Download QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?

5° SEC
Análisis Combinatorio
Una comida gratis
Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios
en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante.
Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el
orden en que habían de sentarse a la mesa.
Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético;
otros, de acuerdo a la edad; otros, por los resultados de los
exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba,
la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa.
Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras:
- Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en
cualquier orden y escúchenme.
Una comida gratis
Todos se sentaron sin seguir un orden determinado.
El camarero continuó:
- Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados
ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden.
Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden
distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las
combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes
tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les
prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer
gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y
escogidos.
Una comida gratis
La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron
reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos
distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con el
objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.
Sin embargo, no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el
camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total
de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es
extraordinariamente grande. Éstas son exactamente 3’628,800.
Es fácil calcular, que este número de días son casi 10,000 años.
Análisis Combinatorio
1. ¿QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?
I.- El símbolo de sumatoria
II.- Factorial de un número
2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO
 Principio de Adición
 Principio de Multiplicación
3. MÉTODOS DE CONTEO:
 PERMUTACIÓN
 PERMUTACIÓN CIRCULAR
 PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
 COMBINACIÓN
Código secreto
Los miembros del club de matemática del CI no
quieren que sus demás compañeros del colegio se
enteren de las calificaciones que obtienen en las
pruebas de olimpiadas matemáticas. Para tal
efecto han decidido utilizar dos letras seguidas de
tres números para formar códigos de
identificación. Ellos van a utilizar las letras A y S
y los números 1, 2 y 3. Permiten la repetición de
letras, mas no de los números. ¿Cuántos miembros
puede albergar el club antes que tengan que
cambiar su método de construir códigos?
Código secreto
SOLUCIÓN:
Para resolver este problema vamos a
recurrir a la estrategia llamada hacer
una lista organizada.
Esta estrategia es útil a la hora de
resolver problemas donde sea
necesario encontrar todas las maneras
posibles de hacer algo. Hay cuatro
formas de ordenar las letras A y S:
AS, SA, AA y SS. Para cada uno de
estos ordenamientos le asociamos
todas las formas diferentes de ordenar
los números 1, 2 y 3. Veamos:
AS123
SA123
AA123
SS123
AS132
SA132
AA132
SS132
AS213
SA213
AA213
SS213
AS231
SA231
AA231
SS231
AS312
SA312
AA312
SS312
AS321
SA321
AA321
SS321
Se pueden formar 24 códigos diferentes
de identificación. Después que se unan al
club 24 miembros se agotarían los
códigos y para albergar a más miembros
tendría que ampliarse la construcción de
códigos.
Análisis Combinatorio
¿De cuántas formas diferentes podrá viajar una persona desde A
hasta D sin retroceder?
C
D
A
B
Análisis Combinatorio
¿QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?
La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de la Matemática
que estudia las diferentes maneras en que se pueden formar
agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos y como contar
ordenadamente su número.
El análisis combinatorio exige el conocimiento de ciertas reglas y
métodos para determinar el número o la manera de formar
diferentes grupos con los elementos de un conjunto. Nos ocuparemos
entonces de la correcta aplicación de tales reglas y procedimientos,
como así también de la definición de algunos símbolos que nos
servirán en el desarrollo de este capítulo.
Análisis Combinatorio
I.- El símbolo de sumatoria: permite abreviar la notación de una
suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. Por ejemplo,
para indicar la suma:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7
escribimos:
7
a
i 1
i
y se lee, sumatoria de ai con i variando de 1 a 7.
n
ai
Si el índice i es variable desde 1 a n, la notación es: 
y significa
i 1
la suma abreviada de los n términos: a1 + a2 + a3 + ... + an.
El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i, cada uno de
los sucesivos valores de su rango de variación y sumando los términos
así obtenidos.
Análisis Combinatorio
II.- Factorial de un número: el factorial de un número natural n
mayor que uno (1) es igual al producto de los n primeros números
naturales; el símbolo característico es "!".
Así:
n !  n  n. n  1 . n  2 . n  3 .........3.2.1




De la definición se deduce que el factorial de un número es igual al
producto de dicho número por el factorial del anterior.
Ejemplo: 6! = 6.5! = 6.5.4!
En general:
n !  n. n  1 !

Además se define: 0! = 1 y 1! = 1.

Análisis Combinatorio
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO
En determinados problemas, se observa que una operación
(o actividad) aparece en forma repetitiva y es necesario entonces
conocer la cantidad de formas o maneras que se pueda realizar
dicha operación. Para tales casos es útil conocer determinadas
técnicas de conteo que facilitaran el cálculo señalado y será el medio
adecuado para resolver estos problemas. El análisis combinatorio es
lo que puede llamarse una forma abreviada de contar.
Las operaciones o actividades que se presentan serán designadas
como eventos.
Análisis Combinatorio
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO
Ejemplos:
 Señalar las prendas que utiliza una persona para vestirse.
 Ordenar 7 objetos en 10 casilleros.
 Escribir una palabra de 6 letras utilizando 4 consonantes y 2
vocales señaladas.
 Pintar un dibujo de 2 figuras, con 5 colores posibles.
 Designar 2 delegados de 30 personas.
 Elegir un camino de 10 posibles.
Análisis Combinatorio
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO
Estas operaciones que señalamos, pueden efectuarse de una o varias
maneras, para encontrar la cantidad de formas, se utilizará dos
principios fundamentales de conteo:
 Principio de Adición.
 Principio de Multiplicación.
Análisis Combinatorio
1. Principio de Adición:
Si una operación o actividad A, puede realizarse de m maneras
diferentes y otra operación o actividad B, puede realizarse de n
maneras diferentes, entonces la operación que consiste en hacer A o
B (no ambas simultáneamente, sino la una o la otra) podrá ocurrir
de (m + n) formas distintas.
La regla se puede ampliar a más de dos tareas siempre que no haya
dos de ellas que se puedan efectuar simultáneamente.
Análisis Combinatorio
1. Principio de Adición:
Ejemplo 1:
Javier puede viajar de Lima a Cuzco por vía
aérea, usando 2 líneas de transporte aéreo o por
vía terrestre, usando 3 líneas de ómnibus.
¿De cuántas maneras puede Javier realizar el
viaje de Lima a Cuzco?
Análisis Combinatorio
1. Principio de Adición:
Ejemplo 1:
Javier puede viajar de Lima a Cuzco por vía aérea, usando 2
líneas de transporte aéreo o por vía terrestre, usando 3 líneas de
ómnibus. ¿De cuántas maneras puede Javier realizar el viaje de
Lima a Cuzco?
Resolución
Por el principio de adición:
Por vía aérea: 2 formas
Por vía terrestre: 3 formas.
Podrá viajar de
(2 + 3) = 5 formas
Análisis Combinatorio
1. Principio de Adición:
Ejemplo 2:
Manuel desea cruzar un río, para ello puede
utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeñas o un
deslizador. ¿De cuántas formas podrá cruzar
Manuel el río utilizando uno de los medios de
transporte señalados?
Análisis Combinatorio
1. Principio de Adición:
Ejemplo 2:
Manuel desea cruzar un río, para ello puede utilizar 2 botes, 3
lanchas pequeñas o un deslizador. ¿De cuántas formas podrá
cruzar Manuel el río utilizando uno de los medios de transporte
señalados?
Resolución
Puede utilizar:
2 botes (2 formas)
3 lanchas (3 formas)
1 deslizador (1 forma)
Como al usar una, no necesita
utilizar las otras, el total de
formas es: 2 + 3 + 1 = 6
Análisis Combinatorio
2. Principio de Multiplicación:
Si una operación o actividad A, puede realizarse de m maneras
diferentes y cuando ha sido efectuada por cualquiera de esas
maneras, se realiza otra operación o actividad B que puede
efectuarse de n maneras diferentes, entonces ambas operaciones
o actividades podrán efectuarse de (m x n) maneras distintas.
Análisis Combinatorio
2. Principio de Multiplicación:
Ejemplo 1:
Un equipo de básquet tiene que elegir un nuevo uniforme.
Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones
con diferentes colores. ¿Cuántos uniformes distintos se
pueden componer con las camisetas y pantalones
disponibles?
Análisis Combinatorio
2. Principio de Multiplicación:
Ejemplo 1:
Un equipo de básquet tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger
entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. ¿Cuántos uniformes
distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?
Resolución
Por el principio de multiplicación serán:
4 x 5 = 20 uniformes diferentes.
Análisis Combinatorio
2. Principio de Multiplicación:
Ejemplo 2:
¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden
formar con unos y ceros?
Análisis Combinatorio
2. Principio de Multiplicación:
Ejemplo 2:
¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros?
Resolución
Para elegir el primer número sólo tenemos una posibilidad, y es
el 1, para la segunda tenemos dos posibilidades, al igual que para
la tercera y la cuarta, luego el número es: 1 x 2 x 2 x 2 = 8.
Análisis Combinatorio
MÉTODOS DE CONTEO:
En diferentes casos, se tomará de algún conjunto parte de sus
elementos o todos ellos, para tomar diferentes agrupaciones, que
se van a distinguir por el orden en que están colocados dichos
elementos o por la naturaleza de alguno de ellos. Si los elementos
que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán
llamadas agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son
iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.
Análisis Combinatorio
1. PERMUTACIÓN:
Se llama así a un arreglo u ordenación de todos o parte de los
elementos de un conjunto considerando el orden en que se
encuentran.
Para n objetos diferentes, el número de permutaciones,
representado como Pn, que se puede obtener con los n objetos
está dado por:


Pn  1.2.3............. n  1 .n  n !
Análisis Combinatorio
1. PERMUTACIÓN:
Ejemplo 1:
¿Cuántas posibilidades de ubicación tienen cinco alumnos
al sentarse en cinco sillas colocadas en línea recta?
Resolución
Es una permutación lineal de cinco elementos tomados de cinco
en cinco. Calculamos el número de posibilidades:
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Análisis Combinatorio
1. PERMUTACIÓN:
Ejemplo 2:
Ocho amigos planean salir de viaje en dos automóviles
de modo que irán 4 en cada vehículo. ¿De cuántas
formas pueden ir, si todos tienen licencia de conducir?
Resolución
Es una permutación lineal de ocho elementos tomados de ocho en
ocho. Calculamos el número de posibilidades:
P8 = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320
Análisis Combinatorio
EJERCICIOS
01. De un grupo de seis amigos 2 hombres y 4 mujeres van al
cine y encuentran una fila libre de seis asientos.
I. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse?
II. ¿De cuántas, si los hombres se sientan en los extremos?
III. ¿De cuántas, si las mujeres se sientan siempre juntas?
02. Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos pero en
la foto, sólo pueden aparecer 5 alumnos sentados en línea recta.
¿De cuántas maneras se puede tomar dicha foto?
Análisis Combinatorio
EJERCICIOS
03. Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres.
¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros (presidente,
vicepresidente y vocal) pueden formarse, si el presidente debe ser
una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre?
04. Se lanza simultáneamente 3 dados de diferente color.
¿De cuántas maneras distintas puede obtenerse por suma un
número mayor que 4?
Análisis Combinatorio
EJERCICIOS
05. ¿De cuántas formas se pueden acomodar y viajar 5 personas
de un grupo de 6, en un auto de 5 asientos si sólo 2 de ellas
saben manejar?
06. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un
mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes diferentes se
pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas?
Análisis Combinatorio
2. PERMUTACIÓN CIRCULAR:
Es un arreglo que se puede hacer con los elementos
de un conjunto alrededor de un objeto (o centro)
señalado.
El número de permutaciones circulares, denotado como Pc, de n
elementos está dado por:
  

PC n  n  1 !
Análisis Combinatorio
2. PERMUTACIÓN CIRCULAR:
Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras distintas podrán sentarse 4 niños
alrededor de una mesa circular?
Resolución
Se deberá de encontrar las diferentes ordenaciones de 4 elementos
(niños) alrededor de un centro (mesa), estará dado por:
PC (4) = (4 – 1)! = 3! = 6
Análisis Combinatorio
2. PERMUTACIÓN CIRCULAR:
Ejemplo 2:
Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubican 6 vasos
diferentes. ¿De cuántas formas pueden ser ubicados?
Resolución
Se deberá de encontrar las diferentes ordenaciones de 6 elementos
(vasos) alrededor de un centro (torta), estará dado por:
PC (6) = (6 – 1)! = 5! = 120
Análisis Combinatorio
EJERCICIOS
08. En un campamento por Semana Santa, ¿de cuántas maneras
se podrán sentar 5 amigas alrededor de una fogata?
09. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De
cuántas formas podrán ubicarse, si tres de ellas deben estar
siempre juntas?
10. Alrededor de una mesa circular de seis se ubican dos niñas y
tres niños. ¿De cuántas formas podrán hacerlo si el asiento vacío
debe quedar entre las niñas?
Análisis Combinatorio
3. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN:
Es un arreglo en el cual no todos los elementos son distintos
entre sí, esto es, hay elementos que se repiten.
El número de permutaciones de n objetos en el que se repiten
alguno de ellos, esta denotado por:
Pkn ,k
1
2
,k3 ,.......,kn

n!
k1 ! .k2 ! .k3 ! ..........kn !
Donde k1, k2, k3, …….., kn es el número de veces que se repite cada elemento.
Análisis Combinatorio
3. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN:
Ejemplo 1:
Con 2 bolas rojas, 2 bolas amarillas y 3 bolas azules. ¿De cuántas
maneras distintas se pueden ordenar?
Resolución
Se tendrá:
7
P2,2,3

7!
 210
2 ! .2 ! .3 !
Análisis Combinatorio
3. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN:
Ejemplo 2:
¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la
palabra TAPITA?
Resolución
Podemos observar que la letra T se repite 2 veces, la letra A 2
veces y las letras P e I una vez cada una.
Luego:
6
P2,2,1,1

6!
 180
2 ! .2 ! .1 ! .1 !
Análisis Combinatorio
EJERCICIOS
11. ¿Cuántas palabras diferentes, no necesariamente pronunciables o con sentido, se pueden formar con todas las letras de la
palabra TERREMOTO?
12. Un barman va a colocar en hilera sobre la barra de un bar 8
vasos, 5 de los cuales contienen whisky, 2 contienen tequila y uno
contiene vino tinto. ¿De cuántas formas los podrá ordenar?
13. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en
una banca para 7, si dos de ellas quieren sentarse en los extremos?
Análisis Combinatorio
4. COMBINACIÓN:
Es una selección o agrupamiento que se puede formar con los
elementos de un conjunto (los elementos deben de ser diferentes).
En general con n elementos diferentes, el número de combinaciones que se pueden obtener agrupando de k en k (k ≤ n), estará
dado por las permutaciones de n objetos agrupados de k en k,
pero dividido entre el número de permutaciones de k elementos
que se pueden obtener.
n!
Ckn 
n  k ! .k !


Análisis Combinatorio
4. COMBINACIÓN:
Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger
3 niños de un total de 5?
Resolución
Al señalar que vamos a “escoger”, indica que no se necesita indicar
ningún orden, lo que sí interesa es el grupo formado, luego se
trata de combinar 5 elementos, tomándolos de 3 en 3.
C
5
3
5!

 10
2 ! .3 !
Análisis Combinatorio
4. COMBINACIÓN:
Ejemplo 1:
De un grupo de 7 personas se quiere formar una comisión de 3
personas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar dicha
comisión?
Resolución
Se buscará el número de combinaciones de 7 elementos agrupados
de 3 en 3.
C37 
7!
 35
4 ! .3 !
Análisis Combinatorio
EJERCICIOS
14. Entre Ana, Beatriz, Carlos y Diego se debe elegir una comisión
formada por tres personas. ¿De cuántas formas distintas se puede
elegir la comisión?
15. ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre
tres alumnos, si al primero le damos 2, al segundo 3 y el resto al
tercer alumno?
16. Al final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores.
¿Cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos.
5° SEC
Análisis Combinatorio