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Tema 7
Trigonometría 2.
Ampliación y aplicaciones
© Xerardo Méndez
Última versión: Febrero - 2009
Definición
GRADOS Y RADIANES
Ángulo, ángulo recto y grados, minutos y segundos
Un ángulo plano es la porción
de plano comprendida entre
de los semirrectas con un
origen común, él vértice. Para
su medición se utilizan grados
y radianes.
Porción de plano
comprendida entre dos
semirrectas perpendiculares.
Él ángulo recto se utilizó para
definir la primera unidad de
medida de los ángulos: él
grado sexagesimal, definido
cómo la nonagésima parte
de él ángulo recto.
Un grado sería la magnitud
de un ángulo noventa veces
menor que un ángulo recto
lado
ÁNGULO
Vértice
lado
ÁNGULO RECTO
El grado se divide en minutos y
segundos
Un minuto es la
sexagésima parte
de un grado
Un segundo es la
sexagésima parte
de un minuto
Se designan con
letras mayúsculas
y se denotan
respectivamente:
15’ = 15 minutos
12”=12 segundos
La medida de un ángulo se
escribe
17°= diecisiete grados
17º12’53” = diecisiete grados
doce minutos y cincuenta y
tres segundos
A
A=17º12’53”
Una particularidad de estas unidades es que no se acomodan al
sistema decimal, por lo que la operaciones con ángulos
expresados en grados, minutos y segundos requieren, como se
sabe, procedimientos específicos.
Radianes.
Él radián es una medida de los
ángulos que, a diferencia del
anterior, emplea números reales
para la medida de los ángulos.
Además de emplear números
reales – lo que facilita
enormemente todas la
operaciones, el radián se define
a partir de una relación entre la
circunferencia y los ángulos.
Recordemos que un arco es la
distancia entre dos de los radios
de una circunferencia, medida
sobre esta
arco
Radios
Dos radios definen un ángulo:
a cada ángulo le
corresponderá una longitud
de arco distinta
S’
S
A’
A
De manera que al ángulo
total de una circunferencia le
corresponderá la longitud de
esta
S=2R
A
Diremos entonces que un
ángulo mide 1 radián cuando
él arco que determina en una
circunferencia mide lo mismo
que el radio
La relación entre arco, ángulo
y radio es: S= A· R
R
S=R
1
Radián
R
Arco = ángulo x radio
RELACIÓN GRADOS -RADIANES
Podemos determinar ahora
fácilmente una relación entre
grados y radianes:
Él ángulo en grados
correspondiente a toda la
circunferencia equivale a
cuatro ángulos rectos:
90·4=360º
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
360 𝑥
=
=
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
2𝜋
𝑦
Él ángulo en radianes
correspondiente a toda la
circunferencia debe medir
L/R=2 radiáns.
Operacións con
GRAOS, MINUTOS E
SEGUNDOS
Operacións con ángulos en graos
Suma de ángulos
Consideremos los ángulos A y B
de magnitudes:
A = 27° 30’47”
Para efectuar la suma
numérica colocamos las
unidades homogéneas en
columnas y sumamos cada
columna
B= 12° 35’45”
+
Queremos efectuar la suma A+B
para saber la medida del
ángulo resultante
A = 27° 30’47”
B= 12° 35’45”
A+B
27°
30’
47”
12°
35’
45”
39º
65’
92”
De superar los sesenta
segundos restamos sesenta y
sumamos 1 en la columna
de los minutos
39º
39º
65’
92”
+1
-60”
66’
32”
De superarse los sesenta
minutos restamos sesenta y
sumamos 1 en la columna
de los grados
A+B=
39º
65’
+1
-60”
40º
6’
Resumiendo:
92”
32”
A
27º
30'
47”
B
12º
35'
45”
39º
65'
92”
+1
A+B
40º
+1
- 60
66
32
- 60
6'
32”
Ángulos positivos y negativos
Se consideran ángulos positivos
aquellos que se miden en
sentido anti horario (contrario al
giro de las agujas de un reloj) o
levógiro
+30º
-30º
Y negativos a los que se
cuentan en él sentido horario o
dextrógiro (en el mismo sentido
que la agujas del reloj)
Resta
Restar ángulos equivale a sumar
el opuesto:
A-B = A + (-B)
EXEMPLO
A = 27° 30’47”
15º
-5’
2”
14º
-5’
2”
+60
14º
55’
2”
B= 12° 35’45”
-B= -12° -35’ -45”
Sumamos como en el caso
anterior
+
27°
30’
47”
-12°
-35’
-45”
15º
-5’
2”
Para eliminar el resultado negativo
sacamos una unidad de la
columna anterior y sumamos 60’
A
B
A-B
Produto por un escalar
Él procedimiento es parecido al
de la suma y al de la resta:
tenemos que multiplicar por
separado grados minutos y
segundos
54º 27’ 46”
x 2
108º 54’ 92”
El cociente se
suma en las
unidades
siguientes, y el
resto se deja
54º 27’ 46”
x 2
108º 54’ 32”
+1
108º 55’ 32”
Los resultados
que sobrepasen
de sesenta se
dividen entre
esa cifra
División
A división dun ángulo faise
tamén por partes, e como nos
anteriores casos temos que
proceder ordenadamente,
empezando pola unidade
maior.
54º 27’ 46”
24
0
3
18º
9’ 15
27’
92
60
32
1
0
46
16
1
En este caso no tenemos ningún
resto, pero esta situación no es a
usual
Él resto en la división de los
grados se transforma en
segundos, a sumar a los que ya
teníamos, y así
sucesivamente,siempre que
haga falta
Transformación de decimales
en minutos y segundos
55º 27’ 46”
25
1 +60
3
18º
29’ 15
87’
27
0
46
Una cantidad de grados
16
expresada como un decimal
1
pode transformarse en minutos y
segundos de lana siguiente
36,12º son:
forma:
1.- Se toma la parte decimal y se
hace la proporción con cien y
sesenta:
2.- Con el decimal que
queda hacemos lo mismo
para obtener los segundos
36º7’1,2”
En caso contrario, procederemos a
la inversa
Razóns trigonométricas de ángulos non agudos
EXTENSIÓN DO CONCEPTO
DE ÁNGULO E RAZÓNS
TRIGONOMÉTRICAS
Extensión do concepto de ángulo
Él concepto de ángulo se
relaciona intrinsecamente con la
circunferencia ya que los puntos
de una circunferencia definen
todos los posibles ángulos que
pueden formarse con vértice en
un punto O.
A(x,y)
y
Ángulo A
x
B(x’,y’)
A(x,y)
Ángulo B
B(x’,y’)
y’
O
C(x”,y”)
x’
Ángulos e xiros
Claro está que un punto que dé
la vueltas alrededor de otro
describe más de una
circunferencia alrededor de
dicho punto. Cuál es entonces el
ángulo que correspondería a un
tal movimiento?
Una circunferencia completa
tiene 360º: si sobrepasamos ese
valor es porque hemos dado
más de una vuelta. Dividiendo la
magnitud del ángulo entre 360
tendremos el número de vueltas
y además un ángulo equivalente
menor
Número
Ángulo inicial
de vueltas
Equivalentes
Sea A la medida del ángulo:
Exemplo:
A
360º
A’
k
750º
30º
360º
2
En radianes pasaría lo mismo:
A
2
11
A’
k

2
5
Razones trigonométricas en la circunferencia
En un triángulo definíamos las
razones trigonométricas a partir
de:
Hipotenusa = c
A(x,y)
y
Cateto opuesto=a
A
Ángulo A
x
Cateto opuesto=b
Como:
Que a partir de ahora
serán lanas definiciones de
razón trigonométrica que
consideraremos. Esta
definición sirve para
cualquier ángulo.
Trasladando este ángulo
sobre la circunferencia
vemos que
a=y,
b=x
c=R
De manera que podemos
definir:
B(x’,y’) =(-2,4)
EXEMPLO:
O
O
C(x”,y”) =(-2,-3)
Si la circunferencia tiene
radio 5, y las
coordenadas de los
puntos son :
B=(-2,4)
C=(-2,-3)
Valores e signos
RAZÓNS
TRIGONOMÉTRICAS
XENERALIZADAS
La definición de las razones
con las coordenadas, permite
definir las razones
trigonométricas de los ángulos
de 0º y 90º, a pesar de no
tener en esos puntos ningún
(-R,0)
triángulo
90º
(0,R)
0º
(R,0)
180º
360º
Ángulos
0°
Razóns
Seno
Coseno
Tanxente
90°
180°
270°
360°
0
1
1
0
0
-1
-1
0
0
1
0
±∞
0
±∞
0
270º
(0,-R)
Y lo mismo para los demás
ángulos.
Aparece un problema en las tangentes de
90 e 270º (el denominador es cero) que
estudiaremos en otro tema.
CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Una de las características de
las razones trigonométricas es
que son independientes del
radio de la circunferencia en la
cual se definen: en particular,
la circunferencia de radio 1
recibe él nombre de
circunferencia goniométrica,
palabra que procede del
griego “gonios” ángulo y de la
raíz latína “metr” medida, de
manera que el adjetivo viene
significar circunferencia de la
medida de los ángulos, porque
en esta circunferencia las
razones trigonométricas
coinciden con las
coordenadas de los puntos de
la circunferencia em que se
definen los ángulos
Utilizando la circunferencia
goniométrica, o
circunferencia unitaria,
podemos facilmente ver
como cambian los signos de
las razones en los diferentes
cuadrantes de la
circunferencia
Utilizando la
circunferencia
unitaria, los valores
de seno y coseno
son iguales a los
valores de las
coordenadas:
90º
II
I
II
0º
180º
IV
270º
I
Y por tanto, los
signos de las
razones son los de
las coordenadas
I
III
II
y
x
I
II
IV
I
+
+
+
I
y
y
III
SENO
COSENO
TANXENTE
IV
3π/2
x
x
IV
2π
Ángulos dos
cuadrantes en radiáns
II
y
0
III
Ángulos dos
cuadrantes en graos
II
I
π
360º
III
π/2
III
II
+
-
IV III
III
+
IV
+
-
x IV
Ángulos en diferentes cuadrantes
RELACIONES ENTRE
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Ángulos positivos y negativos
¿Cuál es ell significado del
signo en los ángulos? El
sentido en él que se recorre la
circunferencia :
En la figura podemos ver que
el sentido positivo es
antihorario (dextrógiro) y él
negativo es horario (levógiro)
II
I
II
y
I
x
x
III
IV
III
IV
Ángulo
negativo
Ángulo
positivo
Ángulos equivalentes
Son los que tienen las mismas
razones trigonométricas.
Debido a que estas varían de
forma distinta en los
diferentes cuadrantes,
solamente serán
equivalentes los ángulos que
se diferencien en un número
entero de vueltas completas
de circunferencia
y
y
y
P
α
A
360º
A’
k
P
α+360º
Ángulos suplementarios
Son los que suman 180º. Si
uno de los ángulos es A, el
otro será 180 - A
Las razones de ángulos
suplementarios verifican:
y'
180-A
y
A
A
x'
x
DEMOSTRACIÓN:
Obtenemos la relación entre
las razones
De las relaciones entre las
coordenadas de los puntos
extremos:
Ángulos que se diferencian en 180º
Los ángulos A y 180+A de la figura se
diferencian en 180º.
y
x'
y'
A
x
180+A
Las
coordenadas
x y x’ de A y
180+A son
opuestas
Las coordenadas
y e y’ son iguales
y ambas positivas
De las relaciones entre las
coordenadas de los puntos extremos:
Obtenemos la
relación entre las
razones:
Ángulos opostos
Los ángulos A y -A de la figura son
opuestos
x'
y
A
-A=360-A
De las relaciones entre las
coordenadas de los puntos extremos:
y'
x
Las coordenadas
x y x’ de A y -A
coinciden
Obtenemos la
relación entre las
razones:
Las coordendas y
e y’ son opuestas
NOTA:
Obsérvese que –A
y 360-A son el
mismo ángulo
Ángulos complementarios
Son aquellos que suman noventa grados, o
lo que es lo mismo, son A e 90 –A.
De las relaciones entre las
coordenadas de los puntos extremos:
𝑥′ = 𝑦
𝑦′ = 𝑥
As coordendas x’
e y son iguales y
ambas positivas
Las
coordendas x
de A e y’ de
90-A son
iguales
Obtenemos la
relación entre las
razones:
Ángulos que se diferencian en 90º
Si uno de los ángulos es A el otro
necesariamente medirá A e 90 +A.
De las relaciones entre las
coordenadas de los puntos extremos:
Obtenemos la
relación entre las
razones:
Las coordenadas
x e y’ son iguais e
ambas positivas
Las
coordendas y
de A y x’ de
90+A son
opuestas
Ángulos que suman 270º
Ángulos que se diferencian
en 270º
Areas de polígonos
Cálculo de distancias
APLICACIÓNS
Apotema = a
Área dun polígono regular a partir do lado
p·a
S=
2
Para calcular el
area del
pentágono
necesitamos
calcular
primero la
apotema
solamente con
la medida del
lado
En cualquier polígono el ángulo entre
dos radios consecutivos se obtiene
dividiendo 360 entre el número de
lados
La apotema
divide al
ángulo
central en
dos
triángulos
rectángulos
Lado=L
El apotema lo podemos calcular mediante
la tangente del ángulo A’:
A’
Él único dato que realmente
necesitamos para calcular la
superficie del pentágono es el lado:
a
L/2
Este método se pode generalizar la cualquier
polígono, de manera que podemos escribir:
Donde N eres él
número de lados, L él
lado y α eres medio
ángulo central
(360°/2N).
Cálculo de alturas inaccesibles
Entonces podemos plantear las
igualdades:
h
Situándonos en un espacio plano
ante la montaña medimos él ángulo
que forma la cumbre con la
horizontal, obteniendo él ángulo A;
avanzamos una distancia d y
volvemos a medir él ángulo,
obteniendo B
h
Una aplicación interesante es la
determinación de la altura de objetos
cuyo interior es inaccesible, como el
cumbres de montañas, edificios,
grandes árboles…
La determinación de la altura de uno
de estos elementos respecto a una
superficie plana en lana que se sitúa un
observador sólo requiere de tres
medidas: una distancia y de los
ángulos, como veremos a
continuación.
A
d
B
x
La resolución de este sistema
de ecuaciones nos
proporcionará la altura de la
montaña.
Tanxencias e distancias
Un satélite orbita la Tierra desde una
altura h. Desde su posición, las visuales a
Tierra forman un ángulo de 8º.
Sabiendo que el radio de la Tierra es
aproximadamente 6378 Km calcula la
distancia del satélite a la superficie
terrestre
En él triángulo
rectángulo se tiene:
La figura que forman las
visuales a Tierra y los
radios que terminan en
ellas es:
90º
8º
d
R
R
Hipotenusa =R +d
Cateto opuesto =R
90º
R+d
4º
R
90º
Teoremas do seno
e do coseno
Resolución de triángulos non rectángulos
Resolución de triángulos
Resolver un triángulo consiste
en determinar sus ángulos y
sus lados.
La determinación de un
triángulo requiere de un
mínimo de información, en
general, se pueden determinar
los restantes elementos de un
triángulo sempre que se
coñeza:
a) Dos lados de un triángulo y
un ángulo de este
b) Dos ángulos del triángulo y
uno de los lados de este
B
c
En el caso del triángulo
rectángulo la información que
se precisa es menor, ya que
uno de los ángulos, el recto, xa
es conocido
A
a
b
Recuerda que los ángulos
deben cumplir que:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180º
C
Teorema del seno
En un triángulo cualquiera, los
senos de los ángulos A,B y C
son proporcionales a la
medida de los catetos
opuestos a esos ángulos (a,b,
e c)
Matemáticamente la
relación de proporcionalidad
puede expresarse de
cualquiera de las dos formas
siguientes:
sin 𝐴 sin 𝐵
=
𝑎
𝑏
sin 𝐵 sin 𝐶
=
𝑏
𝑐
sin 𝐴 sin 𝐶
=
𝑎
𝑐
B
c
A
a
b
C
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝑐
El teorema se aplica en las
igualdades binarias
Donde, conocidos tres de
los datos, determinamos el
cuarto
B
Teorema do coseno
El teorema del coseno
relaciona la medida del cateto
opuesto a un ángulo con la
medida de los otros dos lados y
el coseno del ángulo opuesto
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 + 2𝑏𝑐 · cos 𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎c ⋅ cos 𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 · cos 𝐴
En el gráfico adjunto puede
verse como se aplicaría la
primera de las fórmulas
c
A
a
C
b
El cuadrado de un lado de un
triángulo es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos
por el doble de su producto
multiplicado por el coseno del
ángulo opuesto al cateto inicial
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑏𝑐 · cos 𝐴
B
c
A
a
b
C
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑏𝑐 · cos 𝐴