Download permutaciones y combinaciones reseña histórica

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO 11
TALLER Nº 6
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE II
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
RESEÑA HISTÓRICA
El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de
otras ramas de las matemáticas, tales como el álgebra, teoría de los números, y
probabilidad. Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria
que han llamado la atención de los matemáticos. Por ejemplo, el problema de los
cuadrados mágicos que son arreglos de números con la propiedad de que la
suma de los elementos de cualquier columna, renglón o diagonal es el mismo
número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los cuadrados
mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines místicos. Los coeficientes binomiales, que son
los coeficientes enteros de la expansión de (a+b)n fueron conocidos en el siglo XII. El triángulo
de Pascal que es un arreglo triangular de los coeficientes binomiales fue desarrollado en el siglo
XIII.
Se puede considerar que en Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos
de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que
formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios
para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se
estableció
la
tradicional
conexión
entre
combinatoria
y
probabilidad.
El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wilhem Leibniz
en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la
combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar por J. Bernoulli; este
trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue
necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se
usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los
trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e
independiente rama de las matemáticas.
El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica
escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de
enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales
para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de las funciones
generadoras.
 OBJETIVO GENERAL
Utilizar las técnicas de conteo para determinar el número de elementos de un espacio
muestra o suceso.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS


Calcular el número de posibles resultados de un experimento o seceso.
Establecer las diferencias entre un combinación y una permutación
 PALABRAS CLAVES
Permutación, combinación, factorial.
.
 DESARROLLO TEÓRICO
Se recuerda que el factorial del número natural n es el producto de los números naturales de 1
a n, esto es,
n!=12  3  …  n
y por convenio 0!=1
Se llama permutación de n elementos a1, a2, a3, …, an a cualquier ordenación de los mismos.
Por ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras p, q y r son: pqr, qrp, rpq, qpr, rqp, prq.
Teorema:El número de permutaciones de n elementos es n!
En el ejemplo anterior, 3!=6. En lugar de ordenaciones de los n elementos podríamos pensar en
ordenaciones de k elementos extraídos de los n dados. Por ejemplo: las permutaciones de las
tres letras p, q y r tomadas de dos en dos cada vez son: pq, pr, qr, qp, rp, rq
Teorema: El número de permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez es
n!
(n  k )!
Para el ejemplo anterior, 3!/(3-2)!=6/1=6
Nota: Si en las permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admitiera
repeticiones el número de tales permutaciones sería nk
4
En nuestro ejemplo 32=9:
pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr
Se llama combinación a una permutación en la que el orden no tiene relevancia y sólo qué
elementos la forman
2
Por ejemplo: Sólo hay una combinación de las tres letras p, q y r, precisamente pqr. Las
combinaciones de p, q y r tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r
Teorema: El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la
expresión
n
n!
  
 k  (n  k )! k!
Nota: Si en las combinaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admiten
repeticiones, el número de tales combinaciones viene dado por
 n  k  1


 k

Ejemplo: El número de combinaciones de las tres letras p, q y r tomadas de dos en dos cada
vez es
 3
3!
6
  

3
 2  (3  2)! 2! 1.2
y si se admite repeticiones de letras
 3  2  1  4 

     ...  6
 2   2
 EJERCICIOS PROPUESTOS
PERMUTACIONES
1. Se quiere formar números de 4
dígitos a partir de los números 2,
3, 4 y 5.
con las letras de la palabra
MISSISSIPI?
2. Con las letras A, M, O; ¿Cuántas
palabras se pueden formar?
4. ¿De cuántas maneras se pueden
ordenar en un estante 5 libros de
álgebra y 3 diccionarios con la
condición de que siempre los
libros de algebra estén juntos y
los diccionarios también?
3. ¿Cuántos grupos de 6 letras se
pueden formar con las letras
CARARE?
¿Cuántas
permutaciones se pueden formar
3
5. Se tienen los números naturales
1, 2, 3 y 4. ¿Cuántos números de
tres dígitos se pueden formar?
teniendo en cuenta que el
portero no puede ocupar otra
posición distinta que la
portería?
6. ¿Cuántas cifras de 4 dígitos se
pueden formar con los números
del 0 al 9, usándolos una sola
vez?
15. Una mesa presidencial
está formada por ocho
personas, ¿de cuántas
formas distintas se pueden
sentar, si el presidente y el
secretario siempre van
juntos?
7. Si un estudiante tiene 9 libros y
desea ordenar a 5 de ellos sobre
un estante. ¿De cuántas maneras
distintas puede hacerlo?
16. Cuatro libros distintos de
matemáticas, seis diferentes
de física y dos diferentes de
química se colocan en un
estante. De cuántas formas
distintas es posible
ordenarlos si:
a. Los libros de cada
asignatura deben estar
todos juntos.
b. solamente los libros de
matemáticas deben
estar juntos.
8. ¿Cuántas señales diferentes se
pueden formar con 10 banderas
distintas, levantando al menos 3 y
no más de 6 banderas en una de
un mástil?
9. ¿De cuantas maneras diferentes
se pueden contestar un examen
de 5 preguntas, si
hay que
responder a 3 de ellas?
10. ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse
ocho personas en una fila de
butacas?
17. Se ordenan en una fila 5
bolas rojas, 2 bolas blancas
y 3 bolas azules. Si las bolas
de igual color no se
distinguen entre sí, ¿de
cuántas formas posibles
pueden ordenarse?
11. ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse
ocho personas alrededor de
una mesa redonda?
12. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3,
3, 3, 4, 4; ¿cuántos números
de nueve cifras se pueden
formar?
18. Un hombre tiene
9 bonos financieros de 9
compañías distintas, y piensa
regalarlos a sus 3 hijos de la
siguiente manera: a su hijo mayor,
4 ; a su segundo hijo, 3 ; y al
menor 2. ¿De cuantas formas
puede repartir los bonos?
13.
¿Cuántos números de
cinco cifras distintas se
pueden formar con las cifras
impares? ¿Cuántos de ellos
son mayores de 70.000?
19. Se va celebrar la final de salto de
longitud en un torneo de atletismo.
Participan 8 atletas.
¿De cuántas formas pueden
14. De cuántas formas pueden
colocarse los 11 jugadores
de un equipo de fútbol
4
repartirse las tres medallas: oro,
plata y bronce?
daneses, y 2 italianos pueden
sentarse en una fila de modo que
los de la misma nacionalidad se
sienten juntos?
20. El sistema de matrículas de
vehículos consiste en un número
de 4 dígitos seguido de un bloque
de 3 letras consonantes.
(Ejemplo: 0474-KTK)
a) ¿Cuántas placas hay con un
determinado bloque de letras?
b) ¿Cuántas placas hay con la
misma parte numérica?
c) ¿Cuántas placas se pueden
formar en total con este sistema?
26.
27. Encontrar el numero de palabras
que se pueden formar con todas
las letras de MARCELINO
28. Encontrar el numero de palabras
que se pueden formar con todas
las letras de ALGEBRA, pero que
la L siempre esté primero.
29. Hay que colocar a 5 hombres y 4
mujeres en una fila de modo que
las mujeres ocupen los lugares
pares. ¿De cuántas maneras
puede hacerse?
21. Con los dígitos impares, ¿cuántos
números de 5 cifras distintas
puedes formar? ¿Cuáles son
esos números?
30. Una línea de ferrocarril tiene 25
estaciones. ¿Cuántos billetes
diferentes habrá que imprimir si
cada billete lleva impresas las
estaciones de origen y destino?
22. Queremos ordenar los 7 libros
que tenemos: 4 son de
Matemáticas, 2 de Astronomía y 1
de Física (los de una misma
materia son iguales). ¿De cuántas
formas podemos ordenarlos en el
estante?
31. En un hospital se utilizan cinco
símbolos para clasificar las
historias clínicas de sus pacientes,
de manera que los dos primeros
son letras y los tres últimos son
dígitos. Suponiendo que hay 25
letras, ¿cuántas historias clínicas
podrían hacerse si:
23. Cinco personas entran en un
vagón de ferrocarril en que hay 7
asientos. ¿De cuántas maneras
distintas pueden sentarse?
24. Si tenemos la siguiente patente de
auto, con 2 letras y 4 números, de
las cuales se pueden repetir.
¿Cuántas patentes se pueden
formar?.
a. No hay restricciones sobre letras y
números;
b. Las dos letras no pueden ser
iguales?
25. ¿De cuántas maneras 3
americanos, 4 franceses, 4
5
COMBINACIONES
1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres
alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris
tomándolos de tres en tres?
3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre
todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
4. ¿Cuántas apuestas de Lotería de Medellín de una columna han de
rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
5. Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede
informar con sus vértices?
6. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité
de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
a) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
b) Una mujer determinada debe pertenecer al comit é
c) Dos hombres determinados no pueden estar en el comité
7. Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres
alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas
diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
9. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores, ¿cuántas partidas se
jugará si se juega todos contra todos?
10. En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las
diez dadas. ¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por
lo menos, tres de las cinco primeras preguntas?
11. De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de
5 asientos, si 3 están en espera?
12. La selección peruana de voleibol está conformada por 12 chicas. ¿De cuántas formas
se puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el
mismo equipo?
13. Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa,
sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los
invitados?
6
14. Queremos realizar una encuesta a 150 personas, pero vamos a usar una muestra de
sólo 10 personas. ¿Cuántas muestras podríamos usar?
(Nota: En Estadística las muestras se suelen usar con reemplazamiento, es decir, una
persona puede estar varias veces en la muestra)
15. Una empresa necesita 14 personas para hacer un trabajo, distribuidas de la siguiente
forma: 4 mujeres, 5 hombres, y los 5 restantes pueden ser de uno u otro sexo. ¿De
cuántas maneras puede elegir la empresa a las 14 personas, si hay 18 candidatos de
los cuales 8 son mujeres y 10 son hombres?
16. De 7 físicos y 4 matemáticos se va a formar un comité de 6. ¿De cuántas maneras
puede formarse?
a. Cuando haya en el comité 2 matemáticos.
b. Cuando haya como mínimo 2 matemáticos
17. Obtener el número de diagonales del cuadrado, el hexágono y el octágono
18. Con 7 consonantes y 5 vocales ¿cuántas palabras se pueden formar que tengan 4
consonantes distintas y 3 vocales distintas?
19. Tres atletas toman parte en una competición. ¿De cuántas maneras podrían llegar a la
meta? (Pueden llegar juntos)
20. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris
tomándolos de tres en tres?
21.
Si se quiere formar el siguiente comité con 1 presidente, 2 secretarios y 3 tesoreros,
para lo cual se tienen 32 postulantes para los cargos mencionados anteriormente.
¿Cuántos comités se pueden formar?
22. El Dane desea formar una comisión de 5 alumnos, 3 de primer año y 2 de segundo
año. Si se presentan 7 voluntarios de primero pero solo 3 de segundo. ¿De cuántas
maneras puede
formarse esta comisión?.
23. El comité organizador de unos campeonatos de atletismo va a asignar dorsales de
cuatro dígitos a los atletas. Si el primer dígito no puede ser cero, ¿cuántos dorsales
distintos se pueden formar?
24. El comité organizador de unos campeonatos de atletismo va a asignar dorsales de
cuatro dígitos a los atletas. Si el primer dígito no puede ser cero, ¿cuántos dorsales
distintos se pueden formar?
25. En un salón hay 6 matrimonios. Si se eligen al azar 2 de esas personas:
a. ¿Cuántas elecciones distintas son posibles?
b. ¿En cuántas elecciones distintas habrá dos hombres?
c. En cuántas elecciones distintas habrá un hombre y una mujer?
7
26. Calcular cuántos productos diferentes de 2 factores se pueden formar con los digitos
2,3 y 5
a. Sin repetición de factores
b. Pudiendo repetir factores.
PEQUEÑOS RETOS
Samurai Sudokus
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