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MATEMATICA I
Lógica Matemticas
Prof Rubén Millán
[email protected]
Lógica
La lógica proposicional usa reglas y
técnicas para determinar si es o no
válido un argumento dado.
1. ENUNCIADO: oración o frase que expresa alguna idea
(afirmaciones, negaciones,¿?,¡ !, saludos, emociones,
etc) .
Ejm:
“ Pare inmediatamente!”
“¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”.
“ En realidad, no sé a qué se refiere”.
2. ENUNCIADO ABIERTO: enunciado que contiene
variables o letras y no tiene la propiedad de ser verdadero
o falso.
Ejm:
5x+1=0
a-b =b-a
6y-4>20
3. PROPOSICIÓN LÓGICA: enunciado que puede ser
verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez .
Ejm:
1+4=5 . V
2 es un número primo. V
15 es múltiplo de 2 . F
Todo número real tiene raíz cuadrada. F
Todos los números que terminan en cero son
divisibles por cinco. V
¿Cuáles de los siguientes enunciados son
proposiciones?
Explica por qué sí son proposiciones y por
qué las otras no lo son.
1)“ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”.
2)“ 2 es divisor de 15”.
3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.
4)“Todo número entero es positivo”
5) “ x + 3 es un entero positivo”.
6)“ Tranquilícese”.
Notación
Para denotar o representar las proposiciones se
usan letras minúsculas: p, q, r, s, ...
p: El 5 es un entero par.
q: Los números naturales son positivos.
r: 2+5 < 8-1.
s: “Un decenio tiene 10 años”
4. PROPOSICIÓN SIMPLE O ATOMICA:
proposición lógica que consta de un solo sujeto y
predicado (Variables proposicionales).
Ejm:
3 divide a 6.
12 es un número par.
1 es un número natural.
5.
PROPOSICIÓN
COMPUESTA
O
MOLECULAR: proposición lógica compuesta de
dos o más proposiciones simples.
Ejm:
3 divide a 6 y 12 es un número par.
12 es un número par entonces tiene mitad.
OPERADORES LÓGICOS
Y , PERO
Conjunción 
O
Disyunción 
SI … ENTONCES
Condicional 
SI Y SÓLO SI
Bicondicional 
NO, NO ES CIERTO QUE Negación
~
Tablas de Verdad
1. Conjunción: su valor de verdad es verdadero
solamente si ambas proposiciones son verdaderas, en los
demás casos será falso.
pq
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
2. Disyunción: su valor de verdad es falso solamente si
ambas proposiciones son falsas, en los demás casos será
verdadero.
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
3. Condicional: su valor de verdad es falso solamente si
de una verdad se llega a una falsedad, en los demás casos
será verdadero.
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
4. Bicondicional: su valor de verdad es verdadero
solamente si ambas proposiciones tienen el mismo valor de
verdad, en los demás casos será falso.
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
5. La Negación: simplemente cambia el valor de verdad.
p
~
p
V
F
F
V
Construcción de tablas de verdad
¿Cuántas filas tiene la tabla?
–1 proposición
–2 proposiciones
–3 proposiciones
–.........
–n proposiciones



2 valores (V o F)
4 valores de verdad
8 valores de verdad

2n valores de verdad.
Fórmula lógica
• Es una combinación de proposiciones mediante
los operadores lógicos.
Ejemplo: p 
q
~
~q
F
q
~
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
p
q
V
V
V
P 
Contingencia
(combinación entre
verdaderos y falsos)
Ejemplo: p
~
p
p
~p
V
F
F
V
p 
~p
V
V
Tautología
(todos son
verdaderos)
Ejemplo: p
~ p
p
~p
p 
V
F
F
F
V
F
~p
Contradicción
(todos son
falsos)
LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL:
1. Ley de Involución (doble negación):
~ (~p) ≡ p
2. La idempotencia:
a) p ٧ p ≡ p;
b) p ٨ p ≡ p;
3. Leyes conmutativas:
a) p ٧ q ≡ q ٧ p
b) p ٨ q ≡ q ٨ p
c) p ↔ q ≡ q ↔ p
4. Leyes asociativas:
a) (p ٧ q) ٧ r ≡ p ٧ (q ٧ r)
b) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r)
c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
5. Leyes distributivas:
a) r ٧ (p ٨ q) ≡ (r ٧ p) ٨ (r ٧ q)
b) r ٨ (p ٧ q) ≡ (r ٨ p) ٧ (r ٨ q)
c) p → (q ٧ r) ≡ (p → q) ٧ (p → r)
d) p → (q ٨ r) ≡ (p → q) ٨ (p → r)
6. Leyes de Morgan:
a) ~ (p ٧ q) ≡ (~p ٨ ~q)
b) ~ (p ٨ q) ≡ (~p ٧ ~q)
7. Leyes del Condicional:
a) p → q ≡ ~p ٧ q
b) ~ (p → q) ≡ p ٨ ~q
8. Leyes del Bicondicional:
a) p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p)
b) p ↔ q ≡ (p ٨ q) ٧ (~p ٨ ~q)
9. Leyes de la Absorción:
a) p ٨ (p ٧ q) ≡ p
b) p ٨ (~p ٧ q) ≡ p ٨ q
c) p ٧ (p ٨ q) ≡ p
d) p ٧ (~p ٨ q) ≡ p ٧ q
10. Leyes de Transposición:
a) (p → q) ≡ (~q → ~p)
b) (p ↔ q) ≡ (~q ↔ ~p)
11. Ley de Exportación:
(p ٨ q) → r ≡ p → (q → r)
12. Formas normales:
• Para la Conjunción: V ٨ V ≡ V; V ٨ P ≡ P; F ٨ P ≡ F
• Para la Disyunción: F ٧ F ≡ F; F ٧ P ≡ P; V ٧ P ≡ V
13. Elementos Neutros para la Contradicción y
Tautología:
P ٨ C = C; C ٧ T = T; P ٧ T = T; C ٨ T = C
donde: T= Tautología (Verdad),
C = Contradicción (Falso),
P = Esquema Molecular Cualquiera
SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES
La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera,
la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir
la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso
de los axiomas y/o leyes lógicas.
La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión
paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una
expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una
expresión lógica irreducible.
A través de la simplificación podemos también demostrar una
equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.
Simplificar la expresión:
[(p p)  q]  [~q  (r  q)]  [p  (p  ~q)] Recuerde Ubicar
la ley que utiliza
[(~p  p)  q]  [~q  (r  q)]  [~p  (p  ~q)]  Impla.
Material
[(~p  p)  q]  [~q  (r  q)]  [(~p  p)  ~q]  Asociativa
(v  q)  [~q  (r  q)]  (v  ~q)  Complemento
v  [~q  (r  q)]  v  Dominancia
v  v  [~q  (r  q)]  Asociativa
v  [~q  (r  q)]  Idempotencia
~q  (r  q)  Elemento Neutro
(~q  r)  (~q  q)  Distributiva
(~q  r)  v  Complemento
~q  r
Elemento Neutro