Download modulo estadistica ciclo vi grado undecimo

1
I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE ESTADÍSTICA
CICLO VI
GRADO UNDÉCIMO
2
TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
VARIABLE ALEATORIA, ESPACIO MUESTRAL, TÉCNICAS DE CONTEO
1.1.
VARIABLE ALEATORIA
1.1.1. Clasificación de las variables aleatorias
1.1.1.1. Variable aleatoria continua
1.1.1.2. Variable aleatoria discontinua o discreta
6
6
6
6
7
EJERCICIOS
7
1.2.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
8
9
9
10
10
ESPACIO MUESTRAL
TÉCNICAS DE CONTEO
Principio multiplicativo de conteo
Principio aditivo de conteo
Permutaciones y combinaciones
EJERCICIOS
12
2.
2.1.
2.2.
13
13
14
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN EVENTO
PROBABILIDAD CONDICIONAL
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS
16
UNIDAD 2
1.
VALOR ESPERADO Y VARIANZA
1.1.
VALOR ESPERADO
1.1.1. Propiedades del valor esperado
1.1.1.1. Al multiplicar todos los valores de una variable por una misma constante, el valor esperado
de ésta queda multiplicado por el valor de la constante
1.1.1.2. Al sumar a todos los valores de una variable una misma constante, el valor esperado de
ésta queda incrementado por el valor de la constante
1.1.1.3. Si tenemos dos variables X e Y, discretas o continuas, el valor esperado de su suma o
diferencia es la suma o diferencia de sus valores esperados
1.1.1.4. Si las variables anteriores, X e Y son variables aleatorias independientes ocurre que el valor
esperado de su producto es igual al producto de sus valores esperados
17
17
17
17
17
18
18
EJERCICIOS
18
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
19
20
20
20
VARIANZA
Varianza para datos agrupados
Varianza para datos NO agrupados
Propiedades
3
EJERCICIOS
21
2.
21
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
EJERCICIOS
22
3.
3.1.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
3.3.
22
22
23
23
23
23
23
24
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
PROPIEDADES
RELACIÓN CON OTRAS DISTRIBUCIONES
Sumas de variables aleatorias de Poisson
Distribución binomial
Aproximación normal
Distribución exponencial
PROCESOS DE POISSON
EJERCICIOS
25
4.
4.1.
4.2.
25
26
29
DISTRIBUCIÓN NORMAL
LA NORMAL N(0; 1)
TIPIFICAR UNA VARIABLE NORMAL
EJERCICIOS
29
UNIDAD 3
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.2.
1.3.
1.3.1.
TEORÍA DE LA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
COMPONENTES DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
Fase Proyectiva
Fase Metodológica
Fase Técnica
Fase de Síntesis
TIPOS DE INVESTIGACIÓN
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Pasos para la organización
COMPRENSIÓN LECTORA
30
30
30
30
30
30
31
33
34
36
UNIDAD 4
1.
MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN
37
2
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
COMPONENTES MÍNIMOS DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
EL TEMA DE INVESTIGACIÓN
JUSTIFICACIÓN Y/O ANTECEDENTES
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS
ELEMENTOS TEÓRICOS QUE FUNDAMENTAN LA INVESTIGACIÓN - MARCO TEÓRICO
HIPÓTESIS (IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES)
METODOLOGÍA
PLAN DE TRABAJO Y/O CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
38
38
38
38
38
39
39
39
39
4
2.9.
2.10.
PRESUPUESTO
BIBLIOGRAFÍA
39
39
3.
INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
3.1.
LA ENCUESTA
3.2.
LA ENTREVISTA
3.2.1. Tipos de entrevistas
3.2.1.1. Estructurada
3.2.1.2. No estructurada
3.3.
LA OBSERVACIÓN
3.4.
LA EXPERIMENTACIÓN
3.5.
EL DATO CIENTÍFICO
40
40
40
41
41
41
42
42
42
4.
TÉCNICAS Y MÉTODOS PARA LA CLASIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN
4.1.
TÉCNICAS PARA CLASIFICACIÓN DE INFORMACIÓN
4.1.1. Tratamiento de las fuentes
4.1.1.1. Reunión de fuentes
4.1.1.2. Crítica de las fuentes
4.1.1.3. Contraste de fuentes
4.1.1.4. Respeto a las fuentes
4.1.1.5. Cita de las fuentes
4.2.
MÉTODOS PARA LA CLASIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN
43
43
43
43
43
43
43
43
44
PRUEBA TIPO ICFES
45
BIBLIOGRAFÍA
48
5
UNIDAD 1
1. VARIABLE ALEATORIA, ESPACIO MUESTRAL, TÉCNICAS DE CONTEO
1.1. VARIABLE ALEATORIA
Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le
hace corresponder el número 1; al suceso elemental
<<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el
número 2; al suceso elemental <<preferir la marca
Z>> se le hace corresponder el número 3.
Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos
sucesos elementales posibles pueden identificarse
fácilmente
mediante
un
número
real,
se
denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos
números.
La variable aleatoria X será: X = (1,2,3).
El número asociado a cada suceso elemental puede
ser cualquiera dentro del conjunto de los números
reales, con la condición única de que a sucesos
elementales distintos le correspondan números
también distintos. Se comprueba fácilmente que la
correspondencia así definida entre el conjunto de los
posibles sucesos elementales de un experimento
aleatorio y el conjunto de los números reales es una
aplicación inyectiva.
También se le llama variable de azar o variable
estocástica, y significa cantidad que puede tomar
varios valores imprevistos.
Ejemplo 1.- Sea el experimento aleatorio de lanzar
un dado al aire. Los posibles resultados del
experimento (sucesos elementales) son los
siguientes: <<que salga 1>>, <<que salga 2>>,
<<que salga 3>>, <<que salga 4>>, <<que salga 5>>
y <<que salga 6>>. Resulta sencillo asociar a cada
suceso elemental el número correspondiente a la
cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable
aleatoria, X, será:
X= 1,2,3,4,5,6
Por el contrario, si dado un experimento aleatorio
cualquiera no resulta inmediata la asociación de un
número para cada uno de los posibles sucesos
elementales, se establece una correspondencia entre
el conjunto de los posibles sucesos elementales y el
conjunto de los números reales, de manera que a
cada suceso elemental le corresponda un número
real arbitrario y que a sucesos elementales distintos
les correspondan números distintos.
1.1.1. Clasificación de las variables aleatorias.
Las variables aleatorias pueden ser continuas o
discontinuas. En este último caso se denominan
también discretas.
Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen
de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los
números reales que se hayan hecho corresponder a
cada uno de los sucesos elementales.
1.1.1.1. Variable aleatoria continua. Si X es
una Variable aleatoria continua, puede tomar
cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de
un campo de variación dado. Las probabilidades de
que ocurra un valor dado x están dadas por una
función de densidad de probabilidad de que X quede
entre a y b. El área total bajo la curva es 1.
Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de
averiguar la marca de tabaco que preferirá un
individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>,
<<Z>>.
Ejemplo. Sea el experimento aleatorio consistente
en medir la altura que es capaz de saltar cada
miembro de un conjunto de personas. En este
experimento, cada miembro del conjunto observado
da lugar a un número, por lo que se toma como
variable aleatoria el conjunto de las medidas de las
En este caso la asociación de un número para cada
suceso elemental posible del experimento no es
inmediata. En consecuencia, se establece una
correspondencia entre el conjunto de los sucesos
elementales posibles y el conjunto de los números
reales, del modo siguiente:
6
Ejemplo. Sea el experimento aleatorio consistente
en lanzar una moneda al aire. Los sucesos
elementales del experimento, <<que salga cara>>,
<<que salga cruz>>, no vienen representados por los
números, por lo que casa suceso elemental se le
hace corresponder un número real. Así al suceso
elemental <<que salga cara>> se le hace
corresponder el número “1” y al suceso elemental
<<que salga cruz>> se le hace corresponder el
número “2”.
alturas que son capaces de saltar las distintas
personas.
En el supuesto que una persona hubiera saltado 105
cm y otra 106 cm, no existiría ninguna razón para
que otra no hubiera saltado un valor intermedio
cualquiera entre las dos anteriores, como 105.5 cm.
Se trata de una variable aleatoria continua.
1.1.1.2. Variable aleatoria discontinua o discreta.
Se dice que una Variable aleatoria Discreta o
Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores
posibles
x1,x2,x3,…..xn
con
probabilidades
respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede
tomar ciertos valores dentro de un campo de
variación dado. Como X ha de tomar uno de los
valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+
pn=1.
La variable aleatoria será: X = (1,2).
En general, una variable aleatoria discreta X
representa los resultados de un espacio muestral en
forma tal que por P(X = x) se entenderá la
probabilidad de que X tome el valor de x. De esta
forma, al considerar los valores de una variable
aleatoria es posible desarrollar una función
matemática que asigne una probabilidad a cada
realización x de la variable aleatoria X. Esta función
recibe el nombre de función de la probabilidad.
Se trata de una variable aleatoria discontinua o
discreta, ya que únicamente puede adoptar los
valores 1 y 2.
EJERCICIOS……
1. Supóngase que la producción de un día de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con
los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria
X igual al número de piezas de la muestra que no cumplen. ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X?
2. Dada la variable aleatoria X continua y con función de distribución F se define la variable Y=F(X). Demuéstrese
que Y sigue una distribución uniforme en [0,1].
3. Un punto aleatorio X tiene distribución uniforme en el intervalo [0,1] y otro punto aleatorio Y tiene distribución
uniforme en el intervalo [2,3]. Se define la variable distancia entre X e Y por d=Y-X. Suponiendo que X e Y son
independientes, calcúlese la esperanza matemática y la varianza de d.
4. Supongamos que el consumo familiar de un cierto producto se distribuye como una variable aleatoria de
distribución uniforme, con esperanza igual a 10 y varianza unidad. Determina la probabilidad de que dicho
consumo este comprendido entre 8 y 12 unidades.
7
1.2. ESPACIO MUESTRAL
En
la teoría
de
probabilidades,
el espacio
muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω
o U) consiste en el conjunto de todos los posibles
resultados individuales de un experimento aleatorio.
52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo
podría ser el número (del as al rey), mientras que
otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles,
corazones y picas). Una descripción completa de los
resultados, sin embargo, especificaría ambos
valores, número y palo, y se podría construir un
espacio de muestreo que describiese cada carta
individual como el producto cartesiano de los dos
espacios de muestreo descritos.
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos
monedas, el espacio de muestreo es el conjunto
{(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}.
Un evento o suceso es cualquier subconjunto del
espacio muestral, llamándose a los sucesos que
contengan un único elemento sucesos elementales.
En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer
lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría
formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y
{(cara, cruz)}.
Los espacios de muestreo aparecen de forma natural
en una aproximación elemental a la probabilidad,
pero son también importantes en espacios de
probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P)
incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω,
pero define un conjunto de sucesos de interés, la σálgebra F, por la cual se define la medida de
probabilidad P.
Para algunos tipos de experimento puede haber dos
o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo,
cuando se toma una carta de un mazo normal de
Ejemplo:
8
1.3. TÉCNICAS DE CONTEO
1.3.1. Principio multiplicativo de conteo. Si se
desea realizar una actividad que consta de r pasos,
en donde el primer paso de la actividad a
realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o
formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y
el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces
esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
Suponga que se encuentra al final de una línea de
ensamble final de un producto y que un supervisor le
ordena contar los elementos de un lote que se ha
manufacturado hace unas horas y del que se
desconoce el número de productos que lo
constituyen, de inmediato usted empezará a contar
un producto tras otro y al final informará al supervisor
que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora
suponga que ese mismo supervisor le plantea la
siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será
posible formar con los productos del lote, si las
muestras o grupos a formar son de ocho elementos
cada una de ellas?.
El principio multiplicativo implica que cada uno de los
pasos de la actividad deben ser llevados a efecto,
uno tras otro.
En el primer caso el cuantificar los elementos del lote
no presenta dificultad alguna para la persona
encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el
segundo planteamiento, al tratar de formar las
muestras o grupos de ocho elementos la persona
encargada empezará a tener dificultad para hacerlo,
en casos como este es necesario hacer uso de las
técnicas de conteo para cuantificar los elementos del
evento en cuestión (el número de muestras posibles
a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las
técnicas de conteo?
Ejemplo:
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas
para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Solución:
Una persona desea construir su casa, para lo cual
considera que puede construir los cimientos de su
casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block
de cemento), mientras que las paredes las
puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo
puede ser de concreto o lámina galvanizada y por
último los acabados los puede realizar de una sola
manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de
construir su casa?
Considerando que r = 4 pasos
Ejemplo en el que definitivamente haremos uso de
las técnicas de conteo:
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se
pueden formar si hay 150 alumnos que desean
ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones
de ocho alumnos?
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
Se les denomina técnicas de conteo a: las
combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol,
hay que destacar que éstas nos proporcionan la
información de todas las maneras posibles en que
ocurre un evento determinado.
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de
construir la casa
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de
conteo proporcionan todas las maneras o formas
posibles de como se puede llevar a cabo una
actividad cualquiera.
Las bases para entender el uso de las técnicas de
conteo son el principio multiplicativo y el aditivo.
9
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de
seleccionar una lavadora
1.3.2. Principio aditivo de conteo. Si se desea
llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de
esas alternativas puede ser realizada de M maneras
o formas, la segunda alternativa puede realizarse de
N maneras o formas ..... y la última de las
alternativas puede ser realizada de W maneras o
formas, entonces esa actividad puede ser llevada a
cabo de,
1.3.3. Permutaciones y combinaciones. Para
entender lo que son las permutaciones es necesario
definir lo que es una combinación y lo que es una
permutación para establecer su diferencia y de esta
manera entender claramente cuando es posible
utilizar una combinación y cuando utilizar una
permutación al momento de querer cuantificar los
elementos de algún evento.
M + N + .........+ W maneras o formas
Combinación. Es todo arreglo de elementos en
donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa
cada uno de los elementos que constituyen dicho
arreglo.
Ejemplo:
Una persona desea comprar una lavadora de ropa,
para lo cual ha pensado que puede seleccionar de
entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric,
cuando acude a hacer la compra se encuentra que la
lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de
carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática,
mientras que la lavadora de la marca E, se presenta
en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos
colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática y la lavadora de la marca GE, se
presenta en solo un tipo de carga, que es de 11
kilogramos, dos colores diferentes y solo hay
semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta
persona de comprar una lavadora?
Permutación. Es todo arreglo de elementos en
donde nos interesa el lugar o posición que ocupa
cada uno de los elementos que constituyen dicho
arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre
una combinación y una permutación, plantearemos
cierta situación.
Suponga que un salón de clase está constituido por
35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los
alumnos lo ayuden en actividades tales como
mantener el aula limpia o entregar material a los
alumnos cuando así sea necesario.
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una
lavadora Whirpool
b) El maestro desea que se nombre a los
representantes del salón (Presidente, Secretario y
Tesorero).
N = Número de maneras de seleccionar una
lavadora de la marca Easy
Solución:
a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a
Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o
entregar material, (aunque pudieron haberse
seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo
haberse formado cualquier grupo de tres personas
para
realizar
las
actividades
mencionadas
anteriormente).
W = Número de maneras de seleccionar una
lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
¿Es importante el orden como se selecciona a los
elementos que forma el grupo de tres personas?
10
Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que
el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo
único que nos interesaría es el contenido de cada
grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el
grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación,
quiere decir esto que las combinaciones nos
permiten formar grupos o muestras de elementos en
PRESIDENTE:
SECRETARIO:
TESORERO:
CAMBIOS
Daniel
Arturo
Arturo
Daniel
Rafael
Rafael
donde lo único que nos interesa es el contenido de
los mismos.
b) Suponga que se han nombrado como
representantes del salón a Daniel como Presidente,
a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero,
pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos
cambios, los que se muestran a continuación:
Rafael
Daniel
Arturo
Daniel
Rafael
Arturo
Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación?
Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación
original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden
de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones
antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto
es este caso estamos tratando con permutaciones.
A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que
es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de
problemas.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n
Ejem.
10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800
8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320
6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.
Obtención de fórmula de permutaciones.
Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro
primeros lugares de un concurso de creatividad que
se verifica en las instalaciones de un instituto, si hay
14 participantes?
Esta solución se debe, a que al momento de asignar
el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos,
una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles
candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos
12 candidatos posibles para el tercer lugar y por
último tendríamos 11 candidatos posibles para el
cuarto lugar.
Luego si n es el total de participantes en el concurso
y r es el número de participantes que van a ser
premiados, y partiendo de la expresión anterior,
entonces.
Solución:
Haciendo uso del principio multiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los
primeros tres lugares del concurso
11
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r +
1)
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos
arreglos en donde el orden es importante y solo se
usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta,
además hay que hacer notar que no se pueden
repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n
objetos son todos diferentes.
Si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! /
(n – r)!, entonces
= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)!
/ (n – r)!
Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos
en donde se utilicen los n objetos con que se
cuenta?
Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r,
entonces.
= n!/ (n – r)!
Por tanto, la fórmula de permutaciones de r
objetos tomados de entre n objetos es:
nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática,
entonces
nPn= n!
RESUELVE
1. Si lanzas dos dados de seis lados sobre una mesa plana horizontal:
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuántas veces es posible que la suma de los números de las caras que aparecen sea diez?
¿Cuántas veces es posible obtener suma de diez, si una de las caras es cuatro?
¿cuántas veces se obtiene suma par?
¿Cuántas veces se obtiene suma 1?.
¿Cuántas veces se obtiene suma par si los resultados en las dos caras son iguales?.
2. A una fiesta van 15 niñas y 13 niños. Considera todas las parejas que se pueden formar si dos de las
parejas son fijas por cuanto son novios intensos y no participan con el resto del grupo. ¿Cuántas de estas
parejas tendrán a una “simpática y popular niña” como uno de sus elementos?.
3. Un estudiante tiene cinco libros de literatura, tres de historia, cuatro de filosofía y dos de matemáticas.
Arma un estante en donde colocará todos sus libros. ¿De cuántas maneras diferentes puede colocarlos en
cada caso?
a) Si no hay condiciones para su colocación.
b) Si coloca los libros de la misma materia siempre juntos.
c) Se coloca cada uno de los dos libros de matemáticas en un extremo.
4. A una función de teatro asisten 7 amigos y se sientan en lugares contiguos. De cuántas maneras
pueden acomodar si son tres parejas que quieren sentarse juntas dos a dos y dejar al amigo sin pareja en
uno de los extremos?
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2. PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN EVENTO
Al estudiar un fenómeno aleatorio es posible que queramos saber el resultado que podemos esperar en lugar de
otro, bajo ciertas condiciones. Para dar respuesta a esta inquietud es necesario conocer no sólo todos los
resultados posibles del fenómeno sino también definir exactamente cada evento que se va a considerar y sus
posibilidades de ocurrencia.
La probabilidad de un evento de un espacio muestral es la razón entre el número de casos favorables del evento y
el número de casos posibles, siempre y cuando la ocurrencia de cada uno de estos sea igualmente posible.
Si EM es un espacio muestral de un experimento o fenómeno aleatorio y A es un evento de tal espacio, la
probabilidad del evento A, P(A), se define como la razón entre el número de elementos de A y el número de
elementos de EM
P ( A) =
Número de elementos de A
Número de elementos de EM
2.1. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. En probabilidad condicional la
ocurrencia de un evento condiciona la probabilidad de un segundo evento. Sin embargo, hay muchos casos donde
los eventos están totalmente sin conexión, y la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia
del otro, en este caso se dice que son independientes.
Sean A y B dos eventos y sea P [B] ≠ 0., A y B son eventos independientes si: P [A/B] = P [A], como
consecuencia, si A y B son independientes y ∴ P [A/B] = P [A⋂B] / P [B] = P[A] ⇒ P [A ⋂ B] = P[A] P [B] y
viceversa.
Dos eventos A y B son independientes si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
1. P [A/B] = P[A]
2. P [B/A] = P[B]
3. P [A ∩ B] = P[A]P[B]
Observación: la proposición 3 se llama regla multiplicativa
13
2.2. REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Ya se mencionó qué son los eventos mutuamente excluyentes
y los que no lo son. Hay una regla general para calcular la
probabilidad de eventos disyuntos, es decir, que son la
combinación de eventos más simples, donde puede ocurrir uno
u otro o ambos.
Sea
A un evento probable en un fenómeno aleatorio.
P(A) su probabilidad
d de ocurrencia.
B otro evento probable en el mismo fenómeno aleatorio.
P(B) su probabilidad de ocurrencia.
Entonces, si son eventos mutuamente excluyentes:
P(A o B) = P(A) + P(B)
Esto significa que la probabilidad de que ocurra cualquiera de
los doss es la suma de sus probabilidades.
Pero, si no son eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra
uno de ellos o ambos es igual a la suma de sus
probabilidades menos la probabilidad
dad de que ocurran
ambos.
otro. En una selección de elementos de un conjunto
dado, sin que los elementos se reintegren al
conjunto, cada selección afecta
af
la probabilidad de
ocurrencia de las subsiguientes. En este caso
tenemos eventos dependientes.
Por otra parte, un par de eventos son independientes
si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del
14
Si dos eventos son independientes, la probabilidad
de ocurrencia de ambos se calcula multiplicando sus
individuales probabilidades asociadas:
El resultado es 286
Otra forma de calcularlos es con la expresión
P(A y B) = P(A) × P(B)
n
Cr =
n!
r ! ( n − r )!
Una probabilidad condicional, de un suceso, se
calcula con el conocimiento de otro suceso que ya
ocurrió:
P (B A) =
P ( AyB )
P ( A)
Ahora falta saber cuántos equipos se pueden formar
con dos mujeres y un hombre, para ello nuevamente
recurrimos al análisis combinatorio. Puesto que la
idea de que un equipo está formado por dos mujeres
y un hombre de un total de siete mujeres y seis
hombres, se puede traducir en dos mujeres forman el
equipo de un total de siete y un hombre de un total
de seis. Al ser eventos independientes aplicamos la
regla descrita y además el análisis combinatorio.
Donde se espera que ocurra B, ya que A ya ocurrió.
Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de que se integre
un equipo de trabajo con dos mujeres y un hombre,
si se eligen al azar los integrantes de un grupo de
seis hombres y siete mujeres? .
Para resolver el problema primero necesitamos
saber cuántos equipos diferentes se pueden formar,
sabemos que el equipo es de tres integrantes y que
las personas que lo pueden formar son trece.
( 7 C2 ) ( 6 C1 ) Calculando esto, se obtiene el número
126
Entonces hay 126 maneras diferentes de formar un
equipo con dos mujeres y un hombre, además hay
286 formas diferentes de integrar a los equipos. Por
lo tanto la probabilidad de que un equipo esté
formado por dos mujeres y un hombre es:
Debemos emplear el análisis combinatorio.
Calculamos las combinaciones de trece elementos
tomados de tres en tres. En las
calculadoras
científicas se tiene la función para el cálculo de
combinaciones, el símbolo es n Cr .
Entonces calculamos
13
P=
C3 .
15
126
63
=
= 0.4405 = 44.05%
286 143
EJERCICIOS……
1. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las
personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20
mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?
2. Si lanzas un dado normal de seis caras dos veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener:
a)
b)
c)
d)
e)
Pares de seis?
Sumas pares?
Sumas diez?
Sumas de a lo más diez?
Sumas superior a diez)
3. Una bolsa contiene seis bolas azules, cuatro bolas rojas, tres bolas verdes y una bola negra. Si extraes al azar
un par de bolas, ¿cuál es la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
e)
Salga una negra?
No salga ninguna verde?
Ambas sean azules?
Las dos sean diferentes?
Las dos sean del mismo color?
4. Un avión de alto rendimiento contienen tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el
avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una
hora de operación la probabilidad de que una falle en la computadora primaria( o de cualquiera de los sistemas de
repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente,
(a) ¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas?
5. De una bolsa que tiene cinco bolas rojas y tres azules se saca una bola y luego se saca la otra.
a) ¿cuál es el espacio muestral si la primera se devuelve a la bolsa antes de sacar la segunda? (con
reposición).
b) ¿Cuál es el espacio muestral si la primera no se devuelve antes de sacar la segunda (Sin reposición).
c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sacadas sean del mismo color si no hubo reposición? ¿Cuál
si hubo reposición?.
6. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del
estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,
a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?
7. Si lanzas 3 monedas simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el lanzamiento sea:
a) Tres caras o tres sellos?
b) Por lo menos una cara?
c) Ninguna cara?
16
UNIDAD 2
1. VALOR ESPERADO Y VARIANZA
1.1. VALOR ESPERADO
El valor esperado es un concepto fundamental en el
estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde
hace muchos años este concepto ha sido aplicado
ampliamente en el negocio de seguros y en los
últimos veinte años ha sido aplicado por otros
profesionales que casi siempre toman decisiones en
condiciones de incertidumbre.
1.1.1. Propiedades del valor esperado
1.1.1.1. Al multiplicar todos los valores de una
variable por una misma constante, el valor
esperado de ésta queda multiplicado por el valor
de la constante.
Para obtener el valor esperado de una variable
aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta
puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de
ese valor y luego sumamos los productos. Es un
promedio ponderado de los resultados que se
esperan en el futuro.
Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un
conjunto discreto (en un conjunto finito de números
en uno infinito como: los naturales, los enteros o los
racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X
toma los siguientes valores:
X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta
La probabilidad de que X tome cada uno de sus
valores viene dada por la función de probabilidad:
1.1.1.2. Al sumar a todos los valores de una
variable una misma constante, el valor esperado
de ésta queda incrementado por el valor de la
constante.
P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ;
Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que
p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1
Se define el Valor Esperado de una Variable
Aleatoria con distribución discreta como:
Y para una variable aleatoria con distribución
continua como:
17
1.1.1.3. Si tenemos dos variables X e Y, discretas
o continuas, el valor esperado de su suma o
diferencia es la suma o diferencia de sus valores
esperados
Es importante indicar que la independencia de las
variables es condición suficiente pero no necesaria
para que el valor esperado del producto de dos
variables sea igual al producto de sus valores
esperados, es decir, ésta es una propiedad de las
variables independientes pero se cumple en
variables que no son independientes.
EJERCICIOS……
1. Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras
recibimos 3 pesos, si sale una cara recibimos 1 peso
y si no sale ninguna cara pagamos 5 pesos .¿Cuál
es la ganancia media del juego?
2. Hallar el valor esperado de la variable aleatoria X,
dada por la función de probabilidad:
E[X ± Y] = E[X] ± E[Y]
1.1.1.4. Si las variables anteriores, X e Y son
variables aleatorias independientes ocurre que el
valor esperado de su producto es igual al
producto de sus valores esperados.
3. Una caja contiene 8 bombillos, de los cuales están
3 están defectuosos. Se selecciona un bombillo de la
caja y se prueba. Si este sale defectuoso se
selecciona y se prueba otro bombillo, hasta que se
escoja un bombillo no defectuoso. Encuentre el
número esperado E de bombillos seleccionados.
4. La probabilidad de que una casa de cierto tipo
quede destruida por un incendio en cualquier período
de doce meses es de 0.005. Una compañía de
seguros ofrece al propietario una póliza de seguros
contra incendio por $20,000 (dólares) a un año con
una prima de $150 dólares. ¿Cuál es la ganancia
esperada de la compañía?
E[X Y] = E[X] E[Y]
18
1.2. VARIANZA
La desviación media es una medida de dispersión de
datos correcta pero presenta un inconveniente y es
la complejidad de manipulación al intervenir valores
absolutos. Sería conveniente encontrar otra medida
que no presente el problema inicial (que no se
compensen las dispersiones negativas con las
positivas) y cuyo manejo se hace más sencillo. Otra
forma de evitar la compensación de dispersiones es
elevar al cuadrado la diferencia y es más sencillo
trabajar con cuadrados que con valores absolutos,
teniendo en cuenta esta consideración introducirémos el concepto de varianza.
El principal problema de la varianza es que se
expresa en unidades cuadráticas que no siempre
tienen una interpretación clara. Para obviar este
problema se define otra medida de la dispersión que
es la desviación típica, σX, o simplemente σ, que se
calcula como la raíz cuadrada positiva de la varianza;
evidentemente, la desviación típica se mide en las
mismas unidades que la variable
No obstante, la desviación típica no resuelve todos
los problemas que se pueden plantear, como por
ejemplo la comparación de situaciones en las que la
unidad de medida o el orden de magnitud de esta
sea diferente. Para resolver esta cuestión se define
una medida adimensional de la variabilidad que es
el coeficiente de variación, C V, que se calcula
como el cociente entre la desviación típica y la media
(a veces este cociente se expresa en tanto por ciento
multiplicándolo por 100).
La varianza es la media aritmética del cuadrado de
las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística. Es decir que la varianza
de una variable es igual a la media de los cuadrados
menos el cuadrado de la media.
La varianza de una variable mide la dispersión de
sus valores respecto al valor central µ.
En este contexto de la medida de la variación se
plantea el problema de medir la variación conjunta de
variables de variables asociadas.
Para calcular la varianza por un método más sencillo
se utiliza la expresión:
Supongamos que tenemos dos variables aleatorias X
e Y, discretas o continuas, con función de
probabilidad o densidad conjunta f(x,y) y definimos
una función z(x,y) igual al producto de las
desviaciones de cada valor a su media respectiva (es
2
decir, z(x,y) tiene la misma estructura que (X - µ) =
(X - µ) (X - µ) si sustituimos una vez a X por Y).
19
1.2.1.. Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
1.2.2. Varianza para datos NO agrupados
Ejemplo:
Calcular la varianza de la distribución:
tribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
1.2.3. Propiedades
Como sumamos cuadrados la varianza siempre es positiva y será nula cuando todos los valores de la
variable sean coincidentes y por tanto iguales a la varianza.
Al elevar al cuadrado elevamos la unid
unidad
ad de medida de las observaciones al cuadrado.
Al elevarse al cuadrado las desviaciones aquellos valores más alejados de la media afectarán mucho a la
varianza.
Es invariante ante cambios de origen.
Si se produce un cambio de escala la nueva varianza es igual
igual a la anterior multiplicada por el cuadrado
del cambio.
Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala en los datos, sólo el cambio de escala
afectará a la varianza.
20
EJERCICIOS
1) Sumando 5 a cada número del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5, obtenemos 8, 11, 7, 6, 12, 10. Probar que ambos
conjuntos de números tienen la misma desviación típica pero diferentes medias ¿cómo están relacionadas las
medias?.
2) Multiplicando cada número 3, 6, 2, 1, 7 y 5 por 2 y sumando entonces 5, obtenemos el conjunto 11, 17, 9 7, 19
15. ¿Cuál es la relación entre la desviación típica de ambos conjuntos? ¿Y entre las medias?
3) Tenemos una variable X de la que sabemos que: CV = 0,5 y que Sx = 3. ¿Cuál es el valor de la media de X?.
4) Tenemos dos variables X e Y con el mismo recorrido y media, siendo sus varianzas 4 y 9 respectivamente.
¿Para cual de las dos variables el valor de la media es más representativo?
2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo
Bernouilli:
Una variable aleatoria X se llama binomial si su valor
es igual al número de éxitos que ocurren en n
pruebas independientes, teniendo todas ellas la
misma probabilidad de éxito, que designamos por p.
Su función de probabilidad es:
• Jugar a cara o cruz.
• El nacimiento de un niño (varón o mujer)
• Obtener un “4” en el lanzamiento de un dado.
• Obtener un número “par” en el lanzamiento de un
dado.
• Obtener “copas” al extraer una carta de la baraja
española.
• La fabricación de una pieza en una factoría
(aceptable o defectuosa).
• El resultado de una operación (éxito o fracaso).
• El lanzamiento a una canasta (encestar o fallar).
• Aprobar o suspender un examen.
Si una variable X sigue la distribución binomial de
parámetros n y p suele designarse como:
Cuando se realizan n pruebas independientes de tipo
Bernouilli decimos que es una experiencia aleatoria
de tipo Binomial.
Las constantes n y p son los parámetros de la
distribución; obviamente, n > 0 es un número entero
y 0 ≤ p ≤ 1. La probabilidad de obtener fracaso es
1−p y se designa con la letra q de forma que p + q =
1.
Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo
Binomial:
El cálculo de la media, la varianza y la desviación
típica es algo laborioso y resulta:
• Jugar 10 veces a cara o cruz .
• Observar 30 nacimientos de un bebé (niña o niño)
• Obtener el “4” en el lanzamiento de 15 dados.
• Obtener “copas” al extraer una carta 8 veces de la
baraja española.
• La fabricación de 1000 piezas en un factoría
(aceptable o defectuosa).
• El resultado de 50 operaciones (é o fracaso).
• El lanzamiento a una canasta n veces (encestar o
fallar).
Experiencias binomiales. Toda experiencia aleatoria
que presenta dos resultados posibles, uno que
fijamos como “´exito” y lo contrario como “fracaso” se
suele denominar de tipo Bernouilli.
21
EJERCICIOS……
1. La probabilidad de que cierto jugador de baloncesto enceste una canasta de 3 puntos es 0.3. ¿Cuál es la
probabilidad de que enceste, exactamente dos canastas de cinco lanzamientos?
udiante que ingresa en la universidad se licencie en 5 años es de 0.4. Se eligen al
2. La probabilidad de que un estudiante
azar 10 estudiantes. Calcular la probabilidad de que:
a) Ninguno se licencie en 5 años.
b) Todos se licencien en 5 años.
c) Un único estudiante se licencie en 5 años.
3. Una máquina
a produce 12 piezas defectuosas de cada mil que fabrica. Hallar la probabilidad de que al examinar
40 piezas:
a) Solo haya una defectuosa.
b) No haya ninguna defectuosa.
4. En un grupo de 20 estudiantes de un instituto se ha comprobado que cada alumno falta a clase
c
el 4% de los
días. Calcular la probabilidad de que en un día determinado:
a) No se registre ninguna falta.
b) Falten a clase menos de 3 estudiantes.
c) Falte a clase un único estudiante.
5. En una determinada ciudad, la probabilidad del nacimiento de una niña es del 56%. Seleccionamos una familia
de cinco hijos. Calcular la probabilidad de que:
a) Tenga exactamente 3 niñas.
b) Tenga al menos dos niñas.
c) ¿Cuál es el número medio de hijas en las familias con cinco hijos?.
3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
En teoría
de
probabilidad y estadística,
estadística
la
distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de un
una
frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que
ocurra un determinado número de eventos durante
cierto periodo de tiempo.
donde
k es el número de ocurrencias del evento o
fenómeno (la función nos da la probabilidad de
que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro
ámetro positivo que representa el
número de veces que se espera que ocurra el
fenómeno durante un intervalo dado. Por
ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en
promedio 4 veces por minuto y estamos
interesados en la probabilidad de que
ocurra k veces dentro de un intervalo de 10
minutos, usaremos un modelo de distribución de
Poisson con λ = 10×4
10 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e =
2,71828 ...)
Fue descubierta por Siméon-Denis
Denis Poisson,
Poisson que la
dio a conocer en 1838 en su trabajo (Investigación
sobre la probabilidad de los juicios en materias
criminales y civiles).
3.1. PROPIEDADES
La función de masa de la distribución de Poisson es
22
Tanto el valor esperado como la varianza de una
variable aleatoria con distribución de Poisson son
iguales a λ. Los momentos de orden superior
son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes
tienen una interpretación combinatoria.
combinatori
De hecho,
cuando el valor esperado de la distribución de
Poisson es 1, entonces según la fórmula de
Dobinski, el n-ésimo
ésimo momento iguala al número
de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de
Poisson con un λ no entero es igual a
, el mayor
de los enteros menores que λ (los símbolos
representan la función parte entera). Cuando λ es un
entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con
n valor esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles
sibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es
3.2. RELACIÓN CON OTRAS DISTRIBUCIONES
3.2.1. Sumas de variables aleatorias de Poisson.
Poisson
La suma de variables aleatorias de Poisson
independientes es otra variable aleatoria de Poisson
cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las
originales. Dicho de otra manera, si
manera que
se mantenga constante, la
distribución límite obtenida es de Poisson.
3.2.3. Aproximación normal.
normal Como consecuencia
del teorema central del límite,
límite para valores grandes
de , una variable aleatoria de Poisson X puede
aproximarse por otra normal dado que el cociente
son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces:
converge a una distribución normal de media nula y
varianza 1.
.
3.2.4. Distribución exponencial.
exponencial Supóngase que
para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el
número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio
sigue una distribución de Poisson de parámetro λt.
Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos
sucesivos sigue la distribución exponencial.
exponencial
3.2.2. Distribución binomial. La distribución de
Poisson es el caso límite de la distribución binomial.
binomial
De hecho, si los parámetros n y de una
distribución binomial tienden a infinito y a cero de
23
EJEMPLO:
Ejemplos de estos eventos que pueden ser
modelados por la distribución de Poisson incluyen:
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller
tiene encuadernación defectuosa, para obtener la
probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados
en este taller tengan
ngan encuadernaciones defectuosas
usamos la distribución de Poisson. En este caso
concreto, k es 5 y , λ,, el valor esperado de libros
defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo
tanto, la probabilidad buscada es
El número de autos que pasan a través de un
cierto punto en una ruta (suficientemente
distantes de los semáforos) durante un periodo
definido de tiempo.
El número de errores de ortografía que uno
comete al escribir una única página.
El número de llamadas telefónicas
telefónica en una
central telefónica por minuto.
El número de servidores web accedidos por
minuto.
El número de animales muertos encontrados por
unidad de longitud de ruta.
El número de mutaciones
m
de determinada
cadena de ADN después de cierta cantidad de
radiación.
El número de núcleos atómicos inestables que
decayeron en un determinado período
El número de estrellas en un determinado
determinad
volumen de espacio.
La distribución de receptores visuales en
la retina del ojo humano.
La inventiva de un inventor
invento a lo largo de su
carrera.
Este problema también podría resolverse recurriendo
a una distribución binomial de parámetros k = 5, n =
400 y =0,02.
3.3. PROCESOS DE POISSON
La distribución de Poisson se aplica a varios
fenómenos discretos de la naturaleza (esto es,
aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces
durante un periodo definido de tiempo o en un área
determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia
del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio.
24
EJERCICIOS……
1. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de
funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho,
a) ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?
b) ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?
c) ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?
2. Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson
con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.
a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.
b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.
c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre
3. La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de
partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número
promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es
100 centímetros cuadrados.
a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.
b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio
c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio
4. DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal también es importante por su
relación con la estimación por mínimos cuadrados,
uno de los métodos de estimación más simples y
antiguos.
La función de distribución normal juega un papel
central en la estadística ya que, además de sus
interesantes propiedades de reproductividad y de
aproximación de otras distribuciones, sirve para
modelizar una gran cantidad de situaciones
prácticas.
Algunos ejemplos de variables asociadas a
fenómenos naturales que siguen el modelo de la
normal son:
La importancia de esta distribución radica en que
permite modelar numerosos fenómenos naturales,
sociales y psicológicos. Mientras que los
mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo
de fenómenos son desconocidos, por la enorme
cantidad de variables incontrolables que en ellos
intervienen, el uso del modelo normal puede
justificarse asumiendo que cada observación se
obtiene como la suma de unas pocas causas
independientes.
caracteres morfológicos de individuos como
la estatura;
caracteres fisiológicos como el efecto de un
fármaco;
caracteres sociológicos como
el consumo de
cierto producto por un mismo grupo de
individuos;
caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
nivel de ruido en telecomunicaciones;
errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
etc.
La distribución normal también aparece en muchas
áreas de la propia estadística. Por ejemplo,
la distribución muestral de las medias muestrales es
De hecho, la estadística es un modelo matemático
que sólo permite describir un fenómeno, sin
explicación alguna. Para la explicación causal es
preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de
la estadística en psicología y sociología sea conocido
como método correlacional.
25
aproximadamente normal, cuando la distribución de
la población de la cual se extrae la muestra no es
normal. Además, la distribución normal maximiza la
entropía entre todas las distribuciones con media
y varianza conocidas, lo cual la convierte en la
elección natural de la distribución subyacente a una
lista de datos resumidos en términos de media
muestral y varianza. La distribución normal es la más
extendida en estadística y muchos tests estadísticos
están basados en una supuesta "normalidad".
En la figura se muestran dos distribuciones
normales, con media µ = 0 y desviaciones típicas σ =
1 y σ = 0.5. Como las dos tienen la misma media µ =
0, la función
n roja es mas alargada pues tiene menos
variabilidad que la azul.
En probabilidad,
obabilidad, la distribución normal aparece como
el límite de varias distribuciones de probabilidad
continuas y discretas.
Una variable aleatoria X se dice que tiene una
distribución
n de probabilidades normal con media µ y
2
2
varianza σ y se denomina N(µ, σ ) si su funci
función de
densidad es de la forma:
donde µ (mu)
es
la media y σ (sigma)
2
la desviación estándar (σ es la varianza
arianza).
es
4.1. LA NORMAL N(0; 1)
La normal típica,
pica, tiene media µ = 0 y desviación
desviaci
típica σ = 1, N(0; 1) y se designa con la letra z.
Se llama distribución normal "estándar" a aquélla
en la que sus parámetros toman los valores µ = 0
y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la
siguiente expresión:
Para calcular las probabilidades
P(Z ≤ z0) = Φ(z0)
En la figura se muestra la función
n de densidad y se
aprecia que es simétrica
trica respecto de x = µ y los
puntos de inflexión de la función
n de densidad se
encuentran a una distancia σ de la media.
se diseña
a una tabla que proporciona las respectivas
probabilidades.
26
27
Ejemplo:
Si z es normal Nz(0; 1) hallar: P(z ≤ 0) P(z ≤ 1) P(z ≤ 2)
Solución:
Ahora vas a manejar la tabla en forma inversa. Nos dan la probabilidad y calculamos
culamos el valor de la variable z0 que
acumula dicha probabilidad.
Ejemplo: Hallar z0 de la normal Nz(0; 1) en cada caso:
P(z < z0) = 0.7019 P(z < z1) = 0.8997 P(z < z2) = 0.9625
Solución:
28
4.2. TIPIFICAR UNA VARIABLE NORMAL
a) P(z < z0) = 0.50
b) P(z < z0) = 0.8729
c) P(z < z0) = 0.3300
d) P(z > z0) = 0.9015
e) P(z < z0) = 0.9971
f) P(z > z0) = 0.1190
Cuando tenemos una variable
le normal N(µ; σ), para
calcular las probabilidades se efectúa
efect
un cambio de
variable que la convierte en una del tipo N(0; 1):
4. Si la estatura X de 500 estudiantes es normal
de media 172 cm y desviación típica 5 cm, hallar
el número de estudiantes con estatura a) entre
170 y 175 cm b) mayor de 180 cm.
A esta variable se la llama normalizada o tipificada.
tipi
De esta forma, sólo es necesario disponer de la tabla
correspondiente a la N(0, 1) para realizar un cálculo
dado, ya que:
5. La temperatura T durante el mes de mayo está
distribuida de forma normal con media 21º y
desviación típica 4º. Hallar el número de días
esperados en que haya una temperatura entre 19º
y 23º.
Ejemplo: Si X es normal N(5; 2) hallar P(X < 8).
6. El tiempo en días de duración de los focos
producidos por una empresa, es una variable
normal de media 780 y desviación típica de 40
días. Calcúlese el porcentaje de focos con una
duración superior a 800 días.
Solución:
7. Los pesos de los individuos de una población
poblaci
se distribuyen normalmente
normalme
con media 70 kg y
desviación típica
pica 5 kg. Calcular:
a) La probabilidad de que
q
el peso de un individuo
esté comprendido entre 65 y 80 kg.
b) La probabilidad de que un individuo pese más
m de
100 kg.
EJERCICIOS……
UTILIZA LA TABLA N(0,1)
8. En una panadería se cortan panecillos con un
peso que se ajusta a una variable normal
norm de
media 100 g y desviación típica 9 g. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso
oscile entre 80 g y la media?
1. Si X es normal N(5; 2) hallar:
P(X < 8) P(X < 2) P(2 < X < 8)
2. En una distribución normal N (18;4), hallar
hal
las
siguientes probabilidades:
9. La distribución
n de la duración
duraci
de un embarazo
en mujeres es aproximadamente
aproxima
normal con
media 266 días
as y desviación
desviaci
típica 16 días.
Calcular:
a) La probabilidad de que un embarazo dure más
m de
242 días.
b) El 20% de los embarazos duran menos de
¿cuántos días?
c) El 50% de los embarazos duran menos de
¿cuántos días?
a) P(x < 18)
b) P(x < 20)
c) P(x > 16, 5)
d) P(x < 11)
e) P(19 < x < 23)
f) P(11 < x < 25)
3. En la distribución normal Nz(0; 1), hallar el
valor de z0 en cada caso:
29
UNIDAD 3
1. TEORÍA DE LA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
El método es el modelo de trabajo o secuencia lógica
que orienta la investigación, ahora bien el estudio del
método o de los métodos se llama metodología.
organizados y verificables. En el caso de la vida real,
el proceso para apropiarse del conocimiento es
continuo y muy desordenado. En el caso de la
investigación científica debemos tener en cuenta que
se trata de una experiencia creativa donde no
pueden excluirse la intuición ni la subjetividad.
El método científico (del griego: -meta = hacia, a lo
largo -odos = camino-; camino), es decir que se trata
del camino que debe seguir el científico para el logro
del conocimiento.
Para recorrer este camino es necesario respetar
algunas grandes fases o momentos:
El método científico está sustentado por dos
pilares fundamentales.
1.1.1. Fase Proyectiva: Es el primer momento
donde el investigador ordena y sistematiza sus
inquietudes, formula sus preguntas y elabora
organizadamente los conocimientos que constituyen
su punto de partida, revisando y asimilando lo que se
ya se conoce respecto al problema que se ha
planteado. Es el momento que se atiende a la
racionalidad y a lograr la coherencia lógica del marco
teórico y de la investigación en general.
El primero de ellos es la reproducibilidad, es decir,
la capacidad de repetir un determinado experimento
en cualquier lugar y por cualquier persona. Este pilar
se basa, esencialmente, en la comunicación y
publicidad de los resultados obtenidos.
El segundo pilar es la falsabilidad. Es decir, que
toda proposición científica tiene que ser susceptible
de ser falsada, esto implica que se pueden diseñar
experimentos que en el caso de dar resultados
distintos a los predichos negarían la hipótesis puesta
a prueba.
1.1.2. Fase Metodológica: es donde el investigador
fija la estrategia ante el objeto de estudio, es cuando
formula el modelo operativo para apropiarse del
conocimiento. La preocupación mayor durante toda
esta fase es la de elaborar sistemas de
comprobación lo más confiables posibles.
La sistematización de los métodos científicos es una
materia compleja y tediosa. No existe una única
clasificación, ni siquiera a la hora de considerar
cuántos métodos distintos existen. Sin embargo aquí
se presenta una clasificación que cuenta con cierto
consenso dentro de la comunidad científica.
1.1.3. Fase Técnica: Es abordar las formas y
procedimientos concretos que nos permitan
recolectar y organizar la informaciones que
necesitamos. Es esta fase se obtiene la información
y además se redefinen y ponen a punto las técnicas
y los instrumentos que se emplean en la
investigación.
Además es importante saber que ningún método es
un camino infalible para el conocimiento, todos
constituyen una propuesta racional para llegar a su
obtención.
1.1.4. Fase de Síntesis: Se inicia cuando el
investigador dispone de los datos que le proporciona
el objeto de estudio, y así se puede elaborar los
nuevos conocimientos.
1.1. COMPONENTES DE UN PROYECTO DE
INVESTIGACIÓN
La investigación científica es la actividad que nos
permite obtener conocimientos científicos, es decir,
conocimientos objetivos, sistemáticos, claros,
30
En toda investigación científica se necesitan de tres
elementos componentes:
- El sujeto de la investigación (el investigador).
- El objeto de estudio, que son la infinidad de temas
y problemas moviliza al investigador.
- El método científico, que es el procedimiento o
conjunto de procedimientos que se utilizan para
obtener conocimientos científicos.
1.2. TIPOS DE INVESTIGACIÓN
Las investigaciones podrán clasificarse de acuerdo a lo expresado más abajo, lo cual no quiere decir
que se la única clasificación, sino que según el autor o el área del conocimiento a que se refiera podrá
existir distintas forma de clasificarse.
31
32
1.3. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
3) No existe un único proceso o secuencia a seguir.
Varían, eso sí, en la cantidad de pasos, aunque la
secuencia general manifiesta casi siempre una cierta
similitud, inevitable por la misma lógica de la
investigación.
1) Todo esquema sobre el proceso de investigación
tiende a convertirse en una especie de modelo
formal restrictivo, en un molde rígido de
procedimientos que puede adquirir hasta un carácter
burocrático.
4) En la mayoría de los casos debe interpretarse el
proceso como algo dinámico, no tiene principio ni fin,
debe ser interpretado como un trabajo continuo,
donde cada investigación requiere de mayor
esfuerzo al investigador.
2) En realidad la labor científica es un trabajo donde
la libertad y la creación cumplen un papel central: no
hay, ni puede haber, ninguna receta que nos
garantice un resultado positivo para nuestro trabajo,
por cuanto las dificultades y los imprevistos son
tantos que impiden alcanzar una planificación
completa del proceso.
5) Esto tiene por objeto mostrar que no hay
verdaderamente un orden único en el trabajo sino
que existen tareas que se desarrollan de un modo
33
simultáneo, que se complementan y determinan
mutuamente.
pedagógicos o prácticos: si no hay algo de algún
modo desconocido o mal conocido no hay, en
verdad, auténtica necesidad de investigar, de
obtener nuevo conocimiento.
1.3.1. Pasos para la organización
Los problemas de conocimiento no deben
confundirse con los problemas de la vida práctica,
aunque ambos puedan estar estrechamente ligados.
Así, por ejemplo, no es un problema de investigación
reducir los accidentes de tránsito, pero en cambio sí
lo es responder a la pregunta: cuáles son las causas
que producen los accidentes de tránsito? Con base a
su repuesta es que podrá resolverse el problema
práctico, pero es preciso hacer la distinción entre
estas dos clases de problemas para disipar
frecuentes equívocos que luego se traducen en
serios inconvenientes para el investigador.
- Definición del Área temática: implica la selección
de un campo de trabajo, de la especialidad o
problemática donde nos situamos. Para explicarnos
mejor ejemplificaremos diciendo que son áreas
temáticas:
La educación en el primer ciclo, la función materna
en niños sordos, la toma de decisiones, las
migraciones internas, la comercialización de obras
de arte.
- Delimitación de la investigación: en esta etapa
se acota el problema de la investigación, se reduce
el campo de la investigación. De esta manera la
investigación puede ser más profunda. Acá se fijan
los objetivos, generales y específicos, del trabajo a
desarrollar, aclarando qué fines se considera posible
alcanzar concretamente. No puede hacerse
investigación científica estudiando todo a la vez, sin
ningún orden ni disciplina y sin tener una idea,
aunque sea aproximada, de lo que se irá a alcanzar:
es necesario contar con un tema de estudio preciso y
bien delineado que, por sus proporciones, pueda ser
investigado en correspondencia con nuestros
recursos teóricos y materiales.
Es decir, se trata de campos del saber que tiene
unidad interna pero que abarcan una problemática
mucho más reducida que las disciplinas, y aún las
especialidades, en las que suelen ubicarse. No son
áreas temáticas, como podría corresponderle a cada
tema anterior, la educación, la función materna, El
gerenciamiento, la sociología o el comercio.
Toda investigación versa, naturalmente, sobre algún
área del conocimiento, se buscará diseñar una
investigación de carácter interdisciplinario.
- Planteamiento del problema: En esta etapa se
realiza la formulación del problema. Esto es una de
las fundamentales de todo el proceso de
investigación. En ausencia de un problema no hay
verdadera búsqueda de conocimientos, no hay
creación, aunque puedan hacerse valiosos aportes
- Marco Teórico: Esto significa asimilar el bagaje
conceptual y las teorías ya elaboradas respecto al
34
tema, pero reenfocadas para los fines específicos de
nuestro caso. Implica por lo tanto la revisión y
organización
de
los
conocimientos
previos
disponibles sobre el tema, en lo que se refieren
particularmente al problema que
e se ha planteado y al
punto de vista que se ha asumido acerca del mismo.
tiene por misión determinar la forma en que el
problema habrá de ser verificado: establecerá el
criterio general de comprobación, el sistema de
aproximación a la realidad específica considerada, la
estrategia general a utilizar.
Las variables: se definen conceptuamente, se
operacionalizan
lizan y se determinan los indicadores que
luego servirá para el diseño de los instrumento de
recolección de información.
- Datos: se obtienen en bruto y necesitan, por tanto,
de un trabajo de clasificación y ordenación que habrá
de hacerse teniendo en cuenta
cuen las proposiciones
sobre las que se asienta la investigación. Esta tarea,
el procesamiento de los datos.
- Analizar y concluir: Finalmente, con estos datos
ya procesados adecuadamente, habrá que retomar
la labor propiamente analizarlos cuidadosamente
para
a extraer conclusiones de interés y de esta
manera elaborar el informa final.
- Diseño: Este cumple la función de complementarse
al marco teórico: si éste proporciona el marco
conceptual y referencial para el problema, el diseño
35
COMPRENSIÓN LECTORA
En 1939, Leonid Vitalyevich Kantorovich (1912-1986), matemático soviético, ideó el concepto de programación
lineal, en el proceso de resolver un problema relativo a horarios de producción de una fábrica. Kantorovich estudió
matemáticas en la Universidad estatal Leningrado, donde le otorgaron el doctorado a la edad de 18 años. Desde
1934 hasta 1960 fue profesor en la Universidad de Leningrado. A partir de 1961, y por 10 años, fue el presidente
de la rama soviética de matemáticas y economía en la academia de ciencias de la Unión de Repúblicas Socialistas
Soviéticas. Desde 1971 hasta 1976, dirigió el Instituto de Planeación Económica de Moscú. Aún cuando la
preparación de Kantorovich fue totalmente en matemáticas, su interés por la aplicación de ellas a la economía lo
llevó a sugerir el uso del método de programación lineal a esta cuando en 1939 publicó su libro Métodos
matemáticos para organizar y planear producción. Otro libro con el cual amplió su contribución a la economía y
que escribió en 1942 pero publicó en 1959 se titula El mejor uso de recursos económicos. En éste describe la
aplicación de técnicas de optimización a un rango amplio de problemas.
Los métodos propuestos por Kantorovich se ampliaron, curiosamente, debido a la Segunda Guerra Mundial. Como
los pelotones de soldados de la fuerza aérea americana aumentaron considerablemente era difícil coordinar el
suministro de provisiones. Un equipo de matemáticos se dedicó al desarrollo de programas que, con el uso de
calculadoras y computadores, facilitaron la organización óptima el suministro.
El matemático americano George Dantzig (1914- ) desarrolló en 1947, el método simplex, que permite resolver
problemas de programación lineal simultáneamente. Dantzig, hijo de un matemático ruso que emigró a Estados
Unidos, tuvo muchas dificultades en matemáticas cuando era niño pero debido no sólo al apoyo de su padre sino
también de un amigo escolar de un profesor, Dantzig no sólo superó sus problemas sino que llegó a ser un gran
matemático. Su campo de interés es la estadística. Según Dantzig el mejor regalo de su padre fue proveerlo de
miles de problemas de geometría durante su adolescencia pues “ el ejercicio mental necesario para resolverlos, en
el momento en el cual mi cerebro estaba creciendo, contribuyó más que cualquier otra cosa al desarrollo de mi
poder analítico". Estudió matemáticas en la Universidad de Maryland y estaba adelantando estudios de postgrado
cuando estalló la guerra. En ese momento comenzó a trabajar con la Fuerza Aérea como civil, siendo esto el
principio de una carrera exitosa en varias instituciones relacionadas con la defensa de su patria. El término
"programación lineal" para el método de resolución lo sugirió T J Koopmans, amigo de Dantzig, en 1948. Tiene su
origen en el uso del término militar "programar" usado para referirse a los horarios organizados para
entrenamiento, suministro y desplazamiento de los soldados. En 1952, Dantzig comenzó a trabajar con la
corporación RAND como investigador para el desarrollo de programas para computadoras. A partir de 1960,
retomó su carrera académica como docente en las universidades de Berkeley y Stanford.
Contesta:
1. ¿Qué semejanzas existen entre Kantorovich y Dantzig?
2. ¿Cuáles fueron las situaciones de la vida real que llevaron a la creación de los métodos de programación
lineal?
3. ¿A quién se debe y cuál es el origen del término "programación lineal"?
4. ¿Cuántos años pasaron entre la primera vez que se usó la programación lineal y el desarrollo del método
simplex?
5. ¿En qué campos del saber se aplica principalmente la programación lineal?
36
UNIDAD 4
1. MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN
Gráficamente podemos interpretar de la siguiente manera:
- Método empírico-analítico: Conocimiento basado
en la experiencia, y analítico porque tiene en cuenta
variables que se analizan en forma particular. Es
muy utilizado en las ciencias naturales y sociales o
humanas.
- Método de la medición: Basado en la experiencia
y verificable en estadísticas.
- Método dialéctico: afirma que todos los
fenómenos se rigen por las leyes de la dialéctica, es
decir que la realidad no es algo inmutable, sino que
está sujeta a contradicciones y a una evolución y
desarrollo perpetuo. Por lo tanto propone que todos
los fenómenos sean estudiados en sus relaciones
con otros y en su estado de continuo cambio, ya que
nada existe como un objeto aislado.
- Método experimental: Basado en experimentos, el
conocimiento adquirido puede ser verificado en un
experimento. Implica alteración controlada de las
condiciones naturales, de tal forma que el
investigador
creara
modelos,
reproducirá
condiciones, abstraerá rasgos distintivos del objeto o
del problema.
- Método histórico. Está vinculado al conocimiento
de las distintas etapas de los objetos en su sucesión
cronológica. Para conocer la evolución y desarrollo
del objeto o fenómeno de investigación se hace
necesario revelar su historia.
- Método de la observación científica: El
investigador conoce el problema y el objeto de
investigación, estudiando su curso natural, sin
alteración de las condiciones naturales, es decir que
la observación tiene un aspecto contemplativo.
- Método sintético. Es un proceso mediante el cual
se relacionan hechos aparentemente aislados y se
37
formula una teoría que unifica los diversos
elementos. Consiste en la reunión racional de varios
elementos dispersos en una nueva totalidad, este se
presenta más en el planteamiento de la hipótesis.
- ¿Qué resultados personales y generales traerá el
desarrollo de esa investigación?
- Método sistémico: Está dirigido a modelar el
objeto mediante la determinación de sus
componentes, así como las relaciones entre ellos.
Esas relaciones determinan por un lado la estructura
del objeto y por otro su dinámica.
Son las razones por las cuales se plantea la
investigación.
2.2. JUSTIFICACIÓN Y/O ANTECEDENTES
- La justificación teórica son las razones que
argumentan el deseo de verificar, rechazar o aportar
aspectos teóricos en relación con el objeto de
conocimiento.
- Método lógico inductivo: Es el razonamiento que,
partiendo de casos particulares, se eleva a
conocimientos generales. Destaca en su aplicación
el método de interpolación.
- La justificación metodológica son las razones que
sustentan un aporte por la utilización o creación de
instrumentos y modelos de investigación.
- Método lógico deductivo: Mediante ella se aplican
los principios descubiertos a casos particulares, a
partir de un enlace de juicios.
- La justificación práctica son las razones que
señalan que la investigación propuesta ayudará en la
solución de problemas o en la toma de decisiones.
- Analogía: Consiste en inferir de la semejanza de
algunas características entre dos objetos, la
probabilidad de que las características restantes
sean también semejantes. Los razonamientos
analógicos no son siempre validos.
- La justificación debe responder a la pregunta. ¿Por
qué se investiga?
2.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Es el punto de partida de la investigación si no se
tiene problema alguno no hay nada para investigar.
El proceso de investigación se debe iniciar con un
diseño que responda interrogantes que son las
inquietudes del investigador.
2. COMPONENTES MÍNIMOS DE UN PROYECTO
DE INVESTIGACIÓN
Estructura del proyecto. No existe un modelo
único, universalmente aceptado, respecto al orden
en que deben aparecer las diferentes partes de un
anteproyecto. Tentativamente podrá seguirse el
siguiente:
La formulación se plantea a través de una pregunta
de investigación; el investigador espera responderla
y de esta manera resolver el problema planteado.
2.1. EL TEMA DE INVESTIGACIÓN
En esta etapa el investigador debe plantearse
algunas preguntas como:
Para la sistematización del problema se formulan
subpreguntas que el investigador plantea sobre
temas específicos que se han observado en el
planteamiento del problema.
- ¿Es de interés el tema?
2.4. OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS
- ¿Existe información sobre el mismo?
El proceso científico formulado a partir del
planteamiento del problema tiene como finalidad
buscar respuestas de la situación descrita, objeto de
la investigación por ello, es de mucha ayuda
- ¿Quién tiene o en donde se puede encontrar la
información?
38
responder a la pregunta: ¿Para qué y qué se busca
con la investigación propuesta?
estudio descriptivo identifica características del
universo de investigación, señala formas de
conducta, establece comportamientos concretos y
descubre y comprueba asociaciones entre variables.
El estudio explicativo orienta a la comprobación de
hipótesis casuales.
Dar respuesta
a a esta interrogante permite delimitar el
marco de estudio y sus alcances, se deben plantear
objetivo general y objetivos específicos. Los primeros
deben ofrecer resultados amplios; los específicos se
refieren a situaciones particulares que inciden en el
objetivo general.
2.8. PLAN DE TRABAJO Y/O CRONOGRAMA DE
ACTIVIDADES
2.5.
ELEMENTOS
TEÓRICOS
QUE
FUNDAMENTAN LA INVESTIGACIÓN - MARCO
TEÓRICO
El investigador debe señalar las diferentes etapas del
proyecto y el tiempo estimado para cada una de
ellas. Mediante la gráfica de Gantt se establece una
relación entre las etapas de investigación
investigac
y tiempo
de ejecución, se representa por el uso de barras
horizontales.
La investigación que se realiza debe tener en cuenta
el conocimiento previo, pues forma parte de una
estructura teórica ya existente.
2.9. PRESUPUESTO
- El marco teórico es la descripción
pción de los elementos
teóricos planteados por uno por varios autores que
permiten al investigador fundamentar su proceso de
conocimiento.
En el presupuesto deben incluirse los gastos de la
investigación en términos de precios y cantidades
reales de acuerdo con los rubros:
- La función del marco conceptual es definir el
significado de los términos (lenguaje técnico) que
van a emplearse con
n mayor frecuencia y sobre los
cuales se relacionan las fases del conocimiento
científico (observación, descripción, explicación y
predicción)
2.6.
HIPÓTESIS
VARIABLES)
(IDENTIFICACIÓN
- Los servicios personales son
s
los costos que
incluyen
los
causados
por
honorarios
a
investigadores,
auxiliares
de
investigación,
encuestadores.
- Los gastos generales son los costos directos
generados por el proyecto. Incluyen transporte,
papelería,
impresión,
procesamiento
de
la
información.
DE
2.10. BIBLIOGRAFÍA
Son proposiciones afirmativas que el investigador
plantea con el propósito
pósito de llegar a explicar hechos o
fenómenos que caracterizan o identifican el objeto de
conocimiento.
Las fuentes son hechos o documentos a los que
acude el investigador y que le permiten obtener
información. Las técnicas son los medios empleados
para recolectar la información.
2.7. METODOLOGÍA
El tipo de estudio señala el nivel de profundidad y el
enfoque con el cual el investigador busca abordar el
objeto del conocimiento, por
or ello se selecciona una
batería de procedimientos, que el camino a seguir
por el investigador.
En este punto se tiene en cuenta la clasificación de
la investigación, la recolección de datos y la forma de
probar la tesis. Según el nivel de conocimiento el
39
3. INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
Estas encuestas pueden ser Encuestas por
Muestreo en donde se elige una parte de la
población que se estima representativa de la
población total o podrá ser Encuesta de la
Población.
Es la herramienta que permite una adecuada
explotación de la fuente de información. Cuando
hablamos de recolección de datos nos estamos
refiriendo a información empírica abstraída en
conceptos.
La recolección de datos tiene que hacer con el
concepto de medición, proceso mediante el cual se
obtiene el dato, valor o respuesta para la variable
que se investiga.
La medición, etimológicamente viene del verbo medir
y significa comparar una cantidad con su respectiva
unidad con el fin de averiguar cuantas veces la
segunda está contenida en la primera (Diccionario de
la Real Academia Española).
El instrumento de recolección de datos está
orientado a crear las condiciones para la medición.
Los datos son conceptos que expresan una
abstracción del mundo real, de lo sensorial,
susceptible de ser percibido por los sentidos de
manera directa o indirecta.
Una forma reducida de una encuesta por muestreo
es un "sondeo de opinión", esta forma de encuesta
es similar a un muestreo, pero se caracteriza porque
la muestra de la población elegida no es suficiente
para que los resultados puedan aportar un informe
confiable.
Todo lo empírico es medible. No existe ningún
aspecto de la realidad que escape a esta posibilidad.
Medición implica cuantificación. ¿Que se mide? Se
miden variables.
Se utiliza solo para recolectar algunos datos sobre lo
que piensa un número de individuos de un
determinado grupo sobre un determinado tema.
3.1. LA ENCUESTA
Una encuesta es un conjunto de preguntas
normalizadas dirigidas a una muestra representativa
de la población o instituciones, con el fin de conocer
estados de opinión o hechos específicos.
3.2. LA ENTREVISTA
Existen encuestas abiertas que permiten al
encuestado dar opiniones y explayarse en la
respuesta, sirven sobre todo para investigaciones
cualitativas.
También las encuestas pueden ser cerradas, donde
el encuestado solo tiene la opción de seleccionar
respuestas preestablecidas; se utilizan para
encuestas cuantitativas y son de más rápido análisis.
40
La palabra entrevista deriva del latín y significa "Los
que se ven entre sí". Una entrevista es un hecho que
consiste en un diálogo entablado entre dos o más
personas: el entrevistador o entrevistadores que
interroga y el o los que contestan. Se trata de una
técnica o instrumento empleado en diversas
investigaciones, medicina, selección de personal.
Una entrevista no es casual sino que es un diálogo
interesado, con un acuerdo previo y unos intereses y
expectativas por ambas partes.
La
entrevista
periodística
se
fundamentalmente por tres factores:
distingue
- Un evidente interés hacia la persona entrevistada
- Pericia en el manejo de la técnica de pregunta y
respuesta
Es en realidad una conversación que tiene como
finalidad la obtención de información. Hay muy
diversos tipos de entrevistas: laborales (para
informarse y valorar al candidato a un puesto de
trabajo), de investigación (realizar un determinado
estudio), informativas (reproducir opiniones) y de
personalidad (retratar o analizar psicológicamente a
un individuo), entre otras.
- Voluntad manifiesta de difundir el resultado en un
medio de comunicación
3.2.1. Tipos de entrevistas
3.2.1.1. Estructurada. Las entrevistas estructuradas
son aquellas que el entrevistador ha preparado un
cuestionario muy detallado para obtener la
información; normalmente se da cuando en
investigador conoce mucho del tema y se encuentra
en una fase de la investigación donde necesita
detalles puntuales.
En una entrevista intervienen el entrevistador y el
entrevistado. El primero, además de tomar la
iniciativa de la conversación, plantea mediante
preguntas específicas cada tema de su interés y
decide en qué momento el tema ha cumplido sus
objetivos. El entrevistado facilita información sobre sí
mismo, su experiencia o el tema en cuestión.
3.2.1.2. No estructurada. Una entrevista no
estructurada es aquella utilizada para obtener
información acerca de una historia de vida, de
hechos o sucesos donde el protagonista es el
entrevistado; se inicia con preguntas clásicas tales
como ¿Cómo alcanzó el cargo de...?, ¿qué puede
explicarnos del procesos de fabricación de ....? Si
bien la entrevista no estructurada no se lleva
preguntas definidas es importante tener una guía de
preguntas o ítems previamente establecidos para
que, durante la conversación, tratar de tocarlos para
obtener la información.
La entrevista como instrumento de investigación ha
sido utilizada de forma ambiciosa por antropólogos,
sociólogos, psicólogos, politólogos o economistas.
Es por ello que gran parte de los datos con que
cuentan las ciencias sociales proceden de las
entrevistas. Los científicos sociales dependen de
ellas para obtener información sobre los fenómenos
investigados y comprobar así sus teorías e hipótesis.
41
Otras clasificaciones:
3.3. LA OBSERVACIÓN
Durante el proceso de investigación, para recolectar
la información, el investigador debe seleccionar el
conjunto de informantes, a los cuales además de
observar e interactuar con ellos, puede utilizar
técnicas como la entrevista, la encuesta, la revisión
de documentos y el diario de campo o cuaderno de
notas en el cual se escribe las impresiones de lo
vivido y observado, para organizarlas posteriormente.
La observación consiste en la medida y registro de
los hechos observables, según el método científico, y
por lo tanto, medida por instrumentos científicos.
Además, estas observaciones deben ser realizadas
profesionalmente, sin la influencia de opiniones o
emociones.
La observación participante o participativa, es una
metodología de las Ciencias Sociales, que culmina
como acción participativa, haciéndola una de las
técnicas más completa, pues además de realizar un
proceso de observación, elabora propuestas y
soluciones.
3.4. LA EXPERIMENTACIÓN
La experimentación consiste en el estudio de un
fenómeno, reproducido generalmente en un
laboratorio, en las condiciones particulares de
estudio que interesan, eliminando o introduciendo
aquellas variables que puedan influir en él.
3.5. EL DATO CIENTÍFICO
La Observación participante es una técnica de
observación utilizada en las ciencias sociales en
donde el investigador comparte con los investigados
su contexto, experiencia y vida cotidiana, para
conocer directamente toda la información que
poseen los sujetos de estudio sobre su propia
realidad, o sea, conocer la vida cotidiana de un grupo
desde el interior del mismo.
Un dato es una estructura compleja. Por lo tanto
tiene partes que lo constituyen.
- Concepto
- Dimensión
- Procedimiento
- Indicador (o esquema indicador): Es un
procedimiento aplicado a una dimensión de una
variable.
Uno de los principales aspectos que debe vencer el
investigador en la observación es el proceso de
socialización con el grupo investigado para que sea
aceptado como parte del, y a la vez, definir
claramente dónde, cómo y que debe observar y
escuchar.
42
Ejemplo: Podemos hablar de la potencia de un automóvil y vincularla con su aceleración según el siguiente
cuadro:
Como se ve, es imposible la unión directa entre el concepto y el indicador, la misión del investigador es diseñar y
encontrar como medir para poder unir el concepto no observable con el indicador.
4.
TÉCNICAS
Y
MÉTODOS
PARA
CLASIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN
LA
ser numerosas ha de aplicárseles el método
estadístico que sea más apropiado.
4.1. TÉCNICAS PARA LA CLASIFICACIÓN DE LA
INFORMACIÓN
4.1.1.4. Respeto a las fuentes. Al mismo tiempo, el
tratamiento de las fuentes debe ser respetuoso con
ellas mediante la fidelidad a las fuentes: no falsearlas
ni tergiversarlas para hacerlas decir lo que al
investigador interesa que digan.
4.1.1. Tratamiento de las fuentes
4.1.1.1. Reunión de fuentes. El primer paso de
cualquier investigación es la reunión de un corpus
documental suficiente de todas las fuentes de
información que vayan a interesar en el tema sobre
el que se esté investigando.
4.1.1.5. Cita de las fuentes. La investigación original
no debe ocultar las fuentes en las que se basa. Si la
aportación original es insuficiente o irrelevante, no
hay originalidad sino plagio. La reproducción de citas
puede ser abusiva (a veces la mayor parte de el
texto son entrecomillados). Para algunos casos
(publicación o edición crítica de fuentes) la tarea del
investigador se convierte en una glosa. Es necesario
utilizar con cuidado el recurso que se conoce como
intertextulidad: no entrecomillar y citar a lo largo del
texto que escribe el autor de la investigación, pero
reconociendo bien sea en el propio texto, a pie de
página o al final del capítulo o la obra que lo que se
dice tiene una fuente y no es del todo producción
propia.
4.1.1.2. Crítica de las fuentes. El tratamiento de las
fuentes documentales, si pretende ser científico,
tiene que partir de una crítica de las fuentes, es
decir, del juicio que el investigador (periodista o
historiador, por ejemplo) deben de hacer sobre su
sinceridad y correspondencia con la realidad.
4.1.1.3. Contraste de fuentes. Evaluadas en su
validez, las fuentes deben contrastarse entre ellas,
viendo si coinciden o discrepan, y en qué grado. De
43
4.2. MÉTODOS PARA LA CLASIFICACIÓN DE LA
INFORMACIÓN
Una información nos dice que:
El tener el dato solo, no nos sirve, el disponer de una
información no es relevante, lo importante poder
combinar esta información disponible para obtener
conclusiones de interés.
Este dato aislado nos sirve solo sirve como
información pero no como conclusión, ahora si lo
combinamos con otros datos:
Para ello es importante conformar un sistema
matricial que permita lograr las conclusiones, como
ejemplo:
Como podemos ver armamos un sistema de matrices donde se van relacionando los distintos datos y se obtienen
conclusiones de interés tales como que la escuela 1 tiene mejor nivel que la 2.
44
PRUEBA TIPO ICFES
1. El presidente de una empresa tiene 7 corbatas,
9 pantalones, 5 camisas y 3 correas diferentes.
De cuantas formas diferentes puede vestirse el
empresario, si tiene que usar una de cada una
para ir al trabajo?
a) 945
b) 678
c) 456
d) 124
6. En un concurso de preguntas y respuestas un
concursante contesta al azar dos preguntas de si
o no. Cuál es el espacio muestral para este
evento?
a) E= (S,N)
b) E= (S,N) , (S,S) , ( N,S) , (N,N)
c) E= (S,N) , (S,S)
d) E= (N,S) , (N,N)
7. Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2
dados al aire salga un numero par?
a) 1 / 36
b) 11 / 22
c) 18 / 36
d) 22 / 36
2. Se quieren hacer grupos de 3 estudiantes para
realizar un trabajo de biología, si en grado 11 hay
32 estudiantes. Cuantos grupos distintos se
pueden formar?
a) 4960
b) 6780
c) 5460
d) 9800
8. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7
verdes. Si se saca 1 al azar. Cuál es la
probabilidad de que no sea roja?
a) 8 / 20
b) 12 / 20
c) 18 / 20
d) 2 / 20
3. Se utilizan 10 consonantes y las vocales del
abecedario para formar palabras de 4 letras.
Cuantas palabras distintas se pueden formar, si
en la palabra tiene que haber 3 consonantes y 1
vocal?
Consonantes=10 vocales=5
a) 4500
b) 3400
c) 3600
d) 8700
9. Hay 20 invitados a una fiesta y se tienen que
organizar las mesas en grupos de 8. De Cuantas
formas distintas se pueden sentar los invitados?
a) 125970
b) 146790
c) 450000
d) 245678
4. Si tenemos las mismas 10 consonantes y 5
vocales del ejercicio anterior y queremos formar
palabras de 4 letras que solo tengan 2 vocales,
una al comienzo y una al final. Cuantas palabras
diferentes podemos formar?
a) 1200
b) 2500
c) 1450
d) 2220
10. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se
puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
a) 120
b) 230
c) 155
d) 222
11.En una clase de arte se quieren hacer
banderines con franjas de 3 colores diferentes.
La profesora presenta las siguientes opciones de
colores: morado, verde, amarillo, blanco, negro y
gris. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden
combinar estos colores, para obtener banderines
diferentes?
a)
60
c) 120
b)
130
d) 70
5. Se lanzan dos dados al mismo tiempo, cual es
la probabilidad de que se obtenga un número
mayor o igual a 8?
a) 15 / 36
b) 16 / 12
c) 12 / 36
d) 8 / 36
45
12. Una mujer tiene 10 faldas, 9 camisas, 6 pares
de tacones y 3 bufandas. De cuantas formas
diferentes se puede vestir esta mujer:
a)
1230
b)
1620
c)
2400
d)
870
El parque Xcaret en México recibe al año unos 700
mil visitantes. La entrada vale 45 dólares para
adultos y 22 para niños.
16. Una familia (entre niños y adultos) pagó casi
180 dólares por la entrada, es posible que la
familia este conformada por:
a) 3 adultos y 2 niños
c) 4 adultos y 4 niños
b) 3 adultos y 3 niños
d) 4 adultos y 2 niños
Responde las preguntas 13 y 14 teniendo en cuenta
la siguiente información.
17. Tomando x como el número de adultos y z el
número de niños que visitan el parque cada año,
la expresión 45x + 22z representa:
a) 45 adultos y 22 niños.
b) El valor de la entrada de 45 adultos y 22
niños en un año.
c) 67 personas.
d) El valor de la entrada de niños y adultos que
visitan el parque anualmente.
Se ha preguntado a un cierto número de familias por
el número de hijos. Los resultados obtenidos están
representados en una tabla y un diagrama de barras.
No.
De Hijos
0
1
2
3
4
5
TOTAL
No.
De
Familias
2
4
6
?
2
?
?
Responde las preguntas 18 y 19 de acuerdo con la
siguiente información:
A continuación se presenta la gráfica que muestra la
relación entre el consumo mensual en metros
cúbicos y la tarifa de pago mensual, del servicio de
agua.
13. Al completar la tabla se tiene que:
a) El número de familias que tiene 3 hijos es 5.
b) El número de familias que tiene 5 hijos es 5.
c) El total de familias encuestadas es 44.
d) No hay familias que tengan 5 hijos.
14. Al analizar el diagrama de barras, se puede
afirmar que:
a) La mayoría de las familias encuestadas tiene
4 o más hijos.
b) El 70% de las familias tiene 2 o más hijos.
c) El 50% de las familias tiene 2 o menos hijos.
d) 30 familias tienen 2 hijos.
15. Dentro de una bolsa guardadas 48 canicas de
colores verde, azul y rojo. La probabilidad de
sacar una canica verde de la bolsa es de
,
¿Cuántas canicas verdes hay
dentro de la bolsa?
a) 1
b) 6
c) 8
18. Si x representa el consumo mensual en
metros cúbicos, la expresión que representa el
costo mensual para consumos menores de 40
metros cúbicos es:
d) 16
a) 500x
b) 22.000x
Responde las preguntas 16 y 17 de acuerdo con la
siguiente información.
46
c) 22.000 + x
d) 22.000 + 500x
19. Si un usuario pagó 37.000 pesos por el
consumo mensual, el número de metros cúbicos
que consumió en dicho mes está entre:
a) 0 y 20
b) 20 y 4
c) 40 y 50
22. La menor cantidad de agua se sacó el día:
a) Lunes
b) Martes
c) Miércoles
d) En los tres días se extrajo la misma cantidad
de agua.
d) 50 y 60
Responde las preguntas 20 y 21 de acuerdo con la
siguiente información:
23. ¿Qué cantidad de agua queda disponible para
el día jueves?:
a) 100 litros
c) 175 litros
b) 168 litros
d) 232 litros
Sigue estrictamente el orden de las operaciones
indicadas y verás que siempre llegas al mismo
resultado.
Responde las preguntas 24 a 26 de acuerdo con la
siguiente información
En Colombia hay 2,5 millones de niños trabajadores.
Se considera que en Bogotá, una cuarta parte de los
niños es población económicamente activa
(trabajadores) y de éstos, uno de cada tres está
obligado a trabajar.
24. En Colombia hay aproximadamente 40
millones de habitantes. Los niños trabajadores
representan aproximadamente:
a) El 25% de los habitantes de Colombia
b) Entre el 2,5% y 4% de los habitantes de
Colombia.
c) El 6,2% de los habitantes de Colombia.
d) Entre el 1% y 3% de los habitantes de
Colombia.
20. Los números que al ubicarse en el lado 2 NO
cumplen con la condición requerida para que el
resultado final sea 24 son, respectivamente:
a) 4 y 2
b) 16 y 8
c) 22 y 16
25. Si en Bogotá hay aproximadamente 450.000
niños trabajadores, el número aproximado de
niños que viven en Bogotá es:
a) 150.000
b) 300.000
c) 1.350.000
d) 1.800.000
d) 26 y 13
21. Los números que aparecen dentro de los
círculos del lado 1, pertenecen al conjunto de los
números:
a) Impares
b) Primos
c) Pares
d) Enteros negativos
26. De un grupo de 300 niños trabajadores que
vive en Bogotá, el número de niños obligados a
trabajar es de:
a) 75
b) 100
c) 200
d) 225
Responde las preguntas 22 y 23 de acuerdo con la
siguiente información:
De un tanque lleno de agua, con capacidad de 400
litros, se extrae
de agua el día lunes,
del agua restante el día Martes y
que queda en el tanque el día
Miércoles.
del
agua
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