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ÁLGEBRA
habilidades aritméticas para dividir 1.39
Para mucha gente álgebra parece extraño.
Así que esto que acabamos de hacer es
Casi siempre usa letras como a, b, c en
álgebra.
entre 3 y luego multiplicarlo por 12.
lugar de números.
Ahora veamos un problema que usa letras
Lo que esta gente no se da cuenta es que
en lugar de números.
esas letras simplemente representan
cantidades desconocidas.
Esas cantidades desconocidas pueden ser
edades de gente, cuanto tiempo se tarda
alguien en terminar un trabajo, o
cualquier otro numero.
Álgebra no es
Si
b = 10 y
es
7a 2 + 5b2
1)
2)
3)
4)
5)
100
250
500
1000
5000
Si eligió
realmente tan extraño como parece.
a = 0 evalúe cuanto
3 como la correcta,
usted sustituyo correctamente en la
Usted puede alegrarse de que el siguiente
ecuación. Este problema es simplemente
problema es un problema de álgebra:
uno de sustituir;
usted sustituye el
numero por una letra y luego usa
SI 3 PANES DE CANELA CUESTAN
aritmética
Q1.39, CUAL ES EL VALOR DE UNA
respuesta.
básica
para
encontrar
la
Si alguien le hubiera preguntado
DOCENA?
hace unos momentos si conoce álgebra lo
1) 4.17
mas seguro es que le habría contestado
2) 4.46
que no;
3) 5.26
correctamente en el problema anterior
4) 5.46
podemos decir que ya tiene una idea de lo
5) 5.56
que se trata.
Si eligió 5 como la respuesta correcta
usted
probablemente
utilizó
sus
pero si usted sustituyó
Aquí tiene otro problema de
álgebra que usa letras para representar
una cantidad desconocida.
Álgebra
a (a + b) = a² + ab
S equivale a la edad de Sergio.
padre,
Su
(el de Sergio) tiene 7 años más
Introducción No. 2
que la edad de Sergio multiplicada por 3.
Cual
de
las
siguientes
expresiones
representa la edad del padre de Sergio?
1) 3s
No hay nada misterioso acerca del
álgebra. Es simplemente otra forma de
2) 3s + 7
manejar las herramientas matemáticas.
3) 3 (s + 7)
4) S + 7
3
La belleza del álgebra es que le proveerá
5) 3S – 7
de una forma rápida y fácil de resolver
problemas
que
lo
dejaron
mudo
Se fijo que este problema ni siguiera le
requiere sumar, restar, multiplicar o
anteriormente.
Le proveerá también de
dividir?
una nueva forma de ver los números.
Todo lo que debe usar es la lógica.
Eligió usted el número 2?
Si usted lo
hizo entonces comprende lo básico de las
Hace 50 años estudiar álgebra no era tan
expresiones algebraicas.
importante como ahora, en estos tiempos
Utilizando el sentido común, lógica y sus
modernos el álgebra tiene aplicaciones
nuevas habilidades de álgebra usted estará
en capacidad de resolver problemas que
diversas en la ingeniería,
quizá nunca se imaginó.
arquitectura,
estadística,
economía,
exploración
espacial y todas las ciencias físicas.
Aunque el álgebra no es realmente difícil
de aprender si requiere que usted tenga
la voluntad de aprenderla.
Nuevas
palabras y métodos vienen a su léxico.
Para mucha gente el álgebra parece
extraña.
Muy a menudo utiliza letras
como a,
s,
b,
y
otras en lugar de
Recuerde que álgebra utiliza letras para
números. Lo que muchas veces no nos
identificar cantidades que no conocemos.
damos
cuenta
representan
es
que
cantidades
estas
letras
desconocidas.
Ejemplo:
Esas cantidades desconocidas pueden ser
La suma de cinco veces un número y dos
edades, distancias o cualquier cantidad
veces el mismo número es igual a siete
imaginable, el álgebra no es tan extraña
veces ese mismo número.
como parece.
Todo eso se puede reducir a unas cuantas
Usted ya ha trabajado ciertas técnicas
simples letras. Representemos el número
algebraicas en las lecciones anteriores si
del que estamos hablando pero que no
eso le pone mas tranquilo.
sabemos exactamente su cantidad con la
letra n.
Para este ejemplo que viene primero
En álgebra, un numero o letra al lado de
realice la operación y después lea la
otro sin ningún signo en medio de ellos
explicación de la respuesta.
significa que debe multiplicarse.
Ejemplo:
5n + 2n = 7n
Ve como cambia la situación?
Si 3 panecillos de canela cuestan
correctamente en la ecuación. Este es un
Q1.39, cual es el costo de una
simple problema de sustituir,
docena de esos panecillos?
sustituye las letras por los números y
Respuestas:
usted
luego realiza una operación aritmética.
1) 4.17
2) 4.46
4) 5.46
5) 5.56
3) 5.26
Si alguien le hubiera preguntado ayer si
Si usted escogió la
respuesta
(5)
sabe álgebra seguramente hubiera dicho
probablemente utilizó sus conocimientos
“ni soñar”, pero si este problema pudo
matemáticos para primero dividir 1.39
ser resuelto por usted de por hecho que
entre 3
ya tiene la idea de lo que álgebra es.
y descubrir el costo de cada
panecillo, luego multiplicó esa cantidad
por doce y así consiguió la respuesta
He aquí otro ejemplo más antes de
correcta.
ingresar de lleno a las lecciones:
S es la edad de Sergio.
Su padre es 7
Veamos otro ejemplo usando la siguiente
años más viejo que tres veces la edad de
formula:
a = 0.
Sergio.
trate de resolver
expresiones representa la edad del padre
b = 10 y
Usando esa formula
Cual
esta suma:
de Sergio?
7a² + 5b² =
1) 3S
Respuestas:
4) (S + 7) 3
1) 100
2) 250
4) 1,000
5) 5,000
Si
entonces
2) 3S + 7
siguientes
3) 3 (S + )
5) 3S –7
3) 500
Ya se fijó que este problema no requiere
usted escogió 3 como la respuesta
correcta
de las
sustituyó
que usted sume o reste?
Todo lo que
tiene que usar es la lógica. Si usted
escogió
2) como la respuesta correcta
entonces realmente
LECCIÓN 43
va por el camino
EXPRESIONES NUMÉRICAS
adecuado del álgebra.
Posiblemente
Está usted ingresando ahora al
usted ni pensó que el álgebra es así de
fácil.
Un estudio completo de álgebra tomaría
mucho mas espacio que las pocas
paginas de este libro, de todas formas
mundo del álgebra. Lo pone nervioso?
No lo este. Cualquiera que sabe álgebra
aprendió esto paso a paso.
también lo hará.
Antes
este texto le enseña lo suficiente como
para aprender lo básico del álgebra que
permitirá avanzar en su estudio ya sea
en la universidad o en otro lado.
Usted
de
usar
álgebra
para
resolver problemas necesita aprender las
reglas del juego.
Esta lección trata
acerca de esas reglas.
Que es una expresión:
Los
números
pueden
ser
combinados en muchas y diferentes
formas. Se pueden escribir con signos
positivos y negativos, paréntesis, signos
de
suma,
resta,
multiplicación,
división y exponentes. En matemáticas
estas combinaciones de números
signos
se
numéricas.
Definición:
les
llama
y
expresiones
Un grupo de números combinados
signo (+ , - ó ÷) puede dejarse fuera
con signos de operación, (suma, resta,
como
multiplicación y división)
con
multiplicación puede ser reemplazado
Una expresión numérica
por el paréntesis. En esta expresión 2(3
exponentes.
o
este,
solo
puede contener también paréntesis.
+ 4) es lo mismo que
Ejemplo:
2 X (3 + 4).
el
signo
de
Analice esta expresión:
5² - 2 (3 + 4)
Orden de operaciones
Hay muchas cosas acerca de esta
Cuando usted tiene muchos números con
expresión.
signos de sumar y restar,
El numero 5 ha sido elevado
multiplicar,
al cuadrado. El 3 se debe sumar al 4.
dividir, paréntesis y exponentes debe
Incluso hay otro número que debe
haber cierto orden para hacer los
restarse.
cálculos.
Ya localizó que el 2 está fuera
pero al lado del paréntesis?
método
muy
multiplicaciones
peculiar
que
de
de
Este es un
usted debe hacer mas de una operación.
escribir
Por eso debe hacer las operaciones en
ahora
adelante verá muy a menudo.
en
Usted
puede usar los paréntesis y dejar fuera el
signo de multiplicación
En la mayoría de operaciones de álgebra
Esto quiere
decir que cuando vea un número escrito
cierto orden.
Cual operación hacer
primero?
Primer Paso:
Realice
las
en
paréntesis.
al lado de un set de paréntesis debe
Segundo Paso:
multiplicar ese número por lo que sea que
Realice
esté en el paréntesis.
exponentes.
Ningún otro
operaciones
las
operaciones
con
Cuando
Tercer Paso:
usted
simplifica
Multiplique y divida de izquierda
expresión, usted encuentra el resultado
a derecha de la misma forma
después de hacer las operaciones.
como lee la expresión.
otras palabras,
Sume y reste de izquierda a
simplificar es efectuar
hasta que no pueda hacerlo más.
derecha.
Para simplificar 5² - 2 (3 + 4)
Hay unas letras que le ayudarán a
Utilice la regla PEMDSR
recordarse de lo que debe hacer:
Primer Paso:
Paréntesis
Paréntesis: (3 + 4)
Exponentes
Piense 3 + 4 = 7
Multiplicar
Escriba
5² - 2 (7)
Dividir
Sumar
Segundo paso:
Restar
Exponentes: 5²
PEMDSR
Esto se llama acrónimo, tenga en cuenta
acrónimo
para
operaciones matemáticas.
resolver
Piense:
5² = 25
Escriba:
25 - 2(7)
las
Tercer paso:
Multiplique y divida
Ejemplo:
En
las operaciones para hallar el resultado,
Cuarto Paso:
este
una
Piense:
2(7) = 14
Escriba:
25 – 14
Cuarto paso:
Sume y reste
-18 + 8
Piense:
25 – 14 = 11
Escriba:
11
Cuarto Paso: Sume.
Resultado:
- 10
Si no tomó estos pasos exactamente en
orden debe repetir el ejercicio.
Hágalo usted:
Simplifique la expresión: 6(8 - 11) + 2³
Para el ejercicio siguiente utilice la regla
Escriba cada operación paso a
paso. No trate de ir más de un paso a la
P E M D S R, escriba cada una de las
operaciones.
vez.
Ejercicio 1
6 (8 - 11) + 2³
Primer paso:
Paréntesis:
6(-3) + 2³
1)
(13 –7) + 2²
2)
-5 + 17
Recuerde que si a 8 le quita 11 no
3) 6² - 7(3 – 4)
se puede, por lo tanto el resultado
4) 3 + 14 - 5(6) + 7
es un número negativo.
–3
5) 4° - 2(6 – 2)
Si
tiene dudas puede ir a la lección
Respuestas:
26
1)
Respuesta: 14
P
Piense
13 – 7 = 6
Escriba
(6) + 2²
2³ = 8
6 + 8
6 + 8 = 14
14
para revisar la lección de
números positivos y negativos.
Segundo paso:
Exponentes: 6(-3) + 2³
6(-3) + 8
Tercer Paso:
Multiplique 6(-3) + 8
E
M
D
S
R
2) Respuesta: 12
Piense
P
E
M
D
S
R
Para los siguientes ejercicios las
Escriba
respuestas no estarán tan explicadas
como
esta
pero
usted
se
irá
acostumbrando y haciendo la mayoría de
-5 + 17 = 12
12
3) Respuesta: 43
Piense
3 – 4 = -1
6² = 36
7 x –1 = -7
P
E
M
D
S
R 36 – (-7) = 43
las operaciones de manera mental.
EJERCICIO 1A
Escriba
6² - 7(-1)
36 - 7(-1)
36 - -7
1) Simplifique la expresión:
8 + (5 –2)2
a) 9
43
4) Respuesta: -6
b) 17
c) 121
2) Cual de los siguientes NO es un
paso para simplificar
72 – 4(18 – 6) + 9?
P
E
M
D
S
R
a) 49 – 4(18 – 6) + 9
5 (6) = 30
b) 1 + 9 (3) 49 – 48 + 9
3 + 14 - 30 + 7
3 + 14 = 17 – 30 = -13
-13 + 7 = -6
c) 49 – 4(12) + 9
d) 45(12) + 9
5) Respuesta: -7
P
E
M
D
S
R
6–2=4
4° = 1
2x4=8
1 – 8 = -7
Respuestas:
1) 2
2) 1
EJERCICIO 1B
Leyes para simplificar expresiones
1) Cual es el valor de
numéricas:
32 – 28 + 41 – 19 + 56?
Hay tres leyes que hacen fácil el trabajo
1) 25
2) 47
4) 82
5) 106
3) 63
de simplificar expresiones. Si las conoce
y las aplica adecuadamente no será muy
difícil hacer su trabajo.
2) Cual es el valor de
93 – (48 + 23) + (47 – 25)
1) 23
2) 44
4) 90
5) 106
Ley Conmutativa:
3) 67
Otros la llaman la Ley del Orden,
esta ley dice que usted puede cambiar el
orden de los números en una suma o
3) Cual es el valor de
multiplicación
62 - (25 – 23 ) + (16 ÷ 4)?
misma respuesta.
(1) 23
(2) 35
(4) 56
(5) 64
(3) 48
y todavía obtener la
Ejemplo:
2+3=5
3+2=5
RESPUESTAS:
1) 4
[82]
2) 2
[44}
3) 1
[23]
Ambas respuestas dan 5 no importa cual
cidra va primero o después.
Usted puede conmutar (cambiar)
el
orden
de
cualquier
suma
o
multiplicación sin cambiar nunca el
resultado pero no puede hacerlo jamás
con restas o divisiones.
3 –5
no es lo mismo que 5 - 3 al
igual que
que
Ley Asociativa:
3 ÷ 5 tampoco es lo mismo
5 ÷ 3.
Pruebe a efectuar las
Otros llaman a esta ley la ley de
agrupamiento.
Esta ley dice que si
operaciones y vera que el resultado es
usted está sumando tres o mas números o
distinto.
multiplicando tres o más números usted
puede agrupar los números en diferentes
Hágalo usted:
formas y aun obtener la misma respuesta.
Cual de estas tres cifras demuestra la
Ejemplo:
orden conmutativa?
(4 + 5) + 3
1) 3 + 4 = 4 + 3
(5 + 3 ) + 4
2) 6 + 5 = 11
Si se fija bien verá que no importa de que
3) 0 (5) = 5 (0)
manera se ordenen los números la
Si eligió 1 y 3 está en lo correcto.
respuesta siempre será la misma.
Lo
mismo pasa con la multiplicación.
Ahora llene usted mismo los espacios en
Ejemplo:
blanco usando la ley conmutativa.
(4 x 5) x 3
8+9
_________ + __________
Si realiza ambas operaciones verá que el
(6 + 7) __(____________)5
resultado siempre es 12 y no importa
5
=
(5 x 3) x 4
Si lleno
9 + 8 y (6 + 7)5 hizo lo
como agrupe lo números, siempre será lo
correcto,
me alega porque va en el
mismo.
camino adecuado. El álgebra es hermosa
Hágalo usted:
cuando comenzamos a entenderla.
Cual
de
las
siguientes
expresiones
demuestra la ley de agrupación?
1)
7 + (5 +2) =
2) 8 x (6 x 3)
(7 + 5) + 2
Si comprendió exactamente el significado
= (3 x 6)
de esta ley debió escoger únicamente la
Si respondió afirmativamente a ambas
expresiones
vamos
por
el
tercera opción.
camino
correcto.
Ejercicio 1C
Ley Distributiva:
Si la afirmación es verdadera escriba V y
Esta
ley
dice
que
si
usted
está
si no lo es escriba F.
multiplicando un número por la suma de
dos
o
más
números
usted
puede
1) 27(4 + 16)
= 27(4) + 27(16)
multiplicar el primer número por cada
_________________________________
uno de los otros y luego sumar para
2)
obtener la respuesta.
________________________________
Ejemplo:
3) 6 + (87 x (-2)) = (6 + 87) + (-2)
2(3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4
_________________________________
Hágalo usted:
4)
Cual
de
las
siguientes
expresiones
4 ÷ 98
4(36) – 3(36)
=
98 ÷ 4
= 3(36) – 4(36)
_________________________________
demuestra la ley distributiva?
5) -17 + (4 x 5) = (4 x 5) + (-17)
1) 3 + 4
_________________________________
= 4+3
Respuestas:
2) 6 x (4 x 7)
=
(6 + 4) x 7
3) 9 (1 + 7) = 9(1) + 9( 7)
1.
V
2.
F
3.
V
4.
F
5.
V
Ejercicio 1D
Una secretaria de medio tiempo trabaja 2
1) Cual de las siguientes expresiones es
días una semana y 4 días la otra. Cada
igual a: 89 * 3 + 89 * 7?
día ella ganó Q50.00
(1) 3 + 89 x 7
expresión que muestre cuanto ganó en las
(2) 89(3 + 7)
Escriba una
(3) 7 * (89 + 3)
dos semanas.
2) Cual de las siguientes expresiones
In la sección de aritmética de este
equivale a: 3 + (4 + 9)
programa usted trabajo con cientos de
(1) (3 + 4) + 9
problemas de este tipo. Posiblemente ya
(2) 3 (4) + 3 (9)
calculó en su mente que la secretaria
(3) 3 * (4 + 3 (9)
ganó Q300.00.
En esta sección de
álgebra no se le está preguntando cuanto
RSPUESTAS:
ganó sino se le está pidiendo que escriba
1) 2
una expresión algebraica que muestre
2) 1
como encontrar la respuesta.
Si se recuerda de la lección 1 verá que
los pasos para resolver un problema son
Escribiendo Expresiones Numéricas
los siguientes:
Algunas veces usted tiene que escribir
1) Leer cuidadosamente.
expresiones numéricas para situaciones
2) Decidir que tiene que encontrar
prácticas.
3) Decidir que operaciones usar
4) Escribir la operación
Ejemplo:
5) Computar la respuesta
6) Chequear la respuesta
7) Analizar si la respuesta tiene
sentido.
sumado al costo de la novela rustica
+ 2.95.
La expresión inicialmente
En álgebra usted solo tiene que llegar
quedaría así: 2 (2.29) + 2.95.
hasta el paso 4. La secretaria trabajó 2
Para mostrar cuanto pagó Alicia debió
+ 4 días y ganó Q50.00 por cada día. La
haber hecho lo siguiente:
expresión que muestra cuanto ganó puede
2 (2.29) + 2.95.
ser la siguiente:
2
50(2 + 4)
Esto es el total de arriba dividido por el
denominador.
Hágalo Usted:
Otra forma puede ser esta:
Escriba una expresión matemática para
2 (2.29) + 2.95 ÷ 2
esta situación:
En una tienda de descuentos Alicia y su
hermana compraron
2 botellas de
shampoo a Q2.29 cada una y una novela
Ejercicio 2
rustica en Q2.95. Ellas se dividieron el
Escriba
costo de los dos artículos. Escriba una
situación:
expresión que muestre cuanto pagó Alicia
una
expresión
par
cada
1) El precio de un bote de dulces si
en quetzales y centavos.
tres de los mismos botes cuestan
Si comenzó por mostrar el total del costo
Q0.98 juntos.
de los artículos, empezó bien. El costo
2) El costo de 3 fotocopiados de 15
de las dos botellas de shampoo puede ser
páginas cada uno cuando cada
mostrado así 2(2.29 )
copia individual cuesta Q0.10
Esto debe ser
3) El promedio mensual de gastos de
energía eléctrica si la cantidad
expresiones muestra la cantidad de
dinero que ella gastó?
(1) 3 (Q1.50) + Q0.20
anual de kilovatios hora es de 4,
632 y el costo es Q0.62 por
(2) Q1.50
3
RESPUESTAS:
kilovatio hora.
1) 3
Respuestas:
2) 1
1) 0.98
3
2) 0.10(3)(15)
ó 0.10 (3 x 15)
3) 4, 632 x 0.062
12
EJERCICIO 2A
1)
Cuatro estudiantes de la clase de
álgebra obtuvieron como nota final
punteos de 90, 85, 80 y 75. ¿Qué
expresión puede demostrar su promedio
total?
(1)
4
.
90 + 85 + 80 + 75
(2) 4 (90 + 85 + 80 + 75)
(3) 90 + 85 + 80 + 75
4
2)
Jennifer compró 3 aguacates por
Q0.50
cada uno y una manzana por
Q0.20.
¿Cuál de las siguientes