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Integrantes:
Iris Guerra
Milagro Salazar C.I 17.745.430
Julio
Fernando
EL TIGRE; JUNIO DEL 2009
VARIABLES ALEATORIAS
 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y
FUNCIONES DE DENSIDAD.
 VALOR ESPERADO
 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
 APROXIMACION NORMAL A LA
DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL
 DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Es un valor numérico que corresponde
al resultado de un experimento
aleatorio, como la suma de los puntos
obtenidos al lanzar dos dados, el
número de lanzamientos de un dado
hasta que aparece el cuatro, el número
de personas que suben en un
determinado ascensor al mes, el tiempo
de espera en la sala de un doctor...
Dado un experimento aleatorio
cualquiera cuyos sucesos elementales
posibles pueden identificarse fácilmente
mediante un número real, se denomina
Variable Aleatoria, X, al conjunto de
estos números.
También se le llama variable de azar o
variable estocástica, y significa
cantidad que puede tomar varios
valores imprevistos.
Sea el experimento aleatorio de lanzar un
dado al aire. Los posibles resultados del
experimento son los siguientes:
 <<Que salga 1>>,
 <<Que salga 2>>,
 <<Que salga 3>>,
X= 1, 2, 3, 4, 5, 6
 <<Que salga 4>>,
 <<Que salga 5>>
 y <<que salga 6>>.
Sea el experimento aleatorio de averiguar la
marca de tabaco que preferirá un individuo
entre las posibles marcas:
 <<X>>,
 <<Y>>,
 <<Z>>.
 <<Preferir la marca X>> se le hace
corresponder el número 1;
 <<Preferir la marca Y>> se le hace
corresponder el número 2;
 <<Preferir la marca Z>> se le hace
corresponder el número 3.
 La variable aleatoria X será: X = (1, 2, 3).
Son aquellas que pueden tomar
solamente un número finito o un número
infinito numerable de valores.
A este nivel, las únicas variables
aleatorias que consideraremos son
aquellas que toman un número finito de
valores. Un ejemplo de este tipo de
variable aleatoria seria el resultado de
lanzar un dado.
Son aquellas que pueden tomar cualquier
valor en un intervalo de la recta real. Un
ejemplo de este tipo de variable aleatoria
seria la altura de una persona. Si X es una
Variable aleatoria continua, puede tomar
cualquier valor de un intervalo continuo o
dentro de un campo de variación dado.
Las probabilidades de que ocurra un valor
dado x están dadas por una función de
densidad de probabilidad de que X quede
entre a y b. El área total bajo la curva es 1.
Sea el experimento aleatorio
consistente en medir la altura que es
capaz de saltar cada miembro de un
conjunto de personas. En este
experimento, cada miembro del
conjunto observado da lugar a un
número, por lo que se toma como
variable aleatoria el conjunto de las
medidas de las alturas que son capaces
de saltar las distintas personas.
En general, una variable aleatoria discreta
X representa los resultados de un espacio
muestral en forma tal que por P(X = x)se
entenderá la probabilidad de que X tome
el valor de x. De esta forma, al considerar
los valores de una variable aleatoria es
posible desarrollar una función matemática
que asigne una probabilidad a cada
realización x de la variable aleatoria X. Esta
función recibe el nombre de función de la
probabilidad.
Sea el experimento aleatorio consistente en
lanzar una moneda al aire. Los sucesos
elementales del experimento, <<que salga
cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen
representados por los números, por lo que
casa suceso elemental se le hace
corresponder un número real. Así al suceso
elemental <<que salga cara>> se le hace
corresponder el número “1” y al suceso
elemental <<que salga cruz>> se le hace
corresponder el número “2”.
La variable aleatoria será:X=(1,2).



Indica en una lista todos los resultados posibles de
un experimento, junto con la probabilidad
correspondiente a cada uno de los resultados.
Toda distribución de probabilidad es generada por
una variable (porque puede tomar diferentes
valores) aleatoria x (porque el valor tomado es
totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:
1. Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede
tomar valores enteros y un número finito de ellos.
2. Variable aleatoria continua (x). Porque puede
tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un
número infinito de ellos dentro de un mismo
intervalo.
EJEMPLO: Supongamos que se quiere
saber el numero de caras que se
obtienen al lanzar cuatro veces una
moneda al aire?
Los posibles resultados son: cero caras,
una cara, dos caras, tres caras y cuatro
caras.
EL ESPACIO MUESTRAL:
NUMERO DE
DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIA
CARAS
PROBABILIDADES
0
1
1/16
1
4
4/16
2
6
6/16
3
4
4/16
4
1
1/16

En estadística, la función de densidad
de probabilidad o simplemente función
de densidad, de una variable aleatoria
continua representada comúnmente
como f(x), se utiliza con el propósito de
conocer cómo se distribuyen las
probabilidades de un suceso o evento,
en relación al resultado del suceso.
DEFINICIÓN:
Formalmente, la fdp de una variable
aleatoria X es la derivada (ordinaria o
en el sentido de las distribuciones) de la
función de distribución F(x), o de
manera inversa, la función de
distribución es la integral de la función
de densidad:
DEFINICIÓN: El valor esperado de una variable
aleatoria es su valor medio. El valor esperado de
una variable aleatoria se denotará por E(X). Se
colocará entre paréntesis el nombre de la
variable aleatoria al que se le está calculando el
valor esperado.
El valor esperado es un número. Ese número
pertenece al conjunto cuyos extremos son el
mínimo valor y el máximo valor que toma la
variable aleatoria.
 Supongamos que hemos realizado n veces un
experimento aleatorio que genera una variable
X. El valor medio del experimento en esta n
repeticiones es la suma de los productos de los
valores de la variable por su frecuencia relativa.

Cuando n sea igual a infinito, el valor medio
del experimento se llama valor esperado
o esperanza matemática, E[X].
Si X es una variable discreta con función
d probabilidad f(x), el valor esperado de
X se calcula según decíamos
anteriormente sumando los productos de
los valores de la variable por sus
respectivas probabilidades.
En el caso de una variable continua

El valor esperado cuando tiramos un
dado equilibrado de 6 caras es 3,5.
Podemos hacer el cálculo

En teoría de probabilidad y estadística, la
distribución uniforme continua es una familia de
distribuciones de probabilidad para variables
aleatorias continuas, tales que cada miembro
de la familia, todos los intervalos de igual
longitud en la distribución en su rango son
igualmente probables. El dominio está definido
por dos parámetros, a y b, que son sus valores
mínimo y máximo. La distribución es a menudo
escrita en forma abreviada como U(a,b).

En el caso de variable continua la
distribución de probabilidad es la integral
de la función de densidad, por lo que
tenemos entonces que:

Sea X una va continua, una distribución de
probabilidad o función de densidad de
probabilidad (FDP) de X es una función f(x)
tal que, para cualesquiera dos números a y
b siendo .
La gráfica de f(x) se conoce a veces
como curva de densidad, la
probabilidad de que X tome un valor en
el intervalo [a,b] es el área bajo la curva
de la función de densidad; así, la
función mide concentración de
probabilidad alrededor de los valores de
una variable aleatoria continua.
área bajo la curva de f(x) entre a y b

PARA QUE F(X) SEA UNA FDP (FDP = F(X)) SEA LEGÍTIMA,
DEBE SATISFACER LAS SIGUIENTES DOS CONDICIONES:
F(X) 0 PARA TODA X.
YA QUE LA PROBABILIDAD ES SIEMPRE UN NÚMERO POSITIVO,
LA FDP ES UNA FUNCIÓN NO DECRECIENTE QUE CUMPLE:

1. . ES DECIR, LA PROBABILIDAD DE TODO EL ESPACIO
MUESTRAL ES 1.

2. . ES DECIR, LA PROBABILIDAD DEL SUCESO NULO ES CERO.
ALGUNAS FDP ESTÁN DECLARADAS EN RANGOS DE A ,
COMO LA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Una empresa tiene una curva de costos
dada por la función C =1.000+2x ; siendo
X el número de artículos. En el mercado
vende cada unidad a $5. La demanda
de artículos es uniforme entre 25.000 y
30.000 unidades. Cuál es el beneficio
esperado?
X : Variable aleatoria que nos representa la
demanda de los artículos
X ~ U(25.000; 30.000);10
Sea B : El beneficio o utilidad, donde la función
de utilidad la establecemos de la forma,
ventas totales, menos, costos totales, así:
B = 5 X - ( 1.000 + 2 X)
B = 3X - 1.000 Luego, el beneficio esperado es:
La distribución exponencial es el equivalente
continuo de la distribución geométrica
discreta. Esta ley de distribución describe
procesos en los que:
Nos interesa saber el tiempo hasta que
ocurre determinado evento, sabiendo que, el
tiempo que pueda ocurrir desde cualquier
instante dado t, hasta que ello ocurra en un
instante tf, no depende del tiempo
transcurrido anteriormente en el que no ha
pasado nada.

La variable aleatoria x tiene una
distribución exponencial, con
parámetro, si su función de densidad
x
es:
1  , x  0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso
f(x) 

x
Donde   0
La media y la variancia de la distribución
exponencial son:

y
2  2

Relación con el proceso POISSON:
La relación entre la distribución
exponencial (con frecuencia llamada
exponencial negativa) y el proceso
llamado de Poisson es bastante simple.
La distribución de Poisson se desarrolló
como una distribución de un solo
parámetro, donde  puede
interpretarse como el número promedio
de eventos por unidad de “tiempo”.

Suponga que un sistema contiene
cierto tipo de componente cuyo tiempo
de falla en años está dado por la
variable aleatoria T, distribuida
exponencialmente con tiempo
promedio de falla . S í 5 de estos
componentes se instalan en diferentes
sistemas, ¿cuál es la probabilidad de
que al menos 2 continúen funcionando
después de 8 años?

La probabilidad de que un determinado componente esté
funcionando aún después de 8 años es:
t
8



1
P(  8 )    5 dt   5  0.2
58
La | nos indica que la integral se va a evaluar desde 8 hasta 
Sea x el número de componentes funcionando después de 8
años. Entonces mediante la distribución Binomial,
n=5
p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando
después de 8 años
q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no
funcione después de 8 años
P(x  2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)
 1  5 C0 ( 0.2 )0 ( 0.8 )5  5 C1( 0.2 )1( 0.8 )4
  1  0.7373  0.2627
UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD AMPLIAMENTE UTILIZADA
DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA ES LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL. ESTA DESCRIBE VARIOS PROCESOS DE INTERÉS PARA
LOS ADMINISTRADORES.
DESCRIBE DATOS DISCRETOS, RESULTANTES DE UN EXPERIMENTO
DENOMINADO PROCESO DE BERNOULLI EN HONOR DEL
MATEMÁTICO SUIZO JACOB BERNOULLI, QUIEN VIVIÓ EN EL
SIGLO XVII.
EMPLEO DEL PROCESO DE BERNOULLI.
PODEMOS SERVIRNOS DE LOS RESULTADOS DE UN NÚMERO FIJO
DE LANZAMIENTOS DE UNA MONEDA COMO EJEMPLO DE UN
PROCESO DE BERNOULLI. ESTE PROCESO LO DESCRIBIMOS ASÍ:
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON ES UN
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON PARTE DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL.

SE DICE QUE EXISTE UN PROCESO DE POISSON SI PODEMOS OBSERVAR EVENTOS
DISCRETOS EN UN ÁREA DE OPORTUNIDAD – UN INTERVALO CONTINUO (DE
TIEMPO, LONGITUD, SUPERFICIE, ETC.) – DE TAL MANERA QUE SI SE REDUCE LO
SUFICIENTE EL ÁREA DE OPORTUNIDAD O EL INTERVALO,
 LA PROBABILIDAD DE OBSERVAR EXACTAMENTE UN ÉXITO EN EL INTERVALO ES
CONSTANTE.
 LA PROBABILIDAD DE OBTENER MÁS DE UN ÉXITO EN EL INTERVALO ES 0.
 LA PROBABILIDAD DE OBSERVAR UN ÉXITO EN CUALQUIER INTERVALO ES
ESTADÍSTICAMENTE INDEPENDIENTE DE LA DE CUALQUIER OTRO INTERVALO.
ESTA DISTRIBUCIÓN SE APLICA EN SITUACIONES COMO:
 EL NUMERO DE PACIENTES QUE LLEGAN AL SERVICIO DE EMERGENCIA DE UN
HOSPITAL EN UN INTERVALO DE TIEMPO.
 EL NUMERO DE RADIACIONES RADIACTIVAS QUE SE RECIBE EN UN LAPSO DE
TIEMPO,
 EL NUMERO DE GLÓBULOS BLANCOS QUE SE CUENTAN EN UNA MUESTRA
DADA.
 EL NUMERO DE PARTOS TRIPLES POR AÑO

La expresión matemática para la
distribución de Poisson para obtener X
éxitos, dado que se esperan l éxitos es:
Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dado
el valor de l
 l = esperanza del número de éxitos.
 e = constante matemática, con valor
aproximado 2.711828
 X = número de éxitos por unidad







Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados
son expresados por unidad de área, tiempo,
pieza, etc, etc,:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto
por día, hora, minuto, etc, etc.
- # de bacterias por cm2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por
hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto
por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x
éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la
fórmula a utilizar sería:
x   
p( x , ) 
x!
 donde:
 p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos,
cuando el número promedio de ocurrencia de
ellos es 
  = media o promedio de éxitos por unidad de
tiempo, área o producto
  = 2.718
 x = variable que nos denota el número de éxitos
que se desea que ocurra



UTILIDAD
La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde
los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria.
En otras palabras no se sabe el total de posibles
resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un
suceso con resultado discreto.
 Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y
la probabilidad de éxitos p es pequeña.
 Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos
interesa se distribuye dentro de un segmento n dado
como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo
definido.

Ejemplo:
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin
fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades
de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo
en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en
cualquiera de dos días consecutivos?
 Solución:

› a)
x = variable que nos define el número de
cheques sin fondo que llegan al banco en un día
cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.


 = 6 cheques sin fondo por día
 = 2.718
4
6
p( x  4 ,  6 ) 
( 6 ) ( 2.718 )
4!

( 1296 )( 0.00248 )
 0.13392
24
Si bien no hay una definición de estadística exacta, se
puede decir que la "estadística es el estudio de los
métodos y procedimientos para recoger, clasificar,
resumir y analizar datos y para hacer inferencias
científicas partiendo de tales datos".
 Es importante observar que el objeto del que realiza el
análisis estadístico son los datos y las observaciones
científicas por sí mismos, mas que el material químico
que interviene en el estudio. Por lo tanto no es posible
trazar límites rígidos entre la química, la estadística y la
matemática.
 Es interesante resaltar que el valor esperado de una
variable aleatoria no coincide, en general, con un valor
posible de la misma
 En el estudio de la probabilidad, específicamente de las
distribuciones binomiales, podemos encontrar diversas
formas de distribución, dependiendo de las características
de los valores estudiados.
