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TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 70
LÓGICA
PROPOSICIONAL.
EJEMPLOS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.
Y
APLICACIONES
1. Introducción.
2. El Lenguaje para la Lógica de Proposiciones.
2.1. Sintaxis.
2.1.1. Reglas de Formación.
2.1.2. Conectivas.
2.2. Semántica.
2.2.1. Tablas de Verdad.
2.2.2. Equivalencia.
2.2.3. Tautologías y Contradicciones.
3. Validación de Sentencias Proposicionales.
4. Leyes de la Lógica de Proposiciones.
5. Sistema Axiomático del Cálculo de Proposiciones.
6. Sistema Inferencial del Cálculo de Proposiciones.
6.1. Reglas de Inferencia.
6.2. Proceso de Inferencia.
7. La Demostración en Matemáticas.
7.1. Demostraciones Directas.
7.2. Demostraciones Indirectas.
7.3. Demostraciones por Recurrencia o Inducción Completa.
8. Álgebra de Boole de las Proposiciones.
Bibliografía Recomendada.
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AL
TEMA 70
LÓGICA
PROPOSICIONAL.
EJEMPLOS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.
Y
APLICACIONES
AL
1. INTRODUCCIÓN.
La Lógica es una ciencia que trata de ser la teoría formal del razonamiento, por ello
es una herramienta muy importante para el análisis de argumentos. Según la Academia
de la Lengua, la Lógica es la disciplina que estudia la estructura, fundamento y uso de
las expresiones del conocimiento humano.
Otra cuestión a tener en cuenta en el estudio de la Lógica es su relación con la
Teoría de Conjuntos. Conocida es la posibilidad de establecer un isomorfismo entre ésta
y una gran parte de aquella, lo que nos garantiza que muchos teoremas, en cualquiera de
las dos teorías, tiene su contrapartida en la otra. Este hecho hace que sea posible la
explicación de las dos de manera análoga y simultánea.
La Lógica pretende ser una ciencia y por ello tener capacidad de realizar
operaciones o cálculos de modo preciso. Para conseguirlo se requiere la confección de
un lenguaje artificial que, contando con reglas explícitas, permita usar componentes y
combinarlos para formar enunciados.
Una primera área del estudio de la lógica es la lógica de proposiciones, que trata de
las combinaciones de variables en proposiciones arbitrarias. Estas variables se llaman
variables lógicas o proposicionales. Estas variables pueden asumir los dos valores de la
lógica clásica, los de verdad o falsedad. En lógica de proposiciones se pueden producir
nuevas proposiciones aplicando las fórmulas lógicas a las proposiciones existentes. El
interés de la lógica de proposiciones está en el estudio de estas reglas qe permiten
producir nuevas variables y proposiciones en función de otras ya conocidas.
2. EL LENGUAJE PARA LA LOGICA DE PROPOSICIONES.
Vamos a definir un lenguaje que nos permita representar las fórmulas sentenciales
para su estudio. Esto supone definir los símbolos que utilizaremos y las reglas de cómo
utilizar estos símbolos para formar fórmulas sentenciales correctas, es decir, la sintaxis
de nuestro lenguaje, así como la semántica, asignación de un significado lógico a las
sentencias.
En la lógica de proposiciones los enunciados declarativos del tipo:
Está lloviendo
Antonio corre
Clara aprueba
pueden ser verdaderos o falsos, pero no las dos cosas a la vez.
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DEF Llamaremos proposición a un enunciado declarativo que puede ser verdadero o
falso pero no ambas cosas a la vez.
2.1. Sintaxis.
El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo
constituyen, el alfabeto, y cómo se combinan para formar sentencias, es decir, la
sintaxis o estudio de los signos como puras y simples figuras, independientemente de lo
que designan y significan, y las relaciones de los signos entre sí.
El alfabeto con el que vamos a trabajar es el siguiente:
• Los símbolos de Verdadero, V ó 1, y Falso, F ó 0.
• Los símbolos que representan variables proposicionales, p, q, r, s, ...
• Los símbolos que representan las conjunciones y/o los adverbios, que en lógica
denominaremos conectivas, tales como ‘no’, ‘y’, ‘o’, ‘o..o...’, ‘si...entonces...’,
‘si y solo si’, y que son representadas mediante ‘¬’, ‘∧’, ‘∨’, ‘⊕’, ‘→’, ‘↔’.
• Los símbolos de puntuación como ‘(‘, ‘)’, utilizados para evitar ambigüedades.
La conectiva ¬ es unitaria, pues sólo actúa sobre un operando, el cual se coloca
detrás de la conectiva. El resto de las conectivas son binarias, pues operan sobre dos
operandos.
2.1.1. Reglas de Formación.
Una secuencia finita de símbolos de variables proposicionales, conectivas y
paréntesis forman una fórmula sentencial. Por ejemplo:
)∨ p¬→(
p ∧ ( q∨ ¬r)→ s
son fórmulas sentenciales. Aunque la única que significa algo es la segunda, por lo tanto
sólo esta expresión es una sentencia.
Diremos que la segunda expresión es una fórmula sentencial bien formada (o
símplemente fbf), mientras que la primera es una fórmula sentencial mal formada. La
diferencia entre ambas es sintáctica, siendo la segunda la única que puede tener
significado.
Para poder obtener fórmulas bien formadas, hemos de tener en cuenta las llamadas
reglas de formación. Son tres:
1) Una variable proposicional es una fbf.
2) Una fbf precedida de la negación (¬) es una fbf.
3) Dos fbf unida por una conectiva binaria constituye una fbf.
Ejemplos de fbf es
p ; ¬p ; ¬(p∧q) ; [¬p∨(q↔p)]
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Las reglas de formación se pueden relajar para facilitar la lectura y la escritura. Así
tenemos:
•
•
•
Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.
El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más
evidentes.
A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos
argumentos: p∧q∧r.
2.1.2. Conectivas.
Las conectivas las dividimos en conectivas singulares y binarias, dependiendo de
que se apliquen a una única sentencia o a dos.
a) Negación.
Es la única conectiva singular. La simbolizamos por medio de ‘¬’ precediendo a la
variable proposicional o sentencia que niegue.
b) Conjunción.
La conectiva ‘y’ la simbolizamos con el signo ‘∧’ insertado entre dos variables
proposicionales o sentencias, de la forma p∧q, leyéndose ‘p y q’.
c) Disyunción.
A la conectiva ‘o’ se le dan dos sentidos, los cuales quedan reflejados en el lenguaje
ordinario cuando se distingue entre ‘o’ y ‘o...o...’. El primero corresponde a ‘o bien p, o
bien q, o ambas’. Es la llamada disyunción inclusiva. El segundo corresponde a ‘o bien
p o bien q, pero no ambas’. Es la disyunción exclusiva.
La disyunción inclusiva la simbolizamos por el símbolo ‘∨’ insertado entre las dos
sentencias, p∨q, leyéndose ‘p o q’.
La disyunción exclusiva la simbolizamos con el signo ‘⊕’, insertado entre dos
sentencias, p⊕q, y se lee ‘o p o q’
d) Condicional.
La conectiva ‘si...entonces...’ la simbolizamos mediante ‘→’ insertado entre dos
sentencias, p→q, y se lee ‘si p entonces q’.
La primera sentencia del condicional, p, recibe el nombre de antecedente. La
segunda, q, consecuente.
Hemos de advertir que no debemos de confundir el condicional con la implicación.
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e) Bicondicional.
El bicondicional o conectiva ‘...si y sólo si...’ se simboliza mediante ‘↔’.
2.2. Semántica.
Hasta ahora hemos presentado la sintaxis o forma de las sentencias de la lógica
proposicional. Ahora, le vamos a asignar a cada sentencia un valor de verdad, ‘V’ si es
verdadera y ‘F’ si es falsa.
La asignación de unos valores concretos de verdad a cada variable proposicional y a
cada sentencia corresponde a una interpretación. Hemos de tener en cuenta que a todas
las ocurrencias de una variable proposicional se les asigna el mismo valor dado por la
interpretación.
2.2.1. Tablas de Verdad.
Dada una interpretación para una sentencia, podemos determinar su valor de verdad
bajo esta interpretación aplicando ciertas reglas que dan significado a las conectivas que
la constituyen. Para ello partiremos del principio de que el valor de verdad de cualquier
sentencia está determinado por los valores de verdad de cada variable proposicional que
la compone.
Para determinar el valor de verdad de una sentencia para una interpretación
determinada, nos podemos ayudar de las denominadas tablas de verdad.
La Tabla de Verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las
posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y
el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación. Corresponden a un modo
mecánico de determinar la verdad o falsedad de una sentencia dada una interpretación
de las variables proposicionales que la constituyen.
En la tabla siguiente resumimos las seis tablas de verdad de las seis conectivas vistas
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬p
F
F
V
V
p∧
∧q
V
F
F
F
p∨
∨q
V
V
V
F
p⊕
⊕q
F
V
V
F
p→
→q
V
F
V
V
p↔
↔q
V
F
F
V
Cada una de las filas de esta tabla corresponde a una interpretación de las variables
proposicionales p y q.
Las tablas de verdad no se confinan sólo a la expuesta anteriormente, sino que se
hacen tablas de verdad para comprobar mecánicamente los valores de verdad de
cualquier sentencia. Por ejemplo, la sentencia
(p→q)→((¬p)→(¬q))
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tendrá cuatro posibles interpretaciones. Para construir la tabla de verdad, en las
columnas de la izquierda ponemos los valores de verdad de p y q para cada una de las
cuatro posibles interpretaciones. Para cada una de dichas interpretaciones, vamos
poniendo en columnas sucesivas los valores de verdad de cada una de las subsentencias
que la constituyen. La última columna de la derecha tendrá los valores de verdad de la
sentencia en su conjunto.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→
→q
V
F
V
V
¬p
F
F
V
V
¬q
F
V
F
V
(¬
¬ p)→
→ (¬
¬ q) Sentencia
V
V
V
V
F
F
V
V
También se pueden construir tablas de verdad para sentencias que contengan más de
dos variables proposicionales. Sólo hemos de tener en cuenta que tendremos 2n
interpretaciones, siendo n el número de variables proposicionales de la sentencia.
2.2.2. Equivalencia.
DEF Diremos que dos sentencias son Equivalentes si tienen los mismos valores de
verdad para cualquier interpretación, es decir, si sus tablas de verdad son iguales.
La equivalencia la representaremos mediante el símbolo ‘≡’
PROP La relación anterior definida entre dos sentencias verifica las propiedades
Reflexiva, Simétrica y Transitiva, siendo una relación de Equivalencia.
Esta relación de equivalencia permitirá catalogar todas las sentencias en clases de
equivalencia. Así, para todo el conjunto infinito de sentencias con dos variables
proposicionales, su tabla de verdad corresponderá a una de las dieciséis clases de
equivalencia que existen para ese tipo de sentencias.
2.2.3. Tautologías y Contradicciones.
Cada una de las clases de equivalencia que surgen de la relación anterior pueden
contener valores verdaderos y falsos, sólo verdaderos o sólo falsos.
DEF Diremos que una sentencia es indeterminada si tiene interpretaciones verdaderas
para unos casos y falsas para otros.
Por ejemplo, la sentencia p∨q es indeterminada, ya que su valor final depende de
que interpretación le demos a p y a q.
DEF Diremos que una sentencia es una tautología si todas sus interpretaciones son
verdaderas.
Son tautologías las sentencias p∨(¬p)
cuya demostración dejamos como ejercicio.
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((p→q)∧ (q→r)) →(p→r)
DEF Diremos que una sentencia es una Contradicción si todas sus interpretaciones
son falsas.
Ejemplos de contradicciones son p ∧ ( ¬ p )
¬[ ( p ∧ q ) → p ]
3. VALIDACIÓN DE SENTENCIAS PROPOSICIONALES.
Un problema importante para cualquier sistema lógico es el problema de encontrar
un procedimiento efectivo para verificar la validez o tautología de una sentencia bien
formada. Procedimiento que no es posible para todos los sistemas lógicos.
El problema de encontrar un procedimiento de validación de las sentencias bien
formadas se denomina Problema de Decisión.
Para los sistemas en que se puede encontrar un procedimiento de decisión, se dice
que el problema es Resoluble y el sistema Decidible. Para los sistemas en que no se
puede encontrar un procedimiento de decisión se dice que el problema de decisión es
Irresoluble y el sistema es Indecidible.
La lógica de proposiciones es un sistema decidible. De hecho se conocen varios
procedimientos de decisión, entre los que podemos destacar
•
•
•
Validación mediante tablas de verdad
Árboles Semánticos.
Refutación.
El último de los procedimientos es muy conocido en matemáticas, pues consiste en
suponer falsa la sentencia a validar, y ver si ello supone una contradicción.
4. LEYES DE LA LÓGICA DE PROPOSICIONES.
Existen un número infinito de Tautologías. Ahora bien, del infinito número de
tautologías posibles, hay algunas que son especialmente útiles para los procesos de
deducción. Éstas las agruparemos por afinidad y les damos el nombre de leyes o
teoremas.
1) Ley de identidad:
p→p
p↔p
indica que cualquier sentencia es equivalente a ella misma.
2) Ley de la doble negación:
p↔¬¬p
indica la equivalencia entre una sentencia y la negación de su negación.
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3) Ley del tercio excluso:
p∨¬p
indica que siempre se verifica una sentencia o su negación.
4) Ley de contradicción:
¬(p∧¬p)
es la contraposición a la anterior, nunca se puede verificar a la vez una sentencia y su
negación.
5) Leyes de Morgan:
¬(p∧q)↔(¬p∨¬q)
¬(p∨q)↔(¬p∧¬q)
Estas leyes fueron conocidas por Occam e indican que la negación de una conjunción se
puede transformar en una disyunción de negaciones, y que la negación se puede
transformar en una conjunción de negaciones.
6) Ley de reducción al absurdo:
(¬p→(q∧¬q))↔p
utilizada para demostrar una conclusión partiendo de la negación de la misma.
7) Leyes de conmutación:
(p∨q)↔(q∨p)
(p∧q)↔(q∧p)
(p↔q)↔(q↔p)
indican que los términos de conjunciones, disyunciones y bicondicionales se pueden
conmutar.
8) Leyes de asociación:
((p∧q)∧r)↔(p∧(q∧r))
((p∨q)∨ r)↔(p∨ (q∨r))
((p↔q)↔ r)↔(p↔ (q↔r))
indican que los términos de conjunciones, disyunciones y bicondicionales se pueden
agrupar como se quiera.
9) Leyes de transposición:
(p→q)↔(¬q→¬p)
(p↔q)↔(¬q↔¬p)
indican que los términos de un condicional y de un bicondicional se pueden
intercambiar si se les hace preceder de la negación.
10) Leyes distributivas:
(p∧(q∨r))↔((p∧q)∨(p∧r))
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(p∨(q∧r))↔((p∨q)∧ (p∨r))
(p→(q∧r))↔((p→q)∧ (p→r))
(p→ (q∨r))↔((p→q)∨(p→r))
indican que una conjunción se puede distribuir en una disyunción; que una disyunción
se puede distribuir en una conjunción; y que un condicional se puede distribuir tanto en
una conjunción como en una disyunción.
11) Ley de permutación:
(p→(q→r))↔(q→ (p→r))
indica que el antecedente del consecuente de un condicional se puede intercambiar por
el antecedente.
12) Ley del silogismo:
(p→q)→((q→r)→(p→r))
13) Silogismo hipotético o transitividad:
((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
muestra la transitividad del condicional.
14) Leyes de inferencia de la alternativa o de los silogismos disyuntivos:
[¬p∧(p∨q)]→q
[p∧(¬p∨¬q)]→¬q
15) Ley del dilema constructivo:
[(p∨q)∧(p→r)∧(q→r)]→r
16) Segunda ley del dilema constructivo:
[((p→q)∧(r→s))∧(p∨r)]→(q∨s)
17) Ley del dilema destructivo:
[(¬p∨¬q)∧(r→p)∧(s→q)]→(¬r∨¬s)
las tres últimas leyes (15, 16 y 17), y sobre todo la ley del dilema constructivo, eran
muy usadas en la antigua retórica y todavía son muy comunes en las discusiones para
poner al adversario en un aprieto.
18) Ley de exportación:
[(p∧q)→r]↔[p→(q→r)]
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indica que una parte del antecedente de un condicional puede pasar al consecuente
mediante un cambio de conectiva.
19) Ley de resolución:
[(¬p∨q)∧(p∨r)]→(q∨r)
esta ley nos permite eliminar las sentencias contradictorias. La usaremos para
automatizar el proceso de deducción.
20) Ley del bicondicional:
(p↔q)↔[(p→q)∧(q→p)]
indica que un bicondicional se puede transformar en un par de condicionales.
21) Condicional-disyunción:
(p→q)↔(¬p∨q)
muestra la equivalencia entre un condicional y una disyunción.
22) Condicional-conjunción:
(p→q)↔¬(p∧¬q)
muestra la equivalencia entre un condicional y la negación de una conjunción.
23) Leyes de simplificación:
(p∧q)→p
p→(p∨q)
indican que una conjunción implica cualquiera de sus términos competentes; y que una
disyunción está implicada por cualquiera de sus términos componentes.
24) Leyes de expansión:
(p→q)↔[p↔(p∧q)]
(p→q)↔[q↔(p∨q)]
indican que los condicionales se pueden transformar en bicondicionales.
25) Modus ponendo ponens:
[(p→q)∧p]→q
según el cual se puede afirmar el consecuente de un condicional si se afirma su
antecedente.
26) Modus tollendo tollens:
[(p→q)∧¬q]→¬p
según el cual se puede negar el antecedente de un condicional si se niega su
consecuente.
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5. SISTEMA AXIOMÁTICO DEL CÁLCULO DE PROPOSICIONES.
Podemos formalizar la lógica de proposiciones transformando el lenguaje lógico en
un cálculo. Entendemos por Cálculo la estructura formal de un lenguaje, abstrayendo el
significado.
Al ser el cálculo un sistema de signos no interpretados, su estudio pertenece a la
sintaxis. Cuando se les da un significado a los signos, el cálculo se transforma en
lenguaje, y su estudio pertenece a la semántica.
Cuando el cálculo se construye sobre la base de unos axiomas, se dice que es cálculo
es un Sistema Axiomático. Axiomas son construcciones que se admiten como
verdaderas en todos los lenguajes que se pueden formalizar a partir de ese cálculo.
La idea básica de construir un sistema axiomático es elegir como axiomas unas
pocas sentencias bien formadas que junto a unas reglas sirvan de puntos de arranque
para deducir otras sentencias bien formadas, denominadas teoremas o leyes. Tales
reglas son llamadas Reglas de Transformación. Algunas veces a los teoremas se les
denominan tesis, y otras veces la palabra teorema se usa tanto para los axiomas como
para los teoremas.
Por tanto, para definir un sistema axiomático tenemos que especificar:
•
•
•
•
Un Alfabeto.
Un conjunto de reglas de formación.
Una lista de sentencias bien formadas seleccionadas como axiomas.
Una o más reglas de transformación.
En un sistema axiomático la demostración de una fbf es una secuencia de fbf, de las
cuales la última es la sentencia que queremos demostrar, y cada una de las fbf de la
secuencia es a su vez un axioma o es derivada de algún axioma o teoremas ya
existentes. Una sentencia bien formada (o fórmula bien formada, fbf) es un teorema si y
sólo si hay una demostración de la misma en el sistema axiomático.
Probablemente, el sistema axiomático mejor conocido en el cálculo de
proposiciones es el derivado del Principio Mathematica de Alfred North Whitehead y
Bertrand Russell (1910), denominado PM.
El sistema PM se compone de
• Alfabeto.
Ø Los átomos V y F.
Ø Los símbolos proposicionales p, q, r, ...
Ø Los símbolos de conectivas ¬ y ∨.
Ø Los símbolos ‘(‘ y ‘)’.
• Reglas de Formación
Ø Un símbolo proposicional es una fbf.
Ø Dada una fbf, su negación también lo es.
Ø Dadas dos fbf, su disyunción también lo es.
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• Axiomas.
Ø (p∨ p)→p
Ø q→(p∨ q)
Ø ( p ∨ q ) → ( q∨ p )
Ø (p→q)→[(r∨ p)→(r∨ q)]
• Reglas de Transformación.
Ø Regla de Sustitución (Sust.). El resultado de reemplazar cualquier variable en un
teorema por una sentencia bien formada es un teorema.
Ø Regla de Separación. (Sep.) Si S y S→R son teoremas, entonces R es un
teorema.
Tengamos en cuenta que sólo utilizamos dos conectivas porque el resto se pueden
poner en función de éstas según las siguientes equivalencias, demostrables mediante
tablas de verdad:
p ∧ q≡ ¬(¬p ∨ ¬q)
p→q≡¬p∨ q
p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ≡ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( ¬q ∨ p)
p⊕q≡¬(p↔q)
Relativo a un criterio de validación, un sistema axiomático debe cumplir las
siguientes propiedades.
•
•
•
•
Debe ser lógico o razonable, en el sentido de que todo teorema es una tautología.
Completo. Toda sentencia bien formada válida es un teorema y se debe poder
demostrar a partir de los axiomas.
Consistente. No se pueden demostrar como teoremas fbf que no sean
tautologías. Así, si una fbf es un teorema, su negación no lo es.
Por último, los axiomas y las reglas de transformación deben ser independientes,
es decir, ningún axioma (regla de transformación) debe ser derivable a partir de
los otros.
Se puede comprobar que el sistema PM, tal y como lo hemos definido, verifica las
propiedades anteriores.
Ejemplo. Demostrar que
( p → q ) → [( r → p ) → ( r → q )]
es un teorema del sistema PM.
1 (p→q)→[(r∨ p)→(r∨ q)]
2 ( p → q ) → [ ( ¬r ∨ p ) → ( ¬r ∨ q ) ]
3 (p→q)→[(r→p)→(r→q)]
Axioma 4
Sustituimos r por ¬r
Definición del Condicional
6. SISTEMA INFERENCIAL DEL CÁLCULO DE PROPOSICIONES.
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La lógica se presenta, muchas veces, como una herramienta para analizar los
procesos de razonamiento del lenguaje ordinario. Así, el cálculo de proposiciones se
presenta como el Método de Deducción Natural. El cual consiste en un grupo de reglas
que nos permiten deducir unas conclusiones a partir de unas hipótesis. Esto es lo que
llamamos un sistema inferencial.
En un sistema inferencial llamamos inferencias a los procesos mediante los cuales
obtenemos una conclusión a partir de unas premisas de forma que el razonamiento sea
válido.
Una regla de inferencia es la declaración de las condiciones bajo las cuales se puede
hacer una inferencia, así como el resultado de la misma.
Una inferencia que siga las reglas será una inferencia correcta, mientras que si no las
sigue será una inferencia incorrecta.
En muchos tratados lógicos podemos encontrar que a la conclusión se la denomina
consecuencia lógica de las premisas.
Formalmente podemos decir que C es una conclusión o consecuencia lógica de las
premisas P1 , P2 , P3 , ..., Pn si y sólo si para cualquier interpretación I para la que
P1∧P2∧P3∧...∧Pn es verdadera, C también es verdadera.
Se puede demostrar que C es una conclusión o consecuencia lógica de las premisas
P1 , P2 , P3 , ..., Pn si y sólo si la sentencia
P1∧P2∧P3∧...∧Pn → C
es una tautología. O bien, si y sólo si la sentencia
P1∧P2∧P3∧...∧Pn∧¬C
es una contradicción.
6.1. Reglas de Inferencia.
Podemos considerar tantas reglas de inferencia como leyes del cálculo de
proposiciones tengamos, es decir, infinitas, ya que a cada ley le corresponde una regla
de inferencia. Pero aunque sean formas diferentes de decir lo mismo, no hay que
confundirlas. Una ley es una sentencia bien formada que pertenece al lenguaje del
cálculo de proposiciones y corresponde al enunciado de una sentencia válida de
inferencia. Una regla es el enunciado de una instrucción para realizar una inferencia
válida.
Aunque hay infinitas reglas de inferencia, en los tratados de lógica se presentan
conjuntos seleccionados de reglas como sistemas de deducción natural.
Así, hemos seleccionado las siguientes reglas de inferencia.
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a) Regla de Separación.
También llamada regla del Modus Ponens y conocida como regla de eliminación del
condicional. (RE→). Corresponde a la ley del modus ponens y la formulamos de la
siguiente forma:
Si un condicional y su antecedente se toman como premisas, se puede inferir el
consecuente como conclusión
S→R
S
R
b) Regla de Unión.
Conocida también como Regla de la Introducción de la conjunción
Si dos sentencias se toman como premisas, se puede inferir su conjunción como
conclusión.
S
R
S∧R
Esta regla parece “intuitivamente” evidente, nada más “natural” que afirmar la
conjunción de dos sentencias si se han afirmado ya separadamente las dos sentencias.
Sin embargo, un examen más detallado de la cuestión nos mostraría que la noción de
“intuición” es ajena a la de prueba y que es necesario en lógica que cada etapa de una
inferencia sea justificada por una regla.
c) Regla de Inserción.
Cualquier ejemplo de tautología puede servir de premisa en cualquier inferencia
proposicional.
Por ejemplo
S→R
R→T
S→T
es un razonamiento cuya conclusión no puede ser derivada de unas premisas sino
gracias a la regla de inserción. La regla de unión nos permite deducir de las dos
premisas anteriores
(S→T)∧(R→T)
pero no nos permite deducir la conclusión. No obstante, la regla de inserción nos
permite insertar como premisa suplementaria la ley de transitividad
[( S→T ) ∧ ( R→T )] → ( S→T )
y con la regla de separación nos permite deducir la conclusión.
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d) Regla de Intercambio.
Si se da un bicondicional como premisa, se puede inferir como conclusión el
resultado de intercambiar sus componentes en cualquier otra premisa.
S→R
R↔T
S→T
6.2. Proceso de Inferencia.
Con ayuda de las tautologías enumeradas en el apartado 4 y de las cuatro reglas de
inferencia anteriores podemos realizar inferencias en la lógica de proposiciones.
El proceso de inferencia se efectúa según las normas siguientes
1) Se simbolizan los enunciados y las conectivas, procurando uniformar el
lenguaje.
2) Se indican en líneas separadas las premisas precedidas de la letra ‘P’ (P1, P2,
...).
3) Se procede a derivar la conclusión a partir de las premisas. Cada fórmula se
escribe en una línea aparte, indicándose a la derecha de la misma la inferencia
y/o tautología que permite deducirla.
4) Se indica la conclusión precedida de la letra ‘C’.
Ejemplo. Supongamos que nos dan las dos premisas siguientes:
Si Rivaldo juega, el Barcelona gana
Si Rivaldo no juega, el Barcelona pierde.
y nos piden concluir que
El Barcelona gana o pierde.
1) Sean las proposiciones:
J: Rivaldo juega.
G: El Barcelona Gana
P: El Barcelona Pierde
2) 3) y 4)
P1 J → G
P2 ¬J → P
3 J ∨ ¬J
4 [((J→G)∧(¬J→P))∧(J∨¬J)]→(G∨J)
5 (J→G)∧(¬J→P)
6 ((J→G)∧(¬J→P))∧(J∨¬J)
C G∨P
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Premisa 1
Premisa 2
Regla de Inserción (Tercio Excluso)
Regla de Inserción (Dilema)
Regla de Unión de P1 y P2
Regla de Unión de 3 y 5
Regla de Separación de 4 y 6
Este no es el único conjunto de reglas de inferencia que se puede seleccionar. Sea
cual sea el conjunto de reglas de inferencia seleccionado, no es fácil su aplicación de
una forma automática. Para cada problema es preciso tener una cierta habilidad o
conocimiento, expresado en forma de metarreglas, para saber en qué orden aplicar las
reglas y a qué premisas.
En cualquier caso, el conjunto de reglas que se utilicen debe ser consistente y
completo. Estos conceptos son paralelos a los definidos para un sistema axiomático.
Un sistema inferencial es completo si para cualquier conjunto de premisas el sistema
infiere toda conclusión que pueda deducirse de las premisas.
Un sistema inferencial es Consistente si para cualquier conjunto de premisas, toda
conclusión que infiera el sistema también se deduce de las premisas.
7. LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS.
Las Matemáticas utilizan términos del lenguaje ordinario y otros específicos. Hay de
dos clases:
•
•
Términos Primitivos. Los que se introducen con sólo enunciarse, es decir, sin
definición. Por ejemplo: elemento, propiedad, conjunto.
Términos Definidos: Los que se introducen dando unas propiedades
características. Por ejemplo: Grupo, triángulo, etc.
También se usan dos tipos de proposiciones:
•
•
Axiomas o postulados. Proposiciones cuya veracidad se establece por convenio.
Por ejemplo, el postulado de Euclides.
Teoremas. Proposiciones en las que una proposición llamada conclusión o tesis
resulta ser consecuencia lógica de otras llamadas premisas o hipótesis. El paso
de unas a la otra se llama demostración.
Una ciencia cuyos métodos de demostración pertenecen a la lógica se dice que está
formalizada. La Matemática es la ciencia formalizada por excelencia.
Las principales demostraciones matemáticas son:
•
•
•
Directas.
Indirectas o por reducción al absurdo.
Por recurrencia o Inducción Completa.
7.1. Demostraciones Directas.
Son las demostraciones más frecuentes. Consisten en razonamientos por los cuales
se puede pasar de la hipótesis a la tesis mediante la consideración de definiciones,
axiomas y proposiciones anteriormente establecidas y combinadas según la regla de
inferencia del silogismo. Los teoremas que se demuestran así se llaman directos.
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Si la demostración es válida, se dice que son ciertos y que:
•
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P es condición suficiente para que se verifique C
C es condición necesaria para que se verifique P
Es decir
P⇒C
Diremos que un teorema es Recíproco de otro dado si tiene por hipótesis la tesis del
primero y por tesis la hipótesis del primero. Es decir
C’ = P y P’ = C
Si la demostración del teorema recíproco es válida diremos que el recíproco es
cierto y que
•
•
P es condición necesaria para que se cumpla C
C es condición suficiente para que se cumpla P.
Es decir
C⇒P
La certeza de un teorema no implica la de su recíproco, excepto si caben diversas
hipótesis que se excluyan mutuamente y se completen.
Si fueran ciertos los dos, diremos que
•
•
P es condición necesaria y suficiente para C
C es condición necesaria y suficiente para P.
Es decir
C⇔P
Diremos que un teorema es contrario a uno dado si tiene por hipótesis (P’’) la
negación del otro y por tesis (C’’) la negación del otro.
Es decir
P’’ = ¬P
C’’ = ¬C
y
Diremos que un teorema es contrarrecíproco de uno dado si tiene por hipótesis (P’’’)
la negación de la tesis del otro y por tesis (C’’’) la negación de la hipótesis del otro.
Es decir
P’’’ = ¬ C
y
C’’’ = ¬P
Comparando entre sí los teoremas recíproco y contrario de uno dado, se observa que
son mutuamente contrarrecíprocos.
Ejemplo.
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Directo. En un triángulo rectángulo se verifica que h2 = a2 + b2 .
Recíproco. Si h2 = a2 + b2 entonces el triángulo es rectángulo.
Contrario (del directo). Si el triángulo no es rectángulo entonces h2 ≠ a2 + b2
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Contrarrecíproco. Si h2 ≠ a2 + b2 entonces el triángulo no es rectángulo.
7.2. Demostraciones Indirectas.
Son llamadas también demostraciones por reducción al absurdo. Se basan en la
equivalencia de dos teoremas contrarrecíprocos entre sí. A veces conviene aprovechar
esta equivalencia y en lugar de demostrar un teorema, demostrar su contrarrecíproco.
7.3. Demostraciones por Recurrencia o Inducción completa.
En las Ciencias Experimentales, de una serie más o menos grande de observaciones
se establece una ley general (se induce) que abarca a todas las observaciones análogas.
También la Matemática generaliza (induce), pero de modo distinto. No se contenta con
comprobar una ley en determinados casos particulares. Por muchos que sean, hay que
comprobarlos para todos.
Para ello se aplica el siguiente principio lógico, llamado de inducción completa, o de
recurrencia, que consiste en:
1) Comprobar que la ley es cierta para un primer valor de n.
2) Suponer que es cierta para un cierto valor n’
3) Comprobar que es cierta para el siguiente, n’+1
8. ÁLGEBRA DE BOOLE DE LAS PROPOSICIONES.
Definamos el conjunto C formado por todas las fórmulas lógicas. Podemos definir
en C las operaciones internas de negación ‘¬’, Conjunción ‘∧’ y Disyunción ‘∨’.
Si construimos las correspondientes tablas de verdad, podemos demostrar sin
problemas que se verifican las siguientes propiedades:
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Idempotencia de ∧:
p ∧ p⇔ p
Complementaria de ∧: p ∧ (¬p) ⇔ λ (λ es la proposición falsa universal)
Conmutativa de ∧:
p ∧ q⇔ q∧ p
Asociativa de ∧:
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
Elemento absorbente de ∧: p ∧ λ ⇔ λ
Elemento neutro de ∧: p ∧ τ ⇔ p (τ es la proposición verdadera universal)
Simplificativa de ∧ respecto de ∨: p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
Distributiva de ∧ respecto de ∨:
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Idempotencia de ∨:
p ∨ p⇔ p
Complementaria de ∨: p ∨ (¬p) ⇔ τ
Conmutativa de ∨:
p ∨ q⇔ q∨ p
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Asociativa de ∨:
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
Elemento absorbente de ∨: p ∨ τ ⇔ τ
Elemento neutro de ∨: p ∧ λ ⇔ p (τ es la proposición verdadera universal)
Simplificativa de ∨ respecto de ∧: p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
Distributiva de ∨ respecto de ∧:
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
1ª Ley de Morgan:
¬( p ∧ q ) ⇔ ¬p ∨ ¬q
2ª Ley de Morgan:
¬( p ∨ q ) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Doble negación Involutiva: ¬(¬p) ⇔ p
El conjunto C con las tres operaciones internas definidas verificando las propiedades
anteriores tiene estructura de Álgebra de Boole.
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA.
Introducción a la Lógica Matemática. Aut.: P. Suppes y S. Hill. Edit.: Reverté
Elementos de Lógica Teórica. Aut.: D. Hilbert y W. Ackermann. Edit.: Tecnos
Introducción a la Lógica Formal. Aut.: A. Deaño. Edit.: Alianza
Fundamentos de Lógica Matemática. Aut.: j. Aranda y Varios. Edit. Sanz y Torres.
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