Punto de suma
A(s)
B(s)
+
+
Y(s) = C(s) +B(s) - A(s)
C(s)
3. Punto de ramificación
X(s)
X(s)
X(s)
41
Con la combinación de estos tres elementos básicos es posible obtener la
representación en diagramas a bloques de un sistema de control de lazo
cerrado como el que se muestra en la figura 18
R(s)
+
C(s)
E(s)
G(S)
-
B(s)
h(S)
Donde:
Figura 18
G(s) es la función de transferencia de control
H(s) es la función de transferencia de retroalimentación
C(s) es la señal de salida
R(s) es la señal de entrada
E(s) es la señal de error
Manipulando algebraicamente las señales de la figura 2 llegamos a la
forma general de la función de transferencia de lazo cerrado
C (S )
G(S )

R( S ) 1  G ( S ) H ( S )
De donde:
 G(S) H(S) es la función de transferencia de lazo abierto
 1 + G(S) H(S) es llamada
ecuación característica, en donde las
soluciones de esta ecuación son los polos de la función de lazo
cerrado.
Procedimiento para trazar diagramas a bloques.
1. Escribir las ecuaciones que describen el comportamiento
para cada elemento.
2. Obtener la transformada de Laplace de dichas ecuaciones
con condiciones iniciales nulas.
3. Representar cada ecuación transformada en forma de bloque
4. Simplificar los diagramas a bloques.
42
4. Por gráficos de flujo de señal
Los gráficos de flujo de señal (GFS) son un método grafico de
representación de ecuaciones diferenciales.
Los GFS transforman las ecuaciones diferenciales en ecuaciones
algebraicas en s. El método para trazar los gráficos de flujo de señal es
idéntico al que se usa para los diagramas a bloques.
En la figura 19 se puede observar un grafico de flujo de señal con todos
sus elementos.
Los símbolos que constituyen un grafico de flujo de señal son:
 Nodo
Es un punto que representa variable.
 Nodo de entrada
Punto donde únicamente salen ramas.
 Nodo de salida
Punto donde solo entran ramas.
 Transmitancia
Ganancia entre dos nodos.
 Rama
Segmento de línea con dirección y sentido
que une dos nodos
 Lazo
Camino o trayecto cerrado
 Ganancia de lazo
Es el producto de las transmitancias de un
lazo
 Lazos disjuntos
Lazos que no poseen nodos en común
 Trayecto directo
Trayecto de un nodo de entrada a un nodo
de salida que pasa solo una vez por cada uno de los nodos que lo
forman.
V5
T5
T1
V2
T2
T3
V1
V4
V3
T4
Figura 19
43
Para reducir los gráficos de flujo de señal a una sola función de
transferencia se requiere de la aplicación de la regla de Mason que dice: “
La función de transferencia C(s)/R(s), de un sistema representadopor
una grafica de flujo de señales es:
C ( s)
G ( s) 

R( s)
T 
k
k
k

Donde:
K es el numero de trayectorias directas
Tk es la k-ésima ganancia de la trayectoria directa
 = 1 -  ganancias de malla simples +  ganancias de mallas dobles - 
ganancias de mallas triples +  ganancias de mallas cuádruples - . . . .
k =  -  términos de ganancia de malla en  que tocan la k-ésima
trayectoria directa. En otras palabras, k se forma al eliminar las
ganancias de mallas que tocan la k-ésima trayectoria directa.
5. Por impedancias y admitancias
Los circuitos equivalentes para las redes eléctricas con los que trabajamos
están representados en la tabla 9
Tabla 8
44
Si tomamos la transformada de Laplace de las ecuaciones de la columna
de voltaje - corriente de la tabla 9, suponiendo condiciones iniciales
nulas.
Para el capacitor
V ( s) 
1
I ( s)
Cs
Para el resistor
V ( s)  RI ( s)
Para el inductor
V ( s )  Ls I ( s )
Y definiendo la función de transferencia como:
V (s)
 Z (s)
I (s)
Las redes eléctricas se pueden resolver aplicando el concepto de
impedancia de acuerdo a las leyes de Kirchhoff.
Para encontrar la función de transferencia en los sistemas mecánicos
solo se requiere obtener la ecuación de movimiento del sistema de
acuerdo a la tabla 10 y posteriormente se le aplica transformada de
Laplace con condiciones iniciales nulas.
Sin embargo, en los sistemas mecánicos es posible utilizar las técnicas
descritas para los sistemas eléctricos, es decir, si tomamos la
transformada de Laplace de la columna fuerza – desplazamiento de la
tabla 10, nos queda:
Para el resorte:
F ( s)  K X ( s)
Para el amortiguamiento viscoso:
F ( s)  f v s X ( s)
Y parta la masa:
45
F ( s)  M s 2 X ( s)
Y definiendo la función de transferencia como:
F ( s)
 Z M ( s)
X ( s)
Tabla 9
Al igual que para los sistemas mecánicos traslacionales, los sistemas
mecánicos rotacionales están representados por los elementos de la tabla
11 De igual forma, esta tabla muestra las impedancias de los sistemas
mecánicos rotacionales.
46
Tabla 10
F U N C I O N E S D E
Y A D M I T A N C I A
T R A N S F E R E N C I A
F A S O R I A L E S :
I M P E D A N C I A
El análisis de un sistema dinámico empleando técnicas en el dominio de
la frecuencia involucra algunos conceptos los cuales describiremos
enseguida.
Una función de transferencia fasorial G (jw) expresa la relación entre el
fasor de entrada y el fasor de salida
G ( j ) 
Fasor de salida
Fasor de entrada
Ecuación 6
Con el fin de normalizar las relaciones entre las diferentes analogías
vistas anteriormente, es necesario clasificar las variables utilizadas de
acuerdo a características comunes.
47
En los sistemas dinámicos, las variables que se manejan pueden ser:
 Pervariables. Son las variables que se propagan a través del
dispositivo empleado para su medición.
 Transvariables. Son la variables que para medirse se debe de
colocar un instrumento de medición entre dos puntos.
En resumen, las transvariables se miden entre dos puntos, es decir, con
respecto a una referencia, mientras que para medir las pervariables no se
requiere referencia.
En la tabla 12 se muestra un resumen de las diversas variables así como
de las relaciones entre los sistemas dinámicos.
Sistema
Variable
Pervariable
Eléctrico
Mecánico
Transvariable
Carga ( q )
Flujo (  )
Corriente ( i )
Tensión ( v )
Fuerza ( f )
Desplazamiento (x)
Velocidad ( v )
Hidráulico
Gasto ( q )
Presión ( p )
Térmico
Gasto térmico ( Q )
Temperatura ( T )
Tabla 11
La función de transferencia que relaciona el fasor del esfuerzo de salida
con el fasor del flujo de entrada para un sistema se conoce como
impedancia.
48
La función de transferencia que relaciona el fasor del esfuerzo de salida
con el fasor del flujo de entrada para un sistema se conoce como
admitancia.
En la tabla 13 se muestra un resumen de las impedancias y
admitancias.
Impedancia
Admitancia
Resistiva
Inductiva
Capacitiva
Resistiva
Inductiva
Capacitiva
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Z R ( j )  R Z L ( j )  jL
[ 1 / ]
Z C ( j ) 
[ 1 / ]
[ 1 / ]
1
1
1
YC ( j )  jC
Y R ( j ) 
Yl ( j ) 
R
jL
jC
[ 1 / ]
[ 1 / ]
[ 1 / ]
EN SERIE
EN SERIE
Z eq  Z1  Z 2  ...  Z n
1
1
1
1


 ... 
Z eq Z1 Z 2
Zn
EN PARALELO
EN PARALELO
1
1 1
1
   ... 
Yeq Y1 Y2
Yn
Yeq  Y1  Y2  ...  Yn
Tabla 12
49