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Trigonometría.
Trigonometría.
ÍNDICE.
1.
Ángulos y medida de ángulos
2.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
3.
Relación fundamental de trigonometría
4.
Resolución de triángulos rectángulos
5.
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
6.
Reducción de las razones trigonométricas
7.
Suma y diferencia de ángulos
8.
Ángulo doble y ángulo mitad
9.
Ecuaciones trigonométricas
10. Teorema de los senos
11. Teorema del coseno
12. Área de un triángulo
Ángulos.
Un ángulo es la porción del
plano comprendido entre dos
semirrectas que tienen el
mismo origen (VÉRTICE).
Si introducimos un sistema
de
ejes cartesianos, se
representa el ángulo con
vértice en el origen de
coordenadas
y
se
hace
coincidir el lado inicial con el
eje positivo de abcisas
Lado final
 Ángulo
Vértice
lado inicial
Medida de ángulos: sistema sexagesimal
Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del
ángulo que resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por
tanto, el ángulo recto mide 90º.
El transportador de ángulos.
El transportador de ángulos es una herramienta
de dibujo que nos permite medir y también
construir ángulos.
Consiste en un semicírculo graduado con el que
podemos medir ángulos convexos (hasta 180º)
Divisores del grado.
Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un
ángulo: el sistema decimal, que consiste simplemente en obtener
decimales del grado, que es el método que utiliza el transportador de
ángulos, o el sistema sexagesimal, que consiste en dividir el grado en 60
partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60 segundos (60'').
Medida de ángulos: radian.
Se llama radián, a la medida del ángulo que comprende un arco de
circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia. Por tanto el
ángulo completo mide 2p radianes.
Suma de ángulos
La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el
sistema sexagesimal.
2º 48' 35"
+ 2º 45' 30"
4º 93' 65"
Como 65 segundos equivalen a 1 minuto y 5 segundos, luego la
suma se puede escribir así:
4º 94' 5"
De la misma forma, 94' equivalen a 1º y 34 minutos. Luego la
suma es:
5º 34' 5"
Resta de ángulos
Debemos hacer la siguiente operación:
3º 0' 0"
- 2º 48' 35"
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado los grados,
los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35
(segundos) ni 0-48 (minutos).
Para conseguirlo transformamos un grado en 60 minutos y un
minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 grados se convierten en
2º 59' 60“
2º 59' 60"
- 2º 48' 35"
0º 11' 25"
Ángulos: producto por un número
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos
multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo
(grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los
segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una
unidad de orden inmediatamente superior.
18º 26' 35"
x 3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', será
55º 19' 45"
Ángulos: división por un número
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados
entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos,
multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos
los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos,
multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos.
Dividimos los segundos.
Transformación de medidas
Teniendo en cuanta que una circunferencia tiene 306º y 2.p rad., la
relación entre ambos sistemas es la siguiente
Si un ángulo  tiene nº, su medida en radianes (rad.) será
(2 ×p ×rad .)×n º
360º
Si un ángulo  tiene x rad., su medida en grados (º) será
(x ×rad .)×360º
2 ×p ×rad
Razones trigonométricas de ángulo agudo.
Dado un ángulo agudo  (entre 0º y 90º) formado por dos semirrectas r, s
C
C’
• Si
trazamos
dos
rectas
perpendiculares t y t’ a la semirrecta
r
A
s
s, que se cortan en los puntos B y C,
B
B’
y B’ y C’ respectivamente, teniendo
en cuenta el teorema de THALES se
cumple
AB
AC
BC
AB
AB ' BC B ' C ' BC B ' C '




;

;

AB ' AC ' B ' C '
AC AC ' AC
AC ' AB
AB '
• Ha dichas razones que solamente dependen del ÁNGULO, se les denomina
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de Â.
Razones trigonométricas de ángulo agudo.
Dado un ángulo agudo  (entre 0º y 90º) formado por dos semirrectas r, s
C
•
r
utilizamos el triángulo ABC, para calcular las RAZONES
A
s
Si trazamos una recta perpendicular t (CB) a la semirrecta s, y
B
TRIGONOMÉTRICAS, denominamos:
AB cateto contiguo
;

hipotenusa
AC
BC cateto opuesto
;

SENO de  = sen  
hipotenusa
AC
COSENO de  = cos  
cateto opuesto
BC sen Â


AB cos  cateto contiguo
hipotenusa
AC
1


SECANTE de  = sec  
cos  AB cateto contiguo
TANGENTE de  = tan  
COSECANTE de  =cosc  
hipotenusa
AC
1


sen  BC cateto opuesto
COTANGENTE de  =cotan  
AB cateto contiguo
1


cateto opuesto
tan  BC
Ejemplo.
Si  es un ángulo agudo y sabemos que cos =  = 4/5. Calcular las restantes
razones trigonométricas.
SOLUCIÓN:
Dado que podemos construir un triángulo rectángulo cuyo ángulo agudo Â
cumpla que cos  = 4/5 = cateto contiguo/hipotenusa , podemos calcular:
b=(c²-a²)=(5²-4²)=3
c=5
Luego
cos  = 4/5
sen  = 3/5
b=3
tg  = 3/4
a=4
cosec  = 5/3
sec  = 5/4
cotg  = 4/3
Razones trigonométricas de ángulos agudos notables
Ángulo
Sen
Cos
Tan
Cosec
Sec
cotan
30º
1/2
3/2
3/3
2
23/3
3
45º
2/2
2/2
1
2
2
1
60º
3/2
1/2
3
23/3
2
3/3
Relación fundamental de la trigonometría.
Relación FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA (1)
Cos   Sen   1
2
2
Dividiendo la igualdad por sen² Â, (1) obtenemos:
1  cotg   cosec Â
2
2
Dividiendo la igualdad (1) por cos² Â, obtenemos:
tg   1  sec Â
2
2
Ejemplos.
1. Si sabemos que el seno de un ángulo agudo es sen  = ½. Calcular cos Â
Solución: Aplicando la relación fundamental de trigonometría
3
Cos   Sen   1  Cos   1–Sen  
2
2
2
2
2
2. Si sabemos que la tangente de un ángulo agudo es tg  = 1.
Calcular cos  y sen Â
Solución: Aplicando la relación trigonométrica
1
tg 2 Â  1 
Cos 2 Â
 Cos  
1
2

tg 2 Â  1
2
y
sen   Cos   tg  
2
2
1 
2
2
Resolución de triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo rectángulo de catetos a y b y de hipotenusa c,
A
consiste en hallar las medidas de los lados y de los ángulo agudos A y B
a) Conocidos dos lados. Ejemplo si sabemos que c = 8 y a = 5
b
b  82 –52  6, 24
c
5
 0, 625  A  cos–1 0, 625  51º
8
B  90º–51º  39º
cos A 
C
a
A
b) Conocidos un lado y un ángulo. Ejemplo si sabemos que b = 3 y A = 47º
b
b
sen 47º   c 
 4,10
c
sen 47º
a
 4,10  –32  2, 79;
2
B  90º –47º  43º
•Aplicación de la trigonometría para calcular una altura inaccesible.
Razones trigonométricas.
Dado un ángulo cualquiera 360.n + Â (donde n es entero y 0º ≤ Â ≤ 360º)
sobre la CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA de centro el origen de
coordenadas y radio 1 (Â es positivo en sentido contrario al reloj) .
Como el radio de la circunferencia es 1 (hipotenusa del
triángulo rectángulo de vértices{(0,0), (x,0), (x,y)} ), se
cumple
Sen  = y / 1 = y
Cos  = x / 1 = x
Tan  = Sen  / Cos  = y / x
•
Si
0º < Â < 90º

Sen  > 0 , Cos  > 0.
•
Si
90º < Â < 180º

Sen  > 0 , Cos  < 0.
•
Si
180º < Â < 270

Sen  < 0 , Cos  < 0.
•
Si
270º < Â < 360º

Sen  < 0 , Cos  > 0.
Ejemplo.
Si  es un ángulo situado en el 3º cuadrante y se conoce que sen  = -1/3. Calcular
el resto de las razones trigonométricas
Solución:
Como sen  = -1/3 = y.
Utilizando el teorema de Pitágoras,
pero teniendo en cuenta que x < 0,
será:
2
æ1 ö
2× 2
x = – 1 –çç ÷
=
–
= cos Â
÷
è3 ø
3
1
–
y
3 = 1 = 2 = tgÂ
=
2× 2
x
2× 2
4
–
3
2
Razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º.
Ángulo
Sen
Cos
Tan
Cosec
Sec
cotan
0º
0
1
0
+ 
1
+ 
90º
1
0
+ 
1
+ 
0
180º
0
-1
0
+ 
-1
- 
270º
-1
0
- 
-1
+ 
0
360º
0
1
0
+ 
1
+ 
Reducción de las razones trigonométricas.
Las razones del ÁNGULO COMPLEMENTARIO de  = 90º - Â, cumplen:
90º-Â
h
Â
y
x
•
Sen (90º - Â ) = y / h = Cos Â
•
Cos (90º - Â ) = x / h = Sen Â
Las razones del ÁNGULO SUPLEMETARIO de  = 180º - Â, cumplen:
•
Sen (180º - Â ) = Sen Â
•
Cos (180º - Â ) = - Cos Â
Las razones del ÁNGULO que DIFIERE 180º de  = 180º + Â, cumplen:
•
Sen (180º + Â ) = - Sen Â
•
Cos (180º +Â ) = - Cos Â
Las razones del ÁNGULO OPUESTO de  = - Â, cumplen:
•
Sen (- Â ) = - Sen Â
•
Cos (- Â ) = - Cos Â
Suma y diferencia de ángulos.
Cos (  -  ) = Cos  . Cos  + Sen  . Sen 
Cos (  +  ) = Cos  . Cos  - Sen  . Sen 
Sen (  +  ) = Sen  . Cos  + Sen  . Cos 
Sen (  -  ) = Sen  . Cos  - Sen  . Cos 
tg  + tg 
Ver demostraciones
tg (  +  ) = ------------------1 - tg  . tg 
tg  - tg 
tg (  +  ) = ------------------1 + tg  . tg 
Ejemplo: Sen 75º = sen ( 30º + 45º ) = sen 30º . Cos 45º + sen 45º . Cos 30º =
= (1/2).( 2/2) + (2/2).(3/2) = (1/4). (2 + 6)  0,9659
Cos 75º = Cos ( 30º + 45º ) = Cos 30º . Cos 45º - sen 45º . sen 30º =
= (3/2).(2/2) – (1/2).(2/2) = (1/4). (6 - 2)  0,2588
tg 15º
= tg ( 45º - 30º ) = ( tg 45º - tg 30º ) / ( 1 + tg 45º . tg 30º ) =
= (1 – (3/3) ) : ( 1 + (3/3) ) = - 2 + 3  - 0,2678
Ángulo doble y ángulo mitad.
Cos ( 2  ) = Cos²  - Sen² 
Sen ( 2  ) = 2 Sen  . Cos 
2 tg 
tg ( 2  ) = ---------------1 – 2 tg 
1 + cos 
Cos (/2) = 
---------------2
1 - cos 
Sen (/2) = 
---------------2
Sen (/2)
tg (/2) = ---------------Cos (/2) 2
Ver demostraciones
(el signo  depende del cuadrante donde esté /2)
(el signo  depende del cuadrante donde esté /2)
Ejemplos.
1.- Si tg  = -2/5 y p/2 <  < p. Calcular el seno, coseno y tangente de  .
SOLUCIÓN:
Utilizando tg² + 1 = 1 /cos² , y teniendo en cuenta que p/2 <  < p.. Será
cos  = -  (tg² + 1)-1 = - 5 /  29
sen  = tg  . cos  = 2 /  29
Luego:
sen 2 = 2 sen  . cos  = 2.(2 /  29).(- 5 /  29) = - 20 /29
cos 2 = cos²  - sen²  = (25 /29) - (4/29) = 21/ 29
tg 2 = 2 tg  / (1-tg² ) = - 20 / 21
Ejemplos.
2.- Si cos  = -4/5 y p <  < 3p / 2. Calcular el seno, coseno y tangente de /2 .
SOLUCIÓN:
Utilizando sen² + cos²  = 1 y teniendo en cuenta que p <  < 3p / 2. Será
sen  = - (1-cos² ) = - 3 / 5
tg  = sen  / cos  = 3 / 4
Como p <  < 3p / 2  p / 2 <  /2 < 3p / 4, será :
æ–4 ö
1–çç ÷
1–cos a
9
3 × 10
è 5 ø÷
a
sen ( 2) = +
= +
= +
=
» 0, 9487
2
2
10
10
æ–4 ö
1 + çç ÷
÷
1
+
cos
a
1
10
è
ø
5
cos (a 2) = –
=–
= –
= –
» –0, 3162
2
2
10
10
3 × 10
a
sen ( 2)
10 = –3
a
tg ( 2) =
=
10
cos (a 2)
–
10
Ecuaciones trigonométricas
Son aquellas en las que las incógnitas aparecen bajo los signos de razones
trigonométricas
Ejemplo:
1.- Resolver la ecuación sen 2x – sen x = 0
Solución: Si lo resolvemos primero en el intervalo [0 , 2p ) , será
Sen 2x – sen x = 0  sen 2x – sen x = 0
 2.sen x. cos x – sen x = 0 
 Sen x . (2.cos x – 1 ) = 0  { sen x = 0 ; cos x = ½ }
De la ecuación:
sen x = 0
x={0,p}
De la ecuación:
cos x = 1/2
 x = { p/3 , 5p/3 }
Luego la solución en el intervalo [0 , 2p ) , será :
x = { 0, p/3 , p , 5p/3 }
Si queremos todas las posibles soluciones, teniendo en cuenta que dichas soluciones se
repiten cada 2.k.p vueltas (con k un número entero cualquiera), las soluciones serán:
x = {{ 0 + 2.k.p , p/3 + 2.k.p , p + 2.k.p , 5p/3 + 2.k.p }: k ℤ}
Teorema de los senos
En todo triángulo ABC (y de lados a, b, c) se verifica que
los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos
a
b
c
sen A
=
sen B
=
sen C
Ejemplo: Resolver el triángulo
Solución:
Como resolver el triángulo consiste en hallar los
lados y los ángulos desconocidos, y en este
caso se conoce A, B y el lado c. Será
C = 180º - ( 73º + 38º 5’ ) = 68º 55’
a / sen A = c / sen C  a = ( c.sen A) / Sen C =
= ( 10. sen 38º 5’ ) / ( sen 68º 55’ ) = 6,61 m.
b / sen B = c / sen C  b = ( c.sen B) / Sen C =
= ( 10. sen 73º ) / ( sen 68º 55’ ) = 10,24 m.
Ver demostración
Interpretación geométrica del teorema de los senos
Si consideramos el triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio
r, se cumple
a
b
c
=
=
= 2 ×r
sen A
sen B
sen C
Interpretación geométrica del teorema de los senos
Demostración
Como el triángulo ADC es
rectángulo en A por que abarca
un arco de 180º y, además:
sen D = b / CD = b / 2r
Pero como B = D, por ser
ángulos inscritos que abarcan el
mismo arco. Será
sen B = sen D =
b
b
Þ
= 2 ×r
2 ×r
sen B
Teorema del coseno
En todo triángulo ABC (de lados a, b, c) se verifica que el cuadrado de uno de
sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el
doble del producto de estos por el coseno del ángulo que lo forman.
a = b + c –2 ×b ×c ×cos A
2
2
2
b = a + c –2 ×a ×c ×cos B
2
2
2
c = a + b –2 ×a ×b ×cosC
2
2
2
Ver demostración
Teorema del coseno
Ejemplo: Un topógrafo situado en la llanura observa dos picos de una
montaña con un ángulo de 60,3º. Si la distancia del observador a cada uno
de los picos es de 1,3 km. Y 980 m. Hallar la distancia entre los dos picos de
esas montañas
Solución: Utilizando
el teorema del coseno
a2 = b2 + c2 -2bc cos A.
Será:
a = ( b2 + c2 -2bc cos A) =
= ( 13002 +9802 -2.1300.980. cos 60,3º) =
 2 253 m.
Área de un triángulo
Para calcular el área de un triángulo ABC podemos utilizar la trigonometría.
Siendo el Área el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo
que lo forman
1
A R EA = ×b ×c ×sen A
2
Basta tener en cuenta que Área = ½ base . Altura = ½ c.h
Y teniendo en cuenta que h = b sen A, será
Basta tener en cuenta que Área = ½ base . Altura = ½ b. c.sen A
Ejemplo: Si en el triángulo de la figura A = 30º, b = 10 cm. y c = 15 cm.
Calcular el área del triángulo.
Solución: Área = ½ . b. c. sen A = ½ . 10 .15. sen 30º = 37,5 cm2
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva