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RESUMEN CAMPO MAGNÉTICO
Antonio J. Barbero
Dpto. Física Aplicada UCLM
1
ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UNA PARTÍCULA QUE
SE MUEVE PERPENDICULARMENTE A LAS LÍNEAS DE CAMPO
Z


Campo magnético uniforme B  B u z
en todos los puntos donde y  0
Hasta aquí no hay
campo magnético

v
q
Fuerza magnética

 
F  qv  B

B
Carga +  fuerza magnética de 
igual sentido que el producto v  B

v
 
vB
 
vB
X

B

B  
vB
R
Y

v
Consecuencia:
la fuerza magnética actúa
como fuerza centrípeta que
cambia la dirección de la
trayectoria pero sin alterar
el módulo de la velocidad

v
Mientras permanezca dentro del campo magnético
uniforme, la partícula describirá una trayectoria de radio R
contenida en el plano perpendicular al campo magnético.
Módulo fuerza magnética
F qvB
Módulo fuerza centrípeta
v2
FC  m
R
Igualando ambas
v2
m qvB
R
R
mv
qB
Ejemplo: un protón moviéndose a
1000 km/s en un campo magnético
de 0.01 T.
m  1.67 ·10 27 kg
q  1.60 ·10 19 C
1.67·10 27 ·106
mv

 1.04 m
R
19
2
qB 1.67·10 ·10
PREGUNTA: ¿Cómo sería la trayectoria de un electrón y qué radio tendría si entrase en el mismo campo
magnético moviéndose a la misma velocidad? El electrón es 1836 veces más ligero que el protón.
2
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO

B

B

B

v

q 

 
F  qvB
90º

 
F  qvB
q
90º



F  q v B sin 
 
vB
* Actúa sobre cargas en movimiento
* Perpendicular al plano determinado
por velocidad y campo magnético

B
* Actúa como fuerza centrípeta
(cambia la dirección del vector
velocidad, no su módulo)

B

B
  q 
vB


v

v
F  q v B sin 

 
F  qvB

B
La fuerza magnética:

90º
q

 
F  qvB
F  q v B sin 

B

B
90º

v

 
F  qvB
trayectoria


v

 
F  qvB
F  q v B sin 
3
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO (II)

B

v
Z

v //
 
v//  B  q v// B sin 0º  0
 
v  B  q v B sin 90º  q v B


v

Y


v // Componente paralela a B
X


v Componente perpendicular a B

B

v
Trayectoria
proyectada
en plano XY


X

La trayectoria proyectada en
plano XY es una órbita circular
cuyo radio depende de la carga
q y de la masa m de la partícula.
Fuerza magnética = Fuerza centrípeta
v2
q v B sin   m
R
Y
R

v

 

  F  q v  B
F  q v  B

 
F  q v  B


 
F  q v  B

v


 
 
F  q v  B  q v//  v  B

v

B

 
F  q v  B
Véase que v  v sin 
F  q v B sin 90º  q v B sin 
Trayectoria de la partícula cargada
en el campo magnético: mientras
que la componente perpendicular
de la velocidad hace que describa
una órbita circular, la componente
paralela introduce una deriva que
transforma la trayectoria en una
espiral.

Z
B
mv
q B sin 

v //
Periodo de la órbita
2R
T
2 R
2 m

v
q B sin 
sin   0
Y
X
4
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO (III)
Una carga se mueve en un campo magnético. Asocie cada trayectoria con el esquema A, B, C o D correspondiente.

B
A)

B

B
B)



v //

v

v



F

F

 
vB
D) Carga negativa ascendente

B

v


v //

v

v //

v //
A) Carga positiva descendente

B

v //

v


F
C) Carga positiva ascendente

B
D)

v

B

B

B
C)

v

B

B

v

v

v

v

v //
B) Carga negativa descendente

B

F
5
 
vB

v //

v //
FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CORRIENTES
MOMENTO MAGNÉTICO
Fuerza sobre un elemento de corriente
 

dF  i dl  B

B

B

dl

F
90º
Q

P

uN
S
Fuerza sobre un
tramo conductor
i
Q
Espira plana
Momento magnético

m
S
i
 
i dl  B

m

uN
i


m  i S uN
línea 
90º

dF
P
Efectos del campo B sobre el momento magnético
Fuerza sobre corriente rectilínea

B

F
i

B

 

i dl  B  i u N


F  i B sin  u N

dl
Q

Q


dl  i B L sin  u N
P
90º
Bsin  dl
P
P
Q

Q

B

m

90º


Torque que tiende a
alinearlo con el campo
  
  m B
Energía potencial de la
configuración
 
U  m B
90º
P

uN
L es la distancia PQ

dF

 
F  i L B
6
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA MÓVIL
Campo creado en un punto arbitrario P

B
Z

v
q
 
 ur
r
X
q
 
ur


r

v
  0 q v  ur
B
4 r 2
90º
P
  0 q v  ur
B
4 r 2
 q v sin 
B 0
4
r2
Z
P
90º
Y
Y
Constante magnética
0
 10 7 H/m
4
Si q > 0, el sentido del campo magnético
 
es el mismo que el del producto v  ur
X
  0 q v  ur
B
4 r 2
 q v sin 
B 0
4
r2

B
Si q < 0, el sentido del campo magnético
 
es opuesto al del del producto v  ur
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA QUE VIAJA HACIA FUERA DEL PLANO DEL PAPEL

B

B
Carga positiva

B

B

B

B

B
Carga negativa

B
7
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE (I)

Contribución dB de cada elemento de
corriente I dl al campo magnético en P
I
Z

dl


ur

r
P

  0 I dl  ur
dB 
4
r2
 I dl sin 
dB  0
4
r2
X
Campo magnético en P:
Ley de Biot y Savart


 0 I dl  ur
B  dB 
4
r2

L

L
El subíndice L de la integral
se refiere a la longitud total
del conductor que transporta
la corriente.

dB
90º
Y
Ejemplo: cálculo del campo magnético en el centro de una espira
conductora de radio R situada sobre el plano YZ, que transporta una
corriente I en sentido antihorario.



ur
1) Véase que dl

dl
Z
k
2) Todos los elementos


90
º
j

a YZ
dB son
r


i
 

ur
3) dl  ur  dl · i
90º R
4) El módulo de todos

los elementos dB
Y
es el mismo, pues el

radio R es constante.
dB

  0 I dl  ur  0 I dl 
X

i
dB 
4 R 2
4
r2
2 R

B

L
 
dB  0
4

L
 
0
I dl  ur

4
r2

L

I dl i  0 I 

i
R2
4 R 2

dl
L
  I 
B 0 i
2R
8
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE (II)
Ley de Ampère. Enunciado:
La ley de Ampère resulta de utilidad para el cálculo del campo
La circulación del campo magnético a lo largo magnético que gocen de apropiadas condiciones de simetría.
de una curva cerrada es proporcional a la
Ejemplo: cálculo del campo magnético alrededor de un
corriente neta que atraviesa cualquier superficie
conductor rectilíneo indefinido que transporta la corriente I.

delimitada por la curva.



B
Z
I

dl
R

dl
C

dl

B
Y
Circulación a lo largo de la curva C
 
CIRCULACIÓN  B dl
Indica curva cerrada

c
Ley de Ampère. Formulación matemática:

B
I

dl

B
X
 dl
B
 
B dl  0 I
c
I se refiere a la corriente neta que atraviesa
cualquier superficie delimitada por la curva
cerrada C.

dl

B

B
I

B

dl

dl

B
dl
R
Sobre cualquier circunferencia de radio R concéntrica con el
conductor, el módulo del campo magnético será el mismo, ya que
todos los puntos de la circunferencia se encuentran a igual
distancia de los elementos de corriente que constituyen las fuentes
del campo magnético. Además, existen tantos elementos de
corriente a un lado como a otro del plano determinado por la
superficie del círculo delimitado por la circunferencia, luego el
campo magnético debe estar contenido por simetría en el plano de
dicho círculo, y debe ser paralelo al elemento de longitud tangente
a la circunferencia.

c
 
B dl 

B dl cos 0º  B
c
 I
B 0
2 R

dl  B·2 R  0 I
c
Dirección tangente
9
EJEMPLO 1. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario.
  90  
El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto
como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del
conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura)

 0 Idl  ur  Idl
Cálculo del campo

0
dB 

cos


u
por Biot y Savart:
4 r 2
4 r 2
 


Módulo dB
Idl  ur  Idl sen  u  Idl cos  u
Vector unitario perpendicular al plano
de la figura, entrante a la izquierda y
saliente a la derecha de la misma
dB 
h
r
cos

I dl

r
l



 0 Idl
 0 I h / cos2 
dB 
cos 
cos d
4 r 2
4 h 2 / cos2 


ur

dB
h
l  h tg
h
dl 
d
cos2 
0 Idl
0 I
cos


cos d
4 r 2
4 h
2
B

cos  sin 

1
0 I
 I
 I
cos d  0 sen 2  sen  1   0 sen1  sen 2 
4 h
4 h
4 h
h  L/2
CASO PARTICULAR: Supongamos que hay
cuatro conductores formando un cuadrado de lado
L por donde circula la corriente I, y se pide el
campo en el centro, por lo que los ángulos 1 y 2
son ambos 45º. El valor de h es h  L / 2
El campo total es
BL  4
0 I  2
2  0 2 2 · I



4 L / 2  2
2  
L
(Sentido saliente)

ur
r

dB


I dl
1
2
h
10
EJEMPLO 2. Campo magnético en un punto cualquiera del eje de simetría de una espira circular.
1.- Espira plana circular de radio R cuyo centro es nuestro origen de coordenadas
2.- La espira transporta la intensidad de corriente I. Consideramos un elemento de corriente.
3.- Este elemento de corriente 𝐼𝑑𝑙 genera un campo magnético 𝑑𝐵 en el punto (0,0,z)
4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart
𝑍
𝜃
5.- Véanse los ángulos
𝑑𝐵
𝑢𝑁

  0 I dl  r
dB 
4
r3
𝑍
𝑑𝐵𝑍
90 − 𝜃
90 − 𝜃
𝑟
𝑢𝑟
𝑧
𝑑𝐵
(0,0,z)
𝑢𝑍
𝑅
𝑢𝑁
𝑑𝜑
𝜑
𝑋
𝐼𝑑𝑙 = 𝐼𝑑𝑙 𝑢𝜑
I dl  I R d
𝑢𝜑
7.- El campo magnético 𝑑𝐵 en el punto (0,0,z) tiene una
componente dirigida según el eje Z y otra paralela al plano XY.
𝑑𝐵𝑋𝑌
𝑌
𝑌
𝜃
𝑋
𝑢𝑟
𝑢𝑍
𝜃
𝜑
6.- La dirección del campo 𝑑𝐵 en
el punto (0,0,z) es normal al plano
que determinan los vectores 𝐼𝑑 𝑙 y
𝑢𝑟 . El vector unitario en esa
dirección es 𝑢𝑁 .

 
u N  u  ur
11
El vector unitario 𝑢𝜑 determina en cada punto de la circunferencia la dirección local de la tangente. El elemento de corriente
𝐼𝑑𝑙 tiene en cada punto esa misma dirección y sentido.
EJEMPLO 2. Campo magnético en un punto cualquiera del eje de simetría de una espira circular (continuación).

  0 I dl  r  I R d    0 I R d 
8.- Expresamos 𝑑𝐵 en función del vector unitario 𝑢𝑁 dB 
uN
 0
u  ur 
3
4 r 2
4
r
4 r 2
9.- Para obtener el campo 𝐵
10.- Observando la figura debemos notar que el campo
debemos integrar 𝑑𝐵  véase que
magnético en (0,0,z) no tendrá componente neta en dirección
la componente 𝑑𝐵𝑍 es igual a
paralela al plano XY, porque cada componente 𝑑𝐵𝑋𝑌 se verá
cancelada por la simétrica que apunta en dirección opuesta


 0 I R d
𝑍
dBZ 
cos  u Z
(la que corresponde al ángulo 𝜑 + 𝜋). Por tanto el campo 𝐵
4 r 2
𝜃
𝑑𝐵 será igual a


 I R d
dBZ  0
cos  u Z
2
4 r


𝑢𝑁
R
B  dBZ
cos  

𝑍
r
  0 I dl  r
𝑑𝐵𝑍
dB 
4
r3
90 − 𝜃

90 − 𝜃
𝑟
𝑢𝑟
𝑧
𝑑𝐵
𝑢𝑟
𝑌
𝑌
𝑑𝜑
𝜑
𝑋
𝜃
𝑋
𝑑𝐵𝑋𝑌
𝑢𝑁
𝑢𝑍
𝑅
𝑢𝑍
𝜃
𝐼𝑑𝑙 = 𝐼𝑑𝑙 𝑢𝜑
I dl  I R d
 
B 0
4
𝑢𝜑

Integramos: B 


dBZ 
  2

 0

 0 I R d
cos  u Z
2
4 r
r  R2  z2
  2
  2
 0
 0

𝜑
0 I R 2 
I R d R 
u

uZ
Z
r2 r
4 r 3
 d
 

I R2
B 0
uZ
3
/
2
2 R 2  z 2 12


EJEMPLO 3.- Un conductor muy largo que transporta una corriente continua I = 50 A
está doblado formando un arco de cuarto de circunferencia de la manera que muestra la
figura 3 A. El radio al que alude la figura es R = 1.25 cm.
a) Calcular el campo magnético en el origen de coordenadas explicando razonadamente
cuál es su dirección y sentido.
Y
Y
b) Una partícula de 0.01 gramos que
0, R 
0, R 
tiene una carga de 10-7 C pasa por el
I
origen de coordenadas moviéndose en
I
el plano XY a 400 m/s, y formando su
vector velocidad un ángulo  = 60º
X
X
R,0
R,0

con la parte negativa del eje X (figura
3 B). Calcular su aceleración en ese

v
momento, explicando razonadamente
cuál es la dirección y sentido de dicha
Figura 3 B
Figura 3 A
aceleración.
Ayuda
a) Cálculo del campo magnético en el origen de coordenadas
El campo que cada uno de los tres tramos de conductor, de acuerdo con la regla de la mano derecha,
produce en el origen de coordenadas, está dirigido según el eje Z (perpendicular al plano del papel, sentido
saliente). El campo total tiene pues igual dirección y sentido.
Y
0, R 
B3 
0 I
sin 90  sin 0º   0 I
4 R
4 R
B2 

 I

B  B1  B2  B3   0  0  0 
 4 8 4  R
I

B
B1 
0 I
·R   0 I   0 I
2
4 R
4 R 2 8 R
0 I
sin 0  sin 90º   0 I
4 R
4 R
R,0
X
50
 10 3 T
2
1.25 ·10


B  103 k T
B  2.5 ·10 7
13
EJEMPLO 3.- Un conductor muy largo que transporta una corriente continua I = 50 A
está doblado formando un arco de cuarto de circunferencia de la manera que muestra la
figura 3 A. El radio al que alude la figura es R = 1.25 cm.
a) Calcular el campo magnético en el origen de coordenadas explicando razonadamente
cuál es su dirección y sentido.
Y
Y
b) Una partícula de 0.01 gramos que
0, R 
0, R 
tiene una carga de 10-7 C pasa por el
I
origen de coordenadas moviéndose en
I
el plano XY a 400 m/s, y formando su
vector velocidad un ángulo  = 60º
X
X
R,0
R,0

con la parte negativa del eje X (figura
3 B). Calcular su aceleración en ese

v
momento, explicando razonadamente
cuál es la dirección y sentido de dicha
Figura 3 B
Figura 3 A
aceleración.
Ayuda
b) Aceleración de la carga en el origen de coordenadas
 

La
fuerza
magnética
tendrá
el
sentido
contrario
al
producto
vB
F

ya que la carga es negativa. Por tanto la fuerza forma un ángulo
B
90  
de 90º-  = 90º- 60º = 30º con la parte positiva del eje X

X

 
 
Módulo F  q v·B  107 · 400 ·103  4 ·108 N
F  qv  B
vB

v
Aceleración: aplicamos la 2ª ley de Newton
a
F
4 ·108 N
  2 3
 4 ·103 m·s 2
m 10 ·10 kg
14