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ÁLGEBRA
habilidades aritméticas para dividir 1.39
Para mucha gente álgebra parece extraño.
Así que esto que acabamos de hacer es
Casi siempre usa letras como a, b, c en
álgebra.
entre 3 y luego multiplicarlo por 12.
lugar de números.
Ahora veamos un problema que usa letras
Lo que esta gente no se da cuenta es que
en lugar de números.
esas letras simplemente representan
cantidades desconocidas.
Esas cantidades desconocidas pueden ser
edades de gente, cuanto tiempo se tarda
alguien en terminar un trabajo, o
cualquier otro numero.
Álgebra no es
Si
b = 10 y
es
7a 2 + 5b2
1)
2)
3)
4)
5)
a = 0 evalúe cuanto
100
250
500
1000
5000
Si eligió
realmente tan extraño como parece.
3 como la correcta,
usted sustituyo correctamente en la
Usted puede alegrarse de que el siguiente
ecuación. Este problema es simplemente
problema es un problema de álgebra:
uno de sustituir;
usted sustituye el
numero por una letra y luego usa
SI 3 PANES DE CANELA CUESTAN
aritmética
Q1.39, CUAL ES EL VALOR DE UNA
respuesta.
básica
para
encontrar
la
Si alguien le hubiera preguntado
DOCENA?
hace unos momentos si conoce álgebra lo
1) 4.17
mas seguro es que le habría contestado
2) 4.46
que no;
3) 5.26
correctamente en el problema anterior
4) 5.46
podemos decir que ya tiene una idea de lo
5) 5.56
que se trata.
Si eligió 5 como la respuesta correcta
usted
probablemente
utilizó
sus
pero si usted sustituyó
Aquí tiene otro problema de
álgebra que usa letras para representar
una cantidad desconocida.
Álgebra
a (a + b) = a² + ab
S equivale a la edad de Sergio.
padre,
Su
(el de Sergio) tiene 7 años más
que la edad de Sergio multiplicada por 3.
Cual
de
las
siguientes
Introducción No. 2
expresiones
representa la edad del padre de Sergio?
1) 3s
No hay nada misterioso acerca del
álgebra. Es simplemente otra forma de
2) 3s + 7
manejar las herramientas matemáticas.
3) 3 (s + 7)
4) S + 7
3
La belleza del álgebra es que le proveerá
5) 3S – 7
de una forma rápida y fácil de resolver
Se fijo que este problema ni siguiera le
problemas
que
lo
dejaron
mudo
requiere sumar, restar, multiplicar o
anteriormente.
Le proveerá también de
dividir?
una nueva forma de ver los números.
Todo lo que debe usar es la lógica.
Eligió usted el número 2?
Si usted lo
hizo entonces comprende lo básico de las
Hace 50 años estudiar álgebra no era tan
expresiones algebraicas.
importante como ahora, en estos tiempos
Utilizando el sentido común, lógica y sus
nuevas habilidades de álgebra usted estará
modernos el álgebra tiene aplicaciones
en capacidad de resolver problemas que
diversas en la ingeniería,
quizá nunca se imaginó.
arquitectura,
estadística,
economía,
exploración
espacial y todas las ciencias físicas.
Aunque el álgebra no es realmente difícil
de aprender si requiere que usted tenga
la voluntad de aprenderla.
Nuevas
palabras y métodos vienen a su léxico.
Para mucha gente el álgebra parece
extraña.
Muy a menudo utiliza letras
como a, s, b, y otras en lugar de
Recuerde que álgebra utiliza letras para
números. Lo que muchas veces no nos
identificar cantidades que no conocemos.
damos
cuenta
representan
es
que
cantidades
estas
letras
desconocidas.
Ejemplo:
Esas cantidades desconocidas pueden ser
La suma de cinco veces un número y dos
edades, distancias o cualquier cantidad
veces el mismo número es igual a siete
imaginable, el álgebra no es tan extraña
veces ese mismo número.
como parece.
Todo eso se puede reducir a unas cuantas
Usted ya ha trabajado ciertas técnicas
simples letras. Representemos el número
algebraicas en las lecciones anteriores si
del que estamos hablando pero que no
eso le pone mas tranquilo.
sabemos exactamente su cantidad con la
letra n.
Para este ejemplo que viene primero
En álgebra, un numero o letra al lado de
realice la operación y después lea la
otro sin ningún signo en medio de ellos
explicación de la respuesta.
significa que debe multiplicarse.
Ejemplo:
5n + 2n = 7n
Ve como cambia la situación?
Si 3 panecillos de canela cuestan
correctamente en la ecuación. Este es un
Q1.39, cual es el costo de una
simple problema de sustituir,
docena de esos panecillos?
sustituye las letras por los números y
Respuestas:
usted
luego realiza una operación aritmética.
1) 4.17
2) 4.46
4) 5.46
5) 5.56
3) 5.26
Si alguien le hubiera preguntado ayer si
Si usted escogió la
respuesta
(5)
sabe álgebra seguramente hubiera dicho
probablemente utilizó sus conocimientos
“ni soñar”, pero si este problema pudo
matemáticos para primero dividir 1.39
ser resuelto por usted de por hecho que
entre 3
ya tiene la idea de lo que álgebra es.
y descubrir el costo de cada
panecillo, luego multiplicó esa cantidad
por doce y así consiguió la respuesta
He aquí otro ejemplo más antes de
correcta.
ingresar de lleno a las lecciones:
S es la edad de Sergio.
Su padre es 7
Veamos otro ejemplo usando la siguiente
años más viejo que tres veces la edad de
formula:
Sergio.
b = 10 y a = 0.
Usando esa formula
trate de resolver
Cual de las siguientes
expresiones representa la edad del padre
esta suma:
de Sergio?
7a² + 5b² =
1) 3S
Respuestas:
4) (S + 7) 3
1) 100
2) 250
4) 1,000
5) 5,000
Si
entonces
3) 3 (S + )
5) 3S –7
3) 500
Ya se fijó que este problema no requiere
usted escogió 3 como la respuesta
correcta
2) 3S + 7
sustituyó
que usted sume o reste?
Todo lo que
tiene que usar es la lógica. Si usted
escogió
2) como la respuesta correcta
entonces realmente
LECCIÓN 43
va por el camino
adecuado del álgebra.
Posiblemente
EXPRESIONES NUMÉRICAS
Está usted ingresando ahora al
usted ni pensó que el álgebra es así de
fácil.
Un estudio completo de álgebra tomaría
mucho mas espacio que las pocas
paginas de este libro, de todas formas
mundo del álgebra. Lo pone nervioso?
No lo este. Cualquiera que sabe álgebra
aprendió esto paso a paso.
también lo hará.
Antes de usar álgebra para
este texto le enseña lo suficiente como
para aprender lo básico del álgebra que
permitirá avanzar en su estudio ya sea
en la universidad o en otro lado.
Usted
resolver problemas necesita aprender las
reglas del juego.
Esta lección trata
acerca de esas reglas.
Que es una expresión:
Los
números
pueden
ser
combinados en muchas y diferentes
formas. Se pueden escribir con signos
positivos y negativos, paréntesis, signos
de
suma,
resta,
multiplicación,
división y exponentes. En matemáticas
estas combinaciones de números
signos
se
numéricas.
Definición:
les
llama
y
expresiones
Un grupo de números combinados
signo (+ , - ó ÷) puede dejarse fuera
con signos de operación, (suma, resta,
como
multiplicación y división)
con
multiplicación puede ser reemplazado
Una expresión numérica
por el paréntesis. En esta expresión 2(3
exponentes.
o
este,
solo
puede contener también paréntesis.
+ 4) es lo mismo que
Ejemplo:
2 X (3 + 4).
el
signo
de
Analice esta expresión:
5² - 2 (3 + 4)
Orden de operaciones
Hay muchas cosas acerca de esta
Cuando usted tiene muchos números con
expresión.
signos de sumar y restar,
El numero 5 ha sido elevado
multiplicar,
al cuadrado. El 3 se debe sumar al 4.
dividir, paréntesis y exponentes debe
Incluso hay otro número que debe
haber cierto orden para hacer los
restarse.
cálculos.
Ya localizó que el 2 está fuera
pero al lado del paréntesis?
método
muy
multiplicaciones
peculiar
que
de
de
Este es un
usted debe hacer mas de una operación.
escribir
Por eso debe hacer las operaciones en
ahora
adelante verá muy a menudo.
en
Usted
puede usar los paréntesis y dejar fuera el
signo de multiplicación
En la mayoría de operaciones de álgebra
Esto quiere
decir que cuando vea un número escrito
cierto orden.
Cual operación hacer
primero?
Primer Paso:
Realice
las
en
paréntesis.
al lado de un set de paréntesis debe
Segundo Paso:
multiplicar ese número por lo que sea
Realice
que esté en el paréntesis.
exponentes.
Ningún otro
operaciones
las
operaciones
con
Tercer Paso:
Cuando
usted
simplifica
Multiplique y divida de izquierda
expresión, usted encuentra el resultado
a derecha de la misma forma
después de hacer las operaciones.
como lee la expresión.
otras palabras,
Cuarto Paso:
simplificar es efectuar
hasta que no pueda hacerlo más.
derecha.
Para simplificar 5² - 2 (3 + 4)
Hay unas letras que le ayudarán a
Utilice la regla PEMDSR
recordarse de lo que debe hacer:
Primer Paso:
Paréntesis
Paréntesis: (3 + 4)
Exponentes
Piense 3 + 4 = 7
Multiplicar
Escriba
5² - 2 (7)
Dividir
Sumar
Segundo paso:
Restar
PEMDSR
Esto se llama acrónimo, tenga en cuenta
acrónimo
para
operaciones matemáticas.
resolver
Exponentes:
5²
Piense:
5² = 25
Escriba:
25 - 2(7)
las
Tercer paso:
Multiplique y divida
Ejemplo:
En
las operaciones para hallar el resultado,
Sume y reste de izquierda a
este
una
Piense:
2(7) = 14
Escriba:
25 – 14
Cuarto paso:
Sume y reste
Multiplique 6(-3) + 8
Piense:
25 – 14 = 11
Escriba:
11
-18 + 8
Cuarto Paso: Sume.
Resultado:
Hágalo usted:
Simplifique la expresión: 6(8 - 11) + 2³
- 10
Si no tomó estos pasos exactamente en
orden debe repetir el ejercicio.
Escriba cada operación paso a
paso. No trate de ir más de un paso a la
Para el ejercicio siguiente utilice la regla
P E M D S R, escriba cada una de las
vez.
operaciones.
6 (8 - 11) + 2³
Ejercicio 1
Primer paso:
1)
(13 –7) + 2²
Recuerde que si a 8 le quita 11
2)
-5 + 17
no se puede,
3) 6² - 7(3 – 4)
Paréntesis:
6(-3) + 2³
por lo tanto el
resultado es un número negativo.
4) 3 + 14 - 5(6) + 7
–3 Si tiene dudas puede ir a la
5) 4° - 2(6 – 2)
lección
26
para revisar la
lección de números positivos y
negativos.
Segundo paso:
Exponentes: 6(-3) + 2³
6(-3) + 8
Tercer Paso:
Respuestas:
1)
Respuesta: 14
P
Piense
13 – 7 = 6
Escriba
(6) + 2²
2³ = 8
6 + 8
6 + 8 = 14
14
E
M
D
S
R
Para los siguientes ejercicios las
2) Respuesta: 12
Piense
P
E
M
D
S
R
respuestas no estarán tan explicadas
Escriba
como
esta
pero
usted
se
irá
acostumbrando y haciendo la mayoría de
las operaciones de manera mental.
-5 + 17 = 12
12
EJERCICIO 1A
3) Respuesta: 43
Piense
P
E
M
D
S
R
3 – 4 = -1
6² = 36
7 x –1 = -7
1) Simplifique la expresión:
Escriba
6² - 7(-1)
36 - 7(-1)
36 - -7
8 + (5 –2)2
a) 9
b) 17
c) 121
2) Cual de los siguientes NO es un
36 – (-7) = 43
43
paso para simplificar
72 – 4(18 – 6) + 9?
4) Respuesta: -6
a) 49 – 4(18 – 6) + 9
P
E
M
D
S
R
b) 1 + 9 (3) 49 – 48 + 9
5 (6) = 30
c) 49 – 4(12) + 9
3 + 14 - 30 + 7
3 + 14 = 17 – 30 = -13
-13 + 7 = -6
d) 45(12) + 9
Respuestas:
5) Respuesta: -7
P
E
M
D
S
R
6–2=4
4° = 1
2x4=8
1 – 8 = -7
1) 2
2) 1
EJERCICIO 1B
Leyes para simplificar expresiones
1) Cual es el valor de
numéricas:
32 – 28 + 41 – 19 + 56?
Hay tres leyes que hacen fácil el trabajo
1) 25
2) 47
4) 82
5) 106
3) 63
de simplificar expresiones. Si las conoce
y las aplica adecuadamente no será muy
difícil hacer su trabajo.
2) Cual es el valor de
93 – (48 + 23) + (47 – 25)
1) 23
2) 44
4) 90
5) 106
Ley Conmutativa:
3) 67
Otros la llaman la Ley del Orden,
esta ley dice que usted puede cambiar el
orden de los números en una suma o
3) Cual es el valor de
multiplicación
62 - (25 – 23 ) + (16 ÷ 4)?
misma respuesta.
(1) 23
(2) 35
(4) 56
(5) 64
(3) 48
y todavía obtener la
Ejemplo:
2+3=5
3+2=5
RESPUESTAS:
1) 4
[82]
2) 2
[44}
3) 1
[23]
Ambas respuestas dan 5 no importa cual
cidra va primero o después.
Usted puede conmutar (cambiar)
el
orden
de
cualquier
suma
o
multiplicación sin cambiar nunca el
resultado pero no puede hacerlo jamás
con restas o divisiones.
3 –5
no es lo mismo que 5 - 3 al
igual que
que
3 ÷ 5 tampoco es lo mismo
5 ÷ 3.
Pruebe a efectuar las
Ley Asociativa:
Otros llaman a esta ley la ley de
operaciones y vera que el resultado es
agrupamiento.
Esta ley dice que si
distinto.
usted está sumando tres o mas números
o multiplicando tres o más números usted
Hágalo usted:
puede agrupar los números en diferentes
Cual de estas tres cifras demuestra la
formas y aun obtener la misma respuesta.
orden conmutativa?
Ejemplo:
1) 3 + 4 = 4 + 3
(4 + 5) + 3
2) 6 + 5 = 11
(5 + 3 ) + 4
3) 0 (5) = 5 (0)
Si se fija bien verá que no importa de que
Si eligió 1 y 3 está en lo correcto.
manera se ordenen los números la
respuesta siempre será la misma.
Lo
Ahora llene usted mismo los espacios en
mismo pasa con la multiplicación.
blanco usando la ley conmutativa.
Ejemplo:
8+9
_________ + __________
(4 x 5) x 3
(6 + 7) __(____________)5
Si realiza ambas operaciones verá que el
5
=
(5 x 3) x 4
Si lleno
9 + 8 y (6 + 7)5 hizo lo
resultado siempre es 12 y no importa
correcto,
me alega porque va en el
como agrupe lo números, siempre será
camino adecuado.
hermosa
entenderla.
cuando
El álgebra es
comenzamos
a
lo mismo.
Hágalo usted:
Cual
de
las
siguientes
expresiones
Si comprendió exactamente el significado
demuestra la ley de agrupación?
de esta ley debió escoger únicamente la
1)
7 + (5 +2)
tercera opción.
2)
8 x (6 x 3)
=
(7 + 5) + 2
= (3 x 6)
Si respondió afirmativamente a ambas
Ejercicio 1C
expresiones
Si la afirmación es verdadera escriba V y
vamos
por
el
camino
correcto.
si no lo es escriba F.
Ley Distributiva:
Esta
ley
dice
que
si
usted
está
1) 27(4 + 16)
= 27(4) + 27(16)
multiplicando un número por la suma de
_________________________________
dos
2)
o
más
números
usted
puede
4 ÷ 98
=
98 ÷ 4
multiplicar el primer número por cada
________________________________
uno de los otros y luego sumar para
3) 6 + (87 x (-2))
obtener la respuesta.
_________________________________
Ejemplo:
4)
2(3 + 4)
= 2x3 + 2x4
de
5) -17 + (4 x 5) = (4 x 5) + (-17)
las
siguientes
expresiones
demuestra la ley distributiva?
1) 3 + 4
= 4+3
2) 6 x (4 x 7)
3) 9 (1 + 7)
= 3(36) – 4(36)
_________________________________
Hágalo usted:
Cual
4(36) – 3(36)
= (6 + 87) + (-2)
=
(6 + 4) x 7
= 9(1) + 9( 7)
_________________________________
Respuestas:
1.
V
2.
F
3.
V
4.
F
5.
V
Ejercicio 1D
Una secretaria de medio tiempo trabaja 2
1) Cual de las siguientes expresiones es
días una semana y 4 días la otra. Cada
igual a: 89 * 3 + 89 * 7?
día ella ganó Q50.00
(1) 3 + 89 x 7
expresión que muestre cuanto ganó en las
(2) 89(3 + 7)
Escriba una
(3) 7 * (89 + 3)
dos semanas.
2) Cual de las siguientes expresiones
In la sección de aritmética de este
equivale a:
3 + (4 + 9)
programa usted trabajo con cientos de
(1) (3 + 4) + 9
problemas de este tipo. Posiblemente ya
(2) 3 (4) + 3 (9)
calculó en su mente que la secretaria
(3) 3 * (4 + 3 (9)
ganó Q300.00.
En esta sección de
álgebra no se le está preguntando cuanto
RSPUESTAS:
ganó sino se le está pidiendo que escriba
1) 2
una expresión algebraica que muestre
2) 1
como encontrar la respuesta.
Si se recuerda de la lección 1 verá que
los pasos para resolver un problema son
Escribiendo Expresiones Numéricas
los siguientes:
Algunas veces usted tiene que escribir
1) Leer cuidadosamente.
expresiones numéricas para situaciones
2) Decidir que tiene que encontrar
prácticas.
3) Decidir que operaciones usar
4) Escribir la operación
Ejemplo:
5) Computar la respuesta
6) Chequear la respuesta
7) Analizar si la respuesta tiene
sentido.
sumado al costo de la novela rustica
+ 2.95.
La expresión inicialmente
En álgebra usted solo tiene que llegar
quedaría así: 2 (2.29) + 2.95.
hasta el paso 4. La secretaria trabajó 2
Para mostrar cuanto pagó Alicia debió
+ 4 días y ganó Q50.00 por cada día. La
haber hecho lo siguiente:
expresión que muestra cuanto ganó
2 (2.29) + 2.95.
puede ser la siguiente:
2
50(2 + 4)
Esto es el total de arriba dividido por el
denominador.
Hágalo Usted:
Otra forma puede ser esta:
Escriba una expresión matemática para
2 (2.29) + 2.95 ÷ 2
esta situación:
En una tienda de descuentos Alicia y su
hermana compraron
2 botellas de
shampoo a Q2.29 cada una y una novela
Ejercicio 2
rustica en Q2.95. Ellas se dividieron el
Escriba
costo de los dos artículos. Escriba una
situación:
expresión que muestre cuanto pagó
una
expresión
par
cada
1) El precio de un bote de dulces si
Alicia en quetzales y centavos.
tres de los mismos botes cuestan
Si comenzó por mostrar el total del costo
Q0.98 juntos.
de los artículos, empezó bien. El costo
2) El costo de 3 fotocopiados de 15
de las dos botellas de shampoo puede ser
páginas cada uno cuando cada
mostrado así 2(2.29 )
copia individual cuesta Q0.10
Esto debe ser
3) El promedio mensual de gastos de
energía eléctrica si la cantidad
expresiones muestra la cantidad de
dinero que ella gastó?
(1) 3 (Q1.50)
anual de kilovatios hora es de 4,
632 y el costo es Q0.62 por
(2) Q1.50
3
RESPUESTAS:
kilovatio hora.
1) 3
Respuestas:
2) 1
1) 0.98
3
2) 0.10(3)(15)
ó 0.10 (3 x 15)
3) 4, 632 x 0.062
12
EJERCICIO 2A
1)
Cuatro estudiantes de la clase de
álgebra obtuvieron como nota final
punteos de 90, 85, 80 y 75. ¿Qué
expresión puede demostrar su promedio
total?
(1)
4
.
90 + 85 + 80 + 75
(2) 4 (90 + 85 + 80 + 75)
(3) 90 + 85 + 80 + 75
4
2)
+ Q0.20
Jennifer compró 3 aguacates por
Q0.50
cada uno y una manzana por
Q0.20.
¿Cuál de las siguientes