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Interacción Gravitatoria Curso Multimedia de Física. 2º Bachillerato. © Antonio Moya Ansón Nº. Reg.:V-1272-04 Antecedentes de la Teoría de la Gravitación Filolao de Tarento (480 a. de C.) Aristarco de Samos (320-250 a. de C.) Aristóteles de Estagira (384-322 a. de C.) Hiparco de Nicea (200 a. de C.) Eratóstenes de Cirene (276-196 a. de C.) Claudio Ptolomeo (130 d. de C.) Antecedentes de la Teoría de la Gravitación Claudio Ptolomeo (130 d. de C.) Modelo Geocéntrico Antecedentes de la Teoría de la Gravitación Nicolás Copérnico (1473-1543) Galileo Galilei (1546-1642) Modelo Heliocéntrico Johannes Kepler Modelo (1571-1630) experimental exacto Leyes de Kepler Leyes de Kepler Johannes Kepler (1571-1630) Ley de las Órbitas Ley de las Áreas L cte Ley de los Períodos 3 2 va cte R R3 K 2 K Sol T T Ley de Newton de la Gravitación Universal Isaac Newton (1642-1727) Principios de la Dinámica Ley de la Gravitación Universal Leyes de Kepler m0 ·m Fg G 2 · ur r G 6.67·10 Fg F1 F2 G 11 Nm2 Kg 2 Constante de Gravitación Universal m1 ·m m2 ·m · u G · ur2 r1 2 2 r1 r2 N mi Fg Gm 2 ·uri i 1 ri Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Aplicaciones: Las mareas Atracción gravitatoria de la Luna Movimiento de rotación Tierra-Luna 2 mareas cada 24 horas Aplicaciones: Las mareas Aplicaciones: La forma de la Tierra Atracción gravitatoria de la Tierra sobre sí misma Movimiento de rotación de la Tierra Geoide Aplicaciones: Descubrimiento de nuevos planetas Atracción gravitatoria de los planetas más cercanos Atracción gravitatoria del Sol ¿Fluctuaciones en Urano? Movimiento real de los planetas Le Verrier propone, en 1830, la existencia de un nuevo planeta... ¡Neptuno! Aplicaciones: Determinación de la masa de la Tierra Henry Cavendish (1731-1810) La ley es válida para todos los cuerpos Determinó el valor de la constante G ¡Pesar la Tierra! El Campo Gravitatorio ¡La Interacción Gravitatoria es una fuerza de acción a distancia! r ur Fg Fg G M ·m · ur 2 r Concepto de Campo La masa M deforma su entorno, creando un campo gravitatorio P m M La masa m, puesta en el punto P, siente el efecto de este campo Intensidad de Campo Gravitatorio M ·m F G 2 · u r r Pero el campo existe, independientemente de la masa m... Intensidad del Campo Gravitatorio Eg Fg m masas puntuales Eg P m F M G· 2 ·ur r M La masa m, puesta en el punto P, siente el efecto de este campo Intensidad de Campo Gravitatorio M ·m F G 2 · u r r Pero el campo existe, independientemente de la masa m... Intensidad del Campo Gravitatorio Eg Fg m masas puntuales Eg P Eg M G· 2 ·ur r M La masa m, puesta en el punto P, siente el efecto de este campo Ejercicio 4 Ejercicio 5 El Campo Gravitatorio Terrestre La fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos ya la conocemos... r ur ¡La intensidad del campo gravitatorio es la aceleración de la gravedad! Fg = P Eg m·g g m MT · ur 2 r La aceleración de la gravedad varía con la altitud g G R Ejercicio 7 h MT g G RT h2 Ejercicio 8 Ejercicio 9 MT g0 G 2 RT Ejercicio 10 Es el Peso del cuerpo Fg P Eg m m Ejercicio 6 2 RT g g0 · RT h2 Ejercicio 11 Trabajo y Energía I. gravitatoria El Concepto de Trabajo es necesario para estudiar cinemáticamente interacciones función de la posición I. elástica I. eléctrica r ur rr Fg M ·m Fg G 2 · ur r Fe K · e B B A A W F ·dr F ·ds ·cos El trabajo es una integral de línea Ejercicio 12 + ur q1 Fe K + F q2 e q1 ·q2 · ur 2 r Trabajo y Energía Trabajo que hace el campo para trasladar una masa m desde un punto A a otro punto B B W Fg ·dr donde A M ·m Fg G 2 · ur por lo que r W GMm ur ·dr r2 B A pero u r ·dr u r ·d r ·u r ¡El trabajo sólo depende del punto inicial y final, NO del camino recorrido entre A y B! El Campo Gravitatorio es conservativo dr ru r ·du r dr W GMm B A dr 2 r GMm W GMm rA rB Trabajo y Energía Energía Capacidad de un cuerpo de realizar trabajo... en función de su estado de movimiento en función de su posición EC Energía Cinética Energía Potencial 1 1 p ·v m v 2 2 2 Teorema de las Fuerzas Vivas El trabajo realizado por la fuerza resultante sobre un móvil, entre dos puntos A y B, es igual a la variación de la Energía Cinética del móvil 1 1 2 2 W EC m vB m v A 2 2 B A Ejercicio 13 Ejercicio 14 Energía Potencial Gravitatoria E pg (B) E pg (A) Por definición, el Trabajo que hacen las fuerzas del campo para trasladar la masa m entre dos puntos A y B es... W E pg ( A) E pg ( B) E p B A por lo que pero GMm rA W GMm rB Mm Mm E p g ( A) G G E pg ( B) rA rB Mm si elegimos el siguiente B E p g ( A) G origen de E. potencial E pg ( B) 0 rA Ejercicio 15 Ejercicio 16 Energía Potencial Gravitatoria Puntos cercanos a la corteza terrestre hA R hA R hB WAB E pg ( A) E pg ( B) E p R R hB GMm W RGMm hA R hB B A WAB R hA , hB m·g0 ·hA hB Ejercicio 17 E pg m·g0 ·h Teorema de Conservación de la Energía Mecánica Energía Mecánica EM EC EP El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la Energía Mecánica de la partícula WAB, no cons EM EC B EP B EC A EP A La Energía Mecánica permanece constante bajo fuerzas conservativas Ejercicio 18 Ejercicio 19 Ejercicio 20 El Potencial Gravitatorio -Campo de fuerzas conservativo Potencial en un punto es la Energía Potencial por unidad de masa Vg M E pg m m masas puntuales M G r ¡el potencial se define en todos los puntos del espacio, aunque no haya masa! También sirve para definir el campo El Potencial Gravitatorio M V g G m r V decreciente Las masas se mueven espontáneamente hacia zonas de potencial decreciente Relación Campo-Potencial E p E p A E p B F ·dr dEP F ·dr B A m m m m m m V V A V B E·dr dV E·dr B A Ejercicio 21 Ejercicio 22 Representación Espacial de los campos de fuerzas Líneas de fuerza Líneas tangentes al vector intensidad de campo, en cada punto, y orientadas 2 1 2 1 Sentido Dirección Módulo Flujo Gravitatorio: Nº de líneas que atraviesan una superficie cualquiera g E ·dS Sup Representación Espacial de los campos de fuerzas Superficies Equipotenciales El potencial es constante en todos sus puntos M V g G r r Relación entre las superficies equipotenciales y las líneas de fuerza Ejercicio 23 Relación entre las superficies equipotenciales y las líneas de fuerza Las superficies equipotenciales y las líneas de Fuerza son perpendiculares entre sí Basta comprobar que los vectores E y dr son perpendiculares entre sí, pero dV E ·dr Y como V es constante en todos los puntos de la superficie... dV 0 E ·dr E dr Teorema de Gauss Útil para el cálculo de la intensidad de campo generada por una distribución no puntual Paso Previo: Flujo Gravitatorio de una masa puntual Sup ¡superficie esférica! M g E g ·dS E g ·dS pero E es cte Sup Sup M M g G 2 dS G 2 4r 2 4GM r Sup r Ejercicio 24 r Teorema de Gauss Teorema de Gauss para el Campo Gravitatorio Sup. cerrada g Eg ·dS 4GM encerrada S Casos particulares Esfera en un punto exterior Esfera en un punto interior E cte M g Eg ·dS E·4r 2 Sup R r 4GM E·4r M Eg G 2 r 2 M r R ¡Masa puntual! Ejercicio 25 4Gmenc E·4r 2 m 4 3 m r E g G enc enc 3 r2 4 Eg G r 3 Velocidad de escape de un cohete Mínima velocidad que hemos de darle a un objeto, en reposo sobre la superficie del planeta, para que lo abandone B EM A EC A E pg (A) EM B EC B E pg ( B) 0 M vescape 2G 2 g0 R R Ejercicio 26 Energía de enlace de un satélite Energía que debe tener un satélite para mantenerse en órbita circular estacionaria, a una altura h de la superficie del planeta v h M.C.U. Mm v2 Fg G maN m 2 Rh R h M v G Rh Velocidad del satélite en órbita circular 1 Mm EC G 2 Rh 1 Mm Eenlace EC EP G 2 Rh Energía de enlace Energía de enlace de un satélite v 2 R h 2 R h T v GM 3 2 Período de Revolución h T 24h Satélite Geoestacionario ¿Y si la velocidad es mayor que v?... Ejercicio 27 Ejercicio 28 Ejercicio 30 Ejercicio 29 Ejercicio 31 Ej er ci cio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg, situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m 2 = 5K g, situada en (0,4), y m 3 = 2K g, situada en (0,0). Ej er cicio 2.-* Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan. Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8 ¢105 K m y que M T i er r a = 81 ¢M L u n a : Ej er cicio 3.-* Para los planet as del Sist ema Solar, según expresa la t ercera 3 ley de K epler, la relación RT 2 es const ant e, y su valor es 3:35 ¢1018 m 2 =s2 , donde R es el radio de las órbit as y T el período de rot ación. Suponiendo las órbit as 2 circulares, calcular la masa del Sol. Dat o G = 6:67 ¢10¡ 11 NK mg2 : Ej er cicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determina el módulo del campo gravitatorio creado por las dos masas en el vértice libre así como la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ): Ej er cicio 5.-* Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y sentido) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol, a una distancia de 4 ¢105 K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 , M T i er r a = 5:98¢1024 K g, M Sol = 1:99¢1030 K g, D T i er r a¡ Sol = 15 ¢107 K m.) Ej er ci cio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg, situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m 2 = 5K g, situada en (0,4), y m 3 = 2K g, situada en (0,0). Ej er cicio 2.-* Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan. Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8 ¢105 K m y que M T i er r a = 81 ¢M L u n a : Ej er cicio 3.-* Para los planet as del Sist ema Solar, según expresa la t ercera 3 ley de K epler, la relación RT 2 es const ant e, y su valor es 3:35 ¢1018 m 2 =s2 , donde R es el radio de las órbit as y T el período de rot ación. Suponiendo las órbit as 2 circulares, calcular la masa del Sol. Dat o G = 6:67 ¢10¡ 11 NK mg2 : Ej er cicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determina el módulo del campo gravitatorio creado por las dos masas en el vértice libre así como la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ): Ej er cicio 5.-* Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y sentido) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol, a una distancia de 4 ¢105 K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 , M T i er r a = 5:98¢1024 K g, M Sol = 1:99¢1030 K g, D T i er r a¡ Sol = 15 ¢107 K m.) Ej er ci cio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg, situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m 2 = 5K g, situada en (0,4), y m 3 = 2K g, situada en (0,0). Ej er cicio 2.-* Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan. Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8 ¢105 K m y que M T i er r a = 81 ¢M L u n a : Ej er cicio 3.-* Para los planet as del Sist ema Solar, según expresa la t ercera 3 ley de K epler, la relación RT 2 es const ant e, y su valor es 3:35 ¢1018 m 2 =s2 , donde R es el radio de las órbit as y T el período de rot ación. Suponiendo las órbit as 2 circulares, calcular la masa del Sol. Dat o G = 6:67 ¢10¡ 11 NK mg2 : Ej er cicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determina el módulo del campo gravitatorio creado por las dos masas en el vértice libre así como la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ): Ej er cicio 5.-* Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y sentido) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol, a una distancia de 4 ¢105 K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 , M T i er r a = 5:98¢1024 K g, M Sol = 1:99¢1030 K g, D T i er r a¡ Sol = 15 ¢107 K m.) Ej er ci cio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg, situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m 2 = 5K g, situada en (0,4), y m 3 = 2K g, situada en (0,0). Ej er cicio 2.-* Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan. Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8 ¢105 K m y que M T i er r a = 81 ¢M L u n a : Ej er cicio 3.-* Para los planet as del Sist ema Solar, según expresa la t ercera 3 ley de K epler, la relación RT 2 es const ant e, y su valor es 3:35 ¢1018 m 2 =s2 , donde R es el radio de las órbit as y T el período de rot ación. Suponiendo las órbit as 2 circulares, calcular la masa del Sol. Dat o G = 6:67 ¢10¡ 11 NK mg2 : Ej er cicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determina el módulo del campo gravitatorio creado por las dos masas en el vértice libre así como la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ): Ej er cicio 5.-* Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y sentido) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol, a una distancia de 4 ¢105 K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 , M T i er r a = 5:98¢1024 K g, M Sol = 1:99¢1030 K g, D T i er r a¡ Sol = 15 ¢107 K m.) Ej er ci cio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg, situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m 2 = 5K g, situada en (0,4), y m 3 = 2K g, situada en (0,0). Ej er cicio 2.-* Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan. Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8 ¢105 K m y que M T i er r a = 81 ¢M L u n a : Ej er cicio 3.-* Para los planet as del Sist ema Solar, según expresa la t ercera 3 ley de K epler, la relación RT 2 es const ant e, y su valor es 3:35 ¢1018 m 2 =s2 , donde R es el radio de las órbit as y T el período de rot ación. Suponiendo las órbit as 2 circulares, calcular la masa del Sol. Dat o G = 6:67 ¢10¡ 11 NK mg2 : Ej er cicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determina el módulo del campo gravitatorio creado por las dos masas en el vértice libre así como la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ): Ej er cicio 5.-* Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y sentido) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol, a una distancia de 4 ¢105 K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 , M T i er r a = 5:98¢1024 K g, M Sol = 1:99¢1030 K g, D T i er r a¡ Sol = 15 ¢107 K m.) Ej er cicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos: M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g; RT i er r a (E cuador ) = 6378:2K m; RT i er r a (P olo) = 6356:8K m). Ej er cicio 7.-Comenta la veracidad de la siguiente a…rmación: ” Los astronautas que orbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir, debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula” . Ej er cicio 8.-Consideremos un hipotético planeta de masa M y radio R, ¿A qué altura sobre la super…cie del planeta el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en la super…cie?. Ej er cicio 9.-* Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha super…cie. (Dato: R T = 6370K m). Ej er cicio 10.-* Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie terrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra. Ej er cicio 11.- * ¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de 2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M T = 5:98 ¢1024 K g; RT = 6370K m): Ej er cicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos: M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g; RT i er r a (E cuador ) = 6378:2K m; RT i er r a (P olo) = 6356:8K m). Ej er cicio 7.-Comenta la veracidad de la siguiente a…rmación: ” Los astronautas que orbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir, debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula” . Ej er cicio 8.-Consideremos un hipotético planeta de masa M y radio R, ¿A qué altura sobre la super…cie del planeta el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en la super…cie?. Ej er cicio 9.-* Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha super…cie. (Dato: R T = 6370K m). Ej er cicio 10.-* Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie terrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra. Ej er cicio 11.- * ¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de 2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M T = 5:98 ¢1024 K g; RT = 6370K m): Ej er cicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos: M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g; RT i er r a (E cuador ) = 6378:2K m; RT i er r a (P olo) = 6356:8K m). Ej er cicio 7.-Comenta la veracidad de la siguiente a…rmación: ” Los astronautas que orbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir, debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula” . Ej er cicio 8.-Consideremos un hipotético planeta de masa M y radio R, ¿A qué altura sobre la super…cie del planeta el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en la super…cie?. Ej er cicio 9.-* Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha super…cie. (Dato: R T = 6370K m). Ej er cicio 10.-* Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie terrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra. Ej er cicio 11.- * ¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de 2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M T = 5:98 ¢1024 K g; RT = 6370K m): Ej er cicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos: M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g; RT i er r a (E cuador ) = 6378:2K m; RT i er r a (P olo) = 6356:8K m). Ej er cicio 7.-Comenta la veracidad de la siguiente a…rmación: ” Los astronautas que orbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir, debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula” . Ej er cicio 8.-Consideremos un hipotético planeta de masa M y radio R, ¿A qué altura sobre la super…cie del planeta el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en la super…cie?. Ej er cicio 9.-* Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha super…cie. (Dato: R T = 6370K m). Ej er cicio 10.-* Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie terrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra. Ej er cicio 11.- * ¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de 2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M T = 5:98 ¢1024 K g; RT = 6370K m): Ej er cicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos: M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g; RT i er r a (E cuador ) = 6378:2K m; RT i er r a (P olo) = 6356:8K m). Ej er cicio 7.-Comenta la veracidad de la siguiente a…rmación: ” Los astronautas que orbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir, debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula” . Ej er cicio 8.-Consideremos un hipotético planeta de masa M y radio R, ¿A qué altura sobre la super…cie del planeta el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en la super…cie?. Ej er cicio 9.-* Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha super…cie. (Dato: R T = 6370K m). Ej er cicio 10.-* Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie terrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra. Ej er cicio 11.- * ¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de 2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M T = 5:98 ¢1024 K g; RT = 6370K m): Ej er cicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos: M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g; RT i er r a (E cuador ) = 6378:2K m; RT i er r a (P olo) = 6356:8K m). Ej er cicio 7.-Comenta la veracidad de la siguiente a…rmación: ” Los astronautas que orbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir, debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula” . Ej er cicio 8.-Consideremos un hipotético planeta de masa M y radio R, ¿A qué altura sobre la super…cie del planeta el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en la super…cie?. Ej er cicio 9.-* Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha super…cie. (Dato: R T = 6370K m). Ej er cicio 10.-* Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie terrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra. Ej er cicio 11.- * ¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de 2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M T = 5:98 ¢1024 K g; RT = 6370K m): ¡! ¡! ¡! Ej er cicio 12.-Dada una fuerza, F = xy i + x 2 y j (N ) Calcular el trabajo realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coordenadas hasta el punto (2,4)m (a) a lo largo de la recta que une estos dos puntos, (b) a lo largo del eje OX desde x= 0 hasta x= 2, y la línea x= 2 desde y= 0 hasta y= 4. Ej er cicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m = 1020 K g y que a 106 K m soltamos un objeto de masa m 1 = 1K g, calcula la velocidad que tendrá cuando se encuentre a 103 K m del mismo. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I ): Ej er cicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30 o se deposita un cuerpo masa m, y se deja caer para que baje deslizando por el mismo. Calcula, usando el teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si el rozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m. Ej er cicio 15.-Calcula el trabajo que hace el peso sobre un cuerpo de 1K g que es lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida. Ej er cicio 16.-* Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cuyas posiciones respectivas son A(¡ 2; 0)m y B (3; 0)m. Calcular: (a) el campo gravitatorio en el punto C(0; 4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar una partícula de 10K g de masa desde el punto C(0; 4)m hasta el punto O(0; 0)m. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :): ¡! ¡! ¡! Ej er cicio 12.-Dada una fuerza, F = xy i + x 2 y j (N ) Calcular el trabajo realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coordenadas hasta el punto (2,4)m (a) a lo largo de la recta que une estos dos puntos, (b) a lo largo del eje OX desde x= 0 hasta x= 2, y la línea x= 2 desde y= 0 hasta y= 4. Ej er cicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m = 1020 K g y que a 106 K m soltamos un objeto de masa m 1 = 1K g, calcula la velocidad que tendrá cuando se encuentre a 103 K m del mismo. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I ): Ej er cicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30 o se deposita un cuerpo masa m, y se deja caer para que baje deslizando por el mismo. Calcula, usando el teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si el rozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m. Ej er cicio 15.-Calcula el trabajo que hace el peso sobre un cuerpo de 1K g que es lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida. Ej er cicio 16.-* Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cuyas posiciones respectivas son A(¡ 2; 0)m y B (3; 0)m. Calcular: (a) el campo gravitatorio en el punto C(0; 4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar una partícula de 10K g de masa desde el punto C(0; 4)m hasta el punto O(0; 0)m. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :): ¡! ¡! ¡! Ej er cicio 12.-Dada una fuerza, F = xy i + x 2 y j (N ) Calcular el trabajo realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coordenadas hasta el punto (2,4)m (a) a lo largo de la recta que une estos dos puntos, (b) a lo largo del eje OX desde x= 0 hasta x= 2, y la línea x= 2 desde y= 0 hasta y= 4. Ej er cicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m = 1020 K g y que a 106 K m soltamos un objeto de masa m 1 = 1K g, calcula la velocidad que tendrá cuando se encuentre a 103 K m del mismo. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I ): Ej er cicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30 o se deposita un cuerpo masa m, y se deja caer para que baje deslizando por el mismo. Calcula, usando el teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si el rozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m. Ej er cicio 15.-Calcula el trabajo que hace el peso sobre un cuerpo de 1K g que es lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida. Ej er cicio 16.-* Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cuyas posiciones respectivas son A(¡ 2; 0)m y B (3; 0)m. Calcular: (a) el campo gravitatorio en el punto C(0; 4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar una partícula de 10K g de masa desde el punto C(0; 4)m hasta el punto O(0; 0)m. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :): ¡! ¡! ¡! Ej er cicio 12.-Dada una fuerza, F = xy i + x 2 y j (N ) Calcular el trabajo realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coordenadas hasta el punto (2,4)m (a) a lo largo de la recta que une estos dos puntos, (b) a lo largo del eje OX desde x= 0 hasta x= 2, y la línea x= 2 desde y= 0 hasta y= 4. Ej er cicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m = 1020 K g y que a 106 K m soltamos un objeto de masa m 1 = 1K g, calcula la velocidad que tendrá cuando se encuentre a 103 K m del mismo. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I ): Ej er cicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30 o se deposita un cuerpo masa m, y se deja caer para que baje deslizando por el mismo. Calcula, usando el teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si el rozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m. Ej er cicio 15.-Calcula el trabajo que hace el peso sobre un cuerpo de 1K g que es lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida. Ej er cicio 16.-* Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cuyas posiciones respectivas son A(¡ 2; 0)m y B (3; 0)m. Calcular: (a) el campo gravitatorio en el punto C(0; 4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar una partícula de 10K g de masa desde el punto C(0; 4)m hasta el punto O(0; 0)m. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :): ¡! ¡! ¡! Ej er cicio 12.-Dada una fuerza, F = xy i + x 2 y j (N ) Calcular el trabajo realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coordenadas hasta el punto (2,4)m (a) a lo largo de la recta que une estos dos puntos, (b) a lo largo del eje OX desde x= 0 hasta x= 2, y la línea x= 2 desde y= 0 hasta y= 4. Ej er cicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m = 1020 K g y que a 106 K m soltamos un objeto de masa m 1 = 1K g, calcula la velocidad que tendrá cuando se encuentre a 103 K m del mismo. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I ): Ej er cicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30 o se deposita un cuerpo masa m, y se deja caer para que baje deslizando por el mismo. Calcula, usando el teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si el rozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m. Ej er cicio 15.-Calcula el trabajo que hace el peso sobre un cuerpo de 1K g que es lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida. Ej er cicio 16.-* Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cuyas posiciones respectivas son A(¡ 2; 0)m y B (3; 0)m. Calcular: (a) el campo gravitatorio en el punto C(0; 4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar una partícula de 10K g de masa desde el punto C(0; 4)m hasta el punto O(0; 0)m. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :): Ej er cicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de 40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar el resultado obtenido¡ con el trabajo¢ que habría que realizar si el proceso se llevase a cabo en la T ierra g = 9:8ms¡ 2 . (Datos: G = 6:67¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M L u n a = 7:3 ¢1022 K g; R L u n a = 1740K m): Ej er cicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie de la T ierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la T ierra: (a) h= 100m; (b) h= 10000Km. (Datos: g0 = 9:8m=s2 ; RT i er r a = 6370K m): Ej er cicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atada en su extremo una bolita de masa m. Desplazamos la bolita 30 o de la vertical y la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10 o con la vertical. Ej er cicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más baja de un plano inclinado 30 o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de 50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema de Conservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto del plano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de potencial -5J/ Kg, a otro punto de potencial -7J/ Kg. Calcular: (a) el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea o forzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto de potencial -5J/ Kg hasta una distancia en que dicho potencial puede considerarse prácticamente nulo. Ej er cicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de 40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar el resultado obtenido¡ con el trabajo¢ que habría que realizar si el proceso se llevase a cabo en la T ierra g = 9:8ms¡ 2 . (Datos: G = 6:67¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M L u n a = 7:3 ¢1022 K g; R L u n a = 1740K m): Ej er cicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie de la T ierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la T ierra: (a) h= 100m; (b) h= 10000Km. (Datos: g0 = 9:8m=s2 ; RT i er r a = 6370K m): Ej er cicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atada en su extremo una bolita de masa m. Desplazamos la bolita 30 o de la vertical y la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10 o con la vertical. Ej er cicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más baja de un plano inclinado 30 o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de 50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema de Conservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto del plano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de potencial -5J/ Kg, a otro punto de potencial -7J/ Kg. Calcular: (a) el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea o forzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto de potencial -5J/ Kg hasta una distancia en que dicho potencial puede considerarse prácticamente nulo. Ej er cicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de 40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar el resultado obtenido¡ con el trabajo¢ que habría que realizar si el proceso se llevase a cabo en la T ierra g = 9:8ms¡ 2 . (Datos: G = 6:67¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M L u n a = 7:3 ¢1022 K g; R L u n a = 1740K m): Ej er cicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie de la T ierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la T ierra: (a) h= 100m; (b) h= 10000Km. (Datos: g0 = 9:8m=s2 ; RT i er r a = 6370K m): Ej er cicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atada en su extremo una bolita de masa m. Desplazamos la bolita 30 o de la vertical y la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10 o con la vertical. Ej er cicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más baja de un plano inclinado 30 o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de 50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema de Conservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto del plano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de potencial -5J/ Kg, a otro punto de potencial -7J/ Kg. Calcular: (a) el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea o forzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto de potencial -5J/ Kg hasta una distancia en que dicho potencial puede considerarse prácticamente nulo. Ej er cicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de 40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar el resultado obtenido¡ con el trabajo¢ que habría que realizar si el proceso se llevase a cabo en la T ierra g = 9:8ms¡ 2 . (Datos: G = 6:67¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M L u n a = 7:3 ¢1022 K g; R L u n a = 1740K m): Ej er cicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie de la T ierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la T ierra: (a) h= 100m; (b) h= 10000Km. (Datos: g0 = 9:8m=s2 ; RT i er r a = 6370K m): Ej er cicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atada en su extremo una bolita de masa m. Desplazamos la bolita 30 o de la vertical y la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10 o con la vertical. Ej er cicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más baja de un plano inclinado 30 o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de 50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema de Conservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto del plano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de potencial -5J/ Kg, a otro punto de potencial -7J/ Kg. Calcular: (a) el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea o forzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto de potencial -5J/ Kg hasta una distancia en que dicho potencial puede considerarse prácticamente nulo. Ej er cicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de 40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar el resultado obtenido¡ con el trabajo¢ que habría que realizar si el proceso se llevase a cabo en la T ierra g = 9:8ms¡ 2 . (Datos: G = 6:67¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; M L u n a = 7:3 ¢1022 K g; R L u n a = 1740K m): Ej er cicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie de la T ierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la T ierra: (a) h= 100m; (b) h= 10000Km. (Datos: g0 = 9:8m=s2 ; RT i er r a = 6370K m): Ej er cicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atada en su extremo una bolita de masa m. Desplazamos la bolita 30 o de la vertical y la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10 o con la vertical. Ej er cicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más baja de un plano inclinado 30 o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de 50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema de Conservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto del plano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de potencial -5J/ Kg, a otro punto de potencial -7J/ Kg. Calcular: (a) el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea o forzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto de potencial -5J/ Kg hasta una distancia en que dicho potencial puede considerarse prácticamente nulo. Ej er cicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a 5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de la super…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B : (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; RT i er r a = 6370K m; M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g): Ej er cicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar. Ej er cicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio de una masa de 5¢105 K g a través de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :). Ej er cicio 25.-Haz una grá…ca que indique cómo varía la intensidad de campo gravitatorio con la distancia al centro, de una distribución esférica homogénea de masa. ¿En qué punto pesaríamos más?. Ej er cicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la T ierra, la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. Ej er cicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, de radio distinto. Razonar cuál de los dos se moverá con mayor velocidad. Ej er cicio 28.-El planeta Júpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee varios satélites; el más próximo al planeta, I o, gira en una órbita de 419000Km de radio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué velocidad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelo del planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el período de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de Júpiter. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ). Ej er cicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a 5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de la super…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B : (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; RT i er r a = 6370K m; M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g): Ej er cicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar. Ej er cicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio de una masa de 5¢105 K g a través de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :). Ej er cicio 25.-Haz una grá…ca que indique cómo varía la intensidad de campo gravitatorio con la distancia al centro, de una distribución esférica homogénea de masa. ¿En qué punto pesaríamos más?. Ej er cicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la T ierra, la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. Ej er cicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, de radio distinto. Razonar cuál de los dos se moverá con mayor velocidad. Ej er cicio 28.-El planeta Júpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee varios satélites; el más próximo al planeta, I o, gira en una órbita de 419000Km de radio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué velocidad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelo del planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el período de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de Júpiter. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ). Ej er cicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a 5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de la super…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B : (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; RT i er r a = 6370K m; M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g): Ej er cicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar. Ej er cicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio de una masa de 5¢105 K g a través de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :). Ej er cicio 25.-Haz una grá…ca que indique cómo varía la intensidad de campo gravitatorio con la distancia al centro, de una distribución esférica homogénea de masa. ¿En qué punto pesaríamos más?. Ej er cicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la T ierra, la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. Ej er cicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, de radio distinto. Razonar cuál de los dos se moverá con mayor velocidad. Ej er cicio 28.-El planeta Júpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee varios satélites; el más próximo al planeta, I o, gira en una órbita de 419000Km de radio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué velocidad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelo del planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el período de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de Júpiter. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ). Ej er cicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a 5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de la super…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B : (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; RT i er r a = 6370K m; M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g): Ej er cicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar. Ej er cicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio de una masa de 5¢105 K g a través de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :). Ej er cicio 25.-Haz una grá…ca que indique cómo varía la intensidad de campo gravitatorio con la distancia al centro, de una distribución esférica homogénea de masa. ¿En qué punto pesaríamos más?. Ej er cicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la T ierra, la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. Ej er cicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, de radio distinto. Razonar cuál de los dos se moverá con mayor velocidad. Ej er cicio 28.-El planeta Júpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee varios satélites; el más próximo al planeta, I o, gira en una órbita de 419000Km de radio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué velocidad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelo del planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el período de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de Júpiter. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ). Ej er cicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a 5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de la super…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B : (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; RT i er r a = 6370K m; M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g): Ej er cicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar. Ej er cicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio de una masa de 5¢105 K g a través de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :). Ej er cicio 25.-Haz una grá…ca que indique cómo varía la intensidad de campo gravitatorio con la distancia al centro, de una distribución esférica homogénea de masa. ¿En qué punto pesaríamos más?. Ej er cicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la T ierra, la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. Ej er cicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, de radio distinto. Razonar cuál de los dos se moverá con mayor velocidad. Ej er cicio 28.-El planeta Júpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee varios satélites; el más próximo al planeta, I o, gira en una órbita de 419000Km de radio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué velocidad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelo del planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el período de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de Júpiter. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ). Ej er cicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a 5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de la super…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B : (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; RT i er r a = 6370K m; M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g): Ej er cicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar. Ej er cicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio de una masa de 5¢105 K g a través de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :). Ej er cicio 25.-Haz una grá…ca que indique cómo varía la intensidad de campo gravitatorio con la distancia al centro, de una distribución esférica homogénea de masa. ¿En qué punto pesaríamos más?. Ej er cicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la T ierra, la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. Ej er cicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, de radio distinto. Razonar cuál de los dos se moverá con mayor velocidad. Ej er cicio 28.-El planeta Júpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee varios satélites; el más próximo al planeta, I o, gira en una órbita de 419000Km de radio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué velocidad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelo del planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el período de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de Júpiter. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ). Ej er cicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a 5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de la super…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B : (Datos: G = 6:67 ¢ 10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ; RT i er r a = 6370K m; M T i er r a = 5:98 ¢1024 K g): Ej er cicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar. Ej er cicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio de una masa de 5¢105 K g a través de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 S:I :). Ej er cicio 25.-Haz una grá…ca que indique cómo varía la intensidad de campo gravitatorio con la distancia al centro, de una distribución esférica homogénea de masa. ¿En qué punto pesaríamos más?. Ej er cicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la T ierra, la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. Ej er cicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, de radio distinto. Razonar cuál de los dos se moverá con mayor velocidad. Ej er cicio 28.-El planeta Júpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee varios satélites; el más próximo al planeta, I o, gira en una órbita de 419000Km de radio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué velocidad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelo del planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el período de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de Júpiter. (Dato: G = 6:67 ¢10¡ 11 N m 2 K g¡ 2 ). Ej er cicio 29.-Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la super…cie de Mercurio, sabiendo que el radio de Mercurio es tres veces menor que el radio de la Tierra, y que la densidad de Mercurio es 3/ 5 de la densidad media de la T ierra. (Dato: g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 30.-Se desea colocar en órbita circular un satélite arti…cial de 2Tm a una altura de 300Km sobre la super…cie de la Tierra. Calcula: (a) su velocidad orbital; (b) el trabajo necesario para elevar el satélite a la mencionada altura; (c) la fuerza que ejerce el satélite sobre la tierra cuando está en órbita; (d) la velocidad que debería llevar, una vez en órbita, para que escapase del campo gravitatorio terrestre. (Datos: R t = 6370K m; g0 = 9:8m=s2 ) Ej er cicio 31.-Un satélite arti…cal de 100Kg está girando alrededor de la Tierra a una altura de 400Km sobre la super…cie terrestre. Calcula: (a) la velocidad orbital del satélite; (b) supuesto que no existen rozamientos, el trabajo realizado para situarlo en órbita, desde la super…cie terrestre; (c) indicar, razonándolo, si la energía potencial se ha incrementado o ha disminuído en la posición que ocupa. (Datos: g0 = 10m=s2 ; R t = 6400K m). Ej er cicio 29.-Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la super…cie de Mercurio, sabiendo que el radio de Mercurio es tres veces menor que el radio de la Tierra, y que la densidad de Mercurio es 3/ 5 de la densidad media de la T ierra. (Dato: g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 30.-Se desea colocar en órbita circular un satélite arti…cial de 2Tm a una altura de 300Km sobre la super…cie de la Tierra. Calcula: (a) su velocidad orbital; (b) el trabajo necesario para elevar el satélite a la mencionada altura; (c) la fuerza que ejerce el satélite sobre la tierra cuando está en órbita; (d) la velocidad que debería llevar, una vez en órbita, para que escapase del campo gravitatorio terrestre. (Datos: R t = 6370K m; g0 = 9:8m=s2 ) Ej er cicio 31.-Un satélite arti…cal de 100Kg está girando alrededor de la Tierra a una altura de 400Km sobre la super…cie terrestre. Calcula: (a) la velocidad orbital del satélite; (b) supuesto que no existen rozamientos, el trabajo realizado para situarlo en órbita, desde la super…cie terrestre; (c) indicar, razonándolo, si la energía potencial se ha incrementado o ha disminuído en la posición que ocupa. (Datos: g0 = 10m=s2 ; R t = 6400K m). Ej er cicio 29.-Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la super…cie de Mercurio, sabiendo que el radio de Mercurio es tres veces menor que el radio de la Tierra, y que la densidad de Mercurio es 3/ 5 de la densidad media de la T ierra. (Dato: g0 = 9:8m=s2 ): Ej er cicio 30.-Se desea colocar en órbita circular un satélite arti…cial de 2Tm a una altura de 300Km sobre la super…cie de la Tierra. Calcula: (a) su velocidad orbital; (b) el trabajo necesario para elevar el satélite a la mencionada altura; (c) la fuerza que ejerce el satélite sobre la tierra cuando está en órbita; (d) la velocidad que debería llevar, una vez en órbita, para que escapase del campo gravitatorio terrestre. (Datos: R t = 6370K m; g0 = 9:8m=s2 ) Ej er cicio 31.-Un satélite arti…cal de 100Kg está girando alrededor de la Tierra a una altura de 400Km sobre la super…cie terrestre. Calcula: (a) la velocidad orbital del satélite; (b) supuesto que no existen rozamientos, el trabajo realizado para situarlo en órbita, desde la super…cie terrestre; (c) indicar, razonándolo, si la energía potencial se ha incrementado o ha disminuído en la posición que ocupa. (Datos: g0 = 10m=s2 ; R t = 6400K m).
