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PROBABILIDADES DP.5.4.1. Calcular la probabilidad de que un evento ocurra, gráficamente y con el uso de fracciones, en función de resolver problemas asociados a probabilidades de situaciones significativas. OBJETIVOS • Solucionar problemas que empleen porcentajes y probabilidades para potencializar su razonamiento numérico-matemático. MOTIVACIÓN OPERACIONES CON SUCESOS Se representan por diagramas unión Se realiza mediante operaciones Intersección complemento INTERSECCIÓN DE SUCESOS La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. A B se lee como "A y B". Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. Además si A y B son eventos mutuamente excluyentes, su intersección es un evento nulo EJEMPLO PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS P(A Y B)= P (A) . P (B) P(A)= PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A P(B)= PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO B ESTA LEY SE CONOCE COMO LEY MULTIPLICATIVA EJEMPLO • AL EXTRAER DOS CARTAS DE UNA BARAJA INGLESA, CON REPOSICIÓN, SE DEFINEN LOS SIGUIENTES SUCESOS: A: QUE LA PRIMERA CARTA SEA AS B: QUE LA SEGUNDA CARTA SEA AS. C: QUE LA PRIMERA CARTA SEA REY. DETERMINAR: A: P(A y B) B: P(A y C) a. Al extraer una carta de una baraja se tiene 4 casos favorables al suceso A y 52 casos posibles, aplicando la ley de Laplace se tiene que: P(A)= 4/52= 1/13 DEL MISMO MODO SERÁ P(B) P(A Y B)= P (A) . P (B) = 1/13 . 1/13 = 1/169 b. Los sucesos A y C son mutuamente excluyentes, por lo tanto, P(A y C)= ø UNIÓN DE SUCESOS La unión de sucesos de A y B Es decir el resultado del experimento es un elemento de A y uno de B o ambos posibles Incluyen todos los resultados posibles de A y de B SÍMBOLOGÍA AUB EJEMPLO • SE DEFINEN LOS SIGUIENTES SUCESOS RELACIONADOS CON EL LANZAMIENTO DE UN DADO • A= EL NÚMERO OBTENIDO ES PAR {2, 4, 6} • B= EL NÚNERO OBTENIDO ES MAYOR A 2 {3,4,5,6} • LUEGO A U B= 2,3,4,5,6. 2, 3, 4, 5, 6 PROBABILIDAD DE UNIÓN DE SUCESOS • LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA LA UNIÓN DE DOS SUCESOS EXCLUYENTES O INCOMPATIBLES ENTRE SÍ ES: P(A o B)= P (A) + P (B) • LA POSIBILIDAD DE QUE OCURRA LA UNIÓN DE DOS SUCESOS NO EXCLUYENTES O COMPATIBLES ES: P(A o B)= P (A) + P (B)-P (AyB) EJEMPLO EJEMPLO • AL EXTRAER UN NAIPE DE UNA BARAJA, DETERMINAR: A. LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN CORAZÓN O UN TRÉBOL B. LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN CORAZÓN O UN REY a. Sean los sucesos A: obtener un naipe de corazón y B: obtener un naipe de trébol. P (A)= 13/52 y P(B)= 13/52 Los sucesos entre A y B son mutuamente excluyentes, así la P de obtener un naipe de corazón o uno de trébol es: P(A y B)= P(A) + P(B)= 13/52 + 13/52= 26/52= ½= 0,5 La probabilidad de obtener corazón o trébol es de 0,5 b. Los sucesos A: obtener un naipe de corazón y C: obtener un rey TOMAR EN CUENTA: P(A)= 13/52 y P(C)= 4/52 ( EN LA BARAJA HAY 4 REYES ) Por lo tanto los sucesos entre A y C no son mutuamente excluyentes, ya que existe una carta que es de corazón y además es rey, por lo tanto: P (A o C)= P (A) + P(C)-P (A y C)= 13/52+4/52-1/52=16/52= 0,31 Luego, la probabilidad de obtener corazón o rey= 0,31 COMPLEMENTO DE UN SUCESO • EL COMPLEMENTO DE UN SUCESO E, DENOTADO POR EC, considera a todos los resultados que no correspondan a E. • ES DECIR E Y EC • SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES, ES DECIR SU INTERSECCIÓN ES NULA YA QUE NO EXISTEN ELEMENTOS EN COMÚN. • E EC =ø • E U EC =S • P(E) + P(EC )=1 EJEMPLO • PARA EL LANZAMIENTO DE UN DADO SE DEFINE EL SIGUIENTE SUCESO: A: OBTENER UN NÚMERO IMPAR, ES DECIR: A={1,3,5} EL COMPLEMENTO DE A DADO POR AC ={2, 4, 6} ES DECIR POR TODOS LOS NÚMEROS QUE NO SON IMPARES, ADEMÁS A y AC =ø A U AC = {1,2,3,4,5,6} = E P(A) + P(AC)= 3/6+3/6= 1