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Proyecto
Taller:
Aprendizaje de Triángulos
Isidro Huesca Zavaleta
Contenido
• Clasificación.
• Congruencia y semejanza.
• Rectas y puntos notables.
• Solución de triángulos oblicuángulos.
Proyecto
Galileo-Colombia 2016
• Solución de triángulos rectángulos.
Un poco de historia de la geometría
Casi al mismo tiempo en que surgía la
geometría en Egipto también surgió en
Mesopotamia
(Babilonios,
Sumerios,
Acadios, Asirios, etc.)
Proyecto
Galileo-Colombia 2016
La geometría surge, de acuerdo al historiador
Proclo, en Egipto ya que era utilizada en la
medición de áreas de los terrenos que se
encontraban en la rivera del río Nilo.
Un poco de historia de la geometría
Más tarde, los conocimientos
geométricos que se tenían en Egipto
y Babilonia fueron refinados y
sistematizados por los Griegos.
Proyecto
Galileo-Colombia 2016
Es por lo anterior que podemos
decir que la geometría, como otras
ciencias, tiene su origen en las
necesidades cotidianas de los seres
humanos.
Un poco de historia de la geometría
Tales de Mileto
Pitágoras
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Galileo-Colombia 2016
La historia de la geometría griega
comienza en el siglo VI a.C. con Tales
de Mileto y Pitágoras, los cuales
viajaron a Egipto y Babilonia para
adquirir los conocimientos que se
tenían en esas tierras, estos
conocimientos fueron adquiridos por
los griegos, que a su vez,
contribuyeron a la matemática con un
razonamiento lógico por medio de un
enfoque inductivo y deductivo.
Euclides y los elementos
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Hacia el año 300 a.C. un matemático
griego que vivió en Alejandría llamado
Euclides (330-275 a.C.) sistematizó la
geometría que se conocía, hasta ese
entonces, estableciendo definiciones,
axiomas, y postulados a partir de los
cuales se van sucediendo los teoremas.
Todo esto fue mostrado en su obra
Los Elementos
Euclides y los elementos
Los Elementos es una obra que
consta de 13 libros.
En los libros V y VI se
presenta la teoría de las
proporciones abstractas y
figuras
geométricas
semejantes y proporcionales.
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Del libro I al IV se exponen
fundamentos y teorías de la
geometría plana.
El triángulo
El triángulo es el polígono más sencillo, en él se consideran tres
lados (𝑎, 𝑏 y 𝑐), tres vértices (𝐴, 𝐵 y 𝐶), tres ángulos interiores (𝛼, 𝛽
y 𝛾) y tres ángulos exteriores (ω, 𝜑 y θ).
𝑨
𝝎
𝜶
𝒄
𝜽
𝑪
Proyecto
𝜸
𝜷
𝒂
𝑩
𝝋
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𝒃
Clasificación de los triángulos
De acuerdo a la longitud de sus lados:
Triángulo escaleno
Triángulo isósceles
Triángulo equilátero
De acuerdo a la medida de los ángulos internos:
Triángulo rectángulo
Proyecto
Triángulo acutángulo
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Triángulo obtusángulo
Congruencia
Dos
triángulos
son
congruentes si tienen sus lados
correspondientes y sus ángulos
correspondientes tienen las
misma medida.
La congruencia se denota por el símbolo: ≅, así se tiene que
∆ 𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
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Para
la
geometría
la
congruencia es lo que para la
aritmética es la igualdad.
Congruencia
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen
la misma medida.
A
𝒃
𝒄
A’
C
𝒂
B
Proyecto
B’
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C’
Congruencia
Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados correspondientes
tienen la misma medida y el ángulo que forman tienen la misma
magnitud.
A’
𝒃
C
𝜶
𝒄
B
Proyecto
𝜶
C’
𝒂
B’
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A
Congruencia
Dos triángulos son congruentes si dos de sus ángulos
correspondientes tienen la misma medida y el lado correspondiente
que está entre los ángulos tienen la misma magnitud.
A
A’
𝒃
𝜷
Proyecto
B
C
C’
B’
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𝜶
Semejanza
La semejanza se denota por el símbolo: ≈, así se tiene que
∆ 𝐴𝐵𝐶 ≈ ∆ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
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Se dice que dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes
son proporcionales y sus ángulos homólogos son congruentes.
Semejanza
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos homólogos son
congruentes.
A
𝒃
C
𝒄
𝒂
A’
𝑘𝑏
C’
𝑘𝑐
𝑘𝑎
Proyecto
B’
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B
Semejanza
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados correspondientes son
proporcionales y los ángulos homólogos que forman son congruentes.
A
𝒃
C
𝒄
𝒂
A’
B
𝒌𝒃
C’
𝒌𝒄
B’
Proyecto
Galileo-Colombia 2016
𝒌𝒂
Semejanza
Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son
proporcionales.
A
𝒃
A’
𝒌𝒃
𝒌𝒄
𝒄
B’
C’
C
𝒌𝒂
𝒂
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B
Altura de un triángulo
Altura: Es la recta que pasa por el vértice y que es
perpendicular al lado opuesto, ésta es la distancia más corta
entre el vértice y el lado opuesto.
El punto
donde desde
se
Tracemos las alturas de un triángulo. Para ello,
trazamos
intersecan las 3
los vértices rectas perpendiculares al lado opuesto.
alturas se llama
B
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C
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ortocentro
A
Mediana de un triángulo
Mediana: Es la recta que pasa por el vértice y por el punto
Las medianas de un triángulo
medio del lado
opuesto al vértice.
concurren en un punto
Cada mediana divide al
llamado Baricentro o centro
triángulo
en dos
Vamos a trazar
las medianas
del triángulo
de gravedad y este es el punto
regiones con igual área.
de equilibrio del triángulo.
A
B
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C
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto
triángulo
que esun
posible
medio del segmento y que es perpendicular a éste.AsíAhora,
estálas mediatrices de
trazar
tres
losformado
lados delpor
triángulo
segmentos.
Proyecto
B
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A
Mediatrices de un triángulo
Trazamos las mediatrices del triangulo
A
Las mediatrices concurren
en un punto llamado
circuncentro y su distancia a
cualquiera de los vértices es
la misma.
C
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B
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la línea que pasa por el vértice y
divide al ángulo en dos ángulos iguales.
a
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a
Bisectriz
El incentro es el centro de
Las
bisectrices internas
una circunferencia inscrita al
La bisectriz
deltriángulo
ángulo
𝐶𝐴𝐵 en el triángulo 𝐵𝐶𝐴 es la recta que
detriángulo
un
𝐴𝐵𝐶 . se
pasa porcortan
el distancia
vértice
A(perpendicular)
y divide al ángulo 𝐶𝐴𝐵 en dos ángulos
en un
punto
La
iguales.llamado
del incentro
a cada lado del
incentro.
triángulo es la misma y se
B
llama inradio.
A
a
𝜽
𝜽
a
A
g
𝜸
b
C
B
Proyecto
C
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I
Solución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulos es calcular cada una de las
longitudes de sus lados y las magnitudes de sus ángulos.
𝜷
𝒄
𝒂
𝟗𝟎°
Para resolver un triángulo rectángulo es necesario contar con:
 Longitud de dos lados
 Longitud de un lado y magnitud de un ángulo (distinto del recto).
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𝒃
𝜶
Solución de triángulos rectángulos
El área
del cuadrado
dellos lados de un triángulo rectángulo
Si se tiene
la longitud
de dos de
lado
de laelhipotenusa
es Pitágoras para calcular la longitud
se puede
utilizar
teorema de
igual a la suma de las
del tercero.
áreas de
los cuadrados del los
catetos
Cateto(𝑎)
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄
Proyecto
Cateto(𝑏)
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90°
Solución de triángulos rectángulos
Si se tiene la longitud de un lado y la magnitud de un ángulo, distinto
del recto, de un triángulo rectángulo se puede utilizar alguna de las
razones trigonométricas para calcular la longitud de otro lado.
𝒄
𝒂
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜Asignamos
𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 literales
𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
=
a los lados del
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
triángulo y al
ángulo
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝜶
𝒃
1
1
1 𝑐
=
= 𝑎 = = 𝐶𝑠𝑐 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑎
𝑐
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
=
𝑏
𝑐
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑎
=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏
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1
1
1
𝑏
=
= 𝑎 = = 𝐶𝑜𝑡 𝛼
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑇𝑎𝑛 𝛼
𝑎
𝑏
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
1
1
1
𝑐
=
=
= = 𝑆𝑒𝑐 𝛼
𝑏
𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑏
𝑐
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Solución de triángulos rectángulos
La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es de 180°
𝛼 𝜽
𝜷
𝜷
𝛼
𝑩
Proyecto
𝑪
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𝑨
Solución de triángulos oblicuángulos
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene un ángulo recto.
Al igual que con el triángulo rectángulo, resolver un triángulo oblicuángulo
significa calcular cada uno de los valores de sus lados y de sus ángulos.
𝒂
𝜷
𝒄
𝜽
𝜶
Para resolver un triángulo oblicuángulo es necesario contar con:
 La longitud de un lados y la magnitud de dos ángulos internos.
 La longitud de dos lados y la magnitud del ángulo interno que forman.
 La longitud de los tres lados del triángulo.
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𝒃
Solución de triángulos oblicuángulos
• Se tiene lo siguiente:
Ley de Senos
ℎ
𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = ℎ
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
𝑏
ℎ
𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = ℎ
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝑎
𝒃
𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = ℎ = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑪
⇒
𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑎∗𝑏
𝑎∗𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑎
𝑏
𝑨
• Debido a que esto se puede realizar
con el ángulo 𝑪, se concluye que
Proyecto
𝒄
𝑩
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𝒉
𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝒂
𝒔𝒆𝒏 𝑨
𝒔𝒆𝒏 𝑩
𝒔𝒆𝒏 (𝑪)
=
=
𝒂
𝒃
𝒄
Solución de triángulos oblicuángulos
Ley de Cosenos
• Debido a que el triángulo 𝐴𝐷𝐶 es rectángulo se cumple
𝑪
𝑏 2 = ℎ2 + 𝐴𝐷 2 como 𝐴𝐷 = 𝑐 − 𝐷𝐵
2 2 −+2𝑐𝐷𝐵
𝑏 2 = ℎ2 + 𝑐𝑐2 −
2𝑐
+ 𝐷𝐵
𝐷𝐵𝐷𝐵
𝐷𝐵2
• Del triángulo 𝐵𝐷𝐶 se tiene
2
+ 𝐷𝐵 =
𝐷𝐵
= 𝑐𝑜𝑠 𝐵
𝑎
𝑎2
⇒
𝐷𝐵
2
=
𝑎2
−
ℎ2
𝒉
𝒂
𝐷𝐵 = 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝐵
• Sustituyendo
Realizando lo las
mismo con los lados
𝒂 y 𝒄 se expresiones:
concluye
últimas
𝑨
𝒄
𝑫
𝟐+
𝑏2𝟐 = ℎ𝑐𝒃22𝟐+
+
2𝑎𝑐
2𝑐 (𝐵)
𝐷𝐵
𝑎2𝒃−𝟐 ℎ−2 𝟐𝒂𝒃
− 2𝑐 ∗𝑎𝒄𝒐𝒔
∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑪)
(𝐵)
𝒂
+𝑐𝑎𝒄22𝟐+− 𝐷𝐵
𝟐𝒄𝒃2∗∗−𝑐𝑜𝑠
𝒄𝒐𝒔
(𝑨) = ℎ𝒄2𝟐+=𝑐2𝒂+
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 ∗ 𝒄𝒐𝒔 (𝑩)
Proyecto
𝑩
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ℎ2
𝒃